hướng dẫn giải chi tiết

1 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 PHẦN : HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.1 Đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y  x2  x  hợp với trục tọa độ x 1 tam giác có diện tích S : A S=1,5 B S=2 C.S=3 D.S=1  u / ( xo ) u ( x) Ta có kết : Nếu đồ thị hàm sớ y  có điểm cực trị ( xo ; yo ) yo  / v ( xo ) v( x)  Suy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị y=2x-2 (d)  (d) cắt trục tọa độ điểm A(0;-2) ,B(1;0) nên diện tích tam giác OAB 1( Đáp án D) Câu 1.2 Khối cầu nội tiếp hình tứ diện có cạnh a thể tích khới cầu : A a 3 216 B a 3 124 C a 3 96 D a 3 144 Hướng dẫn giải : Sử dụng kết :  Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện cạnh a có bán kính R    a  a3 V       12  216 a , 12 Câu 1.3 Tìm m để phương trình e2 x  me x   m  có nghiệm A m  B m  C.m0 Hướng dẫn giải :    t2  Đặt t= e , t >0 Biến đổi phương trình dạng : m t 1 x t2  , t >0 ta có f (t )  Suy m  t 1 Đáp án A (dùng casio để tìm nhanh ) Khảo sát hàm f(t) = Câu 1.4 Giá trị tham sớ m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sớ y  3x2  2mx  m2  , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = đạt giá trị nhỏ là: GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 A m = B m = C m = -1 D m = - Hướng dẫn giải :  Vì với m tùy ý ta ln có 3x2  2mx  m2   x nên diện tích hình phẳng cần tìm là    S    3x  2mx  m2  1 dx   x3  mx   m2  1 x   2m2  4m  10   m  1  0 S đạt giá trị nhỏ m = - ( dùng casio thử nhanh ) Câu 1.5 Phương trình nào sau khơng phải là phương trình hình chiếu vng góc đường  x   2t  thẳng d:  y  2  3t , t  R mặt phẳng (Oxy) : z   t   x   2t '  A  y   3t ' , t '  R z    x   4t '  B  y  2  6t ', t '  R z    x   2t '  C  y   3t ', t '  R z    x   2t '  D  y   3t ', t '  R z   Hướng dẫn giải :  A(1;-2;3) , B(3;1;4) thuộc d Hình chiếu A ,B mặt phẳng (Oxy) là A/(1;-2;0) , B/(3;1;0)  Phương trình hình chiếu qua A/ B / và nhận véc tơ phương với A/ B /   2;3;0  làm véc tơ phương  Đáp án C Câu 1.6 Gọi A, B, C là điểm biểu diễn số phức :  i; (1  i)(1  2i); tích tam giác ABC : A B C D Hướng dẫn giải :   Dùng máy tính casio ta có A(1;2) , B(3;1) ,C(0;2) Dùng công thức S   AB, AC  Với AB   2; 1;0  , AC   1;0;0   Dùng máy tính ta có kết B : S=1/2  (Có thể dùng cơng thức tính diện tích phần Oxy tính nhanh )  6i Diện 3i GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 Câu 2.1 Cho hàm số y  x3  x  1  m  x  m có đồ thị  C  Giá trị m  C  cắt trục hồnh điểm phân biệt x1 , x2 , x3 cho x12  x22  x32     m  B  m   A m  1 4 C   m  D  m  Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm (C) trục hoành x  x3  x  1  m  x  m    x  x  m  m   (C) trục hoành cắt điểm pb  m    2 Xét x1  x2  x3    x1  x2   x1 x2     2m    m  Chọn B Câu 2.2 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giá ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA' BC A a3 12 a Khi thể tích khới lăng trụ B a3 C Hướng dẫn giải: a3 3 D a3 24 C’ B’ A’ H M B C G A GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 Gọi M là trung điểm BC, dựng MH vng góc với A’A suy MH  d  BC , A ' A  Đặt AH=x, ta có A ' A  x2  a2 Từ A’A.MH=A’G.AM, suy x  Vậy V  a a a a a3  12 Chọn A x Câu 2.3 Phương trình x m (1) có nghiệm khi: A m   ;5 B m   ;5 C m   2;   D m   2;   Hướng dẫn giải:   x Đặt t   , t  , phương trình cho thành: t  mt   (2) (1) có nghiệm (2) có nghiệm dương m   Do tích nghiệm =1 nên suy (2) có nghiệm dương   m2 m  Chọn D  Câu 2.4 Tính I   e3 x sin xdx 1 32 A I   e 2 Hướng dẫn giải : 1 32 B I   e 2 C I   e 3 D I   e 3 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017   2 0   I   e3 x sin xdx    e3 x d  cos x   e3 x cos x   e3 x cos xdx 0    2    e d  sin x    e sin x   e sin xdx   e 3x 3x 3x 0 3 I 1 32 I  e 2 Do Chọn B Câu 2.5 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), B(1;0; 3),  C ( 1; 2;  3)  mặt cầu (S) có phương trình: x2  y2  z2  x  2z   Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD có thể tích lớn A D 1; 0;1 7 1 B D  ;  ;   3 3  1 5  C D  ; ;   3  D D(1; - 1; 0) Hướng dẫn giải : Ta thấy câu C và D có điểm D khơng thuộc (S) Loại C,D Ta tính thể tích cho điểm D câu A và câu B Điểm B câu B có thể tích lớn Chọn B Câu 2.6 Tính tổng mơ-đun tất nghiệm phương trình: A B  z  i   z  1 z  i   C.6 Hướng dẫn giải :  z  i  z  i  z  1  z  i  z  1   z  i  z  i   z  1 z  i     z  1   z  i   z  i    z  i   z  iz    Suy tổng mô-đun nghiệm D GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 Câu 3.1 (Kshs) Cho hàm số y   x  m   3x  m2 1 Gọi M là điểm cực đại đồ thị hàm số 1 ứng với giá trị m thích hợp đồng thời là điểm cực tiểu đồ thị hàm số 1 ứng với giá trị khác m Số điểm M thỏa mãn yêu cầu đề là: A.1 B C.3 D.0 Hướng dẫn giải : Ta có y   x  m   3, y   x  m   x  m 1 Suy y    x  m 1 Vì x  x1  m  1, y  m  1  nên hàm số đạt cực đại x  x1  m  giá trị cực đại y1  m2  3m  Tương tự, ta có hàm số đạt cực tiểu x  x2  m  giá trị cực tiểu y2  m2  3m  Ta giả sử điểm M là điểm cực đạ đồ thị hàm số ứng với giá trị m1 và là điểm cực tiểu ứng đồ thị hàm số ứng với với giá trị m2 m1   m2  Từ YCBT suy hệ phương trình  2 m1  3m1   m2  3m2  1 1 Giải hệ ta tìm nghiệm m1  , m2   suy tồn nhât điêm M  ,   thỏa 2 2 4 toán Chọn đáp án A Câu 3.2 (Thể tích- mặt cầu- mặt nón- mặt trụ) Cho tứ diện ABCD với BC  a ,các cạnh lại a  góc tạo hai mặt phẳng  ABC   BCD  Gọi I,J là trung điểm cạnh BC, AD Giả sử hình cầu đường IJ kính tiếp xúc với CD Giá trị cos  là: A  Hướng dẫn giải: B  C 3 D 2 3 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 Gọi O là trung điểm IJ F là điểm tiếp xúc hình cầu đường kính IJ và đường thẳng CD Hình cầu đường kính IJ tiếp xúc với CD khoảng cách từ O đến CD độ dài IJ Ta có AI  DI  a Vì FC CI hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm nên FC  CI  Tương tự ta có DJ  DF  a a a  2 Tam giác ADI cân có IJ là đường trung tuyến nên tam giác IDJ vuông J   a 1 JD 6   Suy sin  sin JID  DI a 2  Do cos    nên chọn đáp án B Câu 3.3 (Mũ- logarit) M  xy  yz  xz là: A.0 Cho x, y, z số thực thỏa mãn 2x  3y  6 z Giá trị biểu thức B.1 C.6 D.3 Hướng dẫn giải: Khi ba sớ x, y, z sớ lại Khi M=0 x z y Khi x, y, z  ta đặt    k suy  k ,3  k ,  k x 1 Do 2.3=6 nên k x k y  k  y z hay  z 1   x y z Từ suy M=0 Vậy cần chọn đáp án A Câu 3.4 (Tích phân- Ứng dụng) Gọi S a diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sớ y  e  2e , trục Ox và đường thẳng x  a với a  ln Kết giới hạn lim Sa là: 2x x a  A.1 B.2 C.3 D.4 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 Hướng dẫn giải: ln Ta có Sa   e 2x a  2e x  dx  e2 a  2ea  2 Suy lim Sa  , chọn đáp án B a  Câu 3.5 (Oxyz) Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1,0, 1 mặt phẳng  P  : x  y  z   Mặt cầu S có tâm I nằm mặt phẳng  P  , qua điểm A gốc tọa độ O cho chu vi tam giác OIA  Phương trình mặt cầu S là: A  x     y  2   z  1   x     y     z  1  2 2 2 B  x     y     z  1   x  1   y     z    2 2 2 C  x     y     z  1   x     y     z  1  2 2 2 D  x     y     z  1   x  1   y     z    2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi I  x, y, z  tâm S Khi I   P  , IO  IA, IO  IA  AO   nên ta suy hệ   x  12  y   z  12  x  y  z  x  z      2   x2  y  z  2 x  y  z    x  y  z   x  y  z      Giải hệ ta tìm I  2, 2,1 I  1, 2, 2  Suy phương trình mặt cầu và đáp án cần chọn D Câu 3.6 (Số phức) Cho z số phức có mơ đun 2017 w sớ phức thỏa mãn Mô đun số phức w A.2015 Hướng dẫn giải: B.1 C.2017 D.0 1   z w zw GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 Từ 1 ta suy z  w  zw    z w zw 2  i 3 w   i 3w     z       z     w 2      Lấy mơ đun hai vế ta có z  w  2017 Vậy đáp án là C Câu 4.1 (Kshs) Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ điểm A bờ đến điểm B đảo Hòn đảo cách bờ biển 6km Giá để xây đường ống bờ 50.000USD km, 130.000USD km để xây nước B’ là điểm bờ biển cho BB’ vng góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B’ 9km Vị trí C đoạn AB’ cho nới ớng theo ACB sớ tiền Khi C cách A đoạn bằng: A 6.5km B 6km C 0km đảo D.9km B biển Đáp án: 6km Lời giải C Đặt x  B ' C (km) , x  [0;9] B' x km bờ biển BC  x  36; AC   x Chi phí xây dựng đường ớng C ( x)  130.000 x  36  50.000(9  x)  13x   5 Hàm C ( x ) , xác định, liên tục [0;9] C '( x )  10000   x  36  C '( x)   13x  x  36  169 x  25( x  36)  x  25 x 5 C(0)  1.230.000 ; C    1.170.000 ; C(9)  1.406.165 2 Vậy chi phí thấp x  2,5 Vậy C cần cách A khoảng 6,5km Câu 4.2 (Thể tích – mặt cầu-mặt nón – mặt trụ) (USD) (9 - x)km A 10 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 Cho hình chóp SABC với SA vng góc với mặt phẳng (ABC) BC= S a, BAC  60 Gọi H, K hình chiếu A lên SB SC Mặt o K cầu qua điểm A, B, C, H, K có bán kính bằng: A.1 B.2 H C A D Không đủ kiện để tính C 600 Đáp án: B Lời giải S Gọi AD là đường kính đường tròn (ABC) K Suy ra, AC  DC , suy CD  (SAC ) hay AE  DE Tương tự, AH  HD Suy mặt cầu qua điểm A, B, C, H, K có đường BC kính AD  2 sin 600 H A C 600 D B Câu 4.3: Cho a log  b log  c log  , với a, b c số hữu tỷ Các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng? A a  b B a  b Hướng dẫn giải : C b  a D c  a  b  log6 3a 2b5c   3a.2b.5c  65  35.25.50 a  b  Do a, b, c số hữu tỷ nên  c  Câu 4.4 (Tích phân - Ứng dụng ) Một khới cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ phần mặt phẳng vng góc bán kính và cách tâm 3dm để làm lu đựng Tính thể tích mà lu chứa A 132 (dm3) B 41 (dm3) 100  (dm3) D 43 (dm3) C 3dm 5dm 3dm 137 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017  x12  2mx1   m  1  x22  2mx2   m  1  , x1 ; x2 nghiệm phương trình x2  2mx  6m   (1) Phương trình (1) có nghiệm x  2m  x  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2   2m    3  2m     m  Vậy  m  thỏa mãn Chọn đáp án A 2   2m    Câu 37.2 5x x Đặt t ;t Khi 5x 52 pt 25 x 124 x 25 t 5t 3 a b 124 5t 124t 25 t 25(tm) t (l) a b Biến đổi thấy log a log a 25 124 5x 5.5x loga ab a2 , log a ab a2 log a a log a a.a log a b log a b log a a2 Vậy chọn đáp án B S Câu 37.3.Ta có V xh x h x2 h V 32 x2 x2 S x 32 x x2 128 x x , để lượng vàng cần dùng nhỏ Diện tích S phải nhỏ ta có S 128 x x2 f x f' x 2x 128 x2 x 4, h Chọn đáp án B Câu 37.4 (Kshs) Giá trị lớn hàm số f x 2sin x x x sin cos 2 138 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 A B C.8 D Hướng dẫn giải : TXĐ: D , ta có f x Đặt sin x t t 2sin x x x sin cos4 2 2sin x sin x 4sin2 x sin x 4t với t t 0;1 , hàm số trở thành g t 0;1 , ta có g ' t t 2 t 0;1 , suy hàm số đồng biến 0;1 , max f x max g t x g t 0;1 , xảy t x k k Câu 37.5 (Thể tích – mặt cầu-mặt nón – mặt trụ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BC 2a Tam giác SAB có góc o ASB 60 , SB a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) A a B 2a 19 C a 19 D 2a 16 Hướng dẫn giải : C K A B H S  SAB   ABC  ,  SAB   ABC   AB; BC  AB  BC   SAB Trong mp (SAB) kẻ BH  SA Trong tam giác BCH kẻ BK  CH Ta có BK   SAC  Vậy khoảng cách từ B đến (SAC) BK 139 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 BH  SB.sin 60o  BK  BH  a BC ; Xét tam giác vng CBH , ta có  BK  2a   3 Vậy d B,  SAC   2a 19 19 Câu 37.6 (Mũ – Logarit) Tập nghiệm bất phương trình: 81.9 x 2  3x  A S  1;    0 B S  1;   x  32 x 1  C S  0;   D S   2;    0 Hướng dẫn giải : ĐKXĐ: x  BPT cho  81   3x  x 9x  3x.3 x  3.32 81 x   32 x  3x.3 x  2.32 x 0 3  2.3   x x  3x  x  (vì 3x  2.3 x  0, x  )  x 1 x   3x  x  x  x    x   x  Vậy tập nghiệm BPT cho là S  1;    0 Câu 37.7 (Tích phân - Ứng dụng ) Tìm tham sớ m để đồ thị hàm sớ y  x  2mx  m   C  cắt trục ox bốn điểm phân biệt thỏa mãn hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục ox phần nằm phía trục ox có diện tích diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục ox phần nằm phía trục ox A B -3 C.2 Hướng dẫn giải : Điều kiện để (C) cắt trục ox điểm phân biệt m  D 140 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 Do tính đới xứng đồ thị qua trục tung nên toán xảy x3  x x4      2mx  m  dx    x  2mx  m  dx x3 x4  x   2mx  m  dx 0  3x44  10mx42  15  m    0  3m   x4  2mx4  m   Suy x4 nghiệm hệ   x  m3 m x  10 mx  15 m       Câu37.8 (Oxyz) Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;1;1), B(1;0; 3),  C ( 1; 2;  3)  mặt cầu (S) có phương trình : x  y  z  x  z   Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD có thể tích lớn 2 7 1 A D  ;  ;    3 3  1 5  B D  ; ;   3  7 1 C D  ; ;   3 3 7 1 D D  ;  ;   3 3 Hướng dẫn giải : Ta có (S) : ( x  1)2  y  ( z  1)2  suy (S) có tâm I(1;0;-1), bán kính R  Và AB  (1; 1; 4); AC  (1; 3; 4) Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến n   AB, AC   (8;8; 4) Suy mp(ABC) có phương trình: 8x  8(y 1)  4(z 1)   2x  2y  z   Ta có VABCD  d ( D;( ABC )).S ABC nên VABCD lớn d ( D;( ABC )) lớn Gọi D1D2 đường kính mặt cầu (S) vng góc với mp(ABC) Ta thấy với D là điểm thuộc (S) d ( D;( ABC ))  max d ( D1;( ABC )); d ( D2 ;( ABC)) Dấu “=” xảy D trùng với D1 D2 Đường thẳng D1D2 qua I(1;0;-1), có VTCP n ABC  (2; 2;1) 141 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017  x   2t  Do (D1D2) có phương trình:  y  2t  z  1  t   x   2t  t  y  2t   Tọa độ điểm D1 D2 thỏa mãn hệ:   t  2  z  1  t 2   ( x  1)  y  ( z  1)   4 1   1 5   D1  ; ;  & D2  ; ;  3 3   3  7 1 Ta thấy: d ( D1;( ABC ))  d ( D2 ;( ABC )) Vậy điểm D  ;  ;   là điểm cần tìm  3 3 Câu 37.9 (Số phức) Tìm phần ảo sớ phức z , biết sớ phức z thỏa mãn i z   i  1  i    1  i  C 21009 B 21009 A 2017 D 21009 i Hướng dẫn giải : Ta thấy 1;  i; 1  i  ; ; 1  i  2017 lập thành cấp số nhân gồm 2018 số hạng với u1  công bội q  1 i q 2018  1  i   u1  q 1 i 2018 Suy i z  S2018  z   1  i  2018 1009   1  i     1  i  i 1  i     2i  1009 2018   21009 i  z   21009 i Vậy phần ảo z 21009 Câu 38.1 (kshs) y  x3  x  x  m có đồ thị (C), với m là tham số Giả sử đồ thị (C) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1  x2  x3 Cho hàm số Khẳng định nào sau là đúng? A  x1  x2   x3  B  x1   x2   x3  142 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017 C x1    x2   x3  D  x1   x2   x3 Hướng dẫn giải: y   x3  x  x Dựa vào đồ thị ta tìm 4  m  thị hàm sớ y  x  x  x  m cắt Ox điểm phân biệt Ta có y   y 1  0; y 1 y  3  0; y  3 y     x1   x2   x3  Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 38.2 (Thể tích – mặt cầu – mặt nón – mặt trụ) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD vng cân D, AC  a  x CD  2a  x Biết đồ AD  a , tam giác ABC cân C, , (x>0) tính góc hai đường thẳng AB, CD bao nhiêu? 0 A 45 B 90 C 60 Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu C lên mặt phẳng (ABD) Đặt CH  b Khi ta chứng minh b  x Khi AHBD là hình vng Suy AB vng góc với CD Vậy góc AB, CD Câu 38.3 (Mũ – Lôgarit) Cho logu 2017  k 1 logu 2017 k 1 B logu 2017 k 1 logu 2017  k 1 logu 2017 k 1 logu 2017 logu 2017 k 1 logu 2017 logu 2017  log u 2017 k 1 k 1 k log u 2017  log u 2017 k 1 k  log u 2017  log u 2017 k 1  k log u 2017  log u 2017 k k 1 k log u 2017  log u 2017 k 1 D log u 2017  log u 2017 k k 1 C k 1 log u 2017  log u 2017 k k 1 logu 2017  log u 2017 k k 1 Hướng dẫn giải: Vì 900  un  là cấp số nhân với số hạng tổng quát un  0; un  Khi khẳng định nào sau là đúng? A D 30  un  là cấp số nhân nên uk2  uk 1.uk 1  2log 2017 uk  log 2017 uk 1  log 2017 uk 1 143 GROUP NHĨM TỐN - TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – 2016-2017  1 1    log u 2017 log u 2017 log u 2017 log u 2017 k 1 k  log u 2017  k 1 log u 2017 k 1 k 1 k log u 2017  log u 2017 k 1 k log u 2017  log u 2017 k 1 k Câu 38.4 (Tích phân – Ứng dụng) Cho hàm số y  x  x  m có đồ thị là (C) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) với y0 và trục hoành Với giá trị nào m S  S ' ? A m  B m  C m  20 D m  Hướng dẫn giải: x4  x2  m  (*) 2 Đặt x  t ; t  , phương trình trở thành: t  4t  m  (**) Phương trình hoành độ giao điểm Để S>0, S’>0 0