chithanhtranvl@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI 1. Dạng cơ bản: 2 B 0 A B A B ≥ = ⇔ = (dạng 1) ( ) A 0 hoặc B 0 A B A B ≥ ≥ = ⇔ = (dạng 2) 2 A 0 A B B 0 A B ≥ < ⇔ > < (dạng 3) 2 A 0 A B B 0 A B ≥ ≤ ⇔ ≥ ≤ (dạng 4) 2 B 0 A 0 A B B 0 A B < ≥ > ⇔ ≥ > (dạng 5) 2 B 0 A 0 A B B 0 A B ≤ ≥ ≥ ⇔ ≥ ≥ (dạng 6) 2. Các dạng khác: a). Đặt điều kiện để phương trình có nghóa. b). Khử căn bậc hai: bình phương hai vế hoặc dùng ẩn số phụ c). Đưa về dạng cơ bản 3. Cần ghi nhớ: a). a có nghóa ⇔ a 0≥ b). ( ) a 0 a 0≥ ∀ ≥ c). ( ) 2 a a= d). 2 a a= e). 2 a nếu a 0 a a nếu a 0 ≥ = − ≤ g). Với a.b 0≥ . Ta có: 2 2 a b a b= ⇔ = h). Với a.b 0 ≥ . Ta có: 2 2 a b a b> ⇔ > 4. Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng : * Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản Ví dụ : Giải phương trình sau : a). 2 3x 9x 1 x 2 0− + + − = b). 2 x 1 x 1− = + c). 2 2 7 x x x 5 3 2x x− + + = − − * Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức Ví dụ : Giải phương trình sau : a). x 9 5 2x 4+ = − + b). 5x 1 3x 2 x 1 0− − − − − = c). 3x 2 x 7 1− − + = * Phương pháp 3 : Dùng ẩn số phụ Ví dụ : Giải các phương trình sau : a). 2 2 x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + = b). 2 2 2 x x 7 x x 2 3x 3x 19+ + + + + = + + c). 2 (x 5)(2 x) 3 x 3x+ − = + d). x 1 4 x (x 1).(4 x) 5+ + − + + − = e). 2 2 x x x x 9 3− + − + = f). 2 2 x 8x 12 x 8x 6− + = − + Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com 1 chithanhtranvl@gmail.com *Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số A 0 A.B 0 B 0 = = ⇔ = Ví dụ : Giải phương trình sau : 2 x 3x 2 1 x 3x 2 − − = − − * Phương pháp 5 : Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). • Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) . Do đó: Nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1. x 9 5 2x 4+ = − + 2. 2 4x 1 4x 1 1− + − = Bài tập tương tự: 1) x 1 4 x 1+ − − = (x=3) 2) x 5 2x 8 7+ + + = (x=4) 5. Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng : * Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : a) 2 x x 4x 1+ + < b) (x 1).(4 x) x 2+ − > − * Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức Ví dụ : Giải bất phương trình sau : a). x 3 2x 8 7 x+ ≥ − + − b). 2 x 1 x 1 x 2 4 + + − ≤ − (K.B98) c). 7x 1 3x 18 2x 7+ − − ≤ + (K.A98) d). 2 2(x 16) 7 x x 3 x 3 x 3 − − + − > − − (KA2004) * Phương pháp 3 : Dùng ẩn số phụ Ví dụ : Giải phương trình sau : a). 2 2 2x 4x 3. 3 2x x 1+ + − − > b). 2 2 5x 10x 1 7 x 2x+ + ≥ − − c). 2 (x 1)(x 4) 5 x 5x 28+ + < + + d). 2 2 3x 6x 4 2 2x x+ + < − − (GTVT98) * Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số hoặc thương số Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : a) 2 2 (x 3x). 2x 3x 2 0− − − ≥ (K.D2002) b) x 5 3 1 x 4 + − < − c). 2 1 1 4x 3 x − − < (NNHN98) d). ( ) 2 2 9x 2x 1 1 3x 1 > + + − (KA99) Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com 2 chithanhtranvl@gmail.com 6. Bài tập làm thêm: B1. Giải phương trình: a). 2 4 x x 2− = + b). 2 x x 1 1+ + = c). 2 x 4x 3 2x 5− + − = − d). 2x 2x 1 7− − = e). 2 x 2x 3 2x 1− + = + f). 3x 4 2x 1 x 3+ − + = + B2. Giải phương trình: a). 16 x 9 x 7− + + = b). x 1 1 x x 8+ = + − + c). x 8 x x 3+ − = + d) x x 1 x 2+ + = + e) x 1 3 x 4+ = − + f). x 2 5 x (x 2).(5 x) 4+ + − + + − = B3. Giải phương trình: a). 2 2 (4x 1). x 1 2x 2x 1− + = + + b). ( ) 2 2 x x 4 1 x 1 − = + + c). 2 x 4 x 4 2x 12 2 x 16+ + − = − + − d). 2 2 1 x 3 x 2x 1 + = + − B4. Giải phương trình: a). x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2 + + − + − − = b). 3 x 6 x 3 (3 x)(6 x)+ + − = + + − B5. Giải phương trình: 2 x x 5 5+ + = ( HD đặt y x 5= + ) B6. Giải bất phương trình: a). 2 x x 6 x 2+ − ≥ + b). 2 2(x 1) x 1− ≤ + c). 2 x x 12 x− − < d). 2 2x 5x 6 2 x+ − > − B7. Giải bất phương trình: a). x 11 x 4 2x 1+ ≥ − + − b). 3 x 5x 5 1− + > c). x 2 x 1 x+ − + ≤ d). x 3 x 1 x 2+ − − < − B8. Giải bất phương trình a). 2 2 2 x x 2 x 2x 3 x 4x 5+ − + + − ≤ + − b). 2 2 5x 10x 1 7 2x x+ + ≥ − − c). 2 2 2 x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4− + + − + ≥ − + B9. Giải bất phương trình a). 2 3x x 4 2 2 x − + + + < b). 2 2 1 3x 1 1 x 1 x > − − − c). x x 1 2 3 x 1 x + − > + d). 2 1 1 8x 1 2x − − < e). 2 1 1 4x 3 x − − < f). 2 x 7 0 4x 19x 12 − < − + B10. Giải bất phương trình a). ( ) 2 2 x 3 x 4 x 9− − ≤ − b). ( ) ( ) ( ) 2 2 4 x 1 2x 10 1 3 2x+ < + − + II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC 3 Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com 3 chithanhtranvl@gmail.com 1. Dạng cơ bản: 3 3 A B A B= ⇔ = (dạng 1) 3 3 A B A B= ⇔ = (dạng 2) 2. Dạng khác: 3 3 3 A B C+ = (1) a). Tam thừa 2 vế của (1) b). Thay 3 3 A B+ bởi 3 C , ta được: 3 A B 3 ABC C+ + = (2) c). Giải (2) và thử lại các nghiệm 3. Các ví dụ: a). 3 3 x 2 2x 3 1− + − = b). 3 3 x 4 x 3 1+ − − = (SP96) c). 3 3 3 2x 2 x 2 9x+ + − = 4. Bài tập làm thêm: B1. Giải phương trình: a). ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 3 x 3 x 3 2 x 3+ + − = − b). 3 3 3 x 1 x 1 x 2− + + = B2. Giải phương trình: 3 2 2 1 x 2 1 x 3− + − = (GTVT99) B3. Giải phương trình 3 3 x 1 2 2x 1+ = − ( HD đặt 3 y 2x 1= − ) III. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1. Cần ghi nhớ: 1). Với bài toán "Giải và biện luận phương trình chứa căn thức". Cần giải quyết 3 vấn đề: a/. Điều kiện có nghiệm ? b/. Có bao nhiêu nghiệm ? c/. nghiệm số bằng bao nhiêu ? 2). Với bài toán "Biện luận số nghiệm của phương trình". Cần giải quyết 2 vấn đề: a/. Điều kiện có nghiệm ? b/. Có bao nhiêu nghiệm ? 3). Với bài toán "Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm". Có thể dùng phương pháp đồ thò để giải quyết và ta có tính chất sau: phương trình f(x) = m có nghiệm ⇔ x D x D minf(x) m max f(x) ∈ ∈ ≤ ≤ 2. Các ví dụ: VD1: Giải và biện luận phương trình: a). x 1 x 1 m+ + − = b). x m x m m− + + = VD2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm a). x 1 3 x (x 1)(3 x) m− + − − − − = b). m x m x m+ + − = VD3: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình a). 2 x 1 x m+ = + b). 2 x 3 m. x 1+ = + 3. Bài tập làm thêm: B1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình a). 2 2 (2 x)(4 x) x 2x m 0+ − + − + = b). 44 4 x 4x m x 4x m 6+ + + + + = B2. Tìm m để phương trình có nghiệm a). 2 4x x x m− = + b). 3 x 6 x (3 x)(6 x) m+ + − − + − = c). 2 2 x x 1 x x 1 m+ + − − + = d). 2 x 9 x x 9x m+ − = − + + Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com 4 chithanhtranvl@gmail.com d). ( ) x x x 12 m 5 x 4 x+ + = − + − e). 1 x 8 x (1 x)(8 x) m+ + − + + − = B3. Giải và biện luận phương trình: 2 m x 3x 2 x− − + = (QGHN99) IV. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1. Cần ghi nhớ: 1.1) Với bài toán "Giải và biện luận bất phương trình chứa căn thức".T a cần thực hiện theo các bước như sau: b1). Đặt điều kiện để các biểu thức chứa căn có nghóa b2). Biến đổi tương đương để tìm x b3). Kiểm tra các điều kiện và kết luận 1.2) Với bài toán "Tìm m để bất phương trình có nghiệm x D∈ " hoặc "Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x D∈ ". Ta dùng phương pháp max, min Tính chất 1: bất phương trình m f(x)≤ có nghiệm x D∈ ⇔ x D m max f(x) ∈ ≤ bất phương trình m f(x)≥ có nghiệm x D∈ ⇔ x D m minf(x) ∈ ≥ Tính chất 2: bất phương trình m f(x)≤ nghiệm đúng với mọi x D∈ ⇔ x D m minf(x) ∈ ≤ bất phương trình m f(x)≥ nghiệm đúng với mọi x D∈ ⇔ x D m max f(x) ∈ ≥ 2. Các ví dụ: VD1: Giải và biện luận bất phương trình a). 2x m x− ≥ b). x m 2m x m− + ≤ + VD2: Cho bất phương trình: ( ) 2 2 2 x 1 m x x 2 4+ + ≤ + + (1) 1). Giải bất phương trình khi m = 3 2). Tìm để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi [ ] x 0;1∈ VD3: Tìm m để hàm số 2 y x 1 x m= + − − không nhận giá trò dương với mọi [ ] x 1;1∈ − VD4: Cho bất phương trình: mx x 3 m 1− − ≤ + (1) 1). Giải bất phương trình khi 1 m 2 = 2). Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm 3. Bài tập làm thêm: B1. Giải và biện luận bất phương trình: 1. 2x a x− ≥ 2. x a x 2a x 3a− − − > − (a>0) B2. Tìm m để bất phương trình: a). 2 (1 2x)(3 x) m (2x 5x 3)+ − > + − + nghiệm đúng với mọi 1 x ;3 2 ∈ − b). 2 (2 x)(4 x) x 2x m+ − ≤ − + nghiệm đúng với mọi [ ] x 2;4∈ − V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com 5 chithanhtranvl@gmail.com 1. Cần ghi nhớ: a). Đặt điều kiện để các biểu thức chứa căn có nghóa b). Dùng các phép: Thế hoặc khử hoặc dùng ẩn phụ đưa về hệ đã biết cách giải c). Kiểm tra các điều kiện và kết luận 2. Bài tập làm thêm: B1. Cho hệ phương trình x y a x y xy a + = + − = 1). Giải hệ phương trình khi a = 4 2). Tìm a để hệ phương trình có nghiệm B2. Giải hệ phương trình a). x y 7 y x xy 1 x xy y xy 78 x 0,y 0 + = + + = > > b). 2 2 2 2 x x y 1 x y x y 1 y 18 x x y 1 x y x y 1 y 2 + + + + + + + + + = + + + − + + + + − = B3. Giải hệ phương trình a). x y y x 30 x x y y 35 + = + = b). 2 2 x y 2xy 8 2 x y 4 + + = + = B4. Giải hệ phương trình a). x y 3 2y xy 0 − = + = b). 5 3 . 2y 4 y 42x 5 3 . x 2 y 42x − = ÷ + + = ÷ + Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com 6