2 DE THI THU DAI HOC CO DAP AN

I: Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = -x 4 +2x 2 +3 (1) 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). Gọi đồ thị là (C). 2, Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 4). Câu II. (2 điểm) Giải các phơng trình sau: 1, 2 2 4sin 2 6sin 3cos2 9 0 cos x x x x + = 2, 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + Câu III. (2 điểm) 1, Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đờng sau : y = 2 4 3x x + và y = x+ 3. Tính diện tích của hình (H). 2, Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a. Trên đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Hãy tính độ dài đoạn SA theo a và thể tích tứ diện S.ABC. Câu IV. (1,75 điểm)1, Tìm các số thực a, b, c để ta có phân tích: z 3 - 2(1+ i)z 2 + 4(1+ i)z - 8i = (z- ai)(z 2 + bz + c) Từ đó giải phơng trình z 3 - 2(1+ i)z 2 + 4(1+ i)z - 8i = 0 trên tập số phức. Tìm môđun và acgumen của các nghiệm đó. 2, Chiếc kim của bánh xe trong trò chơi "Chiếc nón kì diệu" của Đài truyền hình Việt Nam có thể dừng lại ở một trong 7 vị trí với các khả năng nh nhau. Tính xác suất để trong 3 lần quay chiếc kim đó dừng lại ở 3 vị trí khác nhau. Câu V. (2,25 điểm) 1, Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt cầu (S) có phơng trình: x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0. a, Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt mặt cầu theo 1 đờng tròn có bán kính bằng 3. b, Tìm điểm M(x, y, z) thoả mãn: x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y + 2z - 3 0 sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất. 2, Chứng minh rằng với mọi giá trị dơng của tham số m, phơng trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt: x 2 + 2x - 8 = ( 2)m x ----------------------Hết--------------------- II: Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = 2 2 (2 1) 4 2( ) x m x m m x m + + + + + + (1) (m là tham số) 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). Khi m = 0. 2, Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Câu II. (2,5 điểm) 1, Giải phơng trình: 2 4 4 (2 sin 2 )sin 3 tan 1 cos x x x x + = 2, Giải bất phơng trình: 1 1 15.2 1 2 1 2 x x x+ + + + 3, Giải hệ phơng trình: 4 2 4 3 0 log log 0 x y x y + = = Câu III. (3 điểm) 1, Trong mặt phẳng Oxy cho hai đờng tròn: (C 1 ): x 2 + y 2 - 4y - 5 = 0 và (C 2 ): x 2 + y 2 - 6x+ 8y+ 16 = 0 Viết phơng trình tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ). 2, Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB đều bằng 60 0 . 3, Trong không gian với hệ trục Oxy cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): 2x + 2y + z - m 2 - 3m = 0 (m là tham số) và (x- 1) 2 + (y+ 1) 2 + (z- 1) 2 = 9. Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m vừa tìm đợc hãy xác định tiếp điểm của (P) và (S). Câu IV. (1,5 điểm) 1. Tính tích phân I = 2 3 5 6 0 1 cos .sin .cosx x xdx 2, Chứng minh rằng: 0 1 1 2 2 . . ( ) 1 n n n n n n C C C n với n N và n 2. Tìm n để dấu bằng xảy ra? Câu IV. (1 điểm) Xác định dạng của tam giác ABC biết: (p- a)sin 2 A + (p- b)sin 2 B = c.sinA.sinB Trong đó: a, b, c là ba cạnh p là nửa chu vi của tam giác. ----------------------Hết--------------------- Đáp án và thang điểm thi thử ĐH lần 3 Câu Nội dung Điểm I.1 Tập xác định: D = R, 4 2 lim ( 2 3) x x x + + = , 4 2 lim ( 2 3) x x x + + + = Ta có: y' = -4x 3 + 4x = 0 x= 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1 và lập bảng BT Tính CĐ(-1; 4), CĐ(1; 4), CT(0; 3). 0,25 0,25 Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; -1) và (0; 1), nghịch biến trên khoảng (-1; 0) và (1; + ). Các điểm uốn U 1 ( 3 32 ; 3 9 );U 2 ( 3 32 ; 3 9 ) Vẽ đồ thị và nhận xét tính đối xứng của đồ thị 0,25 0,25 I.2 Gọi d là đờng thẳng đi qua A(1; 4) và có hệ số góc k phơng trình (d): y = k(x- 1) + 4. Để d là tiếp tuyến của (C) thì k thoả mãn hệ phơng trình: 3 4 2 4 4 ( 1) 4 2 3 k x x k x x x = + + = + + 2 2 3 ( 1) (3 2 1) 0 4 4 x x x k x x + = = + 3 1 1; 1; 3 4 4 x x x k x x = = = = + Khi x=1 và x=-1 thì k = 0 phơng trình tiếp tuyến là: y = 4 Khi x = 1 3 thì k = 32 27 phơng trình tiếp tuyến là: y = 32 76 27 27 x + 0,25 0,25 0,25 0,25 II.1 Điều kiện: cosx 0. Phơng trình 4(1- cos 2 2x) + 3(1- cos2x) - 3cos2x - 9 = 0 4.cos 2 2x + 6.cos2x + 2 = 0 cos2 1 ( ) 1 cos2 ( / ) 2 x loai x t m = = Khi cos2x = - 1 2 = cos 2 3 3 x k = + 0,25 0,25 0,5 II.2 Điều kiện: x -1. Đặt u = 2 3 1x x+ + + điều kiện u 0 Ta có: u 2 = 3x+ 2 2 2 5 3x x+ + +4 phơng trình u 2 - u - 20 = 0 u = - 4 hoặc u =5 Khi u = 5 thì ta có: 2 3 1x x+ + + = 5 2 2 2 5 3x x+ + = 21- 3x 2 7 146 429 0 x x x + = 7 3( / ) 143( ) x x t m v x l = = Vậy x = 3 là nghiệm của PT. 0,25 0,25 0,5 III.1 Ta có y = | x 2 - 4x + 3| = ( ] [ ) 2 2 4 3 ;1 3; 4 3 (1;3) x x khi x x x khi x + + + Hoành độ giao điểm của y = x+ 3 và y = | x 2 - 4x + 3| là x = 0 và x= 5. Theo hình vẽ ta có: S = 5 3 2 2 0 1 ( 3 ( 4 3)) 2 ( 4 3)x x x dx x x dx+ + + = 5 3 2 2 0 1 (5 ) 2 ( 4 3)x x dx x x dx + + = 2 3 3 5 2 3 0 1 5 ( ) | 2( 2 3 ) | 2 3 3 x x x x x + + = 125 8 109 6 3 6 = 0,25 0,25 0,25 0,25 III.2 Tam giác ABC vuông cân có BC = a AB= AC= 2 2 a . Từ A kẻ AH BC tại H AHS = 60 0 . Ta có AH.BC= AB.AC AH = . 2 AB AC a BC = SA= AH.tan60 0 = 3 2 a 0,25 0,25 V ABCD = 1 3 SA.dt(ABC) = 3 2 24 a do dt(ABC) = 2 2 4 a 0,5 IV.1 Ta có: (z- ai)(z 2 + bz+ c) = z 3 + (b- ai)z 2 + (c- abi)z- aci. Cân bằng hệ số ta có hệ: 2 2 4 4 8 b ai i c abi i aci i = = + = a= 2, b=-2, c= 4 Phơng trình (z- 2i)(z 2 - 2z+ 4) = 0 z 1 = 2i hoặc z 2 = 1+ 3 i hoặc z 3 = 1- 3 i Ta có: | z 1 | = | z 2 | = | z 3 | = 2, 1 = 2 2 k + 2 = 2 3 k + 3 = - 2 3 k + 0,25 0,25 0,25 0,25 IV.2 Số kết quả có thể xảy ra trong ba lần quay là: 7 3 = 343 Số kết quả thuận lợi là: 3 7 A = 210 Vậy xác suất cần tìm là: 210 30 343 49 = 0,25 0,25 0,25 V.1 a, Mặt cầu có tâm I(1; -2; -1), bán kính R = 3 Do (Q) chứa Ox cho nên phơng trình của (Q) có dạng: ay+ bz = 0. Mặt khác đờng tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên mặt phẳng (Q) đi qua tâm I. Suy ra: -2a- b = 0 b = -2a (a 0). Vậy mặt phẳng (Q) có phơng trình là: y - 2z = 0 b, Do M(x, y, z) thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y + 2z - 3 0 cho nên M thuộc hình cầu (S). Gọi (R) là mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với (S) khi đó (R) có phơng trình: 2x- y+ 2z + 7 = 0 hoặc 2x- y + 2z - 11 = 0. Tìm đợc 2 tiếp điểm là: N 1 (3; -3; 1), N 2 (-2; -1; -3) và d(N 1 , P) = 1, d(N 2 , P) = 23 3 Vậy N 2 (-2; -1; -3) là cần tìm. 0,25 0,25 0,25 V.2 Do m > 0 cho nên điều kiện x 2. Dễ thấy x = 2 là một nghiệm. Khi x > 2 ta có phơng trình m = (x- 2)(x 2 + 8x + 16) = x 3 + 6x 2 - 32. Xét hàm số f(x) = x 3 + 6x 2 - 32 có f'(x) = 3x 2 + 12x = 3x(x+ 4) > 0 với mọi x > 2 Mà lim ( ) x f x + = + , 2 lim ( ) 0 x f x + = Suy ra phơng trình m = f(x) luôn có một nghiệm x> 2 (ĐPCM) 0,25 0,25 . = 0 4.cos 2 2x + 6.cos2x + 2 = 0 cos2 1 ( ) 1 cos2 ( / ) 2 x loai x t m = = Khi cos2x = - 1 2 = cos 2 3 3 x k = + 0 ,25 0 ,25 0,5 II .2 Điều. = 32 27 phơng trình tiếp tuyến là: y = 32 76 27 27 x + 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 II.1 Điều kiện: cosx 0. Phơng trình 4(1- cos 2 2x) + 3(1- cos2x) - 3cos2x