Lý thuyết và công thức tính nhanh giải tích 12

Lý thuyết và công thức tính nhanh giải tích lớp 12, tóm tắt lý thuyết công thức giải tích 12. Tổng hợp lý thuyết và công thức tính nhanh giải tích lớp 12. Luyện thi đại học, ôn thi đại học môn toán. Số phức, phương trình, mũ logarit, nguyên hàm, tích phân,...

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 MỤC LỤC PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ .4 1.1 Định nghĩa 1.2 Quy tắc công thức tính đạo hàm 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức .5 1.5 Đạo hàm cấp CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 2.4 Quy tắc tìm cực trị MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax3  bx2  cx  d 3.2 Cực trị hàm bậc trùng phương y  ax4  bx2  c,  a �0 12 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 14 4.1 Định nghĩa 14 4.2 Phương pháp tìm GTLN,GTNN 14 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15 5.1 Đường tiệm cận ngang 15 5.2 Đường tiệm cận đứng 15 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ .16 6.1 Khảo sát số hàm đa thức hàm phân thức .16 6.2 Một số phép biến đổi đồ thị 17 TIẾP TUYẾN 20 7.1 Tiếp tuyến 20 7.2 Điều kiện tiếp xúc 20 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 20 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 20 9.1 Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong 20 9.2 Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun 21 9.3 Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng 21 9.4 Bài tốn tìm điểm đặc biệt, khoảng cách 22 PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT 24 LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 24 1.1 Khái niệm lũy thừa 24 1.2 Phương trình x  b 24 n Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 1.3 Một số tính chất bậc n 25 1.4 Hàm số lũy thừa 25 1.5 Khảo sát hàm số mũ y  ax ,  a  0,a �1 26 LOGARIT 27 2.1 Khái niệm Logarit 27 2.2 Bảng tóm tắt cơng thức Mũ-logarit thường gặp 27 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 28 3.1 Bất phương trình mũ 28 3.2 Bất phương trình logarit 28 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 29 4.1 Lãi đơn 29 4.2 Lãi kép 29 4.3 Tiền gửi hàng tháng 30 4.4 Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng 30 4.5 Vay vốn trả góp 30 4.6 Bài toán tăng lương 31 4.7 Bài toán tăng trưởng dân số 31 4.8 Lãi kép liên tục 31 PHẦN III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 32 NGUYÊN HÀM 32 1.1 Định nghĩa 32 1.2 Tính chất nguyên hàm 32 1.3 Sự tồn nguyên hàm 32 1.4 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp 32 1.5 Bảng nguyên hàm mở rộng 33 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 34 2.1 Phương pháp đổi biến 34 2.2 Phương pháp nguyên hàm phần 35 TÍCH PHÂN 36 3.1 Cơng thức tính tích phân 36 3.2 Tính chất tích phân 36 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 37 4.1 Phương pháp đổi biến 37 4.2 Phương pháp tích phân phần 38 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN .38 5.1 Tích phân hàm hữu tỉ 38 5.2 Tích phân hàm vơ tỉ 40 5.3 Tích phân hàm lượng giác 43 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 46 6.1 Diện tích hình phẳng 46 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay .46 PHẦN IV SỐ PHỨC 48 SỐ PHỨC 48 1.1 Khái niệm số phức 48 1.2 Hai số phức 48 1.3 Biểu diễn hình học số phức 48 1.4 Số phức liên hợp 48 1.5 Môđun số phức 48 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 49 2.1 Phép cộng phép trừ số phức 49 2.2 Phép nhân số phức 49 2.3 Chia hai số phức 49 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 49 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 50 4.1 Căn bậc hai số thực âm 50 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực 50 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC .50 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số định K ta có:  Hàm số   gọi đồng biến (tăng) K yf x     yf x xác nếu:   x1, x2 �K , x1  x2 � f x1  f x2  Hàm số   yf x gọi nghịch biến (giảm) K nếu:     x1, x2 �K , x1  x2 � f x1  f x2 Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K * Nhận xét:     f x   f x2  f x1 �ι x2  x1   f x2  f x1 �ι x2  x1  Hàm số đồng biến K đồ thị hàm số lên từ trái sang phải   f x    Hàm số nghịch biến K đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải  Nếu     f �x  0, x � a;b � hàm số   f x   0� �x1, x2 K ,� � x1 x2 0� �x1, x2 K ,� � x1 x2 đồng biến khoảng  a;b f�  x  0, x� a; b �  f �x  0, x � a;b � f x a;b hàm số không đổi khoảng Nếu  Nếu  Nếu     f x   f x   đồng biến khoảng f x    a;b nghịch biến khoảng  Nếu thay đổi khoảng  a;b     � f �x  a;b   f x 0,   � f �x x 0, x  a;b  a;b liên tục đoạn hoặc nửa khoảng đó” 1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm  nghịch biến khoảng đoạn nửa khoảng phải bở sung thêm giả thiết “hàm số Quy tắc tính đạo hàm: Cho Khi  a;b  Nếu hàm số Khi     u  u x ; v  v x ;C : số � u �v  u� �v�  Tổng, hiệu: Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  Tích: � v  v� u �  C u   C u�  uv  � u� � �u � u� � v  v� u C � C u� , v �0 � � �  � � v� v u � �u �  Thương:   Đạo hàm hàm hợp: Nếu      y  f u , u  u x � yx� yu�� ux 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ Đạo hàm hàm hợp cấp � � C 0 x   x 1 (C số)      x  �  x   u  �  u  1   1 u� � �1 � � �  (x �0) x �x � � �1 � u� � �  u �0 u �u �  x  � 21x  x  0  u  � 2u�u  u  0    sinx � cosx cosu  sinu � u�  cosx �  sin x sin u  cosu � u�  tan x � cos1 x  tanu � cosu u  cot x �  sin1 x  cot u �  sinu u  e  � e  a  � a lna  ln x  � x1  e  � u�.e  a  � u�.a lna  ln u  � uu�  log x  � xln1 a u�  log u  � u.ln a � 2 � x x x u x u u a u a 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức   � ad  bc � ax  b � � � cx  d � cx  d �   a� � b �2 a� � � c b� � c � x 2 x � � e � d� � � f e� � � f �ax2  bx  c � d� � � 2 dx  ex  f � � dx  ex  f   Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 1.5 Đạo hàm cấp 1.5.1 Định nghĩa � � f�  x  �  x � �f � � 1.5.2 Ý nghĩa học  s f t Gia tốc tức thời chuyển động 1.5.3 Đạo hàm cấp cao f * Một số ý:  Nếu hàm số     f x g x   f x  n thời điểm �   f , n  x  �  x � � � n 1   gx t0 là:     �t0 a t0  f �  �, n đồng biến (nghịch biến) K hàm số đồng biến (nghịch biến) K Tính chất không hiệu  Nếu hàm số   f x     gx biến) K hàm số   f x g x hàm số dương đồng biến (nghịch     f x g x đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hàm số dương K  Cho hàm số   , xác định với x � a;b uu x xác định với Ta có nhận xét sau:  Giả sử hàm số đồng biến với   x � a;b   uu x     uu x không hàm số     Hàm số u x � c;d đồng biến với     x � a;b đồng biến với nghịch biến với Khi đó, hàm số u� c; d x� a; b Khi đó, hàm số   u � c;d x� a; b � f  u nghịch biến với nghịch biến với Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K         f' x 0 với x �K số hữu hạn điểm x �K hàm số f đồng biến K  Nếu f ' x �0 f' x 0 với x �K số hữu hạn điểm x �K hàm số f nghịch biến K  Nếu f ' x �0 f� u x � � � x � a;b � f u  Giả sử hàm số     f x ,g x Chú ý: Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page f� u x � � �   f� u x � � � TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 y * Đối với hàm phân thức hữu tỉ dấu đạo hàm y�không xảy   ax  b � d� x � � � cx  d � c� dấu "  " xét   y  f x  ax3  bx2  cx  d � f �x  3ax2  2bx  c Giả sử Hàm số đồng biến � � � a0 � � �  �0 � � � ۳�� f �x 0; x � � a0 � � � b � � � c0 � � � Hàm số nghịch biến � � � a0 � � �  �0 � � � �x ۣ ۣ �f� 0; x � � a0 � � � b � � � c0 � � �       f x d Trường hợp hệ số c khác a  b  c  0thì (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều khoảng có độ dài l ta giải sau: Bước 1: Tính   y� f �x;m  ax2  bx  c Bước 2: Hàm số đơn điệu  x ;x  � y� có nghiệm phân biệt � 0 � �� a �0 �  * Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài l  � x1  x2  l � x1  x2 Bước 4: Giải  * giao với   4x1x2  l � S2  4P  l  * *  * * để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa x �K Giả sử hàm số f xác định tập K Ta nói:  a;b chứa x0  x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng cho  a;b �K f  x         f x0 , x � a;b \ x0 Khi f  x0  gọi giá trị cực tiểu hàm số f Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 x0  cho       a;b x điểm cực đại hàm số f tồn khoảng chứa  a;b �K f  x   f  x  , x � a;b \  x  Khi f  x  0 gọi giá trị cực đại hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số    x ; f x0  Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm trị đồ thị hàm số f * Nhận xét:  Giá trị cực đại (cực tiểu) gọi điểm cực   nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ f x0   f x0 nhất) hàm số f tập D; giá trị lớn (nhỏ nhất)   a;b x x hàm số f khoảng chứa hay nói cách khác điểm cực đại ( cực tiểu) tồn khoảng (a;b) chứa x0 cho   giá f x0   a;b trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng  Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập K Hàm số khơng có cực trị tập cho trước 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số điểm x0   đạt cực trị điểm x Khi đó, y  f  x  yf x có đạo hàm   f �x0  Chú ý:  Đạo hàm f�  x điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0  Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm  Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 x Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm Khi đó, hàm số f có đạo hàm điểm x0  Nếu x0   f �x  khoảng x  h;x0   f �x  khoảng x   điểm cực tiểu hàm số  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm   khoảng  x ;x   khoảng  x ;x f �x  0   h h    h;x0 2.4 Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: f x điểm cực đại hàm số  Nếu x0 f ' x0   f �x  0   f x   f �x   x i  1;2;  Bước 2: Tìm điểm i mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm  Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu qua Định lí 3: Giả sử xi hàm số đạt cực trị xi 0 đổi dấu   có đạo hàm cấp khoảng  x  h;x  h � f�  x   0, f �  x   hàm số f đạt cực đại x yf x  Nếu   Nếu f � x f �x với h  Khi đó: 0   �x0  f� x  x0   0, f �  Nếu hàm số f đạt cực tiểu Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2:  Bước 1: Tìm tập xác định Tìm  Bước 2: Tìm nghiệm  Bước 3: Tính   �x f�    Nếu �xi  f�  Nếu �xi  f�   xi tính   f �x  i  1;2;    phương trình   f �x  �xi f� x hàm số f đạt cực đại điểm i hàm số f đạt cực tiểu điểm xi MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax  bx  cx  d 3.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Bài tốn tổng qt: Cho hàm số   y  f x;m  ax3  bx2  cx  d Tìm tham số m để hàm số x ,x có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp:  Bước 1:  Tập xác định: D  � 2  Đạo hàm: y� 3ax  2bx  c  Ax  Bx  C  Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu) � y�  có hai nghiệm phân biệt y� đổi dấu qua nghiệm � phương trình y� có hai nghiệm phân biệt � A  3a �0 � �� � y� B  4AC  4b2  12ac  �  Bước 3: Gọi   x1, x2 � a �0 � � m �D1 �2 b  3ac  � hai nghiệm phương trình y� � B 2b x  x2     � �1 A 3a � C c � x1.x2   A 3a Khi đó: � Bước 4: Biến đởi điều kiện K dạng tởng S tích P Từ giải tìm m �D2 được Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: * Chú ý: Hàm số bậc ba: m  D1 �D2   y  ax3  bx2  cx  d a �0 Ta có: y '  3ax  2bx  c Điều kiện  Kết ḷn Hàm số khơng có cực trị b2  3ac �0 Hàm số có hai điểm cực trị b2  3ac  Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu  Hàm số có cực trị trái dấu � phương trình y� có hai nghiệm phân biệt trái dấu  � AC  3ac  � ac  Hàm số có hai cực trị dấu � phương trình y� có hai nghiệm phân biệt dấu Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 10 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t   � � I � f (x)dx  � f� u(t)� u '(t)dt  � g(t)dt  G (t)  G (  )  G ( )   b a   Vậy: 4.1.2 Phương pháp đởi biến dạng 4.1.2.1 Định lí � a;b� Nếu hàm số u  u(x) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn � � cho   f (x)dx  g u(x) u '(x)dx  g(u)du thì: 4.1.2.2 Phương pháp chung b u(b) a u(a) I � f (x)dx  �g(u)du '  Bước 1: Đặt u  u(x) � du  u (x)dx x b u  u(b) � x a u  u(a)  Bước 2: Đổi cận :  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u Vậy: b b u(b) a a u(a) I � f (x)dx  � g� u(x)� u '(x)dx  � � �g(u)du 4.2 Phương pháp tích phân phần 4.2.1 Định lí Nếu b u ( x) v ( x) � a;b� hàm số có đạo hàm liên tục � �thì:  u(x)v'(x)dx  u(x)v(x) � a b b v(x)u (x)dx  a� b ' a Hay udv  uv � a b b  vdu a � a 4.2.2 Phương pháp chung f ( x) dx  Bước 1: Viết thích hợp f ( x) ' dạng udv  uvdx cách chọn phần làm u ( x) phần lại dv  v '(x)dx v � dv  � v '(x)dx  Bước 2: Tính du  u 'dx b  Bước 3: Tính vu '(x)dx � a uv b a * Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần b b b Đặt u theo thứ tự ưu b x P ( x ) e dx P ( x )ln xdx P ( x )cos xdx ex cosxdx tiên: � � � � a a a a Lốc-đa-mũ-lượng u P(x) lnx P(x) ex dv P(x)dx cosxdx cosxdx exdx Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 40 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 f ( x) Chú ý: Nên chọn u phần mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn ' f ( x ) dx dv  vdx phần vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 5.1 Tích phân hàm hữu tỉ 5.1.1 Dạng  I=   dx adx  �  ln ax  b � a  ax  b a  ax  b   (với a≠0)  dx 1  � (ax  b)k adx  (ax  b)k1 � k a a(1  k) Chú ý: Nếu I =  (ax  b) 5.1.2 Dạng I   �  ax dx  bx  c  a �0 ( ax  bx  c �0 với   x �� ;  � � �) Xét   b  4ac  Nếu   0thì x1  b   b   ;x2  2a 2a � 1 1 �    � � � x  x x  x ax  bx  c a(x  x1)(x  x2) a(x1  x2) � � �thì :  � 1 �  � I   dx  ln x  x1  ln x  x2 � � � � � � � � a(x1  x2)  �x  x1 x  x2 � a(x1  x2)   x  x1 ln a(x1  x2) x  x2  Nếu     1  ax  bx  c a(x  x0)2  I =  dx dx  �  � 2 a  (x  x0) a(x  x0)  ax  bx  c I   dx  � ax  bx  c   Nếu   0thì x Đặt � b � x0  � � 2a � � b  2a    dx ��  2 �  �� � � b a� x  � � �� � �� � � 2a � � � 4a �� �   tant � dx   tan2 t dt 2 4a a   5.1.3 Dạng I   mx  n dx,  bx  c �  ax  a �0 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 41 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 mx  n ;  � � �) ax2  bx  c liên tục đoạn � (trong  Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: f (x)  A(2ax  b) B mx  n A(ax2  bx  c)' B     2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c  mx  n dx  � ax  bx  c  Ta có I=   Tích phân   A(2ax  b) B dx  � dx � ax  bx  c ax  bx  c   A(2ax  b) dx A ln ax2  bx  c  bx  c = �ax   �  ax Tích phân 5.1.4 Dạng dx  bx  c b I    thuộc dạng P (x) dx � Q(x) P ( x) Q ( x) đa thức x P ( x) Q ( x)  Nếu bậc lớn bậc dùng phép chia đa thức P ( x) Q ( x)  Nếu bậc nhỏ bậc xét trường hợp: a  Khi Q ( x) với có nghiệm đơn 1, 2, ,n A1 A2 An P (x)     Q(x) x  1 x   x  n  Khi Q ( x)  đặt có nghiệm đơn vơ nghiệm   Q(x)  x   x2  px  q ,   p2  4q  đặt P (x) A Bx  C   Q(x) x   x  px  q  Khi Q ( x) có nghiệm bội Q(x)  (x   )(x   )2 với    đặt A P (x) B C    Q(x) x   x x   Q(x)  (x   )2(x   )3 với    đặt P (x) A B C D E      3 x (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) (x   ) Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 42 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 5.2 Tích phân hàm vơ tỉ b R(x, f (x))dx � Trong a R ( x, f ( x ) ) có dạng: � ax� �� � R� x, x  acos t , t � 0; � � � ax� � �Đặt � 2�    R x, a2  x2  Đặt x  a sint x  a cost � ax  b � ax  b � R� x, n tn � cx  d � � �Đặt cx  d       (ax  b) R x, f x  Đặt t   x   x   , Đặt    R x, a2  x2  R R x, x  a n1 n  x Với  x2   x   t   � � t � � [0;  ]\ �� x �2 cos x Đặt ,  Gọi k = BSCNN ( n ; n ; ; n ) Đặt x = t I   �ax   bx  c � � b�  � � f(x)=ax  - bx  c  a � x � � 2a � 4a2 � � � � � Từ : Khi ta có :  Nếu  a x; x; ; i x  5.2.1 Dạng  ax  b �  � t ��  ; � x  a tant 2� � Đặt , n    x   '  k ax  b     0,a  � f (x)  a u2  k2 � i dx k  a �0 � b x u � � 2a � � K �2a du f (x)  a u2  k2 dx (1) � a0 � b� �   � f (x)  a � x  �� � b � 2a � � f (x)  a x  2a  a u �  Nếu : (2)  Nếu :    Với a > :  Với a < :    f (x)  a x  x1 x  x2 �    f (x)  a x1  x x2  x �   f (x)  a x  x1 x  x2    (3) f (x)  a x1  x x2  x  (4) Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 43 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau :  Phương pháp : * Trường hợp :     0,a  � f (x)  a u2  k2 � f (x)  a u2  k2 Khi đặt : ax  bx  c  t  a.x � t2  c x  ;dx  tdt � � b  a bx  c  t  ax b  a � � �� �� x   � t  t0, x   � t  t1 t2  c � � t  a.x  t  a � b a �   � a0 � b� �   � f (x)  a � x  �� � b � 2a � � f (x)  a x  2a  a u � * Trường hợp : �1 � b � b x 0 � ln � � : x    2a 1 � a � 2a � I � dx  � b dx  � � b � b b a   � a x x  ln � x :x  0 � 2a 2a � a � 2a � a � Khi : * Trường hợp :   0,a  Đặt :    mx  n �ax   bx  c  Phương pháp :  Bước 1: f (x)          �x  x t ax2  bx  c  a x1  x x2  x  � x x t � �2 * Trường hợp :   0,a  Đặt : 5.2.2 Dạng I    �x  x t ax2  bx  c  a x  x1 x  x2  � x  x t � � mx  n ax2  bx  c  A.d  dx    a �0 ax2  bx  c ax2  bx  c  B ax2  bx  c  1 Phân tích  Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A, B  Bước 3: Giải hệ tìm A, B thay vào (1)  Bước : I  2A Tính     ax  bx  c  B� dx  ax2  bx  c  (2) Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 44 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  �ax  Trong 5.2.3 Dạng  bx  c  a �0 dx I  biết cách tính  �  mx  n   ax2  bx  c  a �0 dx  Phương pháp :  Bước 1:  mx  n  ax  bx  c  Phân tích :  Bước 2: � n� m� x  � ax  bx  c � m� (1) � � n� y t  �� dy   dx � � xt n � x  t � m� x �� y m �1 � �1 � � x   t � ax  bx  c  a �  t � b�  t � c � y �y � �y � � Đặt :  Bước 3: ' Thay tất vào (1) I có dạng : biết cách tính 5.2.4 Dạng dy I  ��  ' Ly  My  N � x   I � R x;y dx  � R� x; m �   � x       Tích phân � � dx � � R ( x; y ) ( Trong : hàm số hữu tỷ hai biến số x,y  ,  ,  ,  số biết )  Phương pháp :  Bước 1: t m x    x   (1) Đặt :  Bước 2: Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng  x t  Bước 3: Tính vi phân hai vế :  Bước 4: � x   R x; m �� � x    � Tính :   dx   ' t dt đổi cận ' � � dx  � R  t ;t  ' t dt �  ' �     Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 45 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 5.3 Tích phân hàm lượng giác 5.3.1 Một số công thức lượng giác 5.3.1.1 Công thức cộng cos(a �b)  cosa.cosb� msina.sinb sin(a �b)  sina.cosb �sinb cosa tana �tanb mtana.tanb 5.3.1.2 Công thức nhân đôi tan(a �b)  cos2a  cos2 a �sin2 a  2cos2 a �1  1�2sin2 a  sin2a  2sina.cosa  2tana  tan2 a cos3  4cos   3cos  tan2 a  tan2 a tan2a  ; ; 2tana  tan2 a sin3  3sin  4sin3  5.3.1.3 Công thức hạ bậc sin2 a   cos2a  cos2a  cos2a cos2 a  tan2 a  2  cos2a ; ; sin3   3sin  sin3 ; 5.3.1.4 Công thức tính theo t Với t  tan a Thì sina  cos3   cos3  3cos 2t 2t  t2 tana  cos a  2 1 t ;  t2 1 t ; 5.3.1.5 Cơng thức biến đởi tích thành tởng � cos(   )  cos(   )� � 2� sin sin   � cos(   )  cos(   )� � 2� sin cos   � sin(   )  sin(   )� � 2� 5.3.1.6 Công thức biến đởi tởng thành tích cos cos      cos 2    cos  cos   2sin sin 2    sin  sin   2sin cos 2    sin  sin   2cos sin 2 sin(   ) tan  tan   cos cos  sin(   ) tan  tan   cos cos  Công thức thường dùng: cos  cos   2cos Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 46 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  cos4  3cos4 6 cos   sin   Hệ quả: cos4   sin4   � � � � cos  sin  2cos�   � 2sin �  � � 4� � 4� � � � � cos  sin  2cos�   �  2sin �  � � � � 4� 5.3.2 Một số dạng tích phân lượng giác b  Nếu gặp I � f  sin x cos xdx a ta đặt t  sin x b  Nếu gặp dạng I � f  cos x sin xdx a b  Nếu gặp dạng I � f  tan x a b  Nếu gặp dạng 5.3.2.1 Dạng I � f  cot x a I1 = ta đặt t  cos x dx cos2 x ta đặt t  tan x dx sin2 x ta đặt t  cot x  sinx  � n  cosx  dx dx ; I � n * Phương pháp  Nếu n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc  Nếu n = sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi  Nếu 3n lẻ (n = p +1) thực biến đổi: I1 =  sinx  � n dx =  sinx  � 2p+1  sinx  dx  � 2p   cos2 x  d  cosx  sin xdx   � p k p k p �0 k  p  �      � C  C cos x    C cos x    C cos x d cosx  �p p p p � � �  1 k k  1 p p 2k1 2p1 1 � c  � C p cosx  C p cos x   C p  cosx    C p  cosx  2k  2p  � � I2 =  cosx  � n dx =  cosx  � 2p+1  cosx  dx  � 2p cosxdx    sin x  � p d  sin x  k p k p �0 k  p  �     � C  C sin x    C sin x    C sin x d sin x  �p p p p � � �  1 k k  1 p p 2k1 2p1 1     � � c  C p sin x  C p sin x   C sin x   C sin x 2k  p 2p  p � � 5.3.2.2 Dạng I =� sin m x cos n xdx ( m, n �N ) * Phương pháp  Trường hợp 1: m, n số nguyên a Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 47 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 b Nếu m chẵn, n lẻ ( n = p +1) biến đổi: I=  sinx   cosx  � m 2p+1  sin x   cosx  dx  � m 2p  sin x  cosxdx  � m   sin2 x p d  sin x  k p k p  sin x  m � � C p0  C p1 sin2 x    1 C pk  sin2 x     1 C pp  sin2 x  � d  sin x   � � m 2k1m 2p1m �  sin x  m1 �    sin x   sin x  k p sin x k p � � c Cp Cp    1 C p    1 C p m1 m 2k   m 2p   m � c � Nếu m lẻ ( m = p +1) , n chẳn biến đổi: I= n 2p n 2p+1 n   cos2 x  d  cosx            sinx cosx dx  cos x sin x sin xdx   cos x � � � p k p n k p �  cosx  �  � C p0  C p1 cos2 x    1 C pk  cos2 x     1 C pp  cos2 x  � d cosx   � �  cosx  n 1   n3   2k1n   2p1n � k p cosx k cosx p cosx     � � c  Cp Cp   1 C p   1 C p n1 n3 2k   n 2p   n � � d Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé  Nếu m, n số hữu tỉ biến đổi đặt u = sinx m  sin x   cos2 x  B� sin x cos xdx  � m n n 1 cosxdx  � u   u2  m n 1 du (*) m1 n 1 mk ; ; 2 số nguyên Tích phân (*) tính  số 5.3.2.3 Dạng I1 =  tan x  � n dx ; I =  cot x  � n dx ( n �N )    tan x dx  �dx  � d  tan x   tan x  c � cos x    cot x dx  �dx  � d  cot x    cot x  C � sin x  tan xdx  � dx   � � cosx cosx  cot xdx  � dx  � � sin x sin x 2 2 sin x cosx d  cosx  d  sin x    ln cosx  C  ln sin x  C ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 6.1 Diện tích hình phẳng 6.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành � a;b� Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) liên tục đoạn � � , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b xác định: S b f (x) dx � a Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 48 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 y y  f (x) O a c1 c2 �y  f (x) � �y  (H ) � �x  a � �x  b c3 b x S b f (x) dx � a 6.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) , y  g(x) liên tục b � a;b� đoạn � �và hai đường thẳng x  a , x  b xác định: y (C2 ) a c1 c2 �f (x)  g(x) dx a � (C1) : y  f1( x) � (C ) : y  f2 (x) � (H ) � x a � � x b � (C1) O S b x S  b f (x)  f (x) dx � a b �f (x) dx  b f (x)dx � [a ; b] f ( x ) a a - Nếu đoạn , hàm số khơng đổi dấu thì: - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x  g(y) , x  h(y) hai đường thẳng y  c , y  d xác định: S d g(y)  h(y) dy � c 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay 6.2.1 Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm x , (a �x �b) Giả sử S(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 49 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 (V ) x a O b b x V � S(x)dx a S(x) 6.2.2 Thể tích khối tròn xoay - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f (x) , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) O a b � (C ) : y  f (x) � b (Ox) : y  � Vx   �  f ( x ) dx � x � x a a � x b � - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g(y) , trục hoành hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d c � (C ): x  g(y) � (Oy): x  � � �y  c � �y  d d Vy  �  g( y ) dy c - Thể tích khối tròn xoay đượcx sinh quay hình phẳng giới O y  f (x) , y  g(x) hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: hạn đường b V  � f 2(x)  g2(x) dx a Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 50 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 PHẦN IV SỐ PHỨC SỐ PHỨC 1.1 Khái niệm số phức   Trong : a phần thực, b z  a  bi ; a,b ��  Số phức (dạng đại số) : phần ảo, i đơn vị ảo, i  1  Tập hợp số phức kí hiệu: �   b  z số thực � phần ảo z   a0  z số ảo (hay gọi ảo) � phần thực  Số vừa số thực vừa số ảo 1.2 Hai số phức     z  a  bi a, b �� z  c  di c, d ��  Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương đương � ac � z1  z2 � a  bi  c  di � � bd �  Khi ta viết 1.3 Biểu diễn hình học số phức Số phức   M a;b   z  a  bi a, b �� hay r u  a;b   biểu diễn điểm mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy 1.4 Số phức liên hợp Số phức liên hợp z z;    z  a  bi a, b �� z �z '  z �z ' ; z  a  bi �z � z z.z '  z.z '; �1 � ; �z � z �2 � z.z  a2  b2  z số thực � z  z ; z số ảo z  z 1.5 Môđun số phức uuuu r z OM Độ dài vectơ gọi môđun số phức z kí hiệu Vậy uuuu r uuuu r z  OM z  a  bi  OM  a2  b2 hay Một số tính chất: uuuu r z  z 2 z  a  b  zz  OM  ; Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 51 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  z �0, z ��; z  � z  z1  z1.z2  z1 z2  z1  z2 �z1 �z2 �z1  z2 z2 ; z1 z1  z2 z2 ;  z1z2 z2 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 2.1 Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức    z1  a  bi a, b ��      Khi đó: z2  c  di c, d �� z1 �z2  a  c � b  d i  Số đối số phức z  a  bi z  a  bi  Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số thực đó: z  a  bi, z  z  2a 2.2 Phép nhân số phức  Cho hai số phức Khi đó:    z1  a  bi a, b ��         k.z  k a  bi  ka  kbi    , ta có z  a  bi a, b �� Đặc biệt: 0.z  với số phức z  Lũy thừa i : i  1, i 4n 1  i,  z2  c  di c, d �� z1z2  a  bi c  di  � ac �bd  ad  bc i  Với số thực k số phức i 4n  1, i 4n 2  1, i  i, i  1, i 4n 3  i , i  i 2.i  i n �� 2.3 Chia hai số phức z1  Số phức nghịch đảo z khác số z z z' z '.z z '.z  z 'z1   z z.z z Phép chia hai số phức z ' z �0 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:  ax  by  c  � tập hợp điểm đường thẳng  x  � tập hợp điểm trục tung Oy  y  � tập hợp điểm trục hoành Ox  x  a   y  b   R2 � tập hợp điểm hình tròn tâm   I a;b , bán kính R Sưu tầm biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 52 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12     �x  a  y  b  R � � � x2  y2  2ax  2by  c  I a;b ,  � tập hợp điểm đường tròn có tâm bán   2 kính R  a  b  c  x  � tập hơp điểm miền bên phải trục tung  y  � tập hợp điểm miền phía trục hồnh  x  � tập hợp điểm miền bên trái trục tung  y  � tập hợp điểm phía trục hoành  y  ax  bx  c � tập hợp điểm đường Parabol x2 y2   1� b  a tập hợp điểm đường Elip x2 y2   1� b  a tập hợp điểm đường Hyperbol PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 4.1 Căn bậc hai số thực âm z12  z z1 z z  Cho số , có số phức cho ta nói bậc hai z  Mọi số phức z �0 có hai bậc hai  Căn bậc hai số thực z âm �i z Tổng quát, bậc hai số thực a âm �i a 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  0, a,b,c  �,a phương trình Ta thấy:  Khi   0, phương trình có nghiệm thực Xét biệt số   b2  4ac x b 2a  Khi   0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2  x1,2  b �  2a b �i  2a  Khi   0, phương trình có hai nghiệm phức BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MƠ ĐUN SỐ PHỨC � max z  � � � � z  � z z  z  r , r    �  Cho số phức z thỏa mãn z2 z1 z2 z1   r z1 r z1 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 53 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 z z  z2  r1, r1  0  Cho số phức z thỏa mãn max P  z2 z1  z3   Cho số phức z thỏa mãn max z  r1 z1 P  z2 z1 r1  z3   z1  z1.z  z2  z1.z  z2  k, k  k z1 z  k2  z2 2 z1 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 54