DAP AN HSG CAP HUYEN TIEN GIANG 08-09

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Khóa ngày 10 tháng 02 năm 2009 Môn: TOÁN Bài Nội dung Điểm Câu 1 (6,0đ) 1) (3,0 điểm)  Điều kiện: x ≥ 5 2  Khi đó, phương trình đã cho tương tương với phương trình: 2 2 ( 2x 5 3) ( 2x 5 1) 4− + + − − = ⇔ 2x 5 3 2x 5 1 4− + + − − = ⇔ 1 2x 5 2x 5 1− − = − −  Do đó: 1 2x 5 0 x 3− − ≥ ⇔ ≤  Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 5 x 3 2 ≤ ≤  Vậy tập nghiệm của phương trình là mọi x: 5 x 3 2 ≤ ≤ 2) (3,0 điểm)  Ta có: P = 1 2x 3 2x + + −  Mà: 1 2x 3 2x+ + − 1 2x 3 2x 4≥ + + − = Nên P ≥ 4  Vậy: P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi (1+ 2x)(3-2x) ≥ 0 ⇔ 1 3 x 2 2 − ≤ ≤ 0,25 1,0 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5x2 1,0 0,5 0,5 Câu 2 (3,0đ)  S = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 4 1 n 1 . 2 3 4 n − − − − + + + + S = 2 2 2 2 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) . (1 ) 2 3 4 n − + − + − + + − S = n – 1 – ( 2 2 2 2 1 1 1 1 . 2 3 4 n + + + + ) < n – 1 Vậy: S < n – 1 (1)  Ta chứng minh: S > n – 2 Thật vậy: 0,5 0,5 1 2 2 2 2 1 1 1 1 . 2 3 4 n + + + + < 1 1 1 1 . 1.2 2.3 3.4 (n 1).n + + + + − < 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) . ( ) 2 2 3 3 4 (n 1) n − + − + − + + − − < 1 - 1 n Do đó: S > n – 1 – (1 - 1 n ) = n – 2 + 1 n > n -2 Vậy: S > n – 2 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: n – 2 < S < n – 1 với mọi số nguyên dương n ≥ 2. Mà: n – 2 và n – 1 là hai số nguyên dương liên tiếp. Nên: S không là số nguyên. 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 3 (3,0đ)  Gọi x (km/h) là vận tốc người thứ hai. y (km) là chiều dài quãng đường đua. Điều kiện: x ≥ 3, y > 0  Ta có: x + 15 (km/h) là vận tốc môtô thứ nhất. x – 3 (km/h) là vận tốc môtô người thứ ba. 12 phút = 1 5 giờ 3 phút = 1 20 giờ  Theo đề bài ta có hệ phương trình: y y 1 x x 15 5 y y 1 x 3 x 20  − =   +   − =  −   Phương pháp giải hệ phương trình trên. Kết quả: x = 75, y = 90  Vậy: vận tốc môtô thứ nhất là: 90 km/h; vận tốc môtô thứ hai là: 75 km/h; vận tốc môtô thứ ba là: 72 km/h. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25x2 0,25x3 Câu 4 (3,0đ)  Đặt AC = AB = x, BC = y. Ta có: tam giác AHC đồng dạng với tam giác BKC ( vì có góc nhọn C chung) nên: AH BK AC BC = Hay AH.BC = BK.AC 0,5 0,5 2 K H A B C Vậy: 5y = 6x (1)  Mặt khác: trong tam giác AHC vuông tại H ta có: 2 2 2 AC AH HC= + Hay 2 2 2 y x 10 2   = +  ÷   (2)  Từ (1) và (2) ta suy ra: x = 25 2 , y = 15. Vậy: AB = AC = 25 2 cm, BC = 15cm 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 5 (5,0đ) 1) (2,5 điểm)  Lấy điểm D trên cạnh MC sao cho MD = MB Ta có: góc BMD bằng 60 0 . Vậy: tam giác BMD đều.  Suy ra: BM = BD (1)  Ta có: · · MBA DBC= ( vì cùng bằng 60 0 - · ABD ). (2) AB = BC (3)  Từ (1), (2), (3) suy ra: MBA DBC∆ = ∆ .  Do đó: DC = MA  Vậy: MA + MB = CD + DM = MC 2) (2,5 điểm)  Do M thuộc cung nhỏ AB nên theo câu 1) Ta có: P = MA + MB + MC = MC + MC = 2MC P = 2MC ≤ 2. 2R = 4R ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.)  Mà: R = a 3 3  Nên P 4a 3 3 ≤ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3 C D B A M  Vậy: P đạt giá trị lớn nhất bằng 4a 3 3 khi đó M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. 0,5 0,5 4 . KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Khóa ngày 10 tháng 02 năm 2009 Môn: TOÁN Bài Nội. 2x 5 2x 5 1− − = − −  Do đó: 1 2x 5 0 x 3− − ≥ ⇔ ≤  Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 5 x 3 2 ≤ ≤  Vậy tập nghiệm của phương trình là mọi x: 5 x 3