BàI GIảNG SBVL Chương 3: trạng thái ứng suất biến dạng 3.1 Khái niệm trạng thái ứng suất Trong chương đà xét chịu kéo, chịu nén tâm Giả sử ta tính ứng suất điểm A kéo, nén tâm Xét mặt cắt ngang qua điểm A ta có ứng suất pháp A Z = N Z = P F F v u u A P uv P Xét mặt cắt xiên có pháp tuyến xiªn gãc víi trơc thanh, ta cã øng st điểm A là: ( đà chứng minh chương ) U = Zcos2 UV = 12 Z sin2 Vậy giá trị ứng suất điểm A biến đổi tùy theo phương mặt cắt Xét điểm C vật thể cân tác dụng ngoại lùc y P6 P1 P5 C P2 P3 P4 x z Ta xét tất mặt qua điểm C mặt nói chung có ứng suất pháp ứng suất tiếp Những ứng suất có giá trị khác tùy theo phương mặt cắt Như ứng suất không phụ thuộc vào điểm ta xét mà phụ thuộc vào phương mặt cắt qua điểm Tại điểm có vô số giá trị ứng suất - Định nghĩa: Tập hợp vô hạn ứng suất pháp ứng suất tiếp tất mặt qua điểm gọi trạng thái ứng suất điểm BàI GIảNG SBVL Phân loại trạng thái ứng suất Người ta đà chứng minh rằng: điểm vật thể đàn hồi chịu lực cân tồn mặt vuông góc với ứng suất tiếp gọi mặt ( mặt ứng suất ) Pháp tuyến mặt gọi phương chính, ứng suất tác dụng mặt gọi ứng suất (ứng suất toàn phần ứng suất pháp ) Có phương vuông góc có ứng suất tiÕp = cã øng suÊt chÝnh kÝ hiƯu lµ 1 2 3 Dùa vµo øng suất người ta phân thành loại trạng thái ứng suất: - Trạng thái ứng suất đơn (đường): trạng thái ứng suất có ứng suất 0, ứng suất = - Trạng thái ứng suất phẳng:là trạng thái ứng suất có ứng suÊt chÝnh 0, øng suÊt chÝnh = - Trạng thái ứng suất khối: trạng thái ứng suất cã øng suÊt chÝnh 2 2 1 1 1 1 2 1 1 3 3 2 Ký hiệu quy ước dấu Để nghiên cứu trạng thái ứng suất điểm vật thể, giả sử điểm K, ta tách từ K phân tố hình hộp có y kích thước dx , dy , dz y Phân tố tách từ vật thể đàn hồi xz chịu lực cân phân tố phải cân yz xy ta thay mặt bên tách x thành phần ứng suất pháp ứng xz suất tiếp dy zx x Ta có thành phần ứng suất bao quanh dz z zy ®iĨm dx ViÕt díi dạng tenxơ z y yx zx Z = xy y zy xz yz z Phân tố trạng thái cân nên phải thỏa mÃn phương trình cân bằng: BàI GIảNG SBVL Mx = ; My = ; Mz = Mx = yz.dx.dz.dy - zy.dx.dy.dz = yz = zy My = xy = zx Mz = xy = yx KÝ hiÖu i, j = x, y, z ij = ji (3.1) - Định luật đối ứng ứng suất tiếp: Nếu mặt cắt có ứng suất tiếp mặt cắt vuông góc với xuất thành phần ứng suất tiếp có giá trị ngược chiều Do tenxơ ứng suất thành phần độc lập đối xứng qua đường chéo 3.2 Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng 3.2.1 Kí hiệu quy ước dấu Xét phân tố trạng thái ứng suất phẳng Nếu ta chọn phương phương song song trục mặt chÝnh øng suÊt = th× ta cã Z= 0, zx = xz = Để nghiên cứu ta chiếu phân tố lên mặt phẳng x0y y y y yx xy x yx xy x x x y z + Qui ước dấu: - ứng suất pháp gây kéo (hướng mặt cắt) ứng suất dương ngược lại - ứng suất tiếp: quay pháp tuyến thn chiỊu kim ®ång hå gãc 900 nã cïng chiều với ứng suất tiếp ngược lại 3.2.2 Phương pháp giải tích tính ứng suất mặt cắt Giả sử ta có phân tố trạng thái ứng suất phẳng đà biết thành phần ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt vuông góc x , y xy Giả sử ta cần tính ứng suất mặt cắt xiên mn có phương pháp tuyến BàI GIảNG SBVL u hợp với trục x góc Trên mặt cắt xiên có u , uv Tưởng tượng mặt cắt mn chia phân tố thành phần Ta xét cân phần bên trái mặt cắt m-n Phân tố trạng thái cân nên phần cân b»ng, trªn v y m yx uv u u x mặt cắt mn có u , uv xy Do phải thoả mÃn phương n trình cân dy dx - yxdz.dx 2 M0 = xydz.dy = xy = yx U = u.ds.dz - x.dz.dy cos + xydz.dy.sin + yx.dx.dz cos - y.dx.dz sin = V = uv.ds.dz - x.dz.dy sin - xy.dz.dy cos + yx.dx.dz sin + y.dx.dz cos = Víi : xy = yx; v dx = ds.sin x dy = ds.cos xy u = uv = x y x y x y uv dy dx u ds cos 2α τ xy sin 2α u dz yx y (3.2) sin 2α xy cos ( 3.2 ) công thức tính ứng suất mặt cắt xiên Xác định phương Theo định nghĩa mặt mặt có ứng suất tiếp Do ta tìm mặt cách cho ứng suất tiếp mặt cắt, giả sử mặt có pháp tuyến hợp với trục x góc 0: uv = uv = x y sin 2α + xy cos20 = tg20 = - τ xy (3.3) x y MỈt cã pháp tuyến hợp với trục x góc thoả mÃn (3.3) mặt có uv = mặt u phương BàI GIảNG SBVL Đặt - τ xy x y = m = tg tg20 = tg 0 = + k Như ta tìm nghiƯm cđa 0 chªnh gãc 900 VËy ta có mặt song song với trục z vuông góc với Trên mặt có ứng suất Xác định ứng suất Đặt nghiệm (3.3) , thay vào (3.2) ta được: ch1 = ch2 = x y x y x y 2 4τ xy 12 (3.4) x y 2 τ xy Xác định ứng suất cực trị Trước tiên ta xác định mặt có ứng suất pháp cực trị, ta cho đạo hàm ứng suất pháp ®èi víi b»ng Ta cã: d u dα 0 tg2α* τ xy x y (3.5) Mặt có * thoả mÃn (3.5) mặt có ứng suất pháp cực trị Mà từ (3.3) (3.5) ta thấy tg20 = tg2* tức phương phương ứng suất cực trị trùng Vậy ứng suất ứng suất cực trị: max σ1 σmin σ3 x y x y 12 x y 2 τ xy x y (3.6) τ xy Ngoài ta quan tâm đến giá trị ứng suất tiếp cực trị phương mà ứng suất tiếp đạt giá trị cực trị d uv d tg2 = x y τ xy tg21 (3.7) Mặt có phương hợp góc với trục x thoả mÃn (3.7) mặt cã max τ max 12 x y 2 4τ 2xy (3.8) Tõ (3.7) ta cã k 4 Những mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt góc 450 3.2.3 Phương pháp đồ thị (vòng tròn Mo) nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng ta đà thiết lập công thức tính ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt có phương xiên góc với trục x biÕt x ,y ,xy theo (3.2) ChuyÓn vÕ bình phương vế (3.2) sau cộng đẳng thức: BàI GIảNG SBVL x y x y cos 2α τ sin 2α u xy x y τ 2uv sin 2α τ xy cos 2α 2 x y x y u τ 2uv τ 2xy §Ỉt c σx σy = 2 x y vµ R τ 2xy u c2 τ 2uv R Ta cã : (*) NÕu ta xÐt mét hệ trục tọa độ có trục hoành song song x, trục tung song song y trục hoành biểu diễn giá trị ứng suất pháp, trục tung biểu diễn giá trị ứng suất tiếp Thì phương trình ( * ) phương trình đường tròn bán kính R tâm C(c;0) Vòng tròn biểu diễn trạng thái ứng suất phân tố gọi vòng tròn Mo ứng suất Phương pháp vẽ vòng tròn Mo Giả sử có phân tố có trạng thái ứng suất nh sau: 4kN/cm2 2kN/cm 8kN/cm2 P C x = kN/cm2; y = - kN/cm2 xy = - kN/cm2 VÏ vßng trßn Mo - B1: Kẻ hệ trục tọa độ x y - B2: Xác định tâm C ;0 - B3: Xác định điểm cực P y ; τ xy - B4: VÏ vßng tròn tâm C , bán kính CP ứng dụng vòng tròn Mo Giả sử có phân tố có trạng thái ứng suất ta xác định ứng suất mặt xiên m-n có pháp tuyến u hợp với trục x góc BàI GIảNG SBVL Tõ P ta kỴ tia u (hay tõ P ta kẻ tia hợp với trục x góc ) giao với vòng tròn M Ta chứng minh tọa độ M u , uv max u y I m u min uv u P D x max B 1 O F xy uv M C N A E 2 max n Tọa độ điểm M ON MN Ta cã ON = OC + CN ON Mµ: x y min R cos2α β R cos β CD cos β CE x y R cos 2α cos β R sin 2α sin β x y R sin β DE PF τ xy ON x y x y cos 2α τ xy sin 2α u MN = R sin 2 R cos sin 2 R sin cos 2 MN x y sin 2α τ xy cos 2α = uv VËy ta cã: M u ; τ uv Đó phương pháp xác định ứng suất mặt cắt xiên phân tố phương pháp đồ thị Xác định phương Trên vòng tròn MO ta nhËn thÊy OA = max 1 OB = PA; PB phương Hai mặt phẳng vuông góc PA, PB mặt Trên vòng tròn Mo ta dễ dàng chứng minh PA, PB phương BàI GIảNG SBVL tg1 PF FA DE FC CA τ xy x y tgα1 tgα τ xy max y ( x y max y 1 ) τ xy y max τ xy BFPF OFPF OB y X¸c định phương mặt có max Ta có : OI OJ max PI, PJ phương mặt phẳng có max , Kẻ mặt phẳng PI, PJ ta mặt có max , 3.2.4 Một vài trường hợp đặc biệt B C O O OB = min = 3 Tr¹ng thái ƯS đơn Vòng tròn nén C A OA = max = Trạng thái ƯS đơn Vòng tròn kÐo B A max 1 = - = Trạng thái ƯS trượt tuý 3.3 Trạng thái ứng suất khối Giả sử có phân tố trạng thái ứng suất khối hình vẽ, mặt bên mặt Giả sử ta xét mặt phân tố song song với phương Ví dụ BàI GIảNG SBVL phương thứ 3, ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt không chịu ảnh hëng cđa øng st chÝnh thø ba 3 Do ®ã ta cã thĨ nghiªn cøu sù biÕn thiªn cđa øng suất pháp ứng suất tiếp mặt đà làm trạng thái ứng suất phẳng (chỉ chịu ảnh hưởng , 2) Trên hệ trục tọa độ - ta vẽ vòng tròn Mo biểu thị ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt phương thứ 3, ta gọi vòng tròn số Căn vào vòng tròn ta có ứng suất pháp cực trị là: , ; ứng suất tiếp cực trị 12 = 2 Làm tương tự ta vẽ vòng tròn số số 1 13 12 23 2 O 3 1 2 3 z Vßng trßn 1, 2, biểu thị trạng thái ứng suất mặt song song với phương 1, 2, Môn lý thuyết đàn hồi đà chứng minh ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt cắt phân tố trạng thái ứng suất khối biểu thị tọa độ điểm nằm miền giới hạn vòng tròn Mo vừa vẽ Do ta nói nhóm vòng tròn Mo biểu thị đầy đủ trạng thái ứng suất khèi max = 13 (3.9) min = -13 3.4 Quan hệ ứng suất biến dạng 3.4.1 Định luật Huc tổng quát Ta có tenxơ ứng suất z = x -xy -xz xy y -yz xz yz z Bao gồm thành phần độc lập: ứng suất pháp ứng suất tiếp Ta đà biết BàI GIảNG SBVL ứng suất pháp gây nên biến dạng dài, ứng suất tiếp gây nên biến dạng góc, nên tương ứng với chúng có biến dạng dài biến dạng góc Với vật liệu đàn hồi tuyến tính, vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke: tương quan ứng suất biến dạng bậc nhất: E biến dạng dài tương đối theo phương (phương x) Do theo phương vuông góc với phương - phương y; giÃn theo phương x phương y phải nén ' =- . Phân tố trạng thái ứng suất khối, biến dạng dài theo phương x lµ x σx , σy , σz g©y ra: ε x ε x σx + ε x y + ε x σz εx σx E -µ σy -µ E σz E εx E x µ y z εy E y µ x z εz E z µ x y Tương tự ta có biến dạng theo phương y: (3.10) biến dạng theo phương z: (3.10) công thức định luật Huc tổng quát Mặt khác ứng suất tiếp gây ta có biến dạng gãc γ xy τ xy G ; γ xz τ xz G ; γ zy τ zy G (3.11) G = 1E : mô dun đàn hồi trượt 3.4.2 Định luật Hooke khối Giả sử có phân tố hình hộp tích ban đầu dV0 = dxdydz Khi có ứng suất tác dụng mặt bên, thể tích phân tố sau biến dạng là: dV = (dx + dx)(dy +dy)(dz +dz) Độ biến đổi thể tích tương đối định nghĩa = dV dV dVo dVo dVo Khai triển bỏ qua VCB bậc cao ta được: dx dx + dy dy + Δdz dz = εx εy ε z (3.12) Theo định luật Hooke tổng quát ta có 12à E x y z (3.13) Ví dụ: 10 BàI GIảNG SBVL Cho khối hình lập phương cạnh a x a x a; E; , chịu lực nén P Đặt khít khối A cứng tuyệt đối Tính áp lực vào khối cøng? TÝnh ®é biÕn ®ỉi thĨ tÝch cđa khèi lËp phương y Bg: P Chọn hệ trục tọa độ 0xyz hình vẽ - Theo phương y khối lập phương chịu a A a tác dụng lực nén P ®ã cã σy FP P a2 x z - Theo phương z cản trở biến dạng nên không phát sinh néi lùc z = - Theo ph¬ng x, bị giữ khối cứng nên biến dạng theo ph¬ng x: x = εx E x µ y z = x µ y P a2 áp lực vào khối cứng là: x µP a y ; P a2 Độ biến đổi thể tích tương đối: θ 12µ E θ x y z 2µ P E a2 µP 2µ 11 µ a2E a P Độ biến đổi thĨ tÝch cđa khèi lËp ph¬ng: ΔV Vo θ a 3θ E1 a.P 2µ 11 3.5 Thế biến dạng đàn hồi - Thế biến dạng đàn hồi riêng biến dạng đàn hồi tích lũy đơn vị thĨ tÝch , kÝ hiƯu lµ - Trong trạng thái ứng suất đơn ( bị kéo nén ) đà nghiên cứu chương ta có: u N 2z EF µ u V N 2z EF σ 2z 2E 12 z Trong trạng thái ứng suất khối, áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta cã: 1ε1 ε 3 11 BàI GIảNG SBVL áp dụng ®Þnh luËt Huc ta cã: 2E 22 23 2µ 1 1 (3.14 ) * Ta cịng cã thĨ ph©n tÝch biến dạng đàn hồi thành thành phần: - Thành phần biến đổi thể tích phân tố gọi biến đổi thể tích utt - Thành phần biến đổi hình dạng phân tố gọi biến đổi hình d¹ng uhd 1 tb 1 2 tb 2 tb = tb + 3 3 tb tb 1 u = u + u2 tb ¸p dụng định luật Hooke tổng quát cho trạng thái ứng st thø nhÊt ta thÊy ®é biÕn ®ỉi thĨ tÝch = trạng thái ứng suất thể tích không đổi biến dạng đàn hồi trạng thái ứng suất uth Trạng thái ứng suất thứ ta thấy giá trị tb thay đổi hình dạng biến dạng đàn hồi utt Ta tính : utt = 2à x tb 2E uhd = u - utt = 1 2µ 6E 1 2 1 1 22 23 1 1 3E 12