Đề thi HSG tỉnh Toán 11 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Nghệ An (Bảng A)

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN – BẢNG A (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Câu (7,0đ) Đáp án Điểm a) (4,0 điểm) Giải phương trình cos x  7cos x   sin x  7sin x   (1)     (1)  cos x  sin x  cos x  sin x  0,5      cos  x    7sin  x     3 6         2sin  x    7sin  x     6 6        2sin  x    7sin  x     6 6       sin  x          sin  x    ( ptvn) 6    x  k 2   k   2 x   k 2  1,0 1,0 Vậy phương trình có nghiệm x  k 2 , x  0,5 0,5 2  k 2 , k  b) (3,0 điểm) Giải hệ phương trình  x  x2  2x   y   y  (1)   2   x   3x  y   x  y   (2) Điều kiện x  y   1  ( x   y)   x  1  ( x   y)    y2   ( x   y )( x   y )  x  1 1  y 1 0,5  x, y   0,5 0   x 1 y  0  ( x   y)  2   x  1   y    x 1 y    x 1 y  1  0 2   x  1   y   0,5  y  x 1    x  1   y   ( x  1)  y  (*) 0,5 Ta có  x  1   y   ( x  1)  y  x   ( x  1)  y  y  nên phương trình (*) vô nghiệm Thay y   x  vào phương trình (2) ta phương trình 2 x3   x  x   x  x    x3  3x   x  x  1  x  x   (3) 0,5 Đặt a  x  x   , phương trình (3) trở thành  xa x3  3x a  4a3   ( x  a)( x  2a)2     x  2a x0  1  1  x  a  2x2  x   x   x y 2 x  x 1  x0  2  5  x  2a  2 x  x    x   x y 7 7 x  x     2  1  x  x     Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y) với      y   y    (2,0đ) 0,5 0,5 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Số phần tử S A94  3024 (số) Số phần tử không gian mẫu n     3024 0,5 Gọi A biến cố “số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 ” Gọi số tự nhiên gồm chữ số đôi khác abcd  a  0, a  b  c  d  0,5 Theo giả thiết ta có  a  c    b  d  11  a  c    b  d  11 Suy  a  c  11  b  d  11 Trong chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có số gồm hai chữ số mà 0,5 tổng chia hết cho 11 2, 9;3, 8;4, 7;5, 6 Chọn cặp số a, c có khả năng, khả có cách Khi chọn cặp số b, d  khả năng, khả có cách Như n  A  4.2.3.2  48 (số) 0,5 Xác suất cần tìm p  A  (2,0đ) n  A 48   n    3024 63 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB  2BC Gọi M trung điểm đoạn AB G trọng tâm tam giác 5  ACD Viết phương trình đường thẳng AD, biết M 1;  G  ;  3  M H A B G D C K Gọi H hình chiếu vng góc G lên AB K trung điểm đoạn CD Đặt BC  3a  0, suy AB  6a, GH  2a, HM  a 40 2  5a  a   a  9 2 Suy AM  3a  2, AG  AK  3a  3 Gọi A( x, y) Khi 1  x 2    y 2   AM  2  x2  y  2x  y       5 64    x  3y 1 AG   x  y          3 x  3y 1  x  1, y    y 0     x  19 , y   y  5    MG  4a  a   0,5  0,5 0,5 +) Nếu A(1,0) Đường thẳng AD qua A vng góc với đường thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD x  y   19 , ) Đường thẳng AD qua A vng góc với đường 5 thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD x  y  25  +) Nếu A( (5,0đ) 0,5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân  AB / /CD  nội tiếp đường tròn tâm O SBA  SCA  900 Gọi M trung điểm cạnh SA a) Chứng minh MO   ABCD  b) Gọi  góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh BC SA a) (3,0 điểm) cos   S M I A B O D C Gọi H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng  ABCD  Xét tam giác MHA, MHB, MHC có 1,0 MHA  MHB  MHC  900 MH chung MA  MB  MC  SA 1,0 Suy MHA  MHB  MHC nên HA  HB  HC Do H  O, MO   ABCD  b) (2,0 điểm) Vì AB / /CD nên góc hai đường thẳng AB SC góc hai 1,0 đường thẳng CD SC , suy cos   cos SCD   sin SCD (*) 0,5 Gọi điểm I hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng  SCD  Mặt khác lại có MS  MD  MC suy I tâm đường tròn ngoại tiếp SD SD SD   SCD Khi sin SCD  (vì MID vng I nên ID 2MD SA ID  MD ) Ta có MD  MC  SA nên SDA vuông D 0,5 0,5 Từ (*) suy SD SA2  SD cos    sin SCD     SA SA2 BC cos   (đpcm) SA (4,0đ) a) (2,0 điểm) Cho dãy số  un  , biết u1  12, Tìm lim un 2n  AD AD BC   SA2 SA SA 0,5 2un1 un  n  n  với n   n2  5n  n2  n Ta có: 2un1 un  n  n  2un1 un n2     2 n  5n  n n  n   n  3 n  n  1 n n2    2  n  1 n    n  3 n  n  1  n   n  n  1 n   2un1  un 2un1  n  1 n    n  3  un n  n  1  n     n  1 n    n  n  1 1 un        (*) 2  n  1 n    n  3  n  1 n    n  n  1  n   n  n  1  un1 Đặt  un n  n  1  n    0,5 0,5 1 , từ (*) ta có vn1  nên   n  n  1 1 cấp số nhân có cơng bội q  , v1  suy  v1q n1  n 2 2 n  n  1  n   un 1    u    n  3n   n n n n  n  1  n   n  n  1 Khi 0,5 n  n  1  n     n  3n    n  n  12  n   n  3n   n un lim  lim  lim    n 2n  2n  2n     2n  1  n  n  1 n   n  n  1  n   n2  3n  lim  Suy lim  2n  2n  2n  1 Ta có 2n  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn  Cn3  0,5 un  2n  b) (2,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a3  b3  c3  3abc  32 Tìm giá trị Vậy lim nhỏ biểu thức P   a  b2  c   a  b  b  c  c  a  Ta có a3  b3  c3  3abc  32   a  b  c   a  b2  c  ab  bc  ca   32 * Đặt t  a  b  c, từ (*) suy t  a  b  c  *   a  b  c  3 a  b2  c    a  b  c    64 64 64 2  3 a  b2  c    a  b  c  t abc t Ta chứng minh 2 a  b  b  c  c  a   a  b    b  c    a  c   **   0,5 0,5 0,5 Thật vậy,vì vai trò a, b, c bình đẳng nên giả sử a  b  c a  b  b  c  c  a   a  b   b  c    a  c    a  c  2 Ta có **   a  c    a  b    b  c    a  c       a  c    a  b  b  c  2   a  b  b  c    a  b   b  c    a  b  b  c   ln Vì 2 a  b  b  c  c  a  a  b  c  ab  bc  ca  3P  3 a  b2  c   a  b  b  c  c  a  32  abc t 64  64   64 8 3P    t  8 2  t t   2.2 t t  128 t t  t  t t t  128 Suy P  128 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 44 42 , b c  Đạt a  hoán vị a, b, c 3 - - - Hết - - Ghi chú: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,5