Đề thi HSGHN 2008-2009

Câu I ( 4 điểm). 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có ( a 3 + 5a ) là số nguyên chia hết cho 6. 2) Cho 2 3 10 10 10 10 10 27309 27309 27309 . 27309A = + + + + . Tìm số d trong phép chia A cho 7. Câu II. ( 4 điểm). 1) Chứng minh 1 1 4 x y x y + + , với x > 0 và y > 0 .Xảy ra dấu đẳng thức khi nào? 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P , biết 2 2 2 35 2P ab a b ab = + + + với a > 0 , b>0 và 4a b + . Câu III ( 4 điểm) Cho phơng trình : 3 1 2 1x m m x+ = ( Với x là ẩn số). 1) Giải phơng trình khi m = 3. 2) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1? Câu IV ( 4 điểm ) Cho đờng tròn ( O ; 3 ) và điểm A cố định ( A khác O ) . Chứng minh 1) Nếu HK là đờng kính của đờng tròn (O;3) thì AH 3 hoặc AK 3. 2) Tồn tại hình thang cân MNPQ nội tiếp đờng tròn (O;3) thoả mãn đồng thời hai điều kiện MA +NA+PA+QA > 12 và MN+NP+PQ+QM < 12. Câu V ( 4 điểm ) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và điểm c là điểm chính giữa của cung AB. Lờy điểm M tuỳ ý trên cung BC ( M khác B ). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM ; H , I lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng AO,AM ; K là giao điểm các đờng thẳng BM và HI. 1) Chứng minh các điểm A, H, K và N cùng nằm trên một đờng tròn. 2) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC ( M khác B) sao cho AK = 10 2 R . -------------------Hết ------------------- Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 Năm học 2008 2009 Môn : Toán Ngày thi 27 3 2009 Thời gian làm bài 150 phút . ------------------- Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kì thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 Năm học 2008 2009 Môn : Toán Ngày thi 27 3 2009 Thời gian làm bài 150 phút. Câu I ( 4 điểm). 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có ( a 3 + 5a ) là số nguyên chia hết cho 6. 2) Cho 2 3 10 10 10 10 10 27309