10 3 numth annotated tủ tài liệu bách khoa

Online   Cryptography   Course                                                                             Dan   Boneh   Intro  Number  Theory   Modular  e’th  roots   Dan  Boneh   Modular  e’th  roots   We  know  how  to  solve  modular  linear  equaBons:    a⋅x  +  b  =  0        in    ZN                              SoluBon:            x  =  −b⋅a-­‐1      in  ZN     What  about  higher  degree  polynomials?     Example:          let    p    be  a  prime  and      c∈Zp                Can  we  solve:      x2  –  c  =  0        ,            y3  –  c  =  0        ,        z37  –  c  =  0          in      Zp     Dan  Boneh   Modular  e’th  roots   Let    p    be  a  prime  and    c∈Zp       Def:          x∈Zp    s.t        xe  =  c    in  Zp          is  called  an    e’th  root      of  c       Examples:       71/3    =      6        in             31/2    =      5        in           21/2    does  not  exist  in       11/3  =      1          in             Dan  Boneh   The  easy  case   When  does      c1/e    in    Zp          exist?            Can  we  compute  it  efficiently?   The  easy  case:          suppose        gcd(  e  ,  p-­‐1  )  =  1    Then  for  all    c    in  (Zp)*:            c1/e      exists  in    Zp    and  is  easy  to  find   Proof:            let      d  =  e-­‐1    in    Zp-­‐1              Then   d⋅e  =  1  in  Zp-­‐1      ⇒   Dan  Boneh   The  case      e=2:      square  roots   If  p  is  an  odd  prime  then      gcd(  2,  p-­‐1)  ≠  1     Fact:        in                ,        x  ⟶  x2        is  a  2-­‐to-­‐1  funcBon   x   −x   x2     Example:      in                    :     10                                 Def:    x  in                is  a  quadraAc  residue  (Q.R.)  if  it  has  a  square  root  in    p  odd  prime    ⇒    the  #  of  Q.R  in              is      (p-­‐1)/2  +  1     Dan  Boneh   Euler’s  theorem   Thm:            x  in  (Zp)*  is  a  Q.R            ⟺                x(p-­‐1)/2  =  1    in  Zp                            (p  odd  prime)     Example:   in                      :          15,      25,      35,    45,    55,    65,    75,    85,    95,    105                  =                  1        -­‐1          1          1        1,      -­‐1,    -­‐1,    -­‐1,      1,        -­‐1               Note:        x≠0        ⇒        x(p-­‐1)/2    =     1/2   p-­‐1 (x ) =    11/2    ∈  {  1,  -­‐1  }          in      Z p   Def:        x(p-­‐1)/2      is  called  the  Legendre  Symbol  of  x  over  p        (1798)   Dan  Boneh   CompuBng  square  roots  mod  p   Suppose      p  =  3    (mod  4)     Lemma:        if        c∈(Zp)*      is    Q.R      then          √c    =      c(p+1)/4    in  Zp     Proof:       When      p  =  1  (mod  4),      can  also  be  done  efficiently,  but  a  bit  harder      run  Bme  ≈  O(log3  p)   Dan  Boneh   Solving  quadraBc  equaBons  mod  p   Solve:                  a⋅x2  +  b⋅x  +  c  =  0          in      Zp      SoluBon:            x  =        (-­‐b  ±  √b2  –  4⋅a⋅c      )    /      2a          in      Zp       •  Find        (2a)-­‐1  in  Zp      using  extended  Euclid                 •  Find  square  root  of        b2  –  4⋅a⋅c        in  Zp      (if  one  exists)    using  a  square  root  algorithm   Dan  Boneh   CompuBng  e’th  roots  mod  N    ??   Let    N    be  a  composite  number  and  e>1     When  does      c1/e    in    ZN          exist?            Can  we  compute  it  efficiently?       Answering  these  quesBons  requires  the  factorizaBon  of    N      (as  far  as  we  know)     Dan  Boneh   End  of  Segment   Dan  Boneh