Statistics for Business and Economics chapter 22

Chapter 22 Sample Survey Learning Objectives Learn what a sample survey is and how it differs from an experiment as a method of collecting data Know about the methods of data collection for a survey Know the difference between sampling and nonsampling error Learn about four sample designs: (1) simple random sampling, (2) stratified simple random  sampling, (3) cluster sampling, and (4) systematic sampling Lean how to estimate a population mean, a population total, and a population proportion using the  above sample designs Understand the relationship between sample size and precision Learn how to choose the appropriate sample size using stratified and simple random sampling Learn how to allocate the total sample to the various strata using stratified simple random sampling 22 ­ 1 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Chapter 22 Solutions: a x  = 215 is an estimate of the population mean b sx  c 215    2(2.7386)  or  209.5228 to 220.4772 a Estimate of population total  =  N x   =  400(75)  =  30,000 b Estimate of Standard Error  =   Ns x 20 50 800  50 2.7386 800   400  80 Nsx 400  320  400  80  c 30,000    2(320)  or  29,360 to 30,640 a p = .30 is an estimate of the population proportion b  1000  100   (.3)(.7)  sp     .0437  1000   99  c .30    2(.0437)  or  .2126 to .3874 B = 15 n (70) 4900  72.9830 2 (15) (70) 67.1389  450 A sample size of 73 will provide an approximate 95% confidence interval of width 30 a x = 149,670 and s = 73,420 sx  771  50  73, 420    10, 040.83 771  50  approximate 95% confidence interval 149,670    2(10,040.83) or $129,588.34 to $169,751.66 b � X = N x = 771(149,670) = 115,395,570 22 ­ 2 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Sample Survey sx$ = N sx = 771(10,040.83) = 7,741,479.93 approximate 95% confidence interval 115,395,570  2(7,741,479.93) or $99,912,610.14 to $130,878,529.86 c 771  50   (.36)(.64)  p =  18/50  =  0.36  and   s p     .0663 49  771    approximate 95% confidence interval 0.36    2(0.0663) or 0.2274 to 0.4926 This is a rather large interval; sample sizes must be rather large to obtain tight confidence intervals  on a population proportion B  =  5000/2  =  2500  Use the value of s for the previous year in the formula to determine the  necessary sample size n (31.3) 979.69  336.0051 (2.5)2 (31.3) 2.9157  724 A sample size of 337 will provide an approximate 95% confidence interval of width no larger than  $5000 a Stratum 1: = 138 Stratum 2:   x2 = 103 Stratum 3:   x3 = 210 b Stratum 1 x1 = 138  30  200  20 sx1  6.3640  200  20  138    2(6.3640) or 125.272 to 150.728 22 ­ 3 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Chapter 22 Stratum 2 x2 = 103  25  250  30 sx2  4.2817  250  30  103    2(4.2817) or 94.4366 to 111.5634 Stratum 3 x3 = 210  50  100  25 sx3  8.6603  100  25  210    2(8.6603) or 192.6794 to 227.3206 c  200   250   100  xst   138   550  103   550  210 550            =  50.1818 + 46.8182  + 38.1818      =  135.1818  sxst    (550)  (30) (25) (50)  200(180)  250(220)  100(75)    20 30 25              (550)   3,515,833.3 3.4092  approximate 95% confidence interval 135.1818    2(3.4092) or 128.3634 to 142.0002 a Stratum 1:   N1 x1   =  200(138)  =  27,600 22 ­ 4 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Sample Survey Stratum 2:  N x2   =  250(103)  =  25,750 Stratum 3:  N x3   =  100(210)  =  21,000 b N xst   =  27,600 + 25,750 + 21,000  =  74,350 Note: the sum of the estimate for each stratum total equals  N xst c sxst =  550(3.4092)  =  1875.06  (see 7c) approximate 95% confidence interval 74,350    2(1875.06) or 70,599.88 to 78,100.12 a Stratum 1 p1 = .50  200  20   (.50)(.50)  s p1     .1088 19  200    50    2(.1088) or 2824 to .7176 Stratum 2 p2 =  .78  250  30   (.78)(.22)  s p2     .0722 29  250    78    2(.0722) or 6356 to .9244 Stratum 3 p3 =  .21  100  25   (.21)(.79)  s p3     .0720 24  100    21    2(.0720) 22 ­ 5 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Chapter 22 or 066 to .354 200 250 100 (.50)  (.78)  (.21) .5745 550 550 550 b pst  c  s pst    (550)  (.5)(.5) (.78)(.22) (.21)(.79)   250(220)  100(75)   200(180)  19 29 24              (550)   (473.6842  325.4483  51.8438) .0530  d      approximate 95% confidence interval 5745    2(.0530) or 4685 to .6805 10 a n  300(150)  600(75)  500(100)  (20)  2 (1400)    300(150)  600(75)  500(100)    (140, 000)  92.8359 196, 000, 000  15,125, 000 Rounding up we choose a total sample of 93  300(150)  n1 93   30  140, 000   600(75)  n2 93   30  140, 000   500(100)  n3 93   33  140, 000  b With B = 10, the first term in the denominator in the formula for n changes n (140, 000) (140, 000)  305.6530 49, 000, 000  15,125, 000  (10)  (1400)    15,125, 000   Rounding up, we see that a sample size of 306 is needed to provide this level of precision  300(150)  n1 306   98  140, 000   600(75)  n2 306   98  140, 000  22 ­ 6 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Sample Survey  500(100)  n3 306   109  140,000  Due to rounding, the total of the allocations to each strata only add to  305.  Note that even though  the sample size is larger, the proportion allocated to each stratum has not changed c n (140, 000) (140, 000)  274.6060 (15, 000) 56, 250, 000  15,125, 000  15,125, 000 Rounding up, we see that a sample size of 275 will provide the desired level of precision The allocations to the strata are in the same proportion as for parts a and b  300(150)  n1 275   98  140, 000   600(75)  n2 275   88  140, 000   500(100)  n3 275   98  140, 000  Again, due to rounding, the stratum  allocations do not add to the total sample size.  Another item  could be sampled from, say, stratum 3 if desired 11 a b x1  =  29.5333 x2  =  64.775 x3  =  45.2125 x4  =  53.0300 Indianapolis  13.3603  38  29.533 2   38   29.533   10.9086(.9177) or 19.5222 to  39.5438 Louisville  25.0666  45  64.775 2   45   64.775    17.7248(.9068) or 48.7022 to 80.8478 St. Louis 22 ­ 7 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Chapter 22  19.4084  80  45.2125 2   80   45.2125    (13.7238) (.9487) or 32.1927 to 58.2323 Memphis  29.6810  70  10 53.0300 2   70 10   53.0300    18.7719(.9258) or 35.6510 to 70.4090 c  38     45     80     70    pst              .4269  233     233     233     233   10  d       p (1  p1 ) N1 ( N1  n1 ) 38(32)     33.7778 n1        p (1  p2 ) N ( N  n2 ) 45(37)     55.7478 n2        p (1  p3 ) N ( N  n3 ) 80(72)     192.8571 n3      10   10  p (1  p4 ) N ( N  n4 ) 70(60)     116.6667 n4    s pst   33.7778  55.7478  192.8571  116.6667   (399.0494) .0857  (233)  (233)  approximate 95% confidence interval 4269    2(.0857) or 2555 to .5983 12 a St. Louis total =  N1 x1   =  80 (45.2125)  =  3617 In dollars: $3,617,000 22 ­ 8 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Sample Survey b Indianapolis total =  N1 x1   =  38 (29.5333)  =  1122.2654 In dollars: $1,122,265 c  38   45   80   70  xst  29.5333   64.775   45.2125       53.0300 48.7821  233   233   233   233  N1 ( N1  n1 ) s12 (13.3603) 38(32) 36,175.517 n1 N ( N  n2 ) s22 (25.0666) 45(37) 130, 772.1 n2 N ( N  n3 ) s32 (19.4084) 80(72) 271, 213.91 n3 N ( N  n4 ) s42 (29.6810) 70(60) 370, 003.94 n4 10   sxst   36,175.517  130, 772.1  271, 213.91  370, 003.94   (233)        (808,165.47) 3.8583 (233)2 approximate 95% confidence interval xst 2sxst 48.7821    2(3.8583) or 41.0655 to 56.4987 In dollars: $41,066 to $56,499 d approximate 95% confidence interval Nxst 2 Nsxst 233(48.7821)    2(233)(3.8583) 11,366.229    1797.9678 or 9,568.2612 to 13,164.197 In dollars: $9,568,261 to $13,164,197 22 ­ 9 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Chapter 22 n 13  50(80)  38(150)  35(45)  (30)2  2 (123)     50(80)  38(150)  35(45)     (11, 275) 27.3394 3, 404, 025  1, 245,875 Rounding up we see that a sample size of 28 is necessary to obtain the desired precision  50(80)  n1 28   10  11, 275   38(150)  n2 28   14  11, 275   35(45)  n3 28   4  11, 275  b n  50(100)  38(100)  35(100)  (30)  2 (123)    50(100)  38(100)  35(100)      123(100) 3, 404, 025  123(100) 33  50(100)  n1 33   13  12,300   38(100)  n2 33   10  12,300   35(100)  n3 33   9  12,300  This is the same as proportional allocation .  Note that for each stratum N  nh n  h   N  14 a xc   xi 750  15  Mi 50 � X M xc   =  300(15)  =  4500 pc  b  15  .30  M i 50  ( xi  xc M i ) =  [ 95 ­ 15 (7) ]2 + [ 325 ­ 15 (18) ]2 + [ 190 ­ 15 (15) ]2 + [ 140 ­ 15 (10)]2 =  (­10)2 + (55)2 + (­35)2 + (­10)2 =  4450 22 ­ 10 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Sample Survey  25  sxc    (25)(4)(12)   4450    1.4708   s X� Ms xc = 300(1.4708) = 441.24  (ai  pc M i )      =  [ 1 ­ .3 (7) ]2 + [ 6 ­ .3 (18) ]2 + [ 6 ­ .3 (15) ]2 + [2 ­ .3 (10) ]2 = (­1.1)2 + (.6)2 + (1.5)2 + (­1)2 = 4.82  25    4.82  s pc    .0484  (25)(4)(12)    c approximate 95% confidence Interval for Population Mean: 15    2(1.4708) or 12.0584 to 17.9416 d approximate 95% confidence Interval for Population Total: 4500    2(441.24) or 3617.52 to 5382.48 e approximate 95% confidence Interval for Population Proportion: 30    2(.0484) or 2032 to .3968 15 a 10,400 xc  80 130 � X M xc   =  600(80)  =  48,000 13 pc  .10 130 b  ( xi  xc M i )     =  [ 3500 ­ 80 (35) ]2 + [ 965 ­ 80 (15) ]2 + [ 960 ­ 80 (12) ]2  + [ 2070 ­ 80 (23) ]2 + [ 1100 ­ 80 (20) ]2 + [ 1805 ­ 80 (25) ]2 =  (700)2 + (­235)2 + (0)2 + (230)2 + (­500)2 + (­195)2 =  886,150 22 ­ 11 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Chapter 22  30  sxc    (30)(6)(20)   886,150    7.6861   approximate 95% confidence Interval for Population Mean: c 80    2(7.6861) or 64.6278 to 95.3722 s �X = 600(7.6861) = 4611.66  approximate 95% confidence Interval for Population Total: 48,000    2(4611.66) or 38,776.68 to 57,223.32 d  (ai  pc M i ) =  [ 3 ­ .1 (35) ]2 + [ 0 ­ .1 (15) ]2 + [ 1 ­ .1 (12) ]2 + [4 ­ .1 (23) ]2       + [ 3 ­ .1 (20) ]2 + [ 2 ­ .1 (25) ]2 = (­.5)2 + (­1.5)2 + (­.2)2 + (1.7)2 + (1)2 + (­.5)2 = 6.68    6.68  30  s pc    .0211   (30)(6)(20)    approximate 95% confidence Interval for Population Proportion: 10    2(.0211) or 0578 to .1422 16 a xc  2000 40 50 Estimate of mean age of mechanical engineers: 40 years b pc  35 .70 50 Estimate of proportion attending local university: .70 c  ( xi  xc M i ) =  [ 520 ­ 40 (12) ]2 + ∙ ∙ ∙  + [ 462 ­ 40 (13) ]2  =  (40)2 + (­7)2 + (­10)2 + (­11)2 + (30)2 + (9)2 + (22)2 + (8)2 + (­23)2        + (­58)2 =  7292 22 ­ 12 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Sample Survey  120  10 sxc    (120)(10)(50 /12)   7292    2.0683   approximate 95% confidence Interval for Mean age: 40    2(2.0683) or 35.8634 to 44.1366 d  (ai  pc M i )      =  [ 8 ­ .7 (12) ]2 + ∙ ∙ ∙  + [ 12 ­ .7 (13) ]2 = (­.4)2 + (­.7)2 + (­.4)2 + (.3)2 + (­1.2)2 + (­.1)2 + (­1.4)2 + (.3)2        + (.7)2 + (2.9)2 = 13.3    13.3  120  10 s pc    .0883  (120)(10)(50 /12)    approximate 95% confidence Interval for Proportion Attending Local University: 70    2(.0883) or 5234 to .8766 17 a 17(37)  35(32)   57(44) 11, 240 xc   36.9737 17  35  57 304 Estimate of mean age: 36.9737 years b Proportion of College Graduates:  128 / 304  =  .4211 Proportion of Males: 112 / 304  =  .3684 c  ( xi  xc M i )   =  [ 17 (37) ­ (36.9737) (17) ]2 + ∙ ∙ ∙  + [ 57 (44) ­ (36.9737) (44) ]2  =  (.4471)2 + (­174.0795)2 + (­25.3162)2 + (­460.2642)2 + (173.1309)2       + (180.3156)2  + (­94.7376)2 + (400.4991)2 =  474,650.68  150  sxc    (150)(8)(40)   474, 650.68    2.2394   approximate 95% confidence Interval for Mean Age of Agents: 22 ­ 13 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Chapter 22 36.9737    2(2.2394) or 32.4949 to 41.4525 d  (ai  pc M i )      =  [ 3 ­ .4211 (17) ]2 + ∙ ∙ ∙  + [ 25 ­ .4211 (57) ]2 = (­4.1587)2 + (­.7385)2 + (­2.9486)2 + (10.2074)2 + (­.1073)2 + (­3.0532)2      + (­.2128)2 + (.9973)2  = 141.0989  150  s pc    (150)(8)(40)   141.0989    .0386   approximate 95% confidence Interval for Proportion of Agents that are College Graduates: 4211    2(.0386) or 3439 to .4983 e  (ai  pc M i )      =  [ 4 ­ .3684 (17) ]2 + ∙ ∙ ∙  + [ 26 ­ .3684 (57) ]2 = (­2.2628)2 + (­.8940)2 + (­2.5784)2 + (3.6856)2 + (­3.8412)2 + (1.5792)2      + (­.6832)2 + (5.0012)2  = 68.8787  150  s pc    (150)(8)(40)   68.8787    .0270   approximate 95% confidence Interval for Proportion of Agents that are Male: 3684    2(.0270) or 3144 to .4224 18 a p  =  0.19 sp  (0.19)(0.81) 0.0206 363 Approximate 95% Confidence Interval: 0.19    2(0.0206) or 0.1488 to 0.2312 b p =  0.31 22 ­ 14 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Sample Survey sp  (0.31)(0.69) 0.0243 363 Approximate 95% Confidence Interval: 0.31    2(0.0243) or 0.2615 to 0.3585 c p =  0.17 sp  (0.17)(0.83) 0.0197 373 Approximate 95% Confidence Interval: 0.17    2(0.0197) or 0.1306 to 0.2094 d The largest standard error is when  p  =  .50 At  p   =  .50, we get sp  (0.5)(0.5) 0.0262 363 Multiplying by 2, we get a bound of B = 2(.0262) = 0.0525 For a sample of 363, then, they know that in the worst case ( p = 0.50), the bound will be  approximately 5% e If the poll was conducted by calling people at home during the day the sample results would only be  representative of adults not working outside the home.  It is likely that the Louis Harris organization  took precautions against this and other possible sources of bias 19 a Assume (N ­ n) / N   1 p =  .55 sp  b (0.55)(0.45) 0.0222 504 p =  .31 sp  (0.31)(0.69) 0.0206 504 22 ­ 15 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Chapter 22 c The estimate of the standard error in part (a) is larger because  p is closer to .50 d Approximate 95% Confidence interval: 55    2(.0222) or 5056 to .5944 e Approximate 95% Confidence interval: 31    2(.0206) 2688 to .3512 20 a sx  3000  200 3000 204.9390 3000 200 Approximate 95% Confidence Interval for Mean Annual Salary: 23,200    2(204.9390) or $22,790 to $23,610 b N x   =  3000 (23,200)  =  69,600,000 sx$  =  3000 (204.9390)  =  614,817 Approximate 95% Confidence Interval for Population Total Salary: 69,600,000    2(614,817) or $68,370,366 to $70,829,634 c p =  .73  3000  200   (.73)(.27)  sp     .0304  3000   199  Approximate 95% Confidence Interval for Proportion  that are Generally Satisfied: 73    2(.0304) or 6692 to .7908 d If management administered the questionnaire and anonymity was not guaranteed we would expect  a definite upward bias in the percent reporting they were “generally satisfied” with their job.  A  procedure for guaranteeing anonymity should reduce the bias 22 ­ 16 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Sample Survey 21 a p =  1/3  380  30   (1/ 3)(2 / 3)  sp     .0840 29  380    Approximate 95% Confidence Interval: 3333    2(.0840) or 1653 to .5013 b � X   =  760 (19 / 45)  =  320.8889 c p =  19 / 45  =  .4222  760  45   (19 / 45)(26 / 45)  sp     .0722 44  760    Approximate 95% Confidence Interval: 4222    2(.0722) or 2778 to .5666 d  380   10   760   19   260    pst            .3717  1400   30   1400   45   1400   25   p (1  ph )  (1/ 3)(2 / 3)  N h ( N h  nh )  h  380(350) 29  nh   760(715) (19 / 45)(26 / 45) (7 / 25)(18 / 25)  260(235) 44 24 = 1019.1571 + 3012.7901 + 513.2400 = 4545.1892   s pst   4545.1892 .0482   (1400)  Approximate 95% Confidence Interval: 3717    2(.0482) or 2753 to .4681 22 ­ 17 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Chapter 22 22 a � X =  380 (9 / 30)  +  760 (12 / 45)  +  260 (11 / 25) =  431.0667 Estimate approximately 431 deaths due to beating b  380     760   12   260   11  pst            .3079  1400   30   1400   45   1400   25   N h ( N h  nh )  ph (1  ph )  nh  =  (380) (380 ­ 30) (9 / 30) (21 / 30) / 29  +  (760) (760 ­ 45) (12 / 45) (33 / 45) / 44 +  (260) (260 ­ 25)(11 / 25) (14 / 25) / 24 =  4005.5079   s pst   4005.5079 .0452   (1400)  Approximate 95% Confidence Interval: 3079    2(.0452) or 2175 to .3983 c  380   21   760   34   260   15  pst            .7116  1400   30   1400   45   1400   25   N h ( N h  nh )  ph (1  ph )  nh  =  (380) (380 ­ 30) (21 / 30) (9 / 30) / 29 + (760) (760 ­ 45) (34 / 45) (11 / 45) / 44 +  (260) (260 ­ 25) (15 / 25) (10 / 25) / 24 =  3855.0417   s pst   3855.0417 .0443   (1400)  Approximate 95% Confidence Interval: 7116    2(.0443) or 6230 to .8002 d � X =  1400 (.7116)  =  996.24 Estimate of total number of  victims is 996 22 ­ 18 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Sample Survey 23 a n   3000(80)  600(150)  250(220)  100(700)  50(3000)   (20)  2 2 (4000)    3000(80)  600(150)  250(220)  100(700)  50(3000)   366, 025, 000, 000 170.7365 1, 600,000, 000  543,800, 000 Rounding up, we need a sample size of 171 for the desired precision b  3000(80)  n1 171  68  605, 000   600(150)  n2 171  25  605, 000   250(220)  n3 171  16  605,000   100(700)  n4 171  20  605, 000   50(3000)  n5 171  42  605, 000  24 a 14(61)  7(74)  96(78)  23(69)  71(73)  29(84) 18,066 xc   75.275 14   96  23  71  29 240 Estimate of mean age is approximately 75 years old b 12   30   10  22 84 pc   .35 14   96  23  71  29 240  (ai  pc M i ) =  [12 ­ .35 (14) ]2 + [ 2 ­ .35 (7) ]2 + [30 ­ .35 (96) ] 2       + [ 8 ­ .35 (23) ]2 + [ 10 ­ .35 (71) ]2 + [ 22 ­ .35 (29) ]2 =  (7.1)2 + (­.45)2 + (­3.6)2 + (­.05)2 + (­14.85)2 + (11.85)2 =  424.52  100    424.52  s pc    .0760   (100)(6)(48)    Approximate 95% Confidence Interval: 35    2(.0760) or 198 to .502 22 ­ 19 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Chapter 22 � X =  4800 (.35)  =  1680 Estimate of total number of Disabled Persons is 1680 22 ­ 20 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part  ...   =  760 (19 / 45)  =  320.8889 c p =  19 / 45  =  . 4222  760  45   (19 / 45)(26 / 45)  sp     .0 722 44  760    Approximate 95% Confidence Interval: 4222     2(.0 722) or 2778 to .5666 d  380  ...  (.78)( .22)  s p2     .0 722 29  250    78    2(.0 722) or 6356 to .9244 Stratum 3 p3 =  .21  100  25   (.21)(.79)  s p3     .0720 24  100    21    2(.0720) 22 ­ 5 © 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved... May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part Chapter 22 or 066 to .354 200 250 100 (.50)  (.78)  (.21) .5745 550 550 550 b pst  c  s pst    (550)  (.5)(.5) (.78)( .22) (.21)(.79)   250 (220 )  100(75)   200(180)