DE SO 5 CO DAP AN

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC SD.. Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a 1.. Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A và đường phân giác trong góc B có phương trình lần lượt

Đ Ề 5

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm)

Cho hàm số y=2x3−3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0.

2. Xác định các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞) .

Câu II (2 điểm)

1. Giải phương trình: tan 3x−2 tan 4x+tan 5x=0với x∈(0;2 )π .

2. Giải bất phương trình: 3 1 1 32

3 log (2x+1).log (2x+ + +2) 2 log 2 0>

Câu III (1 điểm)

Tính tích phân 2

3 0

sin 2 (2 cos )

x

x

π

= +

∫

Câu IV (1 điểm)

Cho hình chóp S ABCD có SAvuông góc với mặt phẳng (ABCD SA a), = Đáy ABCD là hình bình hành

có AB b BC= , =2 ,b ABC· =600 Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC SD Chứng minh,

MN P SAB và tính thể tích của khối tứ diện AMNCtheo a,b

Câu V (1 điểm)

Cho x y z , , là các số thực thoả mãn x≥1,y≥2,z≥3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

f x y z

xyz

=

II- PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần : phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình chuẩn:

Câu VI.a

1 Trong hệ trục toạ độ Oxycho tam giác ABC có ( 2;3)C − Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A và

đường phân giác trong góc B có phương trình lần lượt là: 3x−2y−25 0,= x y− =0.Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( ) :S x2+ y2+ −z2 2x+6y−4z− =11 0 và điểm

( 1; 2;3)

I − − Chứng minh điểm I nằm bên trong mặt cầu (S) Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua

điểm I đồng thời mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I

Câu VII.a

Tìm số nguyên dương n thoả mãn:

2 1.2 n 2 2 1.3.2 n 3 2 1.3 2 n 2 2n1.3 n 2 (2 1) 2n1.3n 2009

2. Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b

1 Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết CD có phương trình 4x−3y+ =4 0 Điểm M(2;3) thuộc cạnh BC, (1;1)N thuộc cạnh AB Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AD

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường tròn (C) có tâm (1; 2;3)K − , nằm trên mặt phẳng

( ) : 3P x+2y+2z− =5 0, và đi qua điểm M(3;1; 3)− Viết phương trình mặt cầu (S) chứa đường tròn (C)

và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) :Q x y z+ + + =5 0.

Câu VII.b

Từ bộ bài tú lơ khơ 52 con bài (gồm 13 bộ, mỗi bộ có 4 con với 4 chất: Rô, Cơ, Bích, Nhép) người ta rút ra

5 con bài bất kỳ Tính xác suất để rút được 2 con thuộc một bộ, 2 con thuộc bộ thứ hai và con thứ năm thuộc

bộ khác

-Hết -Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

ĐÁP ÁN VÀ BIỂM ĐIỂM CHI TIẾT

Khi m=0 hàm số trở thành y=2x3−3x2+1

• TXĐ: D=¡

• Sự biến thiên: y=6x2−6 , ' 0x y x x=10

= ⇔  =

• Ta cóy CD = y(0) 1;= y CT = y(1) 0=

• Bảng biến thiên:

x −∞ 0 1 +∞

y' + 0 - 0 +

y 1 +∞

−∞ 0

• Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0 , 1;) ( +∞),nghịch biến trên ( )0;1 • Đồ thị : f(x)=2*x*x*x-3*x*x+1 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 x y 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞) 1điểm Ta có 2 ' 6 6(2 1) 6 ( 1) y = x − m+ x+ m m+ 2 2 ' 0 6 6(2 1) 6 ( 1) 0 (2 1) ( 1) 0 1

x m

x m

= +



⇔  =

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞) ⇔ + ≤ ⇔ ≤m 1 2 m 1

Vậy với m≤1 thì hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)

0.25

0.25 0.25 0.25

II 1 Giải phương trình tan 3x−2 tan 4x+tan 5x=0với x∈(0; 2 )π 1điểm

ĐK: cos3x≠0;cos4x≠0;cos5x≠0

Phương trình cho

2

2

sin8 2sin 4

0 cos3 cos5 cos4

cos 4 cos3 cos5

cos3 cos4 cos5

1 cos8 cos2 cos8

cos3 cos 4 cos5 2sin

cos3 cos 4 cos5 sin 4 0

, 4 sin 0

x

x

x x

x

x k

π π





=

π

Do x∈(0; 2 )π nên phương trình cho có nghiệm là

x=π x=π x= π x= π x= π

0.25

0.25

0.25 0.25

3

log (2x+1).log (2x+ + +2) 2 log 2 0> 1điểm

Bất phưong trình

2

2

log (2 1).log 2(2 1) 2 log 2 0 log (2 1) log (2 1) log 2 2 log 2 0

Đặt t=log (23 x+1),t>0.BPT trở thành

log 2 2log 2 0 (log 2 )(2log 2 ) 0

2log 2 log 2

t t

t

⇔ − < <

Do t>0 nên ta có 0< <t log 23 Suy ra :

0 log (2 1) log 2

0

x x

x

< + <

⇔ + <

⇔ <

0.25 0.25 0.25

0.25

III

Tính tích phân 2

3 0

sin 2 (2 cos )

x

x

π

= +

∫

1điểm

Đặt t= +2 cosx⇒cosx t= − ⇒2 sin x dx= −dt

2

x= ⇒ =t x= ⇒ =π t

Ta có

2

2

(2 cos )

2

3 18 18

π

−

0.25

0.5 0.25

IV Cho hình chóp S ABCD có SAvuông góc với mặt phẳng ( ABCD SA a), = Đáy ABCD là hình

bình hành có AB b BC= , =2 ,b ABC· =600 Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

,

BC SD Chứng minh MNP(SAB)và tính thể tích của khối tứ diện AMNC theo a,b.

1điểm

H N

M

S

C

D

B

A

+) Gọi H là trung điểm của AD

/ /

HM AB

HN AS



 +) Có NH ⊥ AD H, ∈AD

0.25

Khi đó 1

a

NH = AD=

Mặt khác dễ thấy ABM∆ đều cạnh b Do M là trung điểm BC nên ( ) ( ) 2 3

4

a

dt MAC∆ =dt ABM∆ =

Vậy thể tích của khối tứ diện AMCN là V với 1 ( ) 1 2 3 2 3

V = NH dt MAC∆ = = (đvtt)

0.25 0.25

0.25

V Cho x y z , , là các số thực thoả mãn x≥1,y≥2,z≥3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M

xyz

=

1điểm

Ta có

M

Mặt khác

0

0

0

Dấu đẳng thức xảy ra khi

6

z z



Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 1 1 1

  khi x=2,y=4,z=6

0.25

0.25

0.25 0.25

VIa 1 Trong hệ trục toạ độ Oxycho tam giác ABC có ( 2;3) C − Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A

và đường phân giác trong góc B có phương trình lần lượt là: 3 x−2y−25 0,= x y− =0.Hãy viết

phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác.

1điểm

Gọi đường cao kẻ từ A là AH: 3x−2y−25 0=

Đường phân giác trong góc B là BE: x y− =0

BC có phương trình : 2x+3y− =5 0

Toạ độ B là nghiệm của hệ 2 3 5 0 1 (1;1)

B

Gọi F là điểm đối xứng của C qua BE Do BE là phân giác nên F thuộc AB

Xác định toạ độ F được F(3; -2)

Đường thẳng chứa cạnh AB là đường thẳng đi qua B, F

Phương trình AB là: 3x + 2y -5 = 0

Toạ độ A là nghiệm của hệ 3 2 5 0 5 (5; 5)

A

Vậy phương trình AC là: 8x + 7y - 5 = 0

0.25 0.25

0.25

0.25

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x + y + −z 2x+6y−4z− =11 0 và điểm ( 1; 2;3) I − − Chứng minh điểm I nằm bên trong mặt cầu (S) Viết phương trình của mặt

phẳng (P) đi qua điểm I đồng thời mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn

tâm I.

1điểm

Mặt cầu (S) có tâm J(1; -3; 2) bán kính R = 5

Ta có IJ = 22+ + −12 ( 1)2 = 6<R Chứng tỏ I nằm bên trong hình cầu (S)

0.25 0.25

Mặt phẳng (P) thoả mãn ĐK của bài toán sẽ đi qua I và vuông góc với IJ.

Mp(P) có vectơ pháp tuyến n IJr uur= =(2; 1; 1)− −

Vậy phương trình của mp(P) là: 2x – y – z + 3 = 0

0.25 0.25

VIIa Tìm số nguyên dương n thoả mãn:

2 1.2 n 2 2 1.3.2 n 3 2 1.3 2 n 2 2n1.3 n 2 (2 1) 2n1.3 n 2009

1điểm

Xét khai triển của (2+x)2n+1 ta có :

x + C + + C + x C + − x C + − x C + x C ++ x +

Lấy đạo hàm 2 vế ta có:

(2 1)(2 ) n 2 n 2 .2 n 3 .2 n 2 n 2 n (2 1) n n

n+ +x =C + + C + − x+ C + − x + + n C + x − + n+ C ++ x

Thay x = -3 ta có

(2 1) 2 n 2 .2 n 3 3 .2 n 3 2 n 2.3 n (2 1) n 3 n

Phương trình cho ⇔2n+ =1 2009⇔ =n 1004

0.25 0.25 0.25 0.25

VIb