20 đề thi HSG Toán 8 cấp huyện

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ MÔN: TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y  Chứng minh 2 x  y x y   2 0 y 1 x 1 x y  3 Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x 1 x  x  x  x  x       2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh  EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) (0,25đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) =(x–1)(x–2)2 (0,25đ) b) (0,75đ) Xét A 10x  7x    5x   B 2x  2x  Với x  Z A B  Z  2x  (0,25đ) ( 2x – 3) (0,25đ) Mà Ư(7) = 1;1; 7;7  x = 5; - 2; ; A B (0,25đ) c) (1,5đ) Biến đổi = x x y = x  x  y4  y  y3  x  (y3  1)(x  1)  y   (x  y) xy(y  y  1)(x  x  1) ( x + y =  y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) = = =  x  y  x  y   x  y   (x  y) xy(x y  y x  y  yx  xy  y  x  x  1)  x  y  (x  y  1) xy  x y  xy(x  y)  x  y  xy    x  y  (x  x  y  y) xy  x y  (x  y)   (0,25đ) =  x  y  x(x  1)  y(y  1)  xy(x y  3) =  x  y  x( y)  y(x)  =  x  y  (2xy) xy(x y  3) (0,25đ) (0,25đ) xy(x y  3) (0,25đ) 2(x  y) x y2  = Suy điều cần chứng minh (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = (0,25đ)  (y  y2 + 6)(y - 2) = (0,25đ) * x2 + x (0,25đ) y + 6y - 2y -12 = = - 6; y = = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = (0,25đ)  x2 +x -2=0 + 2) – (x + 2) = (0,25đ)  x(x  (x  x2 + 2x - x - = + 2)(x - 1) = x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 x 1 x  x  x  x  x        2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x2 x 3 x4 x 5 x 6 (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 b) (1,75đ)  x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      2008 2007 2006 2005 2004 2003  x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      0 2008 2007 2006 2005 2004 2003  ( x  2009 )( 1  2006 2003 1 1 1      )0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,5đ) Vì (0,25đ) 1  2008 2005 ; 1 ;  2007 2004 Do : x 1 1 1      0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 = -2009 (0,25đ) Vậy x + 2009 = E I 1 Bài 3: (2 điểm) B C F a) (1đ) O Chứng minh  EDF vng cân A D Ta có  ADE =  CDF (c.g.c)   EDF cân D Mặt khác:  ADE =  CDF (c.g.c)  Eˆ  Fˆ2 Mà  Eˆ  Eˆ  Fˆ1 EDF = = 900  Fˆ2  Eˆ  Fˆ1 = 900 900 Vậy  EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng  CO trung trực BD Mà  EDF vuông cân  DI = EF B Tương tự BI = EF  DI = BI D  I thuộc dường trung trực DB  I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng A Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với  ADE vuông A có: C E DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) = 2(x – a2 )2 + a2 a2  2 có DE (0,25đ) Ta nhỏ  DE2 nhỏ  x =a (0,25đ)  BD = AE = a  D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) 2 2 (0,25đ) = – (AD2 – AB AD + AB2 ) + AB2 = – (AD – AB ) AB2 AB2  + (0,25đ) Vậy SBDEC = SABC – SADE  AB2 – AB2 = AB2 khơng đổi (0,25đ) Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: x  16 A  x x2  Bài 3: Cho phân thức: 5x  2x  2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 4: a) Giải phơng trình : x2   x  x x ( x  2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải tốn sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hồn thành trớc kế hoạch ngày cịn vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ∆ ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) Tính : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích ∆ AHM ? BIỂU ĐIỂM - ĐÁP ÁN Đáp án Biểu điểm Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 điểm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 điểm) A= x(4 x  16 x[(2 x)  x(2 x  4)(2 x  4) x.2( x  2).2( x  2)     4( x  2)  x  x( x  2) x( x  2) x  2x x  2x Bài 3: (2 điểm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1)   2x  x +   x  x  -1 (1 điểm) b) Rút gọn: 5x  5( x  1)   2 x  x x( x  1) x (0,5 điểm) 5    2x  x  2x (0,25 điểm) Vì thoả mãn điều kiện hai tam giác nên x (0,25 điểm) Bài 4: a) Điều kiện xác định: x  0; x  - Giải: x(x  2) - (x - 2)  x2  x ( x  2) x ( x  2) + 2x – x +2 = 2; 1đ x= (loại) x = - Vậy S =  1 b)  x2 – < x2 + 4x +  x2 – x2 – 4x < +  - 4x < 16  x> - Vậy nghiệm phơng trình x > -  Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13  57x – 57 – 50x = 13  7x = 70  x = 10 (thoả mãn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) Xét ∆ ABC ∆ HBA, có: Góc A = góc H = 900; có góc B chung  ∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc góc) b) áp dụng pitago ∆ vng ABC ta có : BC = AB  AC ∆ ABC ~ ∆ HBA nên  AH BH = 1đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1đ 1đ 25 (cm) 1đ AB AC BC 15 20 25   hay   HB HA BA HB HA 15 1đ = 152  202 = 625 = = 20 05  12 (cm) 25 15 15  (cm) 25 HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) c) HM = BM – BH = BC  BH SAHM = AH HM =  25   3,5(cm) 12 3,5 = 21 (cm2) 1đ ... 200 9 x  200 9 x  200 9      200 8 200 7 200 6 200 5 200 4 200 3  x  200 9 x  200 9 x  200 9 x  200 9 x  200 9 x  200 9      0 200 8 200 7 200 6 200 5 200 4 200 3  ( x  200 9 )( 1  200 6 200 3 1... 1      )0 200 8 200 7 200 6 200 5 200 4 200 3 (0,5đ) Vì (0,25đ) 1  200 8 200 5 ; 1 ;  200 7 200 4 Do : x 1 1 1      0 200 8 200 7 200 6 200 5 200 4 200 3 = -200 9 (0,25đ) Vậy x + 200 9 = E I 1 Bài...   200 8 200 7 200 6 200 5 200 4 200 3 x 1 x2 x 3 x4 x 5 x 6 (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1) 200 8 200 7 200 6 200 5 200 4 200 3 b) (1,75đ)  x  200 9 x  200 9 x  200 9 x  200 9