Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp đếm hai lần và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ THÚY HÒA PHƢƠNG PHÁP ĐẾM HAI LẦN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ THỊ THÚY HÒA PHƢƠNG PHÁP ĐẾM HAI LẦN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Đặt vấn đề 1.1.1 Cơ sở phương pháp đếm 1.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp Một số phương pháp giải toán đếm toán tổ hợp 13 1.2.1 Sử dụng công thức bao hàm loại trừ 13 1.2.2 Sử dụng phương pháp hệ thức truy hồi 16 1.2.3 Sử dụng phương pháp liệt kê trường hợp 18 1.2.4 Xây dựng song ánh giải số toán tổ hợp 21 Vận dụng phương pháp đếm hai lần vào giải toán đếm 25 2.1 Ý tưởng phương pháp đếm hai lần 2.2 Một số nguyên lý, tính chất toán tổ hợp thường vận dụng vào giải toán đếm 2.3 2.4 25 29 Vận dụng phương pháp đếm hai lần vào giải toán đếm 32 2.3.1 Đếm số tập con, số cặp số hoán vị 32 2.3.2 Phương pháp đếm hai lần đồ thị hữu hạn 47 2.3.3 Phương pháp ma trận liên thuộc 51 Một số toán đề nghị 62 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Mở đầu Toán tổ hợp toán khó, thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia quốc tế Chính tốn tổ hợp ln dành quan tâm lớn từ bạn học sinh, thầy, giáo nhà tốn học Mặc dù vậy, tài liệu cho toán tổ hợp dành cho học sinh giỏi Việt nam hạn chế Phương pháp đếm hai lần “double counting” nhóm tác giả Law Ka Ho, Leung Tat Wing Li Kim Jin đăng tải tạp chí Mathematical Excalibur (Volume 13, Number 4, 2008) đưa minh họa sinh động cho việc vận dụng phương pháp đếm hai lần vào giải vài đề thi toán quốc tế Xuất phát từ thực tế với mục đích tích lũy thêm kiến thức cách giải toán đếm toán tổ hợp với phương pháp đếm hai lần vận dụng vào giải số toán đếm đề thi học sinh giỏi nước quốc tế làm tư liệu cho công việc giảng dạy thân, lựa chọn hướng nghiên cứu vận dụng phương pháp đến hai lần vào giải số toán đếm Luận văn tập trung vào hồn thành nhiệm vụ sau: • Tìm hiểu tốn đếm tốn tổ hợp ngun lý, tính chất tốn tổ hợp thường vận dụng để đưa lời giải cho tốn đếm • Cơ sở tốn học phương pháp “Đếm hai lần” việc tìm lời giải cho tốn đếm tốn tổ hợp • Sưu tầm số toán, đề thi toán đếm toán tổ hợp dành cho học sinh giỏi • Đưa lời giải cách vận dụng phương pháp “Đếm hai lần” cho số toán đếm dành cho học sinh giỏi Ngoài luận văn đưa cách giải khác toán đếm so sánh phương pháp giải với việc vận dụng phương pháp đếm hai lần để có nhận xét thú vị Thái Nguyên, ngày 31 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Đỗ Thị Thúy Hòa Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đặt vấn đề Như biết, khái niệm hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp hình thành từ phép đếm Các khái niệm đời giúp trình bày tốn đếm đơn giản Tuy nhiên, gặp chứng minh đẳng thức liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp thường sử dụng biến đổi đại số khai triển nhị thức Newton để chứng minh Do đó, việc chứng minh tốn tổ hợp khái niệm khơng có mối quan hệ Điều nhiều làm vẻ đẹp khái niệm tốn học nói chung khái niệm hoán vị, chỉnh hợp nói riêng Trong nội dung chương luận văn, tơi giới thiệu cách chứng minh tốn tổ hợp phương pháp đếm Nội dung mục tham khảo chủ yếu tài liệu [1] số toán hay đề thi học sinh giỏi tác giả sưu tầm trình bày 1.1.1 Cơ sở phương pháp đếm Một toán tổ hợp thường liên quan mật thiết với việc “đếm” số khả thực hành động Phép đếm có hai quy tắc phép cộng phép nhân Quy tắc 1.1 (Quy tắc cộng) Giả sử có k cơng việc T1 , T2 , , Tk Các việc làm tương ứng n1 , n2 , , nk cách giả sử khơng có hai việc làm đồng thời Khi số cách làm k việc n1 + n2 + · · · + nk Quy tắc cộng phát biểu dạng ngôn ngữ tập hợp sau: Cho n tập hợp A1 , A2 , , An tập hợp hữu hạn đôi rời nhau, tức ∀1 ≤ i, j ≤ n, Ai ∩ Aj = ∅ i = j Khi số cách chọn a1 , n a2 , , an số cách chọn phần tử a thuộc n n | Ak | = k=1 Ak k=1 |Ak | k Ví dụ 1.1 Trong tiết tự học, bàn giáo viên có 10 sách tiếng Anh, 10 tập Toán tập Hóa Hỏi có cách chọn sách? Chứng minh Gọi A1 , A2 , A3 tập sách tiếng Anh, tập Tốn tập Hóa Khi đó, có 10 cách chọn sách tiếng Anh, tức |A1 | = 10 Có 10 cách chọn tập Toán, tức |A2 | = 10 Có cách chọn tập Hóa, nghĩa |A3 | = Vậy, theo quy tắc cộng, số cạch chọn sách |A1 | + |A2 | + |A3 | = 10 + 10 + = 25 Bản chất toán học quy tắc cộng cơng thức tính số phần tử hợp n tập hợp hữu hạn đôi không giao Tuy nhiên nhiều toán tổ hợp, phải tính số phần tử hợp n tập hợp (khơng thiết rời nhau) Khi đó, ta có quy tắc cộng cho số phần tử hợp n tập hợp bất kỳ, thường gọi công thức bao hàm loại trừ Định lý 1.1 (Công thức bao hàm loại trừ) Cho n ≥ tập hợp hữu hạn A1 , , An Khi ta có n |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | = i=1 |Ai ∩ Aj ∩ Ak | |Ai ∩ Ak | + |Ai | − 1≤i