Đề thi HSG To9 (08-09)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TOÀN HUYỆN HUYỆN ĐẠI LỘC NĂM HỌC 2008-2009 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút Đề chính thức Bài 1(2.0đ): a/ Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : a 2 + b 2 + c 2 = (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 và ab + bc + ca = 9 Tính (a + b + c) 2 rồi suy ra a + b + c . b/ Cho x, y là các số thực sao cho 1 x y + và 1 y x + là các số nguyên. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 1 x y x y + là số nguyên. Bài 2(2.0đ): a/ Cho biểu thức : A = 2 3 2 3 − − + . Tính A 2 và A 2− b/ Tìm x, biết : 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x + + + + + = − − Bài 3(2.5đ): Cho hàm số 2 1y x= + có đồ thị (d). a/ Đơn giản hàm số (bỏ dấu và dấu ) b/ Vẽ đồ thị (d) của hàm số tìm được ở câu (a) Bài 4(1.0đ): Cho tam giác ABC có µ µ 0 90C B − = và AH là đường cao của tam giác. Chứng minh rằng : AH 2 = BH.CH. Bài 5(2.5đ): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm trên nửa đường tròn đó (M khác A và B). Tiếp tuyến với đường tròn O tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn lần lượt tại C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC . a/ Chứng minh MN // AC b/ Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM. Khi dó ứng với vị trí nào của M. Họ và tên thí sinh : ……………………………………………………………… Số báo danh : …………. Phòng …………………………………………………. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TOÀN HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 Bài Câu Các bước giải Điểm đạt B1 2.0 a 1đ a 2 + b 2 + c 2 = (a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2  a 2 + b 2 + c 2 = a 2 – 2ab + b 2 + b 2 – 2bc + c 2 + c 2 – 2ca + a 2  a 2 + b 2 + c 2 = 2ab + 2bc + 2ca (*) Mà (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 4ab + 4bc + 4ca (từ *) = 4(a + b + c) = 4.9 =36 Suy ra a + b + c = 6 vì a, b, c dương 0.25 0.25 0.25 0.25 b 1đ 1 1 à y + x x v y + là các số nguyên nên tích cũng là số nguyên : 1 1 1 2x y xy y x xy     + + = + +  ÷  ÷     => 1 xy xy + là số nguyên => 2 1 xy xy   +  ÷   là số nguyên Mà x 2 y 2 + 2 2 1 x y = 2 1 2xy xy   + −  ÷   là số nguyên Vậy x 2 y 2 + 2 2 1 x y là số nguyên 0.25 0.25 0.25 0.25 B2 2.0 a 1đ A 2 = ( ) 2 2 3 2 3 − − + = 2 3− ( ) ( ) 2 2 3 2 3− − + + 2 + 3 = 4 – 2 4 3− = 2 Vậy A 2 = 2 Suy ra : A = 2− Vì A = 2 3 2 3 − − + < 0 Do đó A 2− = 2− 2− = 2 2− 0.25 0.25 0.25 0.25 b 1.0 Ta có 2 2 3 6 7 5 10 14x x x x+ + + + + = ( ) ( ) 2 2 3 1 4 5 1 9x x+ + + + + 4 9≥ + = 2 + 3 = 5 0.25 và 2 4 2x x− − = ( ) 2 5 1x− + 5 ≤ do đó 2 2 3 6 7 5 10 14x x x x+ + + + + = 2 4 2x x− −  ( ) ( ) 2 2 3 1 4 5 1 9x x+ + + + + = ( ) 2 5 1x− + = 5  ( ) 2 1 0x + =  1x = − 0.25 0.25 0.25 B3 2.5 a 1đ Ta có 2 1y x = + = 1x + 1 1 x y x +  =  − +  0 0 khi x khi x ≥ < 0.25 0.5 0.25 b 1.5 Ta có y ≥ 1 với mọi x ∈ R y + Với x < 0 đồ thị là 1 phần đường (1) (2) thẳng y = -x +1 (1) + Với x ≥ 0 đồ thị là 1 phần đường 1 thẳng y = x + 1 (2) o x 0.25 0.25 0.25 Vẽ: 0.75 B4 1.0 Ta có · µ · BCA H CAH= + A => · · 0 90CAH BCA= − => · µ CAH B= Do đó AHC BHA ∆ ∆ : (g-g) AH CH BH AH = B C H Suy ra AH 2 = BH.CH 0.25 0.25 0.25 0.25 B5 2.5 a 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 Ax//By (cùng Vg góc AB) Nên ANC DNB ∆ ∆ : Ta có : AN AC DN BD = (1) Mà AC = CM; BD=DM (2 ) (1)&(2) AN CM DN DM = (3) (3) chứng tỏ AC//MN (đ/lý đảo của đ/lý Thales) H b 1.5 AC//MN => MN AB⊥ tại H Ta có ABDC là hình thang vuông nên CD ≥ AB S ABDC = ( ) 1 . 2 AC BD AB+ = ( ) 1 .2 2 CM MD R+ 2 . 2 . 2CD R R R R= ≥ = (*) S AMB = 1 . . 2 AB MH R MH= ≤ R.R = R 2 (**) (do MH ≤ MO) (*) và (**) Suy ra : S ABDC – S AMB ≥ R 2 Hay S ACM + S BDM ≥ R 2 . GTNN là R 2 Dấu “=” xảy ra  CD=AB (ABDC là HCN) & H ≡ O  M là điểm chính giữa của nửa đ.tròn O 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa. Điểm toàn bài không làm tròn số. . GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TOÀN HUYỆN HUYỆN ĐẠI LỘC NĂM HỌC 2008-2009 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút Đề chính thức Bài 1(2.0đ):. danh : …………. Phòng …………………………………………………. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TOÀN HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 Bài Câu Các bước giải Điểm