Tài liệu tham khảo và tuyển tập đề thi thử đại học môn toán giúp các bạn ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học . Chúc các bạn thi tốt!
Diemthi.24h.com.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 179 ) Phần dành chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm) Câu 1: Cho hàm số : y = 3 2 2 2 3 3( 1) ( 1)x mx m x m− + − − − (1) a, Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) . b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. Câu 2: a, Giải phương trình : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin 2 (2x+ 4 π ) = 0 b, Xác định a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2 2 2 2 1 x x y x a x y + = + + + = Câu 3 : Tìm : 3 sin (sin 3 cos ) xdx x x+ ∫ Câu 4 : Cho lăng trụ đứng ' ' ' .ABC A B C có thể tích V. Các mặt phẳng ( ' ' ' ),( ),( )ABC AB C A BC cắt nhau . tại O. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V. Câu 5 : Cho x,y,z là các số thực dương . Chứng minh rằng : P = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2( ) x y z x y y z z x y z x + + + + + + + + ≥ 12 Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B ) A. Theo chương trình chuẩn Câu 6a : a, Cho đường tròn (C) có phương trình : 2 2 4 4 4 0x y x y+ − − + = và đường thẳng (d) có phương trình : x + y – 2 = 0 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn . . . (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đường thẳng có phương trình : 1 1 2 ( ) : 2 2 1 x y z d + − = = − ' 2 ' 4 ( ) : 2 3 x t d y z t = = − = Viết phương trình đường thẳng ( ∆ )đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng(d 1 ), (d 2 ). Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : 7 4 3 1 x x + ÷ ( với x > 0 ) B . Theo chương trình nâng cao Câu 6b : a, Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đường cao và . . đường phân giác trong qua đỉnh A,C lần lượt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0 . b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đường thẳng ( ∆ ) có phương trình : 2 1 0 2 0 x y z x y z − + + = − + + = Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng ( ∆ )sao cho : MA + MB nhỏ nhất . Câu 7b : Cho 2 12 2 24 0 1 2 24 (1 ) .x x a a x a x a x+ + = + + + . Tính hệ số a 4 . ------ Hết. -------- 1 Diemthi.24h.com.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 179) Phần dành chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm) Câu 1: Cho hàm số : y = 3 2 2 2 3 3( 1) ( 1)x mx m x m− + − − − (1) a, Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) . b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. Ta cú y’= 3x 2 -6mx+3(m 2 -1) y’=0 ⇔ 1 1 x m x m = − = + Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thỡ ta phải cú: ' 2 2 2 ' 0 . 0 ( 1)( 3)( 2 1) 0 0 1 0 1 0 0 ( 1) 0 (0) 0 y CD CT CD CT m R f f m m m m x m m x m f > ∀ ∈ < − − − − < > ⇔ − > + > > − − < < V 1 2 1 3 1 3 1 2 3 1 2 1 m m m m m − < < − < < − ⇔ ⇔ < < + < < + > Vậy giỏ trị m cần tỡm là: ( 3;1 2)m∈ + Câu 2: a, Giải phương trình : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin 2 (2x+ 4 π ) = 0 <=> Sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x + 4 π )=0 ⇔ sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x + 2 π ) ⇔ sinx + sin4x = 1+ sin4x ⇔ sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2 π , k ∈ Z b, Xác định a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2 2 2 2 1 x x y x a x y + = + + + = Nhận xột: Nếu (x;y) là nghiệm thỡ (-x;y) cũng là nghiệm của hệSuy ra, hệ cú nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x =0 + Với x = 0 ta cú a =0 hoặc a = 2-Với a = 0, hệ trở thành: 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) (I) 1 1 (2) x x x y x x x y x y x y + = + + − = ⇔ + = + = Từ (2) 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 x y x x x y x x y ≤ ≤ + − ≥ ⇒ ⇒ ⇒ ≤ ≤ ≤ ⇒ ( I ) cú nghiệm 2 2 2 1 0 2 1 1 1 x x y x x x y y + = = ⇔ + − = ⇔ = = -Với a=2, ta cú hệ: 2 2 2 2 2 1 x x y x x y + = + + + = Dễ thấy hệ cú 2 nghiệm là: (0;-1) và (1;0) khụng TM Vậy a = 0 TM 2 Diemthi.24h.com.vn Câu 3 : Tìm : 3 sin (sin 3 cos ) xdx x x+ ∫ Ta cú 3 3 sin[(x- ) ] sinx 6 6 (sinx+ 3 osx) 8 os ( ) 6 c c x π π π + = − 3 1 sin( ) os(x- ) 2 6 2 6 8 os(x- ) 6 x c c π π π − + = 3 2 sin( ) 3 1 1 6 16 16 os ( ) os ( ) 6 6 x c x c x π π π − = + − − 3 2 sinxdx 3 1 tan( ) 16 6 (sinx+ 3 osx) 32 os ( ) 6 x c c c x π π ⇒ = + − + − ∫ Câu 4 : Cho lăng trụ đứng ' ' ' .ABC A B C có thể tích V. Các mặt phẳng ( ' ' ' ),( ),( )ABC AB C A BC cắt nhau . tại O. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V. Gọi I = AC ∩ ’A’C, J = A’B ∩ AB’ (BA'C) (ABC') = BI (BA'C) (AB'C) = CJ Goi O = BI CJ ∩ ∩ ∩ ⇒ O là điểm cần tỡm Ta cú O là trọng tõm tam giỏc BA’C Gọi H là hỡnh chiếu của O lờn (ABC) Do V ABC là hỡnh chiếu vuụng gúc của V BA’C trờn (ABC) nờn H là trọng tõm V ABC Gọi M là trung điểm BC. Ta có: 1 ' 3 OH HM A B AM = = 1 1 1 . ' . 3 9 9 OABC ABC ABC V OH S A B S V⇒ = = = V V Câu 5 : Cho x,y,z là các số thực dương . Chứng minh rằng : P = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2( ) x y z x y y z z x y z x + + + + + + + + ≥ 12 Ta cú: 4(x 3 +y 3 ) ≥ (x+y) 3 , với ∀ x,y>0 Thật vậy: 4(x 3 +y 3 ) ≥ (x+y) 3 ⇔ 4(x 2 -xy+y 2 ) ≥ (x+y) 2 (vỡ x+y>0) ⇔ 3x 2 +3y 2 -6xy ≥ 0 ⇔ (x-y) 2 ≥ 0 luôn đúng Tương tự: 4(x 3 +z 3 ) ≥ (x+z) 3 4(y 3 +z 3 ) ≥ (y+z) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4( ) 4( ) 4( ) 2( ) 6x y x z y z x y z xyz⇒ + + + + + ≥ + + ≥ Mặt khỏc: 3 2 2 2 1 2( ) 6 x y z y z x xyz + + ≥ 3 3 1 6( ) 12P xyz xyz ⇒ ≥ + ≥ Dấu ‘=’ xảy ra 2 2 2 1 1 x y z x y z x y z y z x xyz xyz = = ⇔ = = ⇔ = = = = 3 J I O H M B' A' C' C B A Diemthi.24h.com.vn Vậy P ≥ 12, dấu ‘=’ xảy ra ⇔ x = y = z =1 Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B ) A. Theo chương trình chuẩn Câu 6a : a, Cho đường tròn (C) có phương trình : 2 2 4 4 4 0x y x y+ − − + = và đường thẳng (d) có phương trình : x + y – 2 = 0 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. (C) cú tõm I(2;2), bỏn kớnh R=2 Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ: 2 2 0 2 2 0 4 4 4 0 2 0 x y x y x y x y x y = = + − = ⇔ + − − + = = = Hay A(2;0), B(0;2) Hay (d) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A,B Ta cú 1 . 2 ABC S CH AB= V (H là hỡnh chiếu của C trờn AB) ax CH max ABC S m ⇔ V Dễ dàng thấy CH max ( ) ( ) 2 C C C x = ∩ ⇔ > V Hay V : y = x với : (2;2) d I ⊥ ∈ V V V (2 2;2 2)C⇒ + + Vậy (2 2;2 2)C + + thỡ ax ABC S m V b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3)và hai đường thẳng có phương trình : 1 1 2 ( ) : 2 2 1 x y z d + − = = − ' 2 ' 4 ( ) : 2 3 x t d y z t = = − = Viết phương trình đường thẳng ( ∆ )đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng(d 1 ), (d 2 ). Nhận xột: M ∉ (d1) và M ∉ (d2) Giả sử ( ) ( 1) ( ) ( 2) d I d H ∩ = ∩ = V V Vỡ I ∈ d1 ⇒ I(2t-1; -1-2t; 2+t) H ∈ d2 ⇒ H(4t’; -2; 3t’) 1 2 (1 4 ') 23 3 2 (2 2) 10 , 0 1 (3 3 ') 23 18 3 ( ; ; ) 5 5 10 cbt t k t TM kHM y t k t k R k t k t T − = − = ⇔ ⇔ + = + ⇔ = − ∈ ≠ − = − ⇒ − − uuur uuuur Vậy phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm I và H là: 1 56 2 16 3 33 x t y t z t = + = − = + hoặc là: 5 8 17 0 12 9 16 18 0 x y z x y z + − + − + − + = Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : 7 4 3 1 x x + ÷ ( với x > 0 ) 4 H 4 A B I y x M 2 2 O C Diemthi.24h.com.vn Ta cú: 1 1 7 7 7 4 34 7 3 0 1 ( ) ( ) .( ) k k k k x C x x x − − = + = ∑ Để số hạng thứ k không chứa x thỡ: 1 1 (7 ) 0 4 4 3 [0;7] k k k k − − = ⇔ = ∈ Vậy số hạng khụng chứa x trong khai triển là: 4 7 1 35 C = B . Theo chương trình nâng cao Câu 6b : a, Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A,C lần lượt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0 . Phươngtrỡnh đường thẳng chứa cạnh BC: 1 ( ) qua B ( ) : 4 3 5 0 BC d BC BC x y ⇔ + − = ⊥ Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 4 3 5 0 ( 1;3) 2 5 0 x y C x y + − = ⇒ − + − = Gọi K AC , K BC , K 2 theo thứ tự là hệ số góc của các đường thẳng AC, BC, d 2 Ta cú: 2 2 2 2 3 1 1 4 2 2 1 3 1 1 . 1 . 1 . 1 2 4 2 0 1 (loai) 3 AC BC d d AC BC d d AC AC AC AC K K K K K K K K K K K K − + − − − − = ⇔ = + + + − = ⇔ = − Vậy pt đường thẳng AC đi qua C và có hệ ssó góc k=0 là: y = 3 + Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 3 4 27 0 ( 5;3) 3 0 x y A y − + = ⇒ − − = ⇒ Pt cạnh AB là: 5 3 4 7 1 0 2 5 1 3 x y x y + − = ⇔ + − = + − − Vậy AB: 4x+7y-1=0 AC: y=3 BC: 4x+3y-5=0 b, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đường thẳng ( ∆ ) có phương trình : 2 1 0 2 0 x y z x y z − + + = − + + = Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng ( ∆ )sao cho : MA + MB nhỏ nhất . + Xét vị trí tương đối giữa AB và V , ta cú: V cắt AB tại K(1;3;0) Ta cú 2KB KA= uuur uuur ⇒ A, B nằm về cựng phía đối với V Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua V và H là hỡnh chiếu của A trờn V . ⇒ H( 1;t;-3+t) (vỡ PTTS của V : 1 3 x y t z t = = = − + )Ta cú . 0 1.0 ( 4).1 ( 4 ).1 0 4 (1;4;1) '(0;4;1) AH u t t t H A = ⇔ − + − + − + = ⇔ = ⇒ ⇒ uuuurr Gọi M là giao điểm của A’B và d 13 4 (1; ; ) 3 3 M⇒ 5 Diemthi.24h.com.vn Lấy điểm N bất kỳ trên V Ta cú MA+MB=MB+MA’=A’B ≤ NA+NBVậy 13 4 (1; ; ) 3 3 M Câu 7b : Cho 2 12 2 24 0 1 2 24 (1 ) .x x a a x a x a x+ + = + + + . Tính hệ số a 4 . Ta cú: (1+x+x 2 ) 12 = [(1+x)+x 2 ] 12 = = 0 12 1 11 2 12 2 12 24 12 12 12 12 (1 ) (1 ) . . (1 ) .( ) . k k k C x C x x C x x C x − + + + + + + + + = 0 0 12 1 11 8 4 1 2 0 11 9 2 12 12 12 12 12 11 11 2 4 0 10 10 12 10 10 [C . .]+C x [C . .] +C [C . ]+ . C x C x C x x C x x x C + + + + + + + + + ⇒ Chỉ có 3 số hạng đầu chứa x 4 0 8 1 9 2 10 4 12 12 12 11 12 10 . . . 1221a C C C C C C⇒ = + + = Diemthi.24h.com.vn 6