Cao Minh Nhân Cao Minh Nhân Chuyên đề 7 : BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Số thực dương, số thực âm: • Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0 • Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0 • Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu 0 ≥ x • Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu 0 ≤ x Chú ý: • Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " 0 ≤ a " • Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " 0 ≥ a " II. Khái niệm bất đẳng thức: 1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a Ta có: 0a b a b > ⇔ − > • Nếu a>b hoặc a=b, ta viết ba ≥ . Ta có: 0b-a ≥⇔≥ ba 2. Đònh nghóa 2: Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B≥ " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B≤ được gọi là một bất đẳng thức Quy ước : • Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. • Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức : 1. Tính chất 1: a b a c b c > ⇒ > > 2. Tính chất 2: a b a c b c > ⇔ + > + Hệ quả 1: a b a c b c> ⇔ − > − Hệ quả 2: a c b a b c + > ⇔ > − 3. Tính chất 3: a b a c b d c d > ⇒ + > + > 4. Tính chất 4: nếu c > 0 nếu c < 0 ac bc a b ac bc > > ⇔ < Hệ quả 3: a b a b> ⇔ − < − 29 Cao Minh Nhân Cao Minh Nhân Hệ quả 4: nếu c > 0 nếu c < 0 a b c c a b a b c c > > ⇔ < 5. Tính chất 5: 0 0 a b ac bd c d > > ⇒ > > > 6. Tính chất 6: 1 1 0 0a b a b > > ⇔ < < 7. Tính chất 7: nn baNnba >⇒∈>> * ,0 8. Tính chất 8: n baNnba >⇒∈>> n * ,0 Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì : 22 baba >⇔> Nếu a và b là hai số không âm thì : 22 baba ≥⇔≥ IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối : 1. Đònh nghóa: nếu x 0 ( x ) nếu x < 0 ≥ = ∈ − x x R x 2. Tính chất : 2 2 0 , x , x x , -x xx x≥ = ≤ ≤ 3. Với mọi Rba ∈ , ta có : • a b a b+ ≤ + • a b a b− ≤ + • . 0a b a b a b+ = + ⇔ ≥ • . 0a b a b a b− = + ⇔ ≤ V. Bất đẳng thức trong tam giác : Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : • a > 0, b > 0, c > 0 • b c a b c− < < + • c a b c a− < < + • a b c a b− < < + • a b c A B C> > ⇔ > > VI. Các bất đẳng thức cơ bản : a. Bất đẳng thức Cauchy: Cho hai số không âm a; b ta có : 2 a b ab + ≥ Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b Tổng quát : Cho n số không âm a 1 ,a 2 , .a n ta có : 1 2 1 2 . . . n n n a a a a a a n + + + ≥ Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = .= a n 30 Cao Minh Nhân Cao Minh Nhân b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + + Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx Tổng quát : Cho hai bộ số 1 2 ( , , . ) n a a a và 1 2 ( , , ., ) n b b b ta có : 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( . ) ( . )( . ) n n n n a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + + Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 . n n a a a b b b = = = với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có: 1 1 1 1 ( ) 4a b a b ≤ + + Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức : Ta thường sử dụng các phương pháp sau 1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng . Ví du1ï: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. 2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + + với mọi số thực a,b,c 2. 2 2 1a b ab a b+ + ≥ + + với mọi a,b Ví dụ 2: Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b 0 ≥ , chứng tỏ rằng: 3 3 3 ( ) 2 2 a b a b+ + ≥ Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì 16)1 21 ()1( 2 2 ≥+++ x x x 2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 2 2 2 2( )+ + < + +a b c ab bc ca Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 4 5 =+ yx . Chứng minh rằng: 5 4 14 ≥+ xx 31 Cao Minh Nhân Cao Minh Nhân Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: zxyzxyzyx 53423 ++≥++ Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có: )(2 11 22 yx yx yx +≥+++ Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 0)2()2()2( ≥−++−++−+ baccaacbbccbaab Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng : zyxzyx ++≥++ 333 Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng : 33 ≥ xyx Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng : 9 ≥ ++ + ++ + ++ c cba b cba a cba Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn 1 ≤++ zyx . Chứng minh rằng : 10 111 ≥+++++ zyx zyx Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng : 3 b c c a a b a b c a b c + + + + + ≥ + + + 3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: 2 1cos 2 x x −> với mọi x > 0 Ví dụ 3 : Chứng minh bất đẳng thức: xtgxx 2sin >+ với mọi ) 2 ;0( π ∈ x Ví dụ 4 : Với 2 0 π << x , chứng minh 1 2 3 sin2 222 + >+ x tgxx BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 33 1 11 33 3333 ≥ ++ + ++ + ++ zx xz yz zy xy yx Khi đẳng thức xảy ra? Bài 2: Chứng minh rằng với mọi x R ∈ , ta có: xxx xxx 543 3 20 4 15 5 12 ++≥ + + Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài 3: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn 4 111 =++ zyx . Chứng minh rằng : 1 2 1 2 1 2 1 ≤ ++ + ++ + ++ zyxzyxzyx Bài 4: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức abccabcab =++ , chứng minh rằng: 3 222 222222 ≥ + + + + + ca ca bc bc ab ab 32 . ≤ + • . 0a b a b a b+ = + ⇔ ≥ • . 0a b a b a b− = + ⇔ ≤ V. Bất đẳng thức trong tam giác : Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : • a > 0, b >