de kiem tra HSG lop 8 chương 3

Phòng GD Ngọc Lặc Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn Trờng PTDT Nội Trú toán năm học 2006 - 2007 (thời gian làm bài 150 phút) Đề bài Bài 1: ( 4 điểm ) a, Phân tích thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 a b c a b c b c a c a b+ + + + + b, Xác định các hằng số a, b sao cho: 3 3 5 50ax bx x+ + chia hết cho 2 3 10x x+ Bài 2: ( 4 điểm ) a, Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi số tự nhiên n: 2 1 2 1 n n + b, Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: 2 4 5xy x y+ = Bài 3: (2,5 điểm ) a, giải phơng trình: 2 2 2 1 1 1 1 9 20 11 30 13 42 18x x x x x x + + = + + + + + + b, tìm giá trị nhỏ nhất của: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 4 6 10 x A x x x x= + Bài 4: ( 4 điểm ) Cho hình vuông ABCD . Điểm M nằm trên đờng chéo AC. Gọi EF theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng: a, BM EF b, Các đờng thẳng BM, AF, CE đồng qui. Bài 5: ( 3 điểm ) Tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Chứng minh rằng 2A C = -------Hết------ Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 8 Nội dung Điểm Bài 1 a, Đặt a b c x + = , b c a y+ = , c a b z + = x y z a b c + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 24a b c a b c b c a c a b abc+ + + + + = ( ) 3 3 3 3 x y z x y z= + + ( ) ( ) ( ) 3 x y y z z x= + + + suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 24a b c a b c b c a c a b abc+ + + + + = 1 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 1 điểm b, Dùng phơng pháp hệ số bất định ( ) ( ) 3 2 2 5 50 3 10 5ax bx x x x ax+ + = + + Ta có: ( ) ( ) 2 3 10 5x x ax+ + = ( ) ( ) 3 2 5 3 15 10 50ax a x a x+ + + 5 3 1 15 10 8 a b a a b b + = = = = Vậy a = 1, b = 8 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 2 a, Gọi c ( 2n +1; 2n 2 - 1) + d => [ n (2n +1) (2n 2 -1) ] chia hết cho d. n +1 [(2n +1) 2 (n +1)] chia hết cho d. -1 chia hết cho d. d = 1 ; d = - 1 ( 2n + 1; 2n - 1 ) = 1 điều này chứng tỏ phân số 2 2 1 2 1 n n + tối giản với mọi số tự nhiên n 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5đ 0,5 điểm b, (2điểm) 2xy + 4x - y = 5 2x( y + 2) - ( y +2 ) = 3 ( y + 2 )( 2x - 1 ) = 3 Vì x, y Z y + 2 Z; 2x - 1 Z Ta có các trờng hợp sau: 2 1 1 1 2 3 1 x x y y = = + = = 2 1 1 0 2 3 5 x x y y = = + = = 2 1 3 2 2 1 1 x x y y = = + = = 2 1 3 1 2 1 3 x x y y = = + = = Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 1;1 ; 2;1 ; 0; 5 ; 1; 3x y 1 điểm 0,5 điểm 0,5 đ Bài 3 a, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 4 5 5 6 6 7 18x x x x x x + + = + + + + + + ĐKXĐ: 4; 5; 6; 7x 1 1 1 4 7 18x x = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 18 7 4 7 4 18 3 11 28 11 26 0 x x x x x x x x + = + + ì = + + + = x = -13 hoặc x = 2 x = -13 hoặc x = 2 thỏa mãn ĐKXĐ Vậy tập nghiệm của phơng trình là { } 13;2S = 1điểm 1 điểm 1 điểm b, ( ) ( ) ( ) 2 2 7 6 7 12 10 x A x x x x= + + + Đặt 2 7 6x x + = t ( ) ( ) ( ) 2 2 6 10 6 9 1 3 1 1 t A t t t t t = + + = + + + = + + ( ) 1 Min t A = đạt đợc khi t = -3 ( ) 1 x Min A = đạt đợc khi 2 7 6x x + = -3 x 2 - 7x + 9 = 0 => 1 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 4: a b K H A B D C E M F Gọi H là giao điểm BM và EF K là giao điểm EM và BC Chứng minh đợc ( ) . .EMF BKM g c g MFE KMB = = Mà KMB EMH = ( đối đỉnh ) MFE EMH = và 0 0 90 90 EMF MEF MEF HME + = + = hay BH EF b) chứng minh đợc EC BF, AF BE + xét BEF có các đờng cao BH; EC; FA nên các đờng BM, AF, CE đồng quy tại một điểm. 0,5đ 0,5 điểm 1 điểm 1 điểm 1 điểm Bµi 5: a 6 5 5 4 B C A E Trªn tia ®èi cña tia AE lÊy ®iÓm E sao cho : AE = 5 cm XÐt ABC∆ vµ EBC∆ ta cã: Gãc B chung 4 2 6 2 ; 6 3 9 3 AB BC BC BE = = = = ABC ⇒ ∆ ®ång d¹ng víi ( ) . .CBE c g c∆ 1 C E⇒ ∠ = ∠ (hai gãc t¬ng øng) mµ ACE∆ c©n t¹i A nªn 2 2 2 E C BAC E BAC BCA ∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠ 0,5® 1 ®iÓm 0,5® 1 ®iÓm . 3 3 3 3 24a b c a b c b c a c a b abc+ + + + + = ( ) 3 3 3 3 x y z x y z= + + ( ) ( ) ( ) 3 x y y z z x= + + + suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3. định ( ) ( ) 3 2 2 5 50 3 10 5ax bx x x x ax+ + = + + Ta có: ( ) ( ) 2 3 10 5x x ax+ + = ( ) ( ) 3 2 5 3 15 10 50ax a x a x+ + + 5 3 1 15 10 8 a b a a