Giáo án ôn thi vào 10

-Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn, … 3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -Dùng đoạn

4 Các phép toán biến đổi căn bậc hai

+) Hằng đẳng thức căn bậc hai : 2 A khi A 0

+) Khai phương một tích và nhân các căn bậc hai : A.B= A B A 0,B 0( ≥ ≥ )

+) Khai phương một thương và chia hai căn bậc hai : A A A 0,B 0( )

B = B ≥ > +) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai : A B2 = A B B 0( ≥ ).;

+) Đưa một thừa số vào dấu căn bậc hai :

A B= − A B A 0, B 0 ; A B< ≥ = A B A 0, B 0≥ ≥ ; +) Khử mẫu của biểu thức lấy căn : A 1 AB AB 0,B 0( )

2 x

−

−

C MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC VÔ TỶ

Bài 1 Cho biểu thức : Cho biểu thức: a 2a a

Với x ∈ĐKXĐ thì x > 0 Để x 1

x

− < 0 thì x 1 0 − < ⇔ ≤ < 0 x 1 Kết hợp với ĐKXĐ, A > A khi 0 < x < 1

c Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2002 – 2003)

3 1 khi 0 ≤ < x 9

1

11

x

x x

x x

Với x ∈ĐKXĐ, suy ra x > 0 Để 1 x

x

− > 0 thì 1 − x > ⇔ 0 x < ⇔ ≤ < 1 0 x 1

Kết hợp ĐKXĐ, suy ra P > 0 khi 0 < x < 1

Bài 7 Cho biểu thức A =

1

1 :

a Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

c Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A x =m− x có nghiệm

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2007 – 2008)

t2 + t - m - 1 = 0 (2) Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm dương khác 1

<

−

−

01m11

01m

1mKết luận: m > -1 và m ≠ 1

Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả minP = 2 khi x = 4

Bài 9 Cho biểu thức A = x x 1 x 1

b Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

a Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

c Khi x thoả mãn điều kiện xác định Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x – 1)

(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2010– 2011)

2

10

)2

Bài tập đề nghị

Bài 1 Cho biểu thức: M =

62

362

a

(với a ≥ 0; a ≠ 9.)

a Rút gọn biểu thức M

b Tìm giá trị của a để M = 4

c Tìm giá trị nguyên của a để M có giá trị nguyên lớn hơn 10 Tìm giá trị nguyên của M

1

11

1

−+

−

a

a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A

b) Tìm các số nguyên tố a để giá trị biểu thức A là một số nguyên

Bài 3 Cho biểu thức A =

13

33

3

+

+++

x x

a) Rút gọn A nếu x ≥ 3 ; b) Tính giá trị của A khi x =

529

61+

−

−

+

a a

a a

a

a a

a

1

1.11

1

3 3

a Rút gọn P b Xét dấu của biểu thức P 1−a

Bài 6 Cho biểu thức : B = a 1 a 1 a a

1:

11

1

a

a a

a a

a

A 6

a Rút gọn P b Tính giá trị của P khi a = 3 - 2 2

1:1

221

1

x x x

x x x

x x

a Rút gọn A

b Với GT nào của x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó

Bài 10 Cho biểu thức : P = 2a 4 a 2 2

:1

11

12

x x

x x

a Rút gọn P b Tìm GT nguyên của x để P nhận GT nguyên dương

Bài 12 Cho biểu thức P = 

1:

1

x x

2

32

4

x

x x

x x

x x

x

a) Rút gọn P

x x

x x

1

41

:12

c/ Tì m m để với mọi giá trị của x >9 ta có: m( x - 3)P > x+1

x x

x x

:1a) Rút gọn P

b) Tính GT của P khi x =

32

2+ c) Tìm các GT của x thoả mãn P x =6 x −3− x−4

Bài 17 Cho biểu thức P=

++

1

11

1:11

2

23

a a

a

a a a

a

a a

8

11

x x

Bài 19 Cho biểu thức : P=

1

461

3

−

−+

+

x x

x x

x x

a Rút gọn P b Tính GT của P khi x= 4 c Tìm GT của x để P =

313

Bài 21 Cho P = , 0& 9

9

933

x x

a, Hãy rút gọn biểu thức A b Tìm x thoả mãn A = x - 2 + 1

Bài 24 Cho biểu thức: M =

Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu để giải bài toán này người ta thường làm như sau :

Biến đổi phương trình về dạng : ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + x = 0 bằng cách :

2) Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x > 0, y < 0

Giải

1) Với a = 1, ta có hệ phương trình :

3 x

y 21

*) Nếu m = 1 ta có : (3) ⇔0 = 0 hay phương trình có nghiệm với mọi y ⇒ hệ có vô số nghiệm

*) Nếu m = - 2 từ (3) ⇒0 = - 3 hay hệ phương đã cho trình vô nghiệm

m 2 1 y

Ví dụ 5 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lẫn chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng

chục 1 đơn vị Và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được số mới có hai chữ số bé hơn

số cũ 36 đơn vị

Phương pháp

Bước 1 : Lập hệ phương trình

- Tìm mối liên hệ để dự kiến phương trình

- Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn

- Biểu thị các yếu tố qua ẩn

Bước 2. Giải hệ phương trình vừa lập

Bước 3. Đối chiếu giá trị vừa tìm được với ĐK để trả lời

Giải Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y Điều kiện của ẩn là x và y

là số nguyên , 0 x 9 < ≤ và 0 y 9 < ≤ Khi đó, số cần tìm là xy 10x y = + Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số yx 10y x = + Theo bài ra ta có hệ phương trình :

Vậy chữ số cần tìm là : 95

Ví dụ 6 Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một quảng đường AB sau 3 giờ thì gặp

nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau một giờ ô tô cách xe đạp 28 km Biết quảng đường AB dài 156km, tính vận tốc xe đạp và ôtô

Giải Gọi x là vận tốc xe ô tô là x (km/h, x >0), vận tốc xe đạp là y (km/h, y >0)

Ví dụ 7 Một chiếc xe tải đi từ A đến B, quảng đường dài 189 km Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ,

một chiếc xe khách bắt đầu đi từ B đến A và gặp xe tải sau 1 giờ 48 phút Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km

Giải Đổi : 1 giờ 48 phút = 9

Ví dụ 8 Để trở một số hàng có thể dùng một ô tô lớn trở 12 chuyến hoặc một ô tô nhỏ trở 15

chuyến Ô tô lớn trở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khác, ô tô nhỏ trở tiếp cho xong, hai xe trở tổng cộng 14 chuyến xong công việc Hỏi mỗi ô tô trở mấy chuyến

Giải Gọi x là sô chuyến ô tô lớn chở, y là sô chuyến ô tô nhỏ chở (x, y nguyên dương)

Theo bài ra ta có hệ phương trình :

x y 14

x 4

y 10 1

x = 4, y = 10 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy ô tô lớn chở 4 chuyến, ô tô nhỏ chở 10 chuyến

Ví dụ 9 Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong Mỗi ngày, phần việc

đội A làm được bằng 2

3 đội B Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?

Giải Gọi thời gian đội A làm một mình xong đoạn đường là x (ngày) và thời gian đội B làm một

mình xong đoạn đường là y (ngày) Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương Ta có :

Công việc đội A làm trong một ngày 1

x = 60, y = 40 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy thời gian đội A làm một mình xong đoạn đường là : 60 ngày, thời gian đội B làm một mình xong đoạn đường là 40 ngày

Ví dụ 10 Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 7 giờ12 phút xong Nếu một mình người

thứ nhất làm trong hai giờ sau đó một mình người thứ hai làm trong ba giờ làm được 1

3 công việc Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu lâu sẽ xong công việc ?

Giải Gọi x , y lần lượt là thời gian để một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai làm xong

công việc (giờ, x, y > 7,2)

Trong một giờ :

Người thứ nhất làm được 1

x công việc ; Người thứ hai làm được 1

x = 12, y = 18 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 12 giờ, một mình người thứ hai làm xong công việc trong 18 giờ

Ví dụ 11 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3

giờ và người thứ hai làm 6 giờ thi chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?

Giải Gọi x , y lần lượt là thời gian để một mình người thứ nhất, một mình người thứ hai làm xong

công việc (giờ, x, y > 16)

Trong một giờ :

Người thứ nhất làm được 1

x công việc ; Người thứ hai làm được 1

x = 24, y = 48 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc trong 24 giờ, một mình người thứ hai làm xong công việc trong 48 giờ

Ví dụ 12 Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn nước (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1

giờ 30 phút Nếu hai vòi chảy nhưng vòi thứ nhất chảy 15 phút, vòi thứ hai trong 20 phút thì chỉ được 1

5 bể nước Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bề là bao nhiêu ?

Giải Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy một

mình đầy bể là y (giờ) Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương Ta có :

1 giờ vòi thứ nhất chảy được 1

240 thỏa mãn ĐK bài toán

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể : 15

4 giờ ; vòi thứ hai chảy một mình đầy bể :

 (x, y là ẩn ; a là tham số) 1) Giải hệ phương trình với a = 4

2) Tìm giá trị của a sao cho nghiệm (x ; y) của hệ thỏa mãn y = 3

1) Giải hệ phương trình với a = 3

2) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài 3 Cho hệ phương trình : (a 1 x ay 3a 1)

1) Giải hệ phương trình với a = 3

2) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho :

1) Giải hệ phương trình khi m = 2

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:(x, y) sao cho: x + y = 0

Bài 5 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm trong 4

giờ rồi nghỉ và người thứ 2 làm tiếp trong 7 giờ thì họ làm được 1

3 công việc Hỏi nếu làm một

mình thì mỗi người mất bao lâu để hoàn thnàh công việc ?

Bài 6 Để chở một đoàn khách 320 người đi tham quan chiến trường Điện Biên Phủ, công ty xe

khách đã bố trí 2 loại xe, loại thứ nhất mỗi xe có 40 chỗ, loại thứ hai mỗi xe có 12 chỗ Em hãy tính

số xe mỗi loại biết loại thứ nhất ít hơn số xe loại thứ hai là 5 chiếc và số người ngồi vừa đủ số ghế

trên xe

Bài 7 Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong Nếu người thứ nhất làm

trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi người làm một mình thì sau bao lâu xong việc ?

Bài 8 Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc Nếu một

mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi)

Bài 9 Để chuẩn bị cho kỉ niệm ngày sinh nhật Bác, các đoàn viên hai lớp 9A và 8A của trường

trung học cơ sở Kim Liên, tổ chức trồng 110 cây quanh trường Mỗi đoàn viên lớp 9A trồng 3 cây, mỗi đoàn viên lớp 8A trồng hai cây Biết rằng số đoàn viên lớp 9A nhiều hơn số đoàn viên lớp 8A là

5 người Hãy tính số đoàn viên của các lớp 9A và 8A

Bài 10 Cho hệ phương trình : mx y 3 (1)

b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho biểu thức

1) Giải hệ phương trình với m = 1

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1

Bài 12 Cho hệ phương trình : mx y 2 (1)

2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y) Tìm các giá trị của m để x + y = -1

3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Bài 13 Cho hệ phương trình: (a 1)x y a

 có nghiệm duy nhất là (x; y)

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a

2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5

3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 2x 5y

x y

−+ nhận giá trị nguyên

Bài 14 Cho hệ phương trình (a 1 x y) 4

ax y 2a



+ =

 (a là tham số)

1) Giải hệ khi a = 1

2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y ≥ 2

Bài 15 Cho hệ phương trình: 2 2

2) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 + y2 =10

Bài 16 Cho hệ phương trình: x 2y 3 m

2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl

Bài 17 Cho hệ phương trình: x ay 1 (1)

ax y 2



+ =

1) Giải hệ (1) khi a = 2

2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất

1

x c x a

1

x c x a

+) Nếu ∆ < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

* Điều kiện có nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)

- (1) có 2 nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0; có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0

a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠ 0) thì ta có:

1) Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát

2) Xác định tham số đẩ phương trình có nghiệm ; có nghiệm kép ; có hai nghiệm phân biệt ; có hai nghiệm dương ; có hai nghiệm âm ; có hai nghiệm khác dấu

3) Chứng minh (chứng tỏ) phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số

4) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

C MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH

Bài 1 Cho phương trình bậc hai x2 + 2x – m = 0 (1)

1) Giải phương trình ( 1 ) khi m = 4

2) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x14 + x24

Bài 2 Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1)

2) Giải phương trình (1) khi m = – 2

3) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

3) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 3 Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 3

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

3 Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 4 Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 2

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

3 Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m

Bài 5 Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 5

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

3.Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m

4 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu

Bài 6 Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = –2

2 Chứng minh rằng : m∀ , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1) Chứng minh biểu thức:

A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m

Bài 7 Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1)

1) Giải phương trình (1) khi m = – 2

2) Chứng minh rằng : Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1) Tính A = 2 2

x +x theo m

4) Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 8 Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = –1

2 Chứng minh rằng : Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

3 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu

4 Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m

5 Tìm m để 2 2

x +x = 10

Bài 9 Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1)

1) Giải phương trình (1) khi m = –1

2) Tìm m để:

a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11

Bài 10 Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó

b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên

hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m

Bài 12 Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0

1) Giải phương trình khi m = 2

2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 13 Cho phương trình bậc hai, với tham số m : 2x2 – (m + 3)x + m = 0 (1)

1) Giải phương trình (1) khi m = 2

2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 1 2

5 x x

3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x x1− 2

Bài 14 Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0

1) Giải phương trình khi m = 2

2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 15 Cho phương trình: x2− 2(m 1)x 2m 4 0 − + − = ( m là tham số)

1) Giải phương trình khi m = -2

2) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

3) Tìm 1 hệ thức không phụ thuộc tham số m giữa các nghiệm

Bài 16 Cho phương trình: (m+1)x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 0

2 Định m để phương trình (1) có nghiệm

3 Định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18

Bài 17 Cho phương trình: 3x2 - 4x + m + 5 = 0 (m là tham số) (1)

1 Giải phương trình với m = - 4

2 Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt sao cho

7

4 1 1

2 1

−

= +

x x

Bài 18 Cho phương trình: x2 − mx m + 2− m 3 0 − = (với m là tham số)

1 Giải phương trình khi m = 2

2 Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 là dộ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền BC = 2

Bài 19 Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m2 – 9 = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) với m = 1

2 Tìm m để (1) có 2 nnghiệm phân biệt

3 Gọi 2 nghiệm phân biệt của (1) là x1 và x2 Hãy xác định các giá trị của m để:

2 1

2

Bài 20 Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m : x2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 2

2 Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1)

Bài 21 Một canô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi quay trở lại A ngay mất 4 giờ Biết quãng sông AB

dài 30km và vận tốc dòng nước là 4km/h Tính vận tốc thực của canô ?

Bài 22 Hai ôtô khởi hành cũng một lúc từ A đến B cách nhau 150km Biết vận tốc ôtô thứ nhất hơn

vận tốc ô tô thứ hai 10km/h và ôtô thứ nhất đến B trước ôtô thứ hai 45 phút Tính vận tốc mỗi xe ?

Bài 23 Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B Xe máy thứ nhất có vận tốc trung bình

lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy thứ hai 10km/h, nên đến trước xe máy thứ hai 1 giờ Tính vận tốc trung bình của mỗi xe máy, biết rằng quãng đường AB dài 120km

Bài 24 Một ô tô đi trên quãng đường dài 520 km Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10

km/h và đi hết quãng đường còn lại Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đường

là 8 giờ

Bài 25 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ bể đầy Nếu từng vòi

chảy riêng thì thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể sẽ ít hơn vòi thứ 2 chảy đầy bể là 10 giờ Hỏi nếu chảy riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể ?

Bài 15 Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B về A Thời gian xuôi

ít hơn thời gian ngược 1h20 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược là bằng

nhau

Bài 26 Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 12 0km với vận tốc dự định trước Sau khi đi

được 1

3 quảng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại Tìm vận tốc

dự định và thời gian lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút

Bài 27 Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 96km trong một thời gian nhất định Sau

khi đi được nửa quãng đường người đó dừng lại nghỉ 18 phút Do đó để đến B đúng hẹn người đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường

Bài 28 Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm trong một thời gian nhất định Sau khi làm được

2 giờ với năng xuất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác nên đã tăng năng xuất được 2 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm hơn dự kiến 30 phút Hãy tính năng xuất

dự kiến ban đầu

Bài 29 Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B cách nhau 80km,sau đó lại

ngược dòng đến địa điểm C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ca nô ngược dòng 15 phút Tính vận tốc riêng của ca nô,biết vận tốc của dòng nước là 4km/h

Bài 30 Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc

thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút Tính vận tốc của người đi

xe đạp khi đi từ A đến B

Bài 31 Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi quay

lại bến A Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ) Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h

Bài 32 Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10km

nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe ô tô, biết quãng đường AB dài là 300km

Bài 34 Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến khi làm việc, do phải

điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau

Bài 35 Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến

B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc mỗi xe

Bài 36 Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 (m là tham số)

1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình)

Bài 37 Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

Bài 38 Cho phương trình : x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0

1) Giải phương trình với m = 0

2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4

Bài 39 Cho phương trình : x2 – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình Không giải phương trình, hãy tính:

Chuyên đề 4 Hàm số y = ax + b và hàm số y = ax2

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Hàm số y = ax + b :

a Tính chất :

• Xác định với mọi giá trị của x thuộc ℝ

• Đồng biến trên ℝ khi a > 0

• Nghịch biến trên ℝ khi a < 0

b Đồ thị :

• Đồ thị là đường thẳng với hệ số góc a

• Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

c Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

Bước 1 : Xác định hai điểm phân biệt

Bước 2 : Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó

d Vị trí tương đối của hai đường thẳng y = ax + b (d1) và y = a'x + b' (d2)

• Xác định với mọi giá trị của x thuộc ℝ

• Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0

• Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

3 Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a≠0) và (d): y = kx + b:

• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau → đưa về pt bậc hai dạng ax2 - kx - c = 0

• Giải pt hoành độ giao điểm:

+ Nếu ∆ > 0 ⇒ pt có 2 nghiệm phân biệt ⇒(D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

+ Nếu ∆ = 0 ⇒ pt có nghiệm kép ⇒(D) và (P) tiếp xúc nhau

+ Nếu ∆ < 0 ⇒ pt vô nghiệm ⇒(D) và (P) không giao nhau

B VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số y = ( k 3 x k 2 − ) + + Xác định các giá trị của của k để :

Ví dụ 2 Cho hai điểm A (1 ; 3), B(2 ; 5)

a Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và B

c Đường thẳng (d) đi qua C có dạng : y = ax + b

Do (d) // ∆ nên hệ số góc a = 2 ⇒ = y 2x b + (b ≠ 1) Vì (d) đi qua C(-4 ; 1) nên :

1 = 2(-4) + b ⇔ b = 9 Vậy đường thẳng (d) là y = 2x + 9

+) Do (d) ⊥ ∆ nên a 2 = -1 1

a 2

II BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1 Cho đường thẳng (d) có phương trình : 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) : y = x2 tại hai điểm phân biệt A,B b) Tìm tọa độ trung điểm của AB theo m

Bài 2 Cho hàm số y = (m - 2)x + 3 + m

a) Xác định m để hàm số là hàm số bậc nhất đồng biến

b) Xác định m để đồ thị hàm số là đường thẳng đi đi qua M(1 ; 3) ;

c) Xác định m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ thành một tam giác có diện tích bằng 1

Bài 4 Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 1

a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

b) Tìm giá trị của m để tam giác OAB có diện tích bằng 3

Bài 5 Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 (m là tham số)

1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình)

Bài 6 Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3

1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy

Bài 7 Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt)

Bài 8 Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị là (P)

1) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( 2 ; -4) có thuộc (P) không ?

2) Xác định các giá trị của m để điểm D có toạ độ (m; m – 3) thuộc đồ thị (P)

Bài 9 Cho hàm số y = 1 2

x2

− 1) Vẽ đồ thị của hàm số

2) Gọi A và B là hai điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ lần lượt là 1 và -2 Viết phương trình đường thẳng AB

3) Đường thẳng y = x + m – 2 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt, gọi x1 và x2 là hoành độ hai giao điểm ấy Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22

Bài 10 Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm

cố định ấy

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1−

Bài 11 Cho hàm số y = f(x) = 1 2

x2

−

  có thuộc đồ thị hàm số không ?

Bài 13 Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua:

a) A(-1; 3) ; b) B( 2 ; -5 2 ) ; c) C(2 ; -1)

2) Xác định m để đồ thị của hàm số (*) cắt đồ thị của hàm số y = 2x – 1 tại điểm nằm trong góc vuông phần tư thứ IV

Bài 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*)

1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm: a) A(-1 ; 3) ; b) B( 2; 1− ) ; c) C 1; 5

2

  2) Thay m = 0 Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị của hàm số y = x – 1

Bài 15 Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :

1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0

3) Tiếp xúc với parabol y = - 1 2

−

Bài 17 Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2(a – 1)x + 5 – 2a (a là tham số)

1) Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P)

2) Chứng minh rằng với mọi a (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

3) Giả sử x và1 x là hoành độ các giao điểm của (D) và (P) Tìm a để 2 2 2

1 2

x +x = 6

Bài 18 Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + 1 với m là tham số và m ≠ 1

2 Hãy xác định m trong mỗi trường hơp sau :

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 )

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lượt tại A , B sao cho tam giác OAB cân

H CB

A

Chủ đề 5

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Đặt  ACB = α ; ABC  = β khi đó:

Kết quả suy ra:

1) sin α = cos ; β cos α = sin ; β tg α = cotg ; β cot g α = tg β

a) Chứng minh AC vuông góc với BD

b) Tính diện tích hình thang

VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;  ADC =700

C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD Gọi I là hình chiếu của C trên

BD, H là hình chiếu của I trên AC

AE, BF

a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc α b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc α và 2α , các cạnh của tam giác ABF, BFC

c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau:

2

2tg 1) sin 2 2sin cos ; 2) cos2 =cos sin ; 3) tg2

b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g

c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn

d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau

2.Chứng minh hai góc bằng nhau

-Dùng hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc của hình thang cân, hình bình hành, …

-Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh

-Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song, đối đỉnh

-Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.(Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn, …)

3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

-Dùng đoạn thẳng trung gian

-Dùng hai tam giác bằng nhau

-Ứng dụng tớnh chất đặc biệt của tam giỏc cõn, tam giỏc đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giỏc vuụng, hỡnh thang cõn, hỡnh chữ nhật, …

-Sử dụng cỏc yếu tố của đường trũn: hai dõy cung của hai cung bằng nhau, hai đường kớnh của một đường trũn, …

-Dựng tớnh chất đường trung bỡnh của tam giỏc, hỡnh thang, …

4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song

-Dựng mối quan hệ giữa cỏc gúc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cựng phớa bự nhau, …

-Dựng mối quan hệ cựng song song, vuụng gúc với đường thẳng thứ ba

-Áp dụng định lý đảo của định lý Talet

-Áp dụng tớnh chất của cỏc tứ giỏc đặc biệt, đường trung bỡnh của tam giỏc -Dựng tớnh chất hai dõy chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường trũn

5.Chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc

-Chứng minh chỳng song song với hai đường vuụng gúc khỏc

-Dựng tớnh chất: đường thẳng vuụng gúc với một trong hai đường thẳng song song thỡ vuụng gúc với đường thẳng cũn lại

-Dựng tớnh chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giỏc

-Đường kớnh đi qua trung điểm của dõy

-Phõn giỏc của hai gúc kề bự nhau

6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng

-Dựng tiờn đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thỡ A, B, C thẳng hàng

-Áp dụng tớnh chất cỏc điểm đặc biệt trong tam giỏc: trọng tõm, trực tõm, tõm đường trũn ngoại tiếp, …

-Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành gúc bẹt: Nếu gúc ABC bằng 1800thỡ A, B, C thẳng hàng

-Áp dụng tớnh chất: Hai gúc bằng nhau cú hai cạnh nằm trờn một đường thẳng

và hai cạnh kia nằm trờn hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trờn

-Chứng minh AC là đường kớnh của đường trũn tõm B

7.Chứng minh cỏc đường thẳng đồng quy

-Áp dụng tớnh chất cỏc đường đồng quy trong tam giỏc

-Chứng minh cỏc đường thẳng cựng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng cũn lại đi qua điểm đú -Dựng định lý đảo của định lý Talet

***********************************************

Chủ đề 7

Đ8.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

HỆ THỨC HèNH HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

-Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông…

*Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng

2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học

-Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, …

Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD

-Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD

Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông;

phương tích của một điểm với đường tròn

- Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm

- Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau

- Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau

- Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau

- Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp (Trong đó M AB CD; N AD = ∩ = ∩ BC )

- Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp (Trong đó P AC = ∩ BD )

- Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; …

Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn”

Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE,

CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N ,P

Chứng minh rằng:

1 Tứ giác CEHD, nội tiếp

2 Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn

3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

4 H và M đối xứng nhau qua BC

5 Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Mà CEH  và CDH  là hai góc đối của tứ giác CEHD

Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

2 Theo giả thiết:

BE là đường cao => BE ⊥ AC => BEC  = 900

CF là đường cao => CF ⊥ AB => BFC  = 900

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC

Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn

3) Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH ADC  =  = 900 ; Â là góc chung

C A = ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

=> C C 1 = 2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân tại C

=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC

5 Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn

=> C E 1 = 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF  )

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

⇒  C E 1 = 2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD  )

⇒  E E 1 = 2 => EB là tia phân giác của góc FED 

Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE  mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Bài 2 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By

Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở

C và D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N

1 Chứng minh AC + BD = CD

H

( (

2 -

1

1 1 P

O

2 Chứng minh COD  = 900

3 Chứng minh AC BD =

2AB

2 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia

phân giác của góc AOM ; OD là tia phân giác của

góc BOM  Mà AOM  và BOM  là hai góc kề bù =>

4 Theo trên COD  = 900 nên OC ⊥ OD (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ⊥ OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD)

5 Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ COD đường kính CD

có IO là bán kính

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB

⇒ IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD

6 Theo trên AC // BD =>

BD

AC BN

CN

= , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra CN CM

BN DM =

=> MN // BD mà BD ⊥ AB => MN ⊥ AB

7 ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy

ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB

Bài 3 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE

1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp

2 Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn

N

I M

D

C

B

Mà CEH  và CDH  là hai góc đối của tứ giác CEHD

Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

2 Theo giả thiết : BE là đường cao => BE ⊥ AC => BEA  = 900

AD là đường cao => AD ⊥ BC => BDA  = 900

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng

nằm trên đường tròn đường kính AB

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn

3 Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung

tuyến => D là trung điểm của BC Theo trên ta có BEC  = 900

Vậy ∆ BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE =

2

1BC

4 Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE =>

∆ AOE cân tại O => E A 1 = 1 (1)

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E

5 Theo giả thiết AH = 6 cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm Áp dụng

định lí Pitago cho ∆ OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ⇔ ED2 = 52 – 32 ⇔ ED = 4cm

Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng

tiếp góc A , O là trung điểm của IK

1 Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn

2.Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3 Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm

1

3 2

A

Lời giải:

1 Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A

nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B

Do đó BI ⊥ BK hay IBK = 900

Tương tự ta cũng có ICK = 900 như vậy B và C cùng nằm trên đường tròn

đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn

2 Ta có C C 1= 2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH)

(3) ( vì ∆OIC cân tại O)

Từ (1), (2) , (3) => C ICO 1 +  = 900 hay AC ⊥ OC

Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

=

+ HC

Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d

lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B

là tiếp điểm) Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và

AB

1 Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp

2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn

3 Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2

4 Chứng minh OAHB là hình thoi

5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng

6 Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d

Lời giải:

1 (HS tự làm)

2 Vì K là trung điểm NP nên OK ⊥ NP ( quan hệ đường kính

và dây cung) => OKM = 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta có



OAM= 900; OBM  = 900 Như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới

một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM

Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn

3 Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R

=> OM là trung trực của AB => OM ⊥ AB tại I

Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên ∆OAM vuông tại A có AI là đường cao

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI IM = IA2

4 Ta có OB ⊥ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH

OA ⊥ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH

=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi

5 Theo trên OAHB là hình thoi => OH ⊥ AB; cũng theo trên OM ⊥ AB => O, H, M thẳng

hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB)

6 (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy khi M di động trên d thì H cũng

di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R Do đó quỹ tích của điểm H khi M di

chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R

d

H I

K

N P

M D

C B A

O

Bài 6 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác

A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB

3) Chứng minh BAF là tam giác cân

4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi

5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn

=> KMF KEF  +  = 1800 Mà KMF và KEF   là hai góc

đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp

2 Ta có ∠IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => ∆AIB vuông tại A có

AM ⊥ IB ( theo trên)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM IB

3 Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lí do

……)

=> ∠ABE =∠MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF (1)

Theo trên ta có ∠AEB = 900 => BE ⊥ AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2)

Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân tại B

4 BAF là tam giác cân tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E

là trung điểm của AF (3)

Từ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác

Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân

AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB

Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => ∠ABM = ∠MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ) (7) Tam giác ABI vuông tại A có ∠ABI = 450 => ∠AIB = 450 (8)

Từ (7) và (8) => ∠IAK = ∠AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau)

Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn

Bài 7 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC

chứa điển A Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E Nửa đường tròn đường kính

HC cắt AC tại F

1 Chứng minh AFHE là hình chữ nhật

2 BEFC là tứ giác nội tiếp

3 AE AB = AF AC

4 Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

∠EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông tại A) (3)

Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)

2 Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được một đường tròn =>∠F1=∠H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH ⊥BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa

đường tròn (O1) và (O2)

=> ∠B1 = ∠H1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => ∠B1= ∠F1 => ∠EBC+∠EFC

= ∠AFE + ∠EFC mà ∠AFE + ∠EFC = 1800 (vì là hai góc kề bù) => ∠EBC+∠EFC =

1800 mặt khác ∠EBC và ∠EFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp

3 Xét hai tam giác AEF và ACB ta có ∠A = 900 là góc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Chứng minh trên)

=> ∆AEF ∼∆ACB => AE AF

AC= AB => AE AB = AF AC

* HD cách 2: Tam giác AHB vuông tại H có HE ⊥ AB => AH2 = AE.AB (*)

Tam giác AHC vuông tại H có HF ⊥ AC => AH2 = AF.AC (**)

Từ (*) và (**) => AE AB = AF AC

4 Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => ∆IEH cân tại I => ∠E1 = ∠H1

∆O1EH cân tại O1 (vì có O1E vàO1H cùng là bán kính) => ∠E2 = ∠H2

=> ∠E1 + ∠E2 = ∠H1 + ∠H2 mà ∠H1 + ∠H2 = ∠AHB = 900 => ∠E1 + ∠E2 = ∠O1EF = 900

=> O1E ⊥EF

Chứng minh tương tự ta cũng có O2F ⊥ EF Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

Bài 8 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ về một phía

của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ

tự là O, I, K Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E Gọi M N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K)

∠MNK = 900 hay MN ⊥ KN tại N => MN là tiếp tuyến của (K) tại N

Chứng minh tương tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của (I) tại M,

Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K)

3 Ta có ∠AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => ∆AEB vuông tại A có EC ⊥

Bài 9 Cho tam giác ABC vuông ở A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có

đường kính MC đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S

1 Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp

2.Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB

3 Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O) Chứng minh rằng các đường

thẳng BA, EM, CD đồng quy

4 Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE

5 Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE

1

Lời giải:

3 2

3

3

2 1

1 1

C

H×nh a

F

1 2

C

A

B

E D

2 2

3 2

H×nh b

1 Ta có ∠CAB = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); ∠MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa

đường tròn ) => ∠CDB = 900 như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp

2 ABCD là tứ giác nội tiếp => ∠D1= ∠C3( nội tiếp cùng chắn cung AB)

∠D1= ∠C3 =>  SM EM= => ∠C2 = ∠C3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung bằng nhau)

=> CA là tia phân giác của góc SCB

3 Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam

giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy

4 Theo trên Ta có  SM EM= => ∠D1= ∠D2 => DM là tia phân giác của góc ADE.(1)

5 Ta có ∠MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ∠MEB = 900

Tứ giác AMEB có ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn => ∠A2 = ∠B2

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => ∠A1= ∠B2( nội tiếp cùng chắn cung CD)

=> ∠A1= ∠A2 => AM là tia phân giác của góc DAE (2)

Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE

TH2 (Hình b)

Câu 2 : ∠ABC = ∠CME (cùng phụ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cùng bù ∠ADC) => ∠CME =

∠CDS

=>  CE CS= =>SM EM==> ∠SCM = ∠ECM => CA là tia phân giác của góc SCB

Bài 10 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B Đường tròn đường

kính BD cắt BC tại E Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G

Chứng minh :

1 Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD

2 Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp

3 AC // FG

4 Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy

Lời giải:

1 Xét hai tam giác ABC và EDB

Ta có ∠BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A);

∠DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ∠DEB = ∠BAC = 900 ; lại có ∠ABC là góc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB

2 Theo trên ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (vì hai góc kề bù); ∠BAC =

900 ( vì ∆ABC vuông tại A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800

mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp

* ∠BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A);

1

F

∠DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay ∠BFC = 900 như vậy F và A cùng nhìn

BC dưới một góc bằng 900 nên A và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => AFBC là

tứ giác nội tiếp

3 Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => ∠E1 = ∠C1 lại có ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mà đây là hai góc so le trong nên suy ra AC // FG

4 (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S Bài 11 Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C )

Gọi M là trung điểm của đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông

góc với AB Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD

1 Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp

2 Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi

=> ∠BID + ∠BMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác

MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp

2 Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE ⊥ AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE

(quan hệ đường kính và dây cung)

=> Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi

đường

3 ∠ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD ⊥ DC; theo trên BI ⊥ DC => BI // AD (1)

4 Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2)

Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đường thẳng song song với AD mà thôi.)

5 I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông tại I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm của

DE) =>MI = ME => ∆MIE cân tại M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC cân tại O’ ( vì O’C và O’I cùng là bán kính ) => ∠I3 = ∠C1 mà ∠C1 = ∠E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 =

∠I3 + ∠I2 Mà ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I tại I => MI

là tiếp tuyến của (O’)

Bài 12 Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C Gọi AC và

BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’) DE là dây cung của (O) vuông góc với

AB tại trung điểm M của AB Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G

Chứng minh rằng:

1 Tứ giác MDGC nội tiếp

2 Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn

3 Tứ giác ADBE là hình thoi

Theo giả thiết DE ⊥ AB tại M => ∠CMD = 900

=> ∠CGD + ∠CMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp

2 ∠BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ∠BFD = 900; ∠BMD = 900 (vì DE ⊥ AB tại M) như vậy F và M cùng nhìn BD dưới một góc bằng 900 nên F và M cùng nằm trên đường

tròn đường kính BD => M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn

2

/ /

1

O'

E

3 2 1

I

O

D

C M

A

B

1

1 2 31

1

O' O

M

G

F E

D

A

3 Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE ⊥ AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE

(quan hệ đường kính và dây cung)

⇒Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường

4 ∠ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD ⊥ DF ; theo trên tứ giác ADBE là hình thoi

7 (HD) theo trên MF = 1/2 DE => MD = MF => ∆MDF cân tại M => ∠D1 = ∠F1

∆O’BF cân tại O’ ( vì O’B và O’F cùng là bán kính ) => ∠F3 = ∠B1 mà ∠B1 = ∠D1 (Cùng phụ với

∠DEB ) => ∠F1 = ∠F3 => ∠F1 + ∠F2 = ∠F3 + ∠F2 Mà ∠F3 + ∠F2 = ∠BFC = 900 => ∠F1 + ∠F2

= 900 = ∠MFO’ hay MF ⊥ O’F tại F => MF là tiếp tuyến của (O’)

PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý

1 Định nghĩa Các hệ thức dạng a > b (hoặc a < b, a ≥ b, a b ≤ ) là một bất đẳng thức

Chú ý : Không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều

2.5 Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ

a b + ≤ a + b Xảy ra đẳng thức khi a.b 0 ≥

a b − ≥ a − b Xảy ra đẳng thức khi a.b 0 và a < ≥ b

Cũng cần nhớ thêm một số hằng đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng như một bổ đề, chẳng hạn

+ Bất đẳng thức chauchy :

a + b ≥ 2ab Xảy ra đẳng thức khi a = b ;

a b 2 ab + ≥ (với a ≥ , b 0 0 ≥ ) Xảy ra đẳng thức khi a = b ;

2

a b

ab 2

( a2 + b2)( x2+ y2) ≥ ( ax by + )2

PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

≥ 2xy – 2xz + 2yz

c) x2 + y2 + z2+3 ≥ 2 (x + y + z)

Giải: