GV : ẹaởng Vaờn Duừng Trng THPT TAN KE Khao sat ham sụ va cac võn ờ liờn quan Dõu a thc + Tim nghiờm cua a thc + Nờu a thc co nghiờm : Khoang t nghiờm ln nhõt ờn + a thc cung dõu vi bõc cao nhõt ; qua mụi nghiờm n , a thc ụi dõu; qua nghiờm nghiờm kep, a thc khụng ụi dõu + Nờu a thc vụ nghiờm thi cung dõu vi hờ sụ cua bõc cao nhõt cua a thc + ax + b co nghiờm hoc ụi dõu khi a khac 0 + ax 2 + bx + c ụi dõu khi 0 > , ax 2 + bx + c co 2 nghiờm phõn biờt va ụi dõu 2 lõn khi 0 > Nghiờm kep cua a thc ( ) 2n x a 0 x a = = : nghiờm kep cua pt Tinh n diờu cua ham sụ Phng phap giai toan 1/. ờ xet s biờn thiờn cua ham sụ, ta thc hiờn nh sau : + Tim TX cua ham sụ + Tim ao ham : y / = f / ( x ) + Lõp bang biờn thiờn Kờt luõn ( y / > 0 trờn khoang nao , ham sụ ụng biờn trờn khoang o , y / < 0 trờn khoang nao, ham sụ nghich biờn trờn khoang o ) 2/. inh tham sụ m ờ ham sụ y = f ( x; m ) ụng biờn hay nghich biờn trờn khoang K( co thờ la ( a; b) , [ ] [ ) ( ] ( ) a;b , a;b , a;b , ; + ) + Tim TX cua ham sụ + Tim ao ham cua ham sụ y / = f / ( x; m ) + Ham sụ ụng biờn trờn khoang K khi ( ) / f x;m 0, x K ( nghich biờn trờn K khi ( ) / f x; m 0, x K + Khai triờn ( ) / f x; m 0, x K ; a tham sụ m vờ mụt vờ, ta c dang g(x) m hay g(x) m (*) + Lõp bang biờn thiờn cua g(x) trờn K; Nhin vao BBT nõy va (*) ờ tim m Bai tõp ap dung : Cac bai tõp trong sach giao khoa trang 7 , 8 , 9 Cc tri cua ham sụ Phng phap giai toan 1/. Tim cc tri cua ham sụ y = f ( x ) + Tim TX + Tim y / = f / (x) trờn TX + Xet dõu y / - Lõp BBT Kờt luõn 2/. inh tham sụ m ờ ham sụ y = f(x,m) co cc tri + Ham sụ co cc tri khi y / co nghiờm va ụi dõu 3/. inh tham sụ m ờ ham sụ y = f ( x, m ) co 2 cc tri + Ham sụ co 2 cc tri khi y / co 2 nghiờm phõn biờt va ụi dõu 2 lõn 4/. Ham sụ at cc tri tai 0 x x= + Nờu f(x,m ) la ham sụ a thc : * f at cc tri tai 0 x x= ( ) ( ) / 0 // 0 f x 0 f x 0 = ( hoc hm s lng giỏc ) * f at cc ai tai 0 x x= ( ) ( ) / 0 // 0 f x 0 f x 0 = < * f at cc tiờu tai 0 x x= ( ) ( ) / 0 // 0 f x 0 f x 0 = > 7 1 GV : ẹaởng Vaờn Duừng Trng THPT TAN KE + Nờu f(x,m ) la ham sụ hu ti : * f at cc tri tai 0 x x= nờn ( ) / 0 f x 0 m ?= = * Th lai : Thờ m va tim c vao f / va lam ờn BBT Mụt sụ chu y 1/. Xet ham sụ ( ) ( ) P x y f (x) Q x = = , P(x) va Q(x) khụng co nghiờm chung ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / 2 P x Q x P x Q x y f x Q x + = = + y at cc tri tai 0 x x= nờn ( ) / 0 y x 0= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / 0 0 0 0 2 0 P x Q x P x Q x 0 Q x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / 0 0 0 0 / / 0 0 0 0 / 0 0 0 / 0 0 P x Q x P x Q x 0 P x Q x P x Q x P x P x f x * Q x Q x = = = = * ( ) 0 f x : gia tri cc tri cua f(x) : ờ tinh cc tri cua ham sụ hu ti ma cụng thc f(x) hay 0 x qua phc tap , ta lõy ao ham cua t, ao ham cua mõu , rụi thờ 0 x vao * T (*) , ta thõy toa ụ iờm cc tri ( ) ( ) 0 0 x ;f x thoa phng trinh ( ) ( ) / / P x Q x Võy phng trinh biờu diờn cac iờm cc tri cua ham sụ ( ) ( ) P x y f (x) Q x = = la ( ) ( ) / / P x y Q x = ( Phng trinh ng thng qua cac iờm cc tri ) * Phai chng minh nh trờn, rụi ap dung cu thờ vi P(x) = ?, Q(x) = ? 2/. Cn c vao dang ụ thi ( C ) cua ham sụ 2 ax bx c y ;am 0 mx n + + = + , ta co : + Ham sụ co C, CT va GTC , GTCT cung dõu khi ụ thi ( C ) ct truc hoanh tai hai iờm phõn biờt y / = 0 co 2 nghiờm phõn biờt va phng trinh y = 0 co 2 nghiờm phõn biờt + Ham sụ co C , CT va GTC, GTCT trai dõu khi ( C ) khụng co iờm chung vi truc hoanh y / = 0 co 2 nghiờm phõn biờt va phng trinh y = 0 vụ nghiờm 3/. ụi vi ham sụ a thc y = f ( x ) = P(x) + Lõy y chia y / ; ta c f ( x ) = f / ( x ) q(x) + r ( x ) vi q ( x ) la thng, r(x) la d trong phep chia y cho y / + f( x ) at cc tri tai 0 x x= nờn ( ) / 0 f x 0= Do o : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 0 0 0 0 0 f x f x q x r x r x= + = + Toa ụ iờm cc tri thoa phng trinh y = r(x) Võy cac iờm cc tri cua ham sụ nm trờn ụ thi cua ham sụ y = r ( x )( pt biờu diờn cac iờm cc tri cua ham sụ la y = r ( x ) ) * Phai chng minh nh trờn , rụi ap dung cu thờ vi y = ? va y / = ? 4/.*Ham sụ y = 3 2 ax bx cx d+ + + co 2 cc tri va GT cc tri trai dõu thi phng trinh 3 2 ax bx cx d 0;a 0+ + + = co ba nghiờm phõn biờt * Ham sụ y = 3 2 ax bx cx d+ + + co 2 cc tri va GT cc tri cung dõu hoc khụng co cc tri thi pt 3 2 ax bx cx d 0;a 0+ + + = co 1 nghiờm 7 2 GV : ẹaởng Vaờn Duừng Trng THPT TAN KE Bai tõp ap dung Bai 1: Cho ham sụ y = x 3 mx m co ụ thi ( ) m C , m la tham sụ 1/. inh m ờ ( ) m C ct truc hoanh tai ba iờm phõn biờt 2/. Khao sat s biờn thiờn va ve ụ thi ( C ) cua ham sụ khi m = 1 3/. Goi ( d ) la ng thng qua iờm uụn I cua ( C ) va co hờ sụ goc la k. inh k ờ ( d) ct ( C ) tai 3 iờm phõn biờt I, A, B . Khi o CMR : I luụn la trung iờm cua AB 4/. Tinh diờn tich hinh phng gii han bi ( C ) va ( d ) ng vi k = 1 Bai 2: Cho ham sụ y = x 3 + 3x 2 + mx + m 2 , co ụ thi ( ) m C , m la tham sụ 1/. Khao sat s biờn thiờn va ve ụ thi cua ham sụ khi m = 3 . Goi ụ thi la ( C ) 2/. Goi A la giao iờm cua ( C ) va truc tung. Viờt pttt cua ( C ) tai A. Tinh diờn tich hinh phng gii han bi ( C ) va tiờp tuyờn nõy 3/. Tim gia tri cua m ờ ( ) m C ct truc hoanh tai 3 iờm phõn biờt Bai 3: Chng minh rng ụ thi cua ham sụ y = x 4 x 3 - 5 x 2 + 1 co ba iờm cc tri nm trờn mụt parabol Bai 4 : Cho ham sụ ( ) 2 x m 1 x m 1 y x m + + + = , m la tham sụ Chng minh rng vi moi gia tri cua tham sụ m , ham sụ luụn co cc ai va cc tiờu. inh m ờ GTC va GTCT trai dõu . Viờt phng trinh ng thng qua cac iờm cc tri cua ham sụ * Cac bai tõp sach giao khoa trang 16 + 17 Gia tri ln nhõt Gia tri nho nhõt cua ham sụ Phng phap giai toan Tim GTLN- GTNN cua ham sụ y = f ( x ) trờn K + K la khoang ( a ; b ) : Lõp BBT Kờt luõn + K = [a;b] : Giai pt y / = 0 trờn oan [ a; b ] , gia s nghiờm la 0 1 x ;x Tinh gia tri cua ham sụ tai 0 1 x ;x ; tai a; b So sanh cac kờt qua * Cac bai toan thc tờ : T iờu kiờn cua ờ bai , lõp ham sụ va diờu kiờn xac inh cua ham sụ ; rụi tim GTLN hay GTNN theo cach trờn ụ thi cua ham sụ Phep tinh tiờn hờ toa ụ 1/. ụ thi cua ham sụ y = f ( x ) , x D la tõp hp cac iờm co toa ụ thoa pt y = f ( x ) + Mụt iờm nm trờn ụ thi thi toa ụ cua no nghiờm ung pt ụ thi va ngc lai mụt iờm co toa ụ nghiờm ung pt ụ thi thi iờm o nm trờn ụ thi 2/. Cụng thc ụi hờ truc toa ụ : T hờ Oxy sang hờ IXY vi ( ) 0 0 I x ; y : 0 0 x X x y Y y = + = + ( Toa ụ cu bng toa ụ mi cụng gục mi ) 3/. ụ thi cua ham sụ le ụi vi hờ truc toa ụ nao thi nhõn gục toa ụ cua hờ o lam tõm ụi xng ng tiờm cõn cua ụ thi y = f( x ) Phng phap giai toan 1/. Tiờm cõn ng : 0 0 0 0 x x x x x x x x lim y ; lim y ; lim y ; lim y + + = + = = + = . Mụt trong cac gii han nõy tụn tai thi 0 x x= la tiờm cõn ng cua ụ thi 2/. Tiờm cõn ngang : 0 x 0 0 x lim y y y y : TCN lim y y + = = = cua ụ thi 3/. Tiờm cõn xiờn : 7 3 GV : ẹaởng Vaờn Duừng Trng THPT TAN KE * ( ) * x x y lim a ; lim y ax b y ax b : TCX x = = = +Ă Ă cua ụ thi vờ phia * ( ) / * / / / / x x y lim a ; lim y a x b y a x b : TCX x + + = = = +Ă Ă cua ụ thi vờ phia + * Nờu / / a a ;b b= = thi y = ax + b la TCX cua ụ thi Bai tõp Tuy theo gia tri cua tham sụ m tim cac tiờm cõn cua ụ thi ham sụ 2 x mx 1 y x 1 + + = Chu y : Ham sụ a thc khụng co tiờm cõn Tng giao cua hai ụ thi * Sụ giao iờm cua hai ụ thi ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 C : y f x ; C : y g x= = + Lõp phng trinh hoanh ụ giao iờm cua ( ) ( ) 1 2 C & C : f( x ) = g( x) ( * ) + Sụ nghiờm va tinh chõt nghiờm cua phng trinh ( * ) la sụ giao iờm cua ( ) ( ) 1 2 C & C * ng thng ct ụ thi cua ham sụ hu ti tai 2 iờm thuục hai nhanh hoc cung thuục mụt nhanh cua ụ thi + Lõp phng trinh hoanh ụ giao iờm ( 1 ) + ng thng ct ụ thi tai hai iờm thuục hai nhanh cua ụ thi khi va chi khi pt ( 1 ) co hai nghiờm phõn biờt 1 2 1 2 x ; x ,x x< va 1 0 2 x x x< < , vi 0 x x= la TC cua ụ thi + ng thng ct ụ thi tai hai iờm thuục cung mụt nhanh cua ụ thi khi va chi khi pt ( 1 ) co hai nghiờm phõn biờt 1 2 1 2 x ; x ,x x< va 1 2 0 0 1 2 x x x hay x x x< < < < , vi 0 x x= la TC cua ụ thi Biờn luõn phng trinh bng dụ thi * Bng phng phap ụ thi hay biờn luõn theo m sụ giao iờm cua phng trinh f( x , m ) = 0 + Viờt lai phng trinh a cho + Chuyờn tham sụ m vờ mụt vờ, khụng co m vờ mụt vờ + t tham sụ m lam tha sụ chung ; a vờ dang : Co mụt vờ la ham sụ va khao sat ; mụt vờ la ng thng y = g( m ) ( khụng cha x ) song song hoc trung vi truc hoanh + Da vao ụ thi ma biờn luõn : Sụ giao iờm cua ng thng y = g( m ) va ( C ) cung la sụ nghiờm cua phng trinh a cho Tiờp tuyờn vi ụ thi ( C ): y = f( x ) a) Co tiờp iờm Trong ờ bai co ch tai , hoc biờt tiờp iờm Phng trinh tiờp tuyờn cõn tim co dang : ( ) ( ) / 0 0 0 y f x x x y= + Trong o : 0 x : hoanh ụ tiờp iờm ; 0 y : Tung ụ tiờp iờm ; ( ) / 0 f x : thờ 0 x vao ( ) / f x ( ao ham cua ham sụ xac inh ( C ) ) b) Khụng co tiờp iờm Trong ờ bai khụng co ch tai + Viờt phng trinh ng thng ( d ) thoa iờu kiờn ờ bai cho dang y = kx + b + ( d ) tiờp xuc vi ( C ) hờ phng trinh sau co nghiờm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / kx b f x 1 kx b f x 2 + = + = ( pt (1)la pt hoanh ụ giao iờm cua ( d ) va ( C ), pt (2 )la ao ham 2 vờ cua pt (1)) * Hờ phng trinh trờn c goi la hờ phng trinh hoanh ụ tiờp iờm * Nờu hờ co bao nhiờu nghiờm thi co bõy nhiờu phng trinh tiờp tuyờn, hờ vụ nghiờm thi khụng co tiờp tuyờn c) Hai ng cong ( C 1 ):y = f (x), (C 2 ): y = g(x) tiờp xuc nhau + ( C 1 ) va ( C 2 ) tiờp xuc nhau hờ phng trinh sau co nghiờm 7 4 GV : ẹaởng Vaờn Duừng Trng THPT TAN KE + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / f x g x 1 f x g x 2 = = ( pt ( 1 ) la pt hoanh ụ giao iờm cua 2 ụ thi ; pt ( 2 ) la ao ham 2 vờ cua pt ( 1 ) ) + Giai hờ pt nõy ( Hờ pt nõy c goi la hờ pt hoanh ụ tiờp iờm ) + Kờt luõn * Chu y : Hai ng thng ( ) ( ) / / / d : y kx b & d : y k x b= + = + ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / / k k * d // d * d d k.k 1 b b = = iờm cụ inh cua ng cong ( C m ) : y = f( x , m ) + Biờn ụi phng trinh cua ( C m ) thanh mụt a thc theo m ( bng cach khai triờn, chuyờn m vờ mụt vờ, khụng co m vờ mụt vờ, t m lam tha sụ chung; a vờ dang Am = B . Nờu m co luy tha 2 tha a vờ dang Am 2 + Bm + C = 0 ) + Toa ụ iờm cụ inh la nghiờm cua hờ phng trinh ( ) ( ) A 0 A 0 * hay B 0 ** B 0 C 0 = = = = = + Nờu co mõu thi phai nh t iờu kiờn mõu khac 0, ờ loai gia tri cua tham sụ m * Chu y : Nờu hờ pt ( * ) ; (**) vụ nghiờm thi khụng co iờm cụ inh hay cac iờm ma ho ụ thi khụng i qua Bai tõp Bai 1: Tim iờm cụ inh cua ho ụ thi sau ( ) 2 2 mx m 1 x m mx 2 1/. y 2 /. y x 10 2x m + + + + = = + + 2 x 1 mx 3 3/. y 4 /. y mx 1 x 1 mx 4 x x 2 5/. y 6/. y x m x m + + = = + = = + Bai 2 Chng minh rng ho ng cong ( ) ( ) 2 m 2x m 1 x 3 H : y x m + + + = + khụng co iờm cụ inh Bai 3 Tim tõp hp cac iờm trờn mt phng ma ho ụ thi ( ) ( ) ( ) 2 m m 2 x m 2m 4 C : y x m + = ( vi m la tham sụ ) , khụng thờ i qua du m lõy bõt ky gia tri nao Tim quy tich cua iờm M ( Tim tõp hp cac iờm M ) + Tim toa ụ cua iờm M ; viờt toa ụ M di dang x M : y = = + Nờu x = a khụng ụi : thi quy tich M la ng thng x = a + Nờu y = b khụng ụi : thi quy tich M la ng thng y = b + Nờu ca x va y ờu co cha tham sụ m ; ta kh tham sụ m gia x va y ( thng ta tinh m t x rụi thờ vao y , ờ dờ gii han quy tich ) + T iờu kiờn ờ tụn tai iờm M ; ta gii han quy tich + Kờt luõn Tim iờm nguyờn trờn ụ thi ( iờm co toa ụ nguyờn ) * Ham sụ xac inh ụ thi co dang ( ) ( ) P x y Q x = 7 5 GV : ẹaởng Vaờn Duừng Trng THPT TAN KE + Lõy t chia mõu , c dang ( ) ( ) * k y R x ;k Q x = + Ă + ờ x , y   thi Q(x) la c cua k ( thi du c sụ cua 6 la 1; 2; 3; 6 ) + T o tim x va y Kờt luõn Tim tõm ụi xng cua ụ thi ( C ): y = f( x ) * Chu y : ụ thi cua ham sụ bõc ba co tõm ụi xng la iờm uụn; ụ thi cua ham sụ co tiờm cõn thi tõm ụi xng la giao iờm cua hai ng tiờm cõn . + Goi I la iờm uụn cua ụ thi hoc la giao iờm hai tiờm cõn cua ụ thi ; toa ụ cua ( ) 0 0 I x ; y + ụi hờ truc toa ụ Oxy thanh IXY bng phep tinh tiờn theo vecto OI uur + Cụng thc ụi truc 0 0 x X x y Y y = + = + ( toa ụ cu bng toa ụ mi cụng gục mi ) + Phng trinh ụ thi thanh : ( thờ x , y vao pt ( C ) ) + Biờn ụi rut gon thanh ham sụ Y theo X , va chng to ( hoc kờt luõn ) Y la ham sụ le ụi vi hờ IXY ( Bng cach chng to : Y ( - X ) = - Y ( X ) ) + Kờt luõn ụ thi co tõm ụi xng la ( ) 0 0 I x ; y Truc ụi xng cua ụ thi a) Cac ụ thi co truc ụi xng + ụ thi cua ham sụ chn ụi vi hờ truc toa ụ nao , nhõn truc tung cua hờ õy lam truc ụi xng + ụ thi cua ham sụ trung phng y = ax 4 + bx 2 + c vi a khac 0 co truc ụi xng la truc tung b) Tim hai iờm trờn ụ thi ụi xng nhau qua ng thng cho trc * Tim 2 iờm trờn ụ thi ( C ) : y = f ( x ) ụi xng nhau qua ng thng ( d ) cho trc y = mx + n + Goi ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f M x ; y C y f x ; x D = ( 0 0 ;x ; y cha biờt ) + Goi ( ) la ng thng vuụng goc vi ( d ) : y = kx + b ( ) ( ) 1 d m.k 1 k m = = : biờt c ( ) 1 : y x b m = + ( con b cha biờt ) ( ) qua 0 0 0 1 M y x b m = + ( cha 0 x va b ) ( ) pt ( Chi con cha 0 x ) + Toa ụ giao iờm I cua ( ) va ( d ) : Hờ pt gụm pt cua ( ) va ( d ) ( chi cha 0 x ) + 0 1 M & M ụi xng nhau qua ( d ) I la trung iờm cua 0 1 M M Dung cụng thc toa ụ trung iờm cua oan thng tim c toa ụ cua 1 M theo toa ụ cua 0 M ( toa ụ 1 M co chi cha 0 x ) + ( ) ( ) 1 1 1 M M M C y f x = : T õy tim c 0 x 0 y + Kờt luõn Bai tõp ap dung Bai 1 Cho ham sụ 2x 4 y x 1 = + co ụ thi ( C ) 1/. Khao sat s biờn thiờn va ve ụ thi cua ham sụ trờn 2/. Tim trờn ụ thi ( C ) hai iờm ụi xng nhau qua ng thng MN vi M ( - 3 ; 0 ) va N ( - 1 ; - 1 ) Bai 2 Cho ham sụ x 1 y x 1 = + 1/. Khao sat s biờn thiờn va ve ụ thi ( C ) cua ham sụ trờn 2/. Chng minh ụ thi ( C ) nhõn ng thng y = x + 2 lam truc ụi xng 7 6 GV : ẹaởng Vaờn Duừng Trng THPT TAN KE Bai 3 Cho ham sụ 2 x y x 1 = 1/. Khao sat s biờn thiờn va ve ụ thi ( C ) cua ham sụ trờn 2/. Tim trờn ụ thi ( C ) hai iờm A va B ụi xng nhau qua ng thng ( d ) : y = x 1 7 7