Cac dang bai tap thi violympic toan lop 7 kho tài liệu bách khoa

Dạng 1: Dãy số mà số hạng cách Bµi 1: TÝnh B = + + + + 98 + 99 NhËn xÐt: NÕu häc sinh có sáng tạo thấy tổng: + + + + 98 + 99 tính hoàn toàn tơng tự nh 1, cặp số 51 50, (vì tổng thiếu số 100) ta viết tæng B nh sau: B = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thấy tổng ngoặc gồm 98 số hạng, chia thành cặp ta có 49 cặp nên tổng lµ: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, ®ã B = + 4949 = 4950 Lêi b×nh: Tỉng B gồm 99 số hạng, ta chia số hạng thành cặp (mỗi cặp có số hạng đợc 49 cặp d số hạng, cặp thứ 49 gồm số hạng nào? Số hạng d bao nhiêu?), đến học sinh bị vớng mắc Ta tính tổng B theo cách kh¸c nh sau: C¸ch 2: B = + + + + 97 + 98 + 99 + B = 99 + 98 + + + + 2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2B = 100.99 B ⇒ = 50.99 = 4950 Bµi 2: TÝnh C = + + + + 997 + 999 Lời giải: Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn 500 số lẻ nên tổng có 500 số lẻ áp dụng ta cã C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng có 250 cặp số) Cách 2: Ta thÊy: VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí = 2.1 = 2.2 = 2.3 99 = 2.50 1 1 Quan sát vế phải, thừa số thứ theo thø tù tõ trªn xng díi ta cã thể xác định đợc số số hạng dãy số C 500 số hạng áp dụng cách ta có: C = + + + 997 + 999 + C = 999 + 997 + + + 2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2C = ⇒ 1000.500 C = 1000.250 = 250.000 Bµi TÝnh D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998 NhËn xÐt: C¸c sè hạng tổng D số chẵn, áp dụng cách làm tập để tìm số số hạng tổng D nh sau: Ta thấy: 10 =2.4 +2 12 =2.5 +2 14 =2.6 +2 99 = 2.49 +2 8 Tơng tự trên: tõ 495 = 998 − 10 + đến 498 có 495 số nên ta có số số hạng D 495, mặt khác ta lại thấy: hay số số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách cộng thêm Khi ®ã ta cã: D = 10 + 12 + + 996 + 998 + D = 998 + 996 + + 12 + 10 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 2D = ⇒ 1008.495 D = 504.495 = 249480 D= (998 + 10)495 Thùc chÊt Qua c¸c ví dụ , ta rút cách tổng quát nh sau: Cho dãy số cách u 1, u2, u3, un (*), khoảng cách hai số hạng liên tiếp dãy d, Khi số số hạng n = un u1 + d cđa d·y (*) lµ: (1) Sn = n(u1 + un ) Tổng số hạng dãy (*) (2) Đặc biệt từ công thức (1) ta tính đợc số hạng thứ n dãy (*) lµ: un = u1 + (n - 1)d = n(n + 1) Hc u1 = d = th× S1 = + + + + n Bµi TÝnh E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10 Lêi gi¶i Ta đa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế víi 100, ®ã ta cã: 100E = 1011 ⇒ + = (1011 + 9899).98 + 9910 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + + 9899) + 9910 = 485495 + 9910 = 495405 E = 4954,05 (Ghi chó: Vì số (9899 1011) + = 98 số hạng dãy ) 101 Bài Phân tích số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp Lời giải Gọi a số tự nhiên chẵn, ta có tổng 2004 số tự nhiên ch½n VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biu mu phớ liên tiếp là: S = a + (a + 2)  a + (a + 4006)  ⇔ 2004 = (a + 2003).2004    + + (a + 4006) = Khi ®ã ta cã: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004 VËy ta cã: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 NhËn xÐt: Sau gi¶i toán dạng ta không thấy có vớng mắc lớn, toàn toán mà học sinh không gặp khó khăn tiếp thu Tuy nhiên sở để từ tiếp tục nghiên cứu dạng toán mức độ cao hơn, phức tạp mét chót VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp lut, biu mu phớ Dạng 2: Dãy số mà số hạng không cách Bài Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) Lời giải Ta thấy số hạng tổng tích hai số tự nhên liên tiÕp, ®ã: Gäi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 ⇒ 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 ⇒ 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 ⇒ 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 ………………… an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n ⇒ - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n 2)(n - 1)n an = n(n + 1) 3an = 3n(n ⇒ + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n 1)n(n + 1) Cộng vế đẳng thøc trªn ta cã: 3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ (n ++1)( n++n(2) n + 1) ] [ 1.2 +n2.3 = n(n + 1)(n + 2) A = C¸ch 2: Ta cã 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) ⇒ n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + n(n + 1)( 1)(n + 2) A = * Tỉng qu¸t ho¸ ta cã: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong ®ã k = 1; 2; 3; … Ta dễ dàng chứng minh công thức nh sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bµi TÝnh B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) Lêi gi¶i VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ¸p dơng tÝnh kÕ thõa cđa bµi ta cã: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) B= Bµi TÝnh C = 1.4 + 2.5 (n − 1)n(n⇒ + 1)(n + 2) + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3) Lêi gi¶i Ta thÊy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) …… n(n + 3) = n(n + 1) + 2n VËy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n = 1.2 + +2.3 + + 3.4 + + … + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + + + … + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + + + … + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + + + … + 2n) = ⇒ n(3(2 nn++n2) 1)( + n2)3(2 +n5)n + 2)n = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)( + +C= = 23 Bµi TÝnh D = 12 + 22 + 32 + … + n2 NhËn xÐt: C¸c sè hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, tích hai số tự nhiên giống Do ta chuyển dạng tập 1: Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 2) + … + + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + + + + n) Mặt khác theo bµi tËp ta cã: ⇒+n1) n1)( n++2) 1) A = vµ + + + … + n nn((nnn++(1)(2 = + 22 + + … + n2 = 623 =- = Bµi TÝnh E = 13 + 23 + 33 + … + n3 Lời giải Tơng tự toán trên, xuất phát từ toán 2, ta đa tổng B tæng E: Ta cã: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 1).3.(3 + 1) + … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) = = (23 + 33 + … + n3) - (2 + + … + n) = (1 + 23 + 33 + … + n3) - (1 + + + … + n) = (1 + n(n⇒+ 1) 23 + 33 + … + n3) 1) n + 2) (13 + 23 + 33 + … + (n − 1)n(n + 1)( 42 n3) = B + Mà ta biết B = E = 13 + 23 + 33 + … + n3 = =+ = C¸ch 2: Ta cã: ⇒ (n − 1) 1)( 1)n2 + 2)  nn((nn ++1)  224  A = 13 = 12 A2 = 13 + 23 = = (1 + 2)2 A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + + 3)2 Gi¶ sư cã: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + + + … + k) (1) Ta chøng minh: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 (2) ThËt vËy, ta ®· biÕt: + + k (k⇒+ 1) + … + k = VnDoc - Tải tài 2liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Ak = []2 (1') Céng vµo k (k + 1) hai vÕ cđa (1') víi (k + 1)3 ta cã: Ak + (k + 1)3 = []2 + (k + k (k⇔+ 1) 1)3 Ak+1 = []2 + (k + 1)3 2  (k + 1)( k + 2) = Vậy tổng với Ak+1, tức ta có: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 = = (1 + + + … + n)2 =  (k + 1)( k + 2)  = VËy ®ã ta cã:   E = 13 + 23 + 33 + … + n3  n(n + 1)  Lời bình: - Với tập ta áp dụng kiến thức quy nạp Toán học - Bài tập dạng tập tổng số hạng cấp số nhân (lớp 11) nhng giải đợc phạm vi cấp THCS Bài (Trang 23 SGK To¸n tËp 1) BiÕt r»ng 12 + 22 + 32 ++ 102 = 385, đố em tính nhanh đợc tæng S = 22 + 42 + 62 + … + 202 Lêi gi¶i Ta cã: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2 = = 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = (12 + 22 + 32 + … + 102) = 4.385 = 1540 Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 th× ta cã: S = 4.P Do đó, cho S ta tính đợc P ngợc lại Tổng quát hóa ta có: P = 12 + 22 + 32 +…+ n(n + 1)(2n + 1) n2 = (theo kết trên) Khi ®ã S = 22 + 42 + 62 + + (2n)2 đợc tính tơng tự nh trªn, ta cã: VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí S = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) = 24n(n + 1)(2n + 1) 63 = = Cß  n(n + 1)  8.n (n + 1) ×  = n: P = 13 + 23 + 33 + … + n3 = Ta tÝnh S =   + 43 + 63 +…+ (2n)3 nh sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + … + n3) lóc nµy S = 8P, VËy ta cã: S = + 43 + 63 ++ (2n)3 = áp dụng kết trên, ta cã bµi tËp sau: Bµi a) TÝnh A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 b) TÝnh B = 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 Lời giải a)Theo kết trên, ta cã: 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 = 2n(2n + 1)(4n + 1) n(2n + 1)(4 n + 1) = = Mµ ta thÊy: 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 - [23 + 43 + 63 +…+ (2n)2] = 2nn(22(nn 2+(2 1)(2 1)(4 n +n1)+ 1) = -= b) Ta cã: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 - [23 + 43 + 63 ++ (2n)3] áp dụng kết tËp trªn ta cã: 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2 VËy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = = 2n4 - n2 Ngày dạy: 20/9/2009 VnDoc - Ti ti liu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  n( n + 1)  = 2n (n + 1) Một số tập dạng khác Bài Tính S1 = + + 22 + 23 + + 263 Lời giải Cách 1: Ta thÊy: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 (1) 2S1 = + 22 + 23 + … + ⇒ 263 + 264 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: 2S1 - S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + + 2 + 23 + … + 263) = 264 - Hay S1 = 264 - C¸ch 2: Ta cã: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 = + 2(1 + + 22 + 23 + … + 262) (1) = + 2(S1 - 263) = ⇒ + 2S1 - 264 S1 = 264 - Bµi Tính giá trị biểu thức S = +3 + + 33 + … + 32000 (1) Lời giải: Cách 1: áp dụng cách làm bµi 1: Ta cã: 3S = + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta đợc: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000) ⇒− 32001 Cách 2: Tơng tự nh cách 2 trên: Hay: 2S = 32001 - S = Ta cã: S = + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001 2S = 32001 - S = *) Tỉng qu¸t ho¸ ta cã: ⇒− 32001 Sn = + q + q2 + q3 + … + qn (1) Khi ta có: Cách 1: phớ qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1 (2) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu +1 Trõ tõng vÕ cña (2) cho q n⇒ − (1) ta cã: (q - 1)S = qn+1 - S q −1 = C¸ch 2: Sn = + q(1 + q + q2 + q3 + … + qn-1) = + q(Sn - qn ) = + qS n - ⇒ qn+1 qSn - Sn = qn+1 - hay: Sn(q 1) = qn+1 - +1 q n⇒ −1 Bµi Cho A = + + 2 + 23 q − + … + 29; B = 5.28 H·y so sánh S= A B Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + + + + + + + 1).26 = + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + (V× 26 = 2.25) VËy rõ ràng ta thấy B > A Cách 2: áp dụng cách làm tập ta thấy đơn giản hơn, thật vậy: A = + + 2 + 23 + … + (1) 2A = + 22 + 23 + … + 29 + 210 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: 2A - A = (2 + 2 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + + 22 + 23 + … + 29) = 210 - hay A = 210 - Cßn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 VËy B > A * Ta tìm đợc giá trị biểu thức A, từ học sinh so sánh đợc A với B mà không gặp khó khăn Bài Tính giá trị biểu thức S = + 2.6 + 3.6 + 4.63 + … + 100.699 (1) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 6S = + 2.6 + 3.63 + … + 99.699 + Ta cã: 100.6100 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta đợc: 5S = - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 100.699) + + 100.6100 - = 100.6100 - - (6 + 62 + 63 + + 699) (*) Đặt S' = + 62 + 63 + … + ⇒ 699 6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100 S' = thay vµo (*) ta cã: 5S 499.6 6100⇒100 − 6+ = 100.6100 - - = ⇒100 + S= 499.6 25 Bµi Ngêi ta viÕt d·y sè: 1; 2; 3; Hái chữ số thứ 673 chữ số nào? Lời giải Ta thÊy: Tõ ®Õn 99 cã: + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu ta thiếu số chữ số dãy là: 673 - 189 = 484 ch÷ sè, nh vËy ch÷ sè thø 673 phải nằm dãy số có chữ số VËy ta xÐt tiÕp: Tõ 100 ®Õn 260 cã: 3.161 = 483 chữ số Nh từ đến 260 ®· cã: 189 + 483 = 672 ch÷ sè, theo đầu chữ số thứ 673 chữ sè cđa sè 261 Mét sè bµi tËp tù gi¶i: TÝnh: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + (n - 2) … (n + 1) TÝnh: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n(n + 1)(n + 3) TÝnh: C = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2 TÝnh: D = 14 + 24 + 34 + + n4 TÝnh: E = + 74 + 77 + 710 + … + 73001 TÝnh: F = + 83 + 85 + … + 8801 TÝnh: G = + 99 + 999 + … + 99 … (ch÷ sè cuèi gåm 190 ch÷ sè 9) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí TÝnh: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n! Cho d·y sè: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 2007 chữ số nào? ***************************************************** VnDoc - Ti ti liu, bn phỏp lut, biu mu phớ thể loại toán phân số: 1 1 Bài Tính giá trị + + + + 1.2 2.3 3.4 (n − 1).n biĨu thøc A = Lêi gi¶i Ta cã: A = sau  −  +  −  + +  −   ÷  ÷  ÷  n −1 n  bá dÊu ngc ta     cã: 1− n −1 = n n A= NhËn xÐt: Ta thấy giá trị tử không thay đổi chúng m 1 = b(b + m) b b + m b»ng hiÖu hai thõa sè mẫu Mỗi số hạng có dạng: (Hiệu hai thừa số mẫu giá trị tử phân số viết đợc dới dạng hiệu hai phân số khác với mẫu tơng ứng) Nên ta có tổng với đặc điểm: số hạng liên tiếp đối (số trừ nhóm trớc số bị trừ nhóm sau liên tiếp), nh số hạng tổng đợc khử liên tiếp, đến tổng số hạng đầu số hạng cuối, lúc ta thực phép tính đơn giản Bài Tính giá trị + + + + 3.7 7.11 11.15 95.99 biÓu thøc B = dông B = vËn  + + + +   ÷ 95.99  cách làm 3.7 7.11 11.15 phần nhận xét, ta cã: - = (®óng b»ng tư) nªn ta cã: B== 1   1 11 − 11 = 132  − + − + 99− 99+ + − ÷ 11 15 952 99 Bài Tính giá trị  77 711 7 + + + + 2.9 9.16 16.23 65.72 cđa biĨu thøc C = 1 = − 2.9 NhËn xÐt: Ta thÊy: - = ≠ 72 tử nên ta áp dụng cách làm (ở tử chứa 2), nÕu gi÷ VnDoc - Tải tài liệu, văn phỏp lut, biu mu phớ nguyên phân số ta tách đợc thành hiệu phân số khác để rút gọn tổng đợc Mặt khác ta thấy: , để giải đợc vấn đề ta phải đặt làm thừa số chung dấu ngoặc, thực bên ngoặc đơn giản Vậy ta biến đổi: C== = 71     17 71 7  7.− + + − + − + + + + −÷ ÷ 9 9.16 16 16 16.2323 65.72 65 72    2.9 35 29 1   − ÷ = = 72 72 72 = Bài Tính giá trị cña + + + + 1.3 3.5 5.7 49.51 biĨu thøc D = Lêi gi¶i Ta l¹i thÊy: - = ≠ tử phân số tổng nên cách ta đa đa vµo thay thÕ Ta cã: D = = 23  23 23 23 23  + + + +  ÷  12  11.3  3.5 11  15.73150 49.51 251    − + − +÷ = − g + =+ − ÷  32  13 51  2751 1749 51  == Bµi + + + + + Tính giá trị biểu thức E = 91 247 475 775 1147 Lêi gi¶i Ta thÊy: = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37 Tơng tự tập ta có: 11 61 161 1 611  116 361 61   E = =  + + +ì+ ữ+= ì +=+ −+ + ÷− ÷  67 1.77 7.13 136 13 37 19  19 19.25 37 25 25.31 37 25 31 31.37 31 37   13.19 == Bài (Đề thi chọn HSG Toán - TX Hà Đông - Hà Tây - Năm học 2002 - 2003) So s¸nh: A = + + + 60.63 63.66 B= Lời giải 2 + 117.120 2003 5 5 + + + + 40.44 44.48 76.80 2003 2 3  + + +  ÷+ 60.63 63.66 117.120 2003 Lại áp dụng cách VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mu phớ làm ta có: A= =  12  11  21 1 2  − −+ −÷+ + += ì + ữ+ 60  60 63 120 63  662003 117 1202002003 2003 == = = Tơng tự cách làm ta cã: + 180 2003 5 1  5 5 B= = × + = +  − ÷+  40 80  2003 80 2003 64 2003  4  2 + + = + ữ= Ta lại có: 2A = Từ ta thấy  180 2003  180 2003 90 2003 B > 2A hiển nhiên B > A Bài (Đề thi chọn HSG Toán năm học 1985 - 1986) So sánh hai biểu thức A B: 1   A= 124  + + + + ÷ 16.2000   1.1985 2.1986 3.1987 1 + + + + 1.17 2.18 3.19 1984.2000 B= Lêi gi¶i 124  1 1 1  Ta cã: A = = 1 − + − + − + + − ÷ 1984  1985 1986 1987 16 2000   1  1  1 + + + ÷−  + + + ÷ 16  16   1985 1986 2000   = = = Cßn B = = = 1  1 1 1  11 1    1 +1 −+ ++ − ÷−+ + + +− + ÷ ÷ 16 17 118 117 1984 18 2000 2000 16  1984 1  1   1   1   1 + + + ÷+  + + + − − − − + + ÷−  ÷ 16 1  16 1  17 118 1984   1985 2000   1984 171 18     + + +  + + + ÷−  ÷ 16  16   1985 1986 2000   VËy A = B ************************************************ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biu mu phớ thể loại toán phân số (tiÕp) ∈ 1 1 + + + + < Bµi Chøng tá r»ng: 13 25 n + ( n + 1) với n N Lời giải Ta áp dụng cách làm tập trên, mà ta thấy: với: ta phải so sánh: < ; < 122 ; < 2 2.4 13 n2n+(2(4.6 nn ++1) 1)25 6.8 11 1 ThËt vËy:= cßn =2 = 22 = 2 2n(2nn + 2) (n n+ 1)n+(2(nn+2+1) n2)+ 22nn+ 1+ 2n ∀12n ∈ N nªn hiĨn nhiªn < 1 1 2 2 (nn++1)1)2 VËy ta n 2+n(2 + + + + < + + + + 13 25 2.4 4.6 6.8 2n(2n + 2) cã: n + ( n + 1) Mà: nên: 1 1 1 1 = − ; = − ; = − = − 2 2 2.4 4114.61 41 61 6.8 81 2n(2n + 2) n 2n + + + + + − = −