CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có:
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1 Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau đây; y cos x sin x a) với số dương; b) y cos 3x 5cos x cos x ; 2n 2n c) y x a x với a dương n nguyên dương; 2n 2n d) y x a x với a dương n nguyên dương; p e) y cos x s inx q với p q lớn 3 Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau: 3a 17b �18ab với a b không n xk ex � k k ! với x>0 mở rộng kết âm; Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn biểu thức 4xy x x2 y2 Bài 4: Hãy sưu tầm 20 đề toán thuộc loại Bài làm Bài 1: a) y cos x sin x với số dương Đặt t cos x , t � 0,1 Khi f (t ) t t Xét hàm số t f '(t ) t 1 t 1 t � � t � t 1 t � � � y t 1 t2 1 2 , t � 0,1 1 2 2 t0 � � f '(t ) � � 2 t � � 1 t2 � t � 0,1 �� � t 1 t2 � 2 � t � 0,1 � 2 � t 1 t � � � t � 0,1 � � �1 � 1 f � � f (0) f (1) 1, �2� Ta có: 1 - Nếu max y , y 1 - Nếu max y 1, y b) y cos x 5cos x cos x cos3 x 3cos x cos x 1 cos x cos3 x 10 cos x cos x Đặt t cos x, t � 1,1 Xét hàm f (t ) 4t 10t 2t 6, t � 1,1 f ' t 12t 20t f ' t � 12t 20t � 6t 10t � 31 t � 1,1 � � �� 31 � t � 1,1 � � Ta có: f 1 6; f 1 2 �5 31 � 8 31 31 f� � � � 27 � � 8 31 31 27 Vậy: max y y = -6 2n 2n c) y x a x với a dương n nguyên dương 2n 2n Xét hàm số y f x x a x 1 x n a x n , x � 0, a Ta có f ' x 1 21n 1 1 x a x 2n 2n 2n 1 �21n 1 1 � x a x 2n � � 2n � � f ' x � � 1 �21n 1 1 � x a x n � � 2n � � 1 1 �21n 1 1 � 1 2n n x a x � x a x � n � 2n � � � xax� x a � 0, a Ta có: f 0 f a 2n a 1 �a � n a 2n 2n f � � a 2n a �2 � Vậy max y y 2n 2n d) y x a x với a dương n nguyên dương 2n 2n Xét hàm số y f x x a x , Ta có � Hàm số đồng biến Vậy: max e) y = với p q lớn Đặt t = |cosx| , t Xét hàm số f t t p 1 t2 q f ' t p.t p 1 Ta có f ' t � t p 1 1 t2 q 1 t2 qt p q t 1 t 1 t2 q 1 � qt � �p t � � � � � � � t p 1 t � 0,1 � � q � � � � 1 t2 � � t � 0,1 � � p � qt � t � 0,1 p � � pq � 1 t � Ta có: f f 1 p q � p � � p �� q � f� �� � � pq � � � � �� � � � � p q �� p q � Vậy max y y Bài 2: a) 3a3 17b3 ≥ 18ab2 với a, b không âm Ta xét hai trường hợp + Nếu b , BĐT trở thành BĐT với a không âm + Nếu b Đặt a ta được: � Xét hàm số , t ) t Bảng biến thiên hàm số 0 17 17 � với ) Vậy BĐT chứng minh Dấu “ =” xảy � b) Chứng minh: với x Xét hàm số Ta chứng minh với , - Với � Hàm số đồng biến với � Vậy với Giả sử với , ta cần chứng minh với hay Thật vậy: (Theo giả thuyết quy nạp) � Hàm số đồng biến với � Suy với Vậy: với Hay (đpcm) Bài 2: (Mở rộng) Cho n số tự nhiên lẻ lớn Chứng minh với � x2 x n �� x2 xn � x �� x � � 2! n ! �� 2! n! � x �0 ta có: � x2 xn x2 xn , v( x ) x 2! n! 2! n! Đặt Ta cần chứng minh: f ( x) u ( x).v( x ) u ( x) x � x n 1 xn u '( x ) x u ( x ) � (n 1)! n! � � x2 x n 1 xn � v '( x) 1 x v ( x ) � 2! ( n 1)! n! Ta có: � f '( x) u '( x).v ( x) u ( x).v '( x) � � xn � xn � � u ( x ) �v( x) u ( x) � v( x) � n! � n! � � � 2x n � x x x n1 � xn � � u ( x) v( x) n ! � 2! 4! (n 1)! � n! Vì n số lẻ lớn nên f '( x ) dấu với (2x) Do ta có bảng biến thiên: � x f’(x) f(x) 0 � Từ bảng biến thiên ta có: f ( x ) f (0) 1, x �0 (đpcm) 4xy x Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn biểu thức x2 y2 Đặt x ty, t � 0, � Khi 4xy x x2 y2 f (t ) Xét hàm số: f '(t ) 4t t t2 4t t t2 t 3t t2 t t2 , t � 0, � t0 � � t �(0, �) � � �t f '(t ) 0, � t 3t Lập bảng biến thiên ta x f’(t) f(t) � �1 � 1 f � � (0, �) � � 4xy max x x2 y � max f (t ) Vậy x y Bài 4: Hãy sưu tầm 20 đề toán thuộc loại 2 4.1 Cho x, y số thực thỏa mãn x y 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P 2( x y ) xy Bài làm Ta có: P 2( x y )( x xy y ) 3xy = 2( x y )(2 xy ) xy Ta có : xy ( x y)2 2 , sau đặt t x y thì: t2 t2 P(t ) 2t (2 ) 3 t t 6t 2 ( x y)2 x2 y � � ( x y ) �4 � 2 �t �2 Ta có Xét hàm số P(t ) t t 6t với 2 �t �2 Ta có P '(t ) 3t 3t t 1 � P '(t ) � � t 2 � Ta có bảng biến thiên sau t -2 P’(t) + - 13 P(t) -7 Vậy P(t ) P(2) 7 x y 1 2;2 � 1 1 x ;y � 13 2 max P(t ) P (1) � � 2;2 � 1 1 x ;y � � 2 4.2 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y f ( x) x x Bài làm TXĐ: [-3; 3] y ' 1 Đạo hàm : x x2 y' � x Ta có: f (3) 3; x2 x x2 3 ( � 3;3 2 f (3) 3; Nên f ( x) 3;( x 3) ; f( Giải Ta có ) maxf ( x) 2; ( x 4.3 Tìm GTLN, GTNN hàm số y' )3 2 y x 3x x 1 đoạn 0; 2 x 3 x 1 x 3x 3 x 1 x2 x x 1 0 x � 0; Lại có 17 17 y max y y 0 y 2 3 , Suy x� 0;2 , x� 0;2 4.4 Tìm GTLN, GTNN hàm số y x x Giải TXD 2; 2 Ta có y ' 1 x x2 x2 x x2 ( x � 2; ) Với x � 2; , ta có y' � x2 x � �x �0 � 2 x x � �4 x x � x Vậy y y 2 ; y ; y 2; 2; 2 2 , đạt � max y max y 2 ; y ; y 2; 2; 2 4.5 Tìm GTLN, GTNN hàm số x 2 ; , đạt � x 1 y x đoạn 1; 2 Giải Ta có y' x x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x Với x � 1; ta có y ' � x 1 Vậy �3 � y y 1 ; y ; y 1 � 0; ; � � , đạt � x 1 ; � �3 � max y max y 1 ; y ; y 1 max � 0; ; � � � , đạt � x 4.6 Tìm GTLN, GTNN hàm số y ln x 1; e3 � � � x đoạn � Giải Ta có � ln x � x ln x � � ln x ln x x � y' � x2 x2 Với x � 1; e3 ta có y ' � ln x ln x � ln x ln x � x x e � x e2 ( � 1; e ) � 4� y y 1 ; y e3 ; y e2 � 0; ; � � e e Vậy , đạt � x � 4� max y max y 1 ; y e3 ; y e max � 0; ; � e , đạt � x e � e e 2 4.7 Tìm GTNN hàm số y x x 21 x 3x 10 � x x 21 �0 � � x 3x 10 �0 Giải x �TXÑ � TXD= 2;5 � 2 �x �5 , suy Ta có y' x2 x x 21 2x x x 10 x2 4x 4 x 12 x 2 x x 21 x x 10 � x x 21 x x 10 x2 y' � � 3 �x �7 � � 2 �x �5 � 2x 2 2 � x x 10 x x x x 21 x 12 x � 51x 104 x 29 � x Thử lại, ta thấy có 29 x 17 nghiệm y ' y 2 y , x �1 � y � � x � y , đạt � , �3 � 4.8 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: Giải: Đặt Do nên Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN hàm số đoạn 10 .So sánh giá trị ta GTLN t=0 t=1 tức x=0 x= GTNN t = tức x = 4.9 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: đoạn Giải: D=R Đặt ; Do nên *Hàm số trở thành , So sánh giá trị ta GTLN t= GTNN t =0 4.10 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: đoạn Giải: Ta có Đặt ; Khi Thay vào hàm số ta : So sánh giá trị ta GTLN t=1 tức ;GTNN -1 t =-1 tức 4.11 Tìm GTLN GTNNcủa hàm số: y= x 5x đoạn 5;5 Giải: TXĐ: R ( Ta xét đoạn 5;5 ) �2 x ( x �x 3) y' � (2 x 3) �2 x Đạo hàm: khơng có đạo hàm y’=0 � x Tại điểm x = 2, x = hàm số 5 � 5;5 x 2 ; x=3 Nên có điểm tới hạn thuộc (-5; 5) x =2; 11 �5 � � � Tính f(2)= f(3)=0; f �2 � ; f(-5)=56; f(5)=6 Suy ra: max f ( x) 56 5;5 ; f ( x) 5;5 S x 1 y 1 4.12 Cho x , y �0 thỏa mãn x y Tìm GTLN, GTNN Giải Đặt t xy , suy 4 Ta có x y � 1 x y 3xy � 42 3t � � � t 4� � � t 12t 63 Xét hàm f t t 12t 63 , với t � 0; 4 Ta có f ' t 3t 12 t � 0; 4 � f t 0; 4 S xy x y �t � đồng biến Do S f t f 63 t� 0;4 �x y � �xy � t� 0;4 �x y � �xy � 4.13 x; y 4; x; y 0; max S max f t f 49 , đạt , đạt x; y 2; 2 Cho x , y �0 thỏa mãn x y Tìm GTLN, GTNN S x y xy Giải Đặt t x y � t Ta có t x y �2 x y � t �2 , t x y x y xy �x y � t � Suy � t �� � 2; � Lại có xy Ta có x y f ' t t x2 y2 với 1 t 1 S f t t2 t 1 � 2 t � 2; , f 2 , f 1 Do 12 �x y �x �2 � S f , đạt � �x y � �y � 1 �x � � x y � �y �2 max S f 1 x y � � � , đạt � � 4.14 Cho x , y �0 thỏa mãn x y Tìm GTLN, GTNN 2 � 1 �x � � �y � � S x y y 1 x 1 Giải Đặt t x y , ta có x y x y �2 x y � 16 � t �4 , x y xy �x y � t �2 Suy 2 �t �4 Lại có x� y x y x2 y2 t2 Ta có biến đổi sau t t t 8 S Xét hàm x x 1 y y 1 x y x y xy t2 t 1 y 1 x 1 x y xy Suy t 8 t 2t với 2 �t �4 Ta có f t t f ' t f 2 2t t 2t t 2t S �2 �min f t S nghịch biến max f t f 2 +) t 8 �2 t 2t t�� 2;4� � � t 16t 22 t 2t 0 , t : 2 �t �4 � 2; � � � Do f t f t�� 2 ;4 � � � , dấu xảy � �x y � �x y � x y Vậy , đạt � x y 13 2 � �x y � S �2 �max f t t�� 2 ;4� �x y 2 � � � � +) , dấu xảy �x 2 � �y max S , đạt � Vậy 4.15 �x � �y 2 �x � �y 2 �x 2 � �y Cho x , y �0 thỏa mãn x y xy Tìm GTLN, GTNN S x2 y2 y 1 x 1 x y Giải Đặt �xy t �0 � �xy t � t2 � �t � �t �3 t x y � � � � Ta có x3 y x y x y 3 S x 1 y 1 x y 3xy x y x y xy xy x y x y3 t3 3 t t t2 t t 7t t t 3 t t 1 t 3 t 7t f t t 4 t , t � 2;3 Xét hàm Ta có f ' t 3t 2t 0 4 t 3 , t � 2;3 � f 1 đồng biến 2;3 Do S f t �f � S �x y xy � � x y 1 Dấu “ ” xảy � �x y , Đạt � x y 14 S f t �f 3 �x y xy �x 35 � � � �y Dấu “ ” xảy � �x y �x � �y � 4.16 max S �x �x 35 � � , Đạt � �y �y 2 2 Cho x , y thỏa mãn x xy y Tìm GTLN, GTNN S x xy y x y xy � x y Giải Từ giả thiết suy x y 3 x y Do đó, �2 3� t �� ; � t � 3 t x y � � đặt , hay xy x y t Ta có , suy S x y 3xy t t 1 2t �2 3� t � ; � � 3 � f t 2t � Xét hàm với Ta có f ' t 4t , f ' t có nghiệm �2 3� t �� � ; � � � � �2 � � � f� � �3 � � f � � � 3 f 0 � Ta có , � � � Do S , đạt chẳng hạn � �x y � �x xy y � � � �x y � � x y xy � � � x y � � � �xy � � � �1 � ; � � 3 � x; y � max S , đạt 15 �x y �2 �x xy y � � �x y �x y � x y xy � � � �xy 1 x; y 1; 1 x; y 1;1 � Cho x , y thỏa mãn x y xy �2 Tìm GTNN A x4 y x2 y x y 4.17 Giải Áp dụng bất đẳng thức x a b ab � a b 2 với a x , b y ta 2 y x2 y � x2 y2 A � x2 y x2 y � 4 Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức x y x y 1 � x y � , ta có x y ��0 � � x y �1 2 x y x y x y 1 x y x y �2 � (do 4xy � x y , ) � x y t� � � 2 � �A �f t t 2t 2 t x y � � � Đặt 1 f t t 2t t � f ' t t t � Ta có � f t đồng Xét hàm , � � �1 � ; �� f t �f � � t � � �� �2 � 16 biến �2 S� 16 , dấu “ ” xảy Như �x y � 1� 1� �2 ; � x; y � x; y � x y2 �; � � � �2 �hoặc � 2 � � � S 16 , đạt � 1� 1� ; � x; y � � � �2 �hoặc � 2 � x; y � �; Vậy 4.18 Cho số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện x y z x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x5 y z z x y z x y x y z 0 Giải Từ suy giả thiết, ta , thay vào đẳng thức thứ hai x y x y x y xy �2 x y 2 2 x y x y 2 16 Do đó, đặt t x y ta có � 6� t � ; � � xy 2t t �1 � 3 �, � Biến đổi 5 P x y x y x3 y x y x y x y x y 5 � � x2 y2 x y x y x y 3xy x y � x y xy � � �� � �3 2t ��2 2t � �2t � 5 � t 3� � t �� t 2� � �t t 2t t � 2 �� � � �� Xét hàm f t t� nghiệm � 6� 5 t �� ; � t t f ' t 6t 1 3 � � Ta có 4 , với có hai � 6� �� ; � � 3 � � 6� � 6� �6� �6� f� f f f � � � � � � � � 36 � � 36 �6 � 36 �3 � � 36 � � � � � � � � Ta có , , , 6 x y z 36 , đạt chẳng hạn , Vậy x yz � Tìm GTNN biểu thức 4.19 Cho x, y, z >0 thỏa mãn P S x2 y z 1 2 x y y z z x Giải Đặt t xyz Ta có t �x y z �3 xyz t� � 2 � 1� t �� 0; � � � Suy Lại có 17 1 1 1 3 �3 �2 �2 x y z �3 x y z 3t , x y y z z x x y y z z x xyz t 2 2 2 �2 � S �3 � t 3� � t � � Xét hàm f t t2 � 1� � 1� 2t t � 0; 0; � f ' t t t �� � � 4 � � Ta có � 2� t với t t , � 1� �1 � 99 0; � S f � � � �2 � , đạt suy f nghịch biến � � Vậy �x y z � �3 1 xyz x yz � � � 4.20 Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn điều kiện abc a c b Tìm giá trị lớn P biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có 2 a 1 b 1 c 1 a c b(1 ac ) � b ac a ac c Thay vào biểu thức P ta : P 2(a c) 2 , (0 a ) 2 a (a 1)(c 1) c 1 c Xét hàm số : c>0 Ta có : f '( x) f ( x) ( x c)2 1 0 x x ( x 1)(c 1) c coi c tham số với 2c( x 2cx 1) � 1� � x0 c c �� 0; � 2 (1 x ) (1 c ) � c� Ta có bảng biến thiên x x0 f '( x) f ( x) c + - f ( x0 ) 18 Từ bảng biến thiên ta có : f ( x) �f ( x0 ) S f (a ) g '(c) Ta có : c c2 2c � g (c ) c 1 c 1 1 c 2(1 8c ) (1 c ) (3c c ) � c c0 � 0; � Bảng biến thiên : c c0 g '(c ) + � - g (c0 ) g (c ) Từ bảng biến thiên suy : g (c) �g (c0 ) � S g (c) Vậy với c g (c0 ) 10 10 ,a ,b maxS 19 ... trị lớn nhỏ hàm số: Giải: Đặt Do nên Bài tốn trở thành tìm GTLN,GTNN hàm số đoạn 10 .So sánh giá trị ta GTLN t=0 t=1 tức x=0 x= GTNN t = tức x = 4.9 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: đoạn Giải:... max y y Bài 2: a) 3a3 17b3 ≥ 18ab2 với a, b không âm Ta xét hai trường hợp + Nếu b , BĐT trở thành BĐT với a không âm + Nếu b Đặt a ta được: � Xét hàm số , t ) t Bảng biến thiên hàm số 0 17 17... Chứng minh: với x Xét hàm số Ta chứng minh với , - Với � Hàm số đồng biến với � Vậy với Giả sử với , ta cần chứng minh với hay Thật vậy: (Theo giả thuyết quy nạp) � Hàm số đồng biến với � Suy