Tìm bao lồi trực giao của một đa giác lưới trong mặt phẳng số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Thị Quyên TÌM BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT ĐA GIÁC LƯỚI TRONG MẶT PHẲNG SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Thị Quyên TÌM BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT ĐA GIÁC LƯỚI TRONG MẶT PHẲNG SỐ Chuyên ngành: Mã số: Toán ứng dụng 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phan Thành An Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tòi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Phan Thành An Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Người cam đoan Nguyễn Thị Quyên LỜI CẢM ƠN Sau thời gian cố gắng, nỗ lực học tập nghiên cứu, đến tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Để có kết tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo tôi, PGS TS Phan Thành An, người định hướng nghiên cứu cho tơi suốt q trình thực luận văn Cảm ơn thầy mang đến cho học quý báu phương pháp nghiên cứu khoa học Đó tảng bản, hành trang vô quý giá để tơi tiếp cận với khoa học thật Thầy dạy cho kiến thức khoa học mà học sống, tình người Xin cảm ơn thầy tất thầy mang đến cho tơi Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Viện Tốn học ln giúp đỡ tận tình, theo dõi động viên tơi suốt trình thực luận văn Xin cảm ơn người thân gia đình thơng cảm, chia sẻ tạo điều kiện tốt cho tơi để tơi học tập, nghiên cứu hồn thành cơng việc Xin cảm ơn chị Phong Thị Thu Huyền, tất người thân yêu, người yêu mến, chia sẻ với khó khăn vui buồn tơi thực luận văn Nguyễn Thị Quyên Mục lục DANHMỤCCÁCBẢNG DANHMỤCCÁCHÌNHVẼ MỞ ĐẦU TẬP LỒI TRỰC GIAO VÀ BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT TẬP TRONG MẶT PHẲNG SỐ 1.1 TẬPLỒIVÀBAOLỒICỦA 1.2 TẬP LỒI TRỰC GIAO V TẬPTRONGMẶTPHẲNG THUẬT TOÁN CỦA BISWAS, BHOWMICK, SARKAR VÀ BHAT-TACHARYA TÌM BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT ĐA GIÁC LƯỚI TRONG MẶT PHẲNG SỐ 2.1 CÁCQUYTẮC 2.2 THUẬTTOÁN 2.3 VÍDỤMINHHỌA DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Bảng tính đặc trưng bốn máy bay từ bao lồi trực giao chúng DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Tập lồi Hình 1.2 Tập khơng lồi Hình 1.3 Tập lồi trực giao (a), (b), (c) tập không lồi trực giao (d), (e) Hình 1.4 Bao lồi trực giao số tập Hình 2.1 Các loại đỉnh khác đa giác lưới Hình 2.2 Vùng lõm hai đỉnh loại liên tiếp tạo nhiều đoạn thẳng với đường thẳng đứng (trái) đường nằm ngang (phải) Hình 2.3 Quy tắc R11 cho mẫu 1331 Hình 2.4 Quy tắc R12 cho mẫu 1331 Hình 2.5 Quy tắc R13 cho mẫu 1331 Hình 2.6 Quy tắc R21 cho mẫu 1333 Hình 2.7 Quy tắc R22 cho mẫu 1333 Hình 2.8 Quy tắc R23 cho mẫu 1333 Hình 2.9 Bao lồi trực giao (đường nét liền đậm) đa giác lưới có đường viền nét liền nhạt Hình 2.10 Minh họa thuật tốn A Biswas, P Bhowmick, M Sarkar B B Bhattacharya cho đa giác lưới Hình 2.9 Hình 2.11 Bao lồi trực giao (đường màu xanh nước biển) Sukhoi Su-35 Hình 2.12 Bao lồi trực giao (đường màu xanh nước biển) Lockheed Martin F-22 Raptor Hình 2.13 Bao lồi trực giao (đường màu xanh nước biển) X1 Hình 2.14 Bao lồi trực giao (đường màu xanh nước biển) X2 MỞ ĐẦU Tìm bao lồi tốn quan trọng lĩnh vực hình học tính tốn ứng dụng phong phú Một số ứng dụng nhận dạng mẫu, xử lý hình ảnh, tìm đường cho robot, số liệu thống kê, tìm tam giác phân Delaunay, tìm đường kính tập hợp, tìm lớp lồi tập hợp, Vì tầm quan trọng nên nhiều nhà khoa học nghiên cứu đưa thuật tốn tìm bao lồi tập hợp Vào năm 1970, D R Chand S S Kapur lần xét toán ([1]) Đến năm 1972, R L Graham đưa thuật toán quét Graham để giải tốn ([2]) Một năm sau đó, R A Jarvis đưa thuật tốn gói q ([3]) Không lâu sau, W Eddy năm 1977 ([4]) A Bykat năm 1978 ([5]) đưa thuật toán Quickhull, T M Chan năm 1996 với thuật toán Chan ([6]), Tuy nhiên, việc thực thuật toán kể cho tập đủ lớn không nhanh yêu cầu thực tế Chẳng hạn, thuật toán Graham, muốn xác định điểm p i có rẽ trái, rẽ phải hay không rẽ, cần xét điểm trước (p i 1) sau (pi+1) Khi đó, việc sử dụng phép so sánh cộng, trừ sử dụng thêm phép nhân tính tốn Cũng vậy, thuật tốn gói q, tọa độ cực điểm tính từ tọa độ Descartes chúng Do đó, ngồi sử dụng phép so sánh cộng, trừ thuật tốn sử dụng đến lượng giác Hơn nữa, thực tế, tập lồi trực giao bao lồi trực giao nghiên cứu ứng dụng đa dạng hóa nhiều lĩnh vực Đặc biệt, lĩnh vực hình ảnh kĩ thuật số, bao lồi trực giao sử dụng để khơi phục hình ảnh , che giấu lỗi hình ảnh , Mặt khác, bao lồi trực giao dùng để phân tích phân loại hình dạng, lĩnh vực nhận dạng thời gian thực, Do việc tìm bao lồi trực giao tập quan trọng Vào năm 1982, D Y Montuno A Fournier xét tốn tìm bao lồi trực giao tập đa giác trực giao ([7]) Sau đó, nhiều nhà khoa học đưa thuật tốn để tìm bao lồi trực giao tập: năm 1983 có T M Nicholl, D T Lee, Y Z Liao, C K Wong ([8]); năm 2012 có A Biswas, P Bhowmick, M Sarkar B B Bhattacharya ([9]); năm 2005 có J Wu Z Jiang ([10]) Đặc biệt, thuật toán Biswas, Bhowmick, Sarkar Bhattacharya ([9]) sử dụng phép so sánh cộng, trừ số nguyên nên chạy nhanh thời gian O(n) (ở n số đỉnh đa giác lưới xét, Chương 2, Mục 2.2) Với lý trên, mong muốn nghiên cứu tập lồi trực giao bao lồi trực giao tập mặt phẳng số Cụ thể, Chương 1, chúng tơi tìm hiểu tập lồi, bao lồi tập, tập lồi trực giao, bao lồi trực giao tập Trong Chương 2, trình bày lại quy tắc để tìm bao lồi trực giao đa giác lưới, thuật tốn tìm bao lồi trực giao Biswas, Bhowmick, Sarkar Bhattacharya ([9]), đưa ví dụ minh họa cụ thể cho thuật tốn Vì thời gian kiến thức có hạn, nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đóng góp quý báu từ phía bạn đọc CHƯƠNG TẬP LỒI TRỰC GIAO VÀ BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT TẬP TRONG MẶT PHẲNG SỐ 1.1 TẬP LỒI VÀ BAO LỒI CỦA MỘT TẬP Định nghĩa 1.1.1 (xem [11]) Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ) a n n b R tập hợp tất điểm (véc tơ) x R có dạng n fx R jx = (1 )a + b; Rg n Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ) a b R tập hợp tất n điểm (véc tơ) x R có dạng n fx R jx = (1 )a + b; 1g n Định nghĩa 1.1.2 (xem [11]) Một tập S R gọi tập lồi S chứa đoạn thẳng qua hai điểm (Hình 1.1) Tức S lồi 8x; y C; [0; 1] ) (1 )x + y S Hình 1.1 Hình 1.2 cho ví dụ tập lồi tập không lồi n m n Ta nói véc tơ x R gọi tổ hợp lồi véc tơ x , x , , x R m x= xi ; 0; i = 1; 2; :::; m; i=1 i i P 24 Algorithm Quy trình Apply-R1(L, k) Các bước: if L[k L[k 2: 1: 3: 4: k else 5: 6: 7: 8: 9: if L[k L[k L[k k else 10: 11: L[k 2] L[k] 12: L[k 13: 14: 15: return k 3] L[k k k 1] L[ L[ 25 Algorithm Quy trình Apply-R2(L, k, i, j, g) 1: if L[k L[k 2: L[k L[k 3: 4: L[k k 5: 6: 7: else l 8: 9: L[k 3]:l L[k d L[k]:d while l 10: 11: 1]; l" L[k 3]:l L[k 1]:l l" L[k 2]:l < (d; t; l); i; j > Next-Vertex (S, i, j, d, g) 0 if d = dk then l l +l 13: else 0 if d = dk then l l 15: else 12: 14: 19: l if d = dk then k k 22: 23: L[k]:l else if d = dk then 24: 25: 26: 28: 29: k k return < k; i; j > 27: 26 theo hướng đỉnh Nếu hướng giống hướng L[k 3] l 0 cập nhật thành l + l; hướng giống hướng L[k 1] l 0 cập nhật thành l l (Bước 13-15) Tương tự l" sửa đổi (Bước 16-19) Do đó, lần đỉnh truy cập, tham số l l" sửa đổi Khi khỏi vòng lặp While, hai quy tắc R22 R23 áp dụng tùy theo hướng di chuyển đỉnh Nếu hướng di chuyển giống hướng từ L[k 2] (Bước 20), R22 áp dụng (Bước 20-23) Nếu hướng giống hướng từ L[k 1], R23 áp dụng (Bước 24-29) Giá trị k điều chỉnh lại thành k (Bước 23) cho quy tắc R22 cho k (Bước 29) cho quy tắc R23 Quy trình trả k < i; j > (Bước 30) Mệnh đề 2.2.1 [9] Cho đa giác lưới S nằm G có cỡ g Khi đó, thuật lưới tốn Biswas, Bhowmick, Sarkar cho xác Bhattacharya bao lồi trực giao S lưới G Chứng minh Thuật tốn xác bao lồi trực giao tạo thuật tốn Otho-Hull tn thủ tính lồi trực giao qua bước đồng thời bao lồi trực giao tạo thuật tốn có diện tích tối thiểu Thật vậy, thấy rằng, p nằm đường lưới nằm bên trái đa giác lưới S, < dT (p; S) = h g (ở dT (p; q) = maxfjip iqj; jjp jq jg kí hiệu khoảng cách trực giao hai điểm p(ip; jp) q(iq; jq); dT (p; S) = minfdT (p; q); q Sg) Vì h > g bốn Q1; : : : ; Q4 khơng có nằm đa giác lưới S Khi đó, nằm bên trái đường xung quanh đa giác lưới S ô tự (bốn ô liền kề không nằm đa giác lưới S) nằm bên phải đường Các ô tự nằm bao lồi trực giao quy tắc loại bỏ vùng lõm áp dụng Rõ ràng, từ quy tắc Mục 2.1 số lượng ô tự bao lồi trực giao tối thiểu Để rằng, giao điểm bao lồi trực giao với đường nằm ngang đường thẳng đứng (đường lưới không đường lưới) rỗng đoạn thẳng, cần quan sát đa giác cuối không chứa hai đỉnh loại liên tiếp Theo quy tắc loại bỏ vùng lõm (ngoại trừ quy tắc R21 quy tắc R23), kết quy tắc không chứa hai đỉnh 27 loại liên tiếp Kết R21 R23 có mẫu 33 cuối loại bỏ tùy thuộc vào đỉnh Trong lần lặp lại cuối cùng, đỉnh cuối truy cập trùng với đỉnh bắt đầu Đỉnh thuộc loại quy tắc R11, R12, R13 áp dụng Khi kết thúc thuật tốn khơng có hai đỉnh loại liên tiếp Mệnh đề 2.2.2 [9] Thuật toán Biswas, Bhowmick, Sarkar Bhattacharya có độ phức tạp thời gian O(n) với n số đỉnh đa giác lưới S Chứng minh Do xuất phát từ đa giác lưới, nên nằm đa giác lưới S có đỉnh điểm lưới q xác định giao điểm đa giác lưới bốn cạnh tương ứng Đối với cạnh, giao điểm kiểm tra thời gian O(g) Do đó, để kiểm tra có nằm đa giác lưới hay khơng cần thời gian O(g) = O(g) Trong trình di chuyển điểm lưới nằm biên đa giác lưới, truy cập điểm q i từ điểm qi cách sử dụng thông tin giao điểm đa giác lưới cạnh q i Ví dụ, Hình 2.1 (a), qi loại đỉnh thuộc loại truy cập hướng di (hướng từ xuống) (đã biết trước thơng qua đỉnh q i 2), qi truy cập từ cạnh nằm ngang qi Do số lượng điểm lưới truy cập di chuyển trực giao theo đường biên đa giác lưới giới hạn O(n=g), n số đỉnh đa giác lưới S Chú ý rằng, với đa giác lưới, n số cố định Do độ phức tạp để truy cập tất đỉnh O(n=g):O(g) = O(n) Chúng ta thấy, đỉnh đường biên đa giác lưới truy cập lần (Hình 2.1 (a),(b), (d)) hai lần (Hình 2.1 (c)) Thời gian dùng để phát loại bỏ mẫu chứa hai đỉnh loại liên tiếp (gồm loại bốn đỉnh cuối danh sách L) thời gian O(1) sử dụng quy tắc loại bỏ vùng lõm cần thiết Nếu loại hai đỉnh cuối danh sách L không chứa hai đỉnh loại liên tiếp thời gian cần để truy cập đỉnh O(1) Nếu loại hai đỉnh cuối danh sách L có dạng 33 cần thời gian O(1) để áp dụng quy tắc loại bỏ vùng lõm cần thiết Số lần giảm tối đa giới hạn O(n=g) nhiều O(n=g) đỉnh cập nhật 28 bao lồi trực giao bốn đỉnh Do đó, tổng số hoạt động giới hạn (O(n=g) 4):O(1) = O(n=g) Như vậy, tổng thời gian để tìm bao lồi trực giao đa giác lưới O(n) + O(n=g) = O(n) Lưu ý rằng, giá trị g thay đổi giá trị nhỏ g 2.3 VÍ DỤ MINH HỌA Hình 2.9: Bao lồi trực giao (đường nét liền đậm) đa giác lưới có đường viền nét liền nhạt Một minh họa cho thuật toán A Biswas, P Bhowmick, M Sarkar B B Bhattacharya đưa Hình 2.10 đa giác lưới Hình 2.9 Trong Hình 2.10, việc thực thuật tốn chia làm hai phần Phần bên phải, thuật toán thực từ đỉnh đến đỉnh 20 vật thể Hình 29 Hình 2.10: Minh họa thuật tốn A Biswas, P Bhowmick, M Sarkar B B Bhattacharya cho đa giác lưới Hình 2.9 2.9; phần bên trái bước thực thuật toán tiếp tực từ đỉnh 21 đến đỉnh cuối 40 Đối với phần, cột bên trái thể thứ tự đỉnh thêm vào danh sách L, cột bên phải thể thứ tự loại đỉnh xuất danh sách L Trong cột bên phải, phần in màu đỏ phần xuất vùng lõm đối tượng, tương ứng với mẫu 1331 mẫu 1333; phần in màu xanh kết sau chạy thuật tốn để xóa bỏ vùng lõm Lưu ý rằng, đỉnh giả danh sách L cho đơn giản Thuật toán đỉnh đối tượng Hình 2.9 Vùng lõm phát truy cập đến đỉnh Tại đỉnh chuỗi loại bốn đỉnh cuối L trùng với mẫu 1331 chiều dài l (chiều dài tương ứng với đỉnh 1) lớn l4 (chiều dài tương ứng với đỉnh 4) nên quy tắc R12 áp dụng (Hình 2.4) Kết hai đỉnh 4, bị loại bỏ độ dài đỉnh đỉnh sửa thành l2 l4 l3 + l5 Quá trình tiếp tục vùng lõm phát đỉnh Chuỗi loại bốn đỉnh cuối danh sách L trùng với mẫu 1331 chiều dài l2 < l6 quy tắc R13 (Hình 2.5) áp dụng Sau đó, đỉnh bị loại bỏ đồng thời độ 30 dài đỉnh sửa thành l + l3 + l5 l6 + l4 l2 Tiếp tục trình, gặp vùng lõm ứng với mẫu 1331 l = l11 đỉnh 12 quy tắc R11 (Hình 2.3) áp dụng Khi đó, đỉnh 9, 10, 11, 12 bị xóa bỏ độ dài đỉnh sửa thành l + l10 + l12 Vùng lõm xuất cập nhật đỉnh 15 trùng với mẫu 1333, có l > l14 Khi hai biến l l" khởi tạo l8 + l10 + l12 l14 l15 (Hình 2.7) Khi đỉnh thứ 16 truy cập, l0 sửa thành l8 + l10 + l12 l14 l16 l" giữ nguyên chưa thỏa mãn điều kiện dừng (l0 < l1 l3 l" < l2)(xem Mục 2.1, quy tắc R22, R23) nên đỉnh thứ 16 bị loại bỏ Thuật toán tiếp tục truy cập đến đỉnh thứ 17, l giữ nguyên l" sửa lại thành l15 l17 thỏa mãn điều kiện dừng Vì hướng đỉnh 17 trùng với hướng đỉnh 13 nên quy tắc R22 áp dụng (Hình 2.7) năm đỉnh cuối danh sách L sửa lại thành mẫu 113 Sau đó, R23 áp dụng đỉnh thứ 21 Tại đỉnh thứ 25, quy tắc R12 R12 áp dụng, đỉnh thứ 31 áp dụng quy tắc R21, đỉnh thứ 32 áp dụng quy tắc R12 đỉnh thứ 37 áp dụng quy tắc R12 Sau di chuyển tới đỉnh thứ 1, danh sách L chứa đỉnh bao lồi trực giao đa giác lưới Hình 2.9 đường nét liền Hình 2.9 kết thuật toán nêu Hơn nữa, lưới ô vuông, thực tính bao lồi trực giao để nhận dạng hai máy bay Sukhoi Su-35 Lockheed Martin F-22 Raptor đặc trưng (Tỷ lệ độ dài, Tỷ lệ diện tích, MaxDepth, XMDis, YMDis, SubDepth, XSDis, YSDis) mục 3.2 [13] Ở đó, Tỷ lệ độ dài tỷ lệ số đo chiều dài số đo chiều rộng Tỷ lệ diện tích tỷ lệ diện tích bao lồi trực giao máy bay (diện tích tạo đường màu xanh nước biển) diện tích đường bao xung quanh máy bay (diện tích tạo đường màu đỏ) MaxDepth độ sâu tối đa vùng nằm bên đường bao xung quanh, nằm bên bao lồi trực giao máy bay nằm thân máy bay (tính từ cánh máy bay đến đuôi máy bay) so với đường biên bao lồi trực giao máy bay XMDis khoảng cách từ điểm nằm biên bao lồi trực giao máy bay mà từ điểm xác định MaxDepth máy bay với trục đối xứng (thân) máy bay YMDis khoảng cách từ điểm nằm biên bao lồi 31 Hình 2.11: Bao lồi trực giao (đường màu xanh nước biển) Sukhoi Su-35 Hình 2.12: Bao lồi trực giao (đường màu xanh nước biển) Lockheed Martin F-22 Raptor 32 trực giao máy bay mà từ điểm xác định MaxDepth máy bay với đường thẳng qua điểm đầu máy bay vng góc với trục đối xứng (thân) máy bay SubDepth là độ sâu tối đa vùng nằm bên đường bao xung quanh, nằm bên bao lồi trực giao máy bay nằm thân máy bay (tính từ cánh máy bay đến đầu máy bay) so với đường biên bao lồi trực giao máy bay XSDis khoảng cách từ điểm nằm biên bao lồi trực giao máy bay mà từ điểm xác định SubDepth máy bay với trục đối xứng (thân) máy bay YSDis khoảng cách từ điểm nằm biên bao lồi trực giao máy bay mà từ điểm xác định SubDepth máy bay với đường thẳng qua điểm đầu máy bay vng góc với trục đối xứng (thân) máy bay Cụ thể, từ hai hình ảnh Sukhoi Su-35 (Hình 2.11) Lockheed Martin F-22 Raptor (Hình 2.12) chúng tơi tính bao lồi trực giao (đường viền màu xanh nước biển Hình 2.11 Hình 2.12) từ đường bao xung quanh (đường màu đỏ Hình 2.11 Hình 2.12) chúng Sau đó, chúng tơi xác định đặc trưng mục 3.2 [13] coi sở để nhận dạng hai máy bay Từ hình ảnh hai máy bay khơng xác định X1 X2 (xem Hình 2.13 Hình 2.14) chúng tơi xác định bao lồi trực giao (đường viền màu xanh nước biển) từ đường bao xung quanh (đường màu đỏ) chúng Tiếp theo chúng tơi tính đặc trưng nhận X1 Sukhoi Su-35 X2 Lockheed Martin F-22 Raptor Kết q trình tính tốn ghi lại Bảng 2.1 33 Hình 2.13: Bao lồi trực giao (đường màu màu xanh nước biển) X1 Hình 2.14: Bao lồi trực giao (đường màu xanh nước biển) X2 34 Bảng 2.1: Bảng tính đặc trưng bốn máy bay từ bao lồi trục giao chúng Tỷ l Tỷ lệ MaxD XMD YMD SubD XSD YSD 35 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau Trong Chương 1, luận văn trình bày lại số kiến thức sở bao gồm: định nghĩa đường thẳng, đoạn thẳng, tập lồi, bao lồi tập, tập lồi trực giao bao lồi trực giao tập; tính chất liên quan tập lồi, bao lồi, tập lồi trực giao bao lồi trực giao Trong Chương 2, luận văn trình bày lại quy tắc gồm: R11, R12, R13, R21, R22, R23 thuật toán A Biswas, P Bhowmick, M Sarkar B B Bhattacharya; đồng thời giới thiệu thuật toán đến bạn đọc Hơn nữa, chương này, chúng tơi trình bày ứng dụng bao lồi trực giao ví dụ minh họa với giải thích chi tiết thực bước thuật toán 36 Tài liệu tham khảo [1] Chand D R., and Kapur S S., 1970, An algorithm for convex polytopes, Journal of the ACM, 17, 78-86 [2] Graham R L., 1972, An efficient algorithm for determining the convex hull of a finite planar set, Information Processing Letters, 1, 132-133 [3] Jarvis R A., 1973, On the identification of the convex hull of a finite set of points in the plane, Information Processing Letters, 2, 18-21 [4] Eddy W., 1977, A new convex hull algorithm for planar sets, ACM Trans Math Software, 3, 398-403 [5] Bykat A., 1978, Convex hull of a finite set of points in two dimensions, Information Processing Letters, 7, 296-298 [6] Chan T M., 1996, Optimal output-sensitive convex hull algorithms in two and three dimensions, Discrete and Computational Geometry, 16, 361368 [7] Montuno D Y., and Fournier A., 1982, Finding the x y conve set of x y polygons, Technical Report 148, University of T [8] Nicholl T M., Lee D T., Liao Y Z., and Wong C K., 1983, On convex hull of a set of x y polygons, BIT, 23 (4), 456–471 [9] Biswas A., Bhowmick P., Sarkar M and Bhattacharya B B., 2012, A linear-time combinatorial algorithm to find the orthogonal hull of an object on the digital plane, Information Sciences, 216, 176-195 [10]Wu J and Jiang Z., 2005, On constructing the minimum orthogonal convex polygon for the fault-tolerant routing in 2-d faulty meshes, IEEE Transac-tions on Reliability 54, 3, 449-458 37 [11] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, 2009, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [12] Fink E., and Wood D., 2004, Restricted-Orientation Convexity, Springer [13] Yuan L., Xiuqin W., and Richang H., 2007, Aircraft type recognition based on convex hull features and SVM, Proc SPIE 6786, MIPPR 2007: Au-tomatic Target Recognition and Image Analysis; and Multispectral Image Acquisition ... chất bao lồi trực giao) 10 Hình 1.4: Bao lồi trực giao số tập (i) Bao lồi trực giao tập tập lồi trực giao bé chứa tập (ii) Một tập lồi trực giao bao lồi trực giao nó (iii) Bao lồi trực giao tập... LỒI TRỰC GIAO VÀ BAO LỒI TRỰC GIAO CỦA MỘT TẬP TRONG MẶT PHẲNG SỐ 1.1 TẬPLỒIVÀBAOLỒICỦA 1.2 TẬP LỒI TRỰC GIAO V TẬPTRONGMẶTPHẲNG THUẬT TOÁN CỦA BISWAS, BHOWMICK, SARKAR VÀ BHAT-TACHARYA TÌM BAO. .. tơi tìm hiểu tập lồi, bao lồi tập, tập lồi trực giao, bao lồi trực giao tập Trong Chương 2, chúng tơi trình bày lại quy tắc để tìm bao lồi trực giao đa giác lưới, thuật tốn tìm bao lồi trực giao