041_Đề HSG Toán 9_Vĩnh Phúc_2017-2018

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018  a  2018 a  2018  a   Câu 1: Rút gọn biểu thức P    a   a  a  a 1  z z Câu 2: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x  y  y  z Chứng minh đẳng thức  y x x y x y z  , x y z 2  x z y z Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd cho abcd  abc  ab  a  4321 ( m  )x  y  Câu 4: Cho hệ phương trình  ( m tham số x, y ẩn số)  x  2y  Tìm tất giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên Câu 5: Giải phương trình  x   x  Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A, AB  12cm, AC  16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD  500 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh rằng: MB.DN  BH.AD b) Tính số đo góc MON Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ) Gọi A điểm thay đổi đường trịn (O) (điểm A khơng trùng với điểm B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường trịn (O) điểm H ln nằm đường tròn cố định 1    Chứng a b c 1    2 2 2 5a  2ab  2b 5b  2bc  2c 5c  2ca  2a Câu 9: Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện minh rằng: Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018  a  2018 a  2018  a   Câu 1: Rút gọn biểu thức P    a   a  a  a 1 a  a  Điều kiện:   a  2018  a 1 a  2018   ( a  1)( a  1)  a  ( a  1) Khi đó: P    ( a  2018 )( a  1)  ( a  2018 )( a  1) a  ( a  1)2 ( a  1) a  2.2017 a a  2017  a 1 ( a  1) ( a 1) a Câu 2: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x  y  y  z Chứng minh đẳng thức  y x  x y z  z x z y   x  z   x  y  z  y Ta có: y y  z  x  y  z  x  x  y  z  x  z    x  z      x  y  z  y  z    y  z   x   , x y z x z y z  z z  z  2 x z 2 y 2 x y  z x 2 y 2 z x 2 y 2 x z y z Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd cho abcd  abc  ab  a  4321 Ta có: abcd  abc  ab  a  4321  1111a  111b  11c  d  4321 Vì a,b,c,d  1  a  9,0  b,c,d  nên 3214  1111a  4321  a  Thay vào (1) ta được: 111b  11c  d  988 2 Lập luận tương tự ta có: 880  111b  988  b  Thay vào (2) ta được: 11c  d  100 Mà 91  11c  100  c  d  ( m  )x  y  Câu 4: Cho hệ phương trình  ( m tham số x, y ẩn số)  x  2y  Tìm tất giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số ngun Từ phương trình thứ hai ta có: x   y vào phương trình thứ được: ( m  1)(  2y )  y   ( 2m  )y  2m  (3) Hệ có nghiệm x, y số nguyên  ( ) có nghiệm y số nguyên Với m  y  2m    ( ) có nghiệm y  2m   1 2m  2m   2m   m    Vậy có giá trị m thoả mãn 1;  2m   1 m  Câu 5: Giải phương trình  x   x  1  x   4  x  *  4  x  Điều kiện xác định  Với điều kiện (*), phương trình cho tương đương với:   x  x   1  x   x    1  x   x    x2  3x  x   x  x  3    Đối chiếu với điều kiện (*) ta x  0; x  3  x  3 Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A, AB  12cm, AC  16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Ta có BC  AB2  AC  20cm Gọi E giao điểm BI với AC AE EC AE  EC BC Theo tính chất đường phân giác ta có:     EC   10cm AB BC AB  BC 2 Ta có ICE  ICM( c  g  c ) do: EC  MC  10 ; ICE  ICM ; IC chung Suy ra: IEC  IMC  IEA  IMB Mặt khác IBM  IBA  hai tam giác IBM , ABE đồng dạng  BIM  BAE  900  BI  MI Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD  500 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh rằng: MB.DN  BH.AD b) Tính số đo góc MON a) Ta có MBH  ADN ,MHB  AND MB BH  MB.DN  BH AD ( 1)  AD DN BH OB b) Ta có: OHB ∽  AOD    DO.OB  BH AD   DO AD MB OB Từ (1) (2) ta có: MB.DN  DO.OB   DO DN MBH ∽  ADN  Ta lại có: MBO  1800  CBD  1800  CDB  ODN nên MBO ∽ ODN  OMB  NOD    Từ suy ra: MON  1800  MOB  NOD  1800  MOB  OMB   1800  OBC  1150 Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ) Gọi A điểm thay đổi đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường tròn (O) điểm H ln nằm đường trịn cố định Gọi D trung điểm đoạn BC, tam giác BOC, AOC tam giác cân O nên OD  BC,OM  AC Ta có: ODC  OMC  90  Bốn điểm O, D, C, M nằm đường tròn ( I ) có tâm I cố định, đường kính OC cố định Gọi E điểm đối xứng với D qua tâm I, E cố định DE đường kính đường trịn ( I ) Nếu H  E,H  B : - Với M  E  BHE  90 - Với M  E , DM BH  DMH  900 Khi DME  DMH  900  H ,M ,E thẳng hàng Suy BHE  90 Vậy ta ln có: BHE  90 H  E H  B H thuộc đường trịn đường kính BE cố định 1    Chứng minh rằng: a b c 1    5a  2ab  2b 5b  2bc  2c 5c  2ca  2a Câu 9: Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện Với x, y,z  ta có : x  y  z  3 xyz , x yz 1 1    33 x y z xyz  1 1 1 1 1   x  y  z           Đẳng thức xảy x yz 9 x y z x y z Ta có: 5a  2ab  2b2  ( 2a  b )2  ( a  b )2  ( 2a  b )2   1 1 1      Đẳng thức xảy a  b 2a  b  a a b  5a  2ab  2b 1 1 1 1 Tương tự:       Đẳng thức xảy b  c 2 2b  c  b b c  5b  2bc  2c 1 11 1       Đẳng thức xảy c  a 5c  2ca  2a 2c  a  c c a  Do đó: 1 13 3        2 2 2 9a b c 5a  2ab  2b 5b  2bc  2c 5c  2ca  2a 2 1 1 1      3 a b c Đẳng thức xảy rakhi a  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Câu 10: Cho hình vuông ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Giả sử hình vng ABCD có cạnh a ( a>0) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn u cầu tốn Khơng tính tổng quát, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S, E, K cho SCDSK  3S ABKS Từ SCDSK  3S ABKS ta suy được: DS  CK   AS  BK   a  AS  a  BK   AS  BK   AS  BK   EM  a a suy E cố định d qua E Lấy F, H đoạn NQ G đoạn MP cho FN  GP  HQ  a Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có  2018      505 đường thẳng qua bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa 505 đường thẳng đồng quy  ...LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018  a  2018 a  2018  a   Câu 1: Rút gọn biểu thức P  ... Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn yêu cầu toán Khơng tính tổng qt, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S, E, K cho SCDSK  3S ABKS Từ SCDSK