SO SÁNH PHÂN SÔ

SO SÁNH PHÂN SỐ Để so sánh 2 phân số , tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các phân số , ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí .Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng ( & a c c m a m thì b d d n b n > > > ), trong đó phát hiện ra một số trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng.Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp so sánh phân số PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH . I/CÁCH 1: Ví dụ : So sánh 11 17 & 12 18 − − ? Ta viết : 11 33 17 17 34 & 12 36 18 18 36 − − − − = = = − 33 34 11 17 36 36 12 18 Vì − − − > ⇒ > − Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương . II/CÁCH 2: Ví dụ 1 : 2 2 5 4; 5 4 vì> − < − − − 3 3 7 5 7 5 vì> > Ví dụ 2: So sánh 2 5 & 5 7 ? Ta có : 2 10 5 10 & 5 25 7 24 = = 10 10 2 5 25 24 5 7 Vì < ⇒ < Ví dụ 3: So sánh 3 6 & 4 7 − − ? Ta có : 3 3 6 6 6 & 4 4 8 7 7 − − = = = − − − 6 6 3 6 8 7 4 7 Vì − − > ⇒ > − − 1 Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử :tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“: mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn . CHUYÊN ĐỀ TOÁN SỐ HỌC 6 Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương . III/CÁCH 3: Ví dụ 1: 5 7 5.8 7.6 6 8 vì< < Ví dụ 2: 4 4 4.8 4.5 5 8 vì − − < − < − Ví dụ 3: So sánh 3 4 & ? 4 5− − Ta viết 3 3 4 4 & 4 4 5 5 − − = = − − Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên 3 4 4 5 > − − Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương vì chẳng hạn 3 4 4 5 − < − do 3.5 < -4.(-4) là sai IV/CÁCH 4: 1) Dùng số 1 làm trung gian: a) Nếu 1&1 a c a c b d b d > > ⇒ > b) Nếu 1; 1 a c M N b d − = − = mà M > N thì a c b d > • M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho . • Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. c) Nếu 1; 1 a c M N b d + = + = mà M > N thì a c b d < • M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vò của 2 phân số đó. • Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.  Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh 19 2005 & ? 18 2004 Ta có : 19 1 2005 1 1& 1 18 18 2004 2004 − = − = 1 1 19 2005 18 2004 18 2004 Vì > ⇒ > 2 (Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương ) +Nếu a.d>b.c thì a c b d > + Nếu a.d<b.c thì a c b d < + Nếu a.d=b.c thì a c b d = Dùng số hoặc phân số làm trung gian . Bài tập 2: So sánh 72 98 & ? 73 99 Ta có : 72 1 98 1 1& 1 73 73 99 99 + = + = 1 1 72 98 73 99 73 99 Vì > ⇒ < Bài tập 3 : So sánh 7 19 & ? 9 17 Ta có 7 19 7 19 1 9 17 9 17 < < ⇒ < 2) Dùng 1 phân số làm trung gian :(Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất , có mẫu là mẫu của phân số thứ hai) Ví dụ : Để so sánh 18 15 & 31 37 ta xét phân số trung gian 18 37 . Vì 18 18 18 15 18 15 & 31 37 37 37 31 37 > > ⇒ > *Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ). *Tính bắc cầu : & a c c m a m thì b d d n b n > > >  Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh 72 58 & ? 73 99 -Xét phân số trung gian là 72 99 , ta thấy 72 72 72 58 72 58 & 73 99 99 99 73 99 > > ⇒ > -Hoặc xét số trung gian là 58 73 , ta thấy 72 58 58 58 72 58 & 73 73 73 99 73 99 > > ⇒ > Bài tập 2: So sánh * 1 & ;( ) 3 2 n n n N n n + ∈ + + Dùng phân số trung gian là 2 n n + Ta có : * 1 1 & ;( ) 3 2 2 2 3 2 n n n n n n n N n n n n n n + + < < ⇒ < ∈ + + + + + + Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau: a) 12 13 & ? 49 47 e) 456 123 & ? 461 128 b) 64 73 & ? 85 81 f) 2003.2004 1 2004.2005 1 & ? 2003.2004 2004.2005 − − c) 19 17 & ? 31 35 g) 149 449 & ? 157 457 d) 67 73 & ? 77 83 h) 1999.2000 2000.2001 & ? 1999.2000 1 2000.2001 1+ + 3 (Hướng dẫn : Từ câu a → c :Xét phân số trung gian. Từ câu d → h :Xét phần bù đến đơn vò ) 3)Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian. Ví dụ : So sánh 12 19 & ? 47 77 Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là 1 4 . Ta có : 12 12 1 19 19 1 12 19 & 47 48 4 77 76 4 47 77 > = < = ⇒ >  Bài tập áp dụng : Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh : 11 16 58 36 12 19 18 26 ) & ; ) & ; ) & ; ) & 32 49 89 53 37 54 53 78 13 34 25 74 58 36 ) & ; ) & ; ) & . 79 204 103 295 63 55 a b c d e f h V/ CÁCH 5: Bài tập 1: So sánh 11 10 12 11 10 1 10 1 & ? 10 1 10 1 A B − + = = − + Ta có : 11 12 10 1 1 10 1 A − = < − (vì tử < mẫu) ⇒ 11 11 11 10 12 12 12 11 10 1 (10 1) 11 10 10 10 1 10 1 (10 1) 11 10 10 10 1 A B − − + + + = < = = = − − + + + Vậy A < B . Bài tập 2: So sánh 2004 2005 2004 2005 & ? 2005 2006 2005 2006 M N + = + = + Ta có : 2004 2004 2005 2005 2006 2005 2005 2006 2005 2006  >   +   >  +  Cộng theo vế ta có kết quả M > N. Bài tập 3:So sánh 37 3737 & 39 3939 ? Giải: 37 3700 3700 37 3737 39 3900 3900 39 3939 + = = = + (áp dụng . a c a c b d b d + = = + ) 4 Dùng tính chất sau với m ≠ 0 : * 1 a a a m b b b m + < ⇒ < + * 1 . a a a m b b b m + = ⇒ = + * 1 a a a m b b b m + > ⇒ > + * . a c a c b d b d + = = + VI/CÁCH 6: Bài tập 1:Sắp xếp các phân số 134 55 77 116 ; ; ; 43 21 19 37 theo thứ tự tăng dần. Giải: đổi ra hỗn số : 5 13 1 5 3 ; 2 ;4 ;3 43 21 19 37 Ta thấy: 13 5 5 1 2 3 3 4 21 43 37 19 < < < nên 55 134 116 77 21 43 37 19 < < < . Bài tập 2: So sánh 8 8 8 8 10 2 10 & ? 10 1 10 3 A B + = = − − Giải: 8 8 3 3 1 & 1 10 1 10 3 A B= = − − mà 8 8 3 3 10 1 10 3 A B< ⇒ < − − Bài tập 3: Sắp xếp các phân số 47 17 27 37 ; ; ; 223 98 148 183 theo thứ tự tăng dần. Giải: Xét các phân số nghòch đảo: 223 98 148 183 ; ; ; 47 17 27 37 , đổi ra hỗn số là : 35 13 13 35 4 ;5 ;5 ;4 47 17 27 37 Ta thấy: 13 13 35 35 5 5 4 4 17 27 37 47 > > > ⇒ 17 27 37 47 ( ) 98 148 183 223 a c b d vì b d a c < < < < ⇒ > Bài tập 4: So sánh các phân số : 3535.232323 3535 2323 ; ; 353535.2323 3534 2322 A B C= = = ? Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số ⇒ A<B<C. Bài tập 5: So sánh ( ) 2 2 5 11.13 22.26 138 690 & ? 22.26 44.54 137 548 M N − − = = − − Hướng dẫn giải:-Rút gọn 5 1 138 1 1 & 1 . 4 4 137 137 M N M N= = + = = + ⇒ > ( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 ) Bài tập 6: (Tự giải) Sắp xếp các phân số 63 158 43 58 ; ; ; 31 51 21 41 theo thứ tự giảm dần. PHẦN II: CÁC BÀI TẬP TỔNG HP . Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý: 7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251 ) & ; ) & ) & ) & ) & 8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261 a b c d e (Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý : 10 100 100 41 410 413 = > 5 Đổi phân số lớn hơn đơn vò ra hỗn số để so sánh : +Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn. +Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo. d)Chú ý: 53 530 57 570 = Xét phần bù đến đơn vò e)Chú ý: phần bù đến đơn vò là: 1 1010 1010 26 26260 26261 = > ) Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số để so sánh các phân số sau: 244.395 151 423134.846267 423133 ) & 244 395.243 423133.846267 423134 a A B − − = = + + Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac +Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395 +Viết 423134.846267=(423133+1).846267=… +Kết quả A=B=1 53.71 18 54.107 53 135.269 133 ) ; ; ? 71.52 53 53.107 54 134.269 135 b M N P − − − = = = + + + (Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1) Bài tập 3: So sánh 3 3 3 33.10 3774 & 2 .5.10 7000 5217 A B= = + Gợi ý: 7000=7.10 3 ,rút gọn 33 3774 :111 34 & 47 5217 :111 47 A B= = = Bài tập 4: So sánh 2 3 4 4 2 3 4 3 5 6 5 6 4 5 5 & 5 ? 7 7 7 7 7 7 7 7 A B= + + + + = + + + + Gợi ý: Chỉ tính 2 4 4 2 4 4 3 6 153 6 5 329 . & . 7 7 7 7 7 7 + = = + = = Từ đó kết luận dễ dàng : A < B Bài tập 5:So sánh 1919.171717 18 & 191919.1717 19 M N= = ? Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết quả M>N ⇒ Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;… Bài tập 6: So sánh 17 1717 & ? 19 1919 Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng . a c a c b d b d + = = + ; chú ý : 17 1700 19 1900 = +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101…. Bài tập 7: Cho a,m,n ∈ N * .Hãy so sánh : 10 10 11 9 & ? m n m n A B a a a a = + = + Giải: 10 9 1 10 9 1 & m n n m n m A B a a a a a a     = + + = + +  ÷  ÷     Muốn so sánh A & B ,ta so sánh 1 n a & 1 m a bằng cách xét các trường hợp sau: a) Với a=1 thì a m = a n ⇒ A=B b) Với a ≠ 0: 6 • Nếu m= n thì a m = a n ⇒ A=B • Nếu m< n thì a m < a n ⇒ 1 1 m n a a > ⇒ A < B • Nếu m > n thì a m > a n ⇒ 1 1 m n a a < ⇒ A >B Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng: 31 32 33 60 . . & 1.3.5.7 59 2 2 2 2 P Q= = ? 30 30 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30) . . 2 2 2 2 2 2 .(1.2.3 30) (1.3.5 59).(2.4.6 60) 1.3.5 59 2.4.6 60 P Q = = = = = = Vậy P = Q Bài tập 9: So sánh 7.9 14.27 21.36 37 & ? 21.27 42.81 63.108 333 M N + + = = + + Giải: Rút gọn 7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) 37 : 37 1 & 21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333: 37 9 M N + + + + = = = = + + + + Vậy M = N Bài tập 10: Sắp xếp các phân số 21 62 93 ; & 49 97 140 theo thứ tự tăng dần ? Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh . Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y biết: 1 1 18 12 9 4 x y < < < ? Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 2 3 4 9 36 36 36 36 x y < < < ⇒ 2 < 3x < 4y < 9 Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2. Bài tập 12: So sánh 7 6 5 3 1 1 3 5 ) & ; ) & 80 243 8 243 a A B b C D         = = = =  ÷  ÷  ÷  ÷         Giải: p dụng công thức: ( ) . & n n n m m n n x x x x y y   = =  ÷   7 7 7 6 6 4 28 5 30 28 30 5 5 3 3 3 15 5 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) & ; 80 81 3 3 243 3 3 3 3 3 3 243 5 5 125 ) & . 8 2 2 243 3 3 a A B Vì A B b C D           = > = = = = = > ⇒ >  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷                   = = = = = =  ÷  ÷  ÷  ÷         Chọn 15 125 2 làm phân số trung gian ,so sánh 15 125 2 > 15 125 3 ⇒ C > D. Bài tập 13: Cho 1 3 5 99 2 4 6 100 . . . & . . . 2 4 6 100 3 5 7 101 M N= = a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: 1 10 M < Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số 7 a)Và 1 2 3 4 5 6 99 100 ; ; ; . 2 3 4 5 6 7 100 101 < < < < nên M < N b) Tích M.N 1 101 = c)Vì M.N 1 101 = mà M < N nên ta suy ra được : M.M < 1 101 < 1 100 tức là M.M < 1 10 . 1 10 ⇒ M < 1 10 Bài tập 14: Cho tổng : 1 1 1 . 31 32 60 S = + + + .Chứng minh: 3 4 5 5 S< < Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm .Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trò của phân số sẽ giảm đi. Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trò của phân số sẽ tăng lên. Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 31 32 40 41 42 50 51 52 60 S       = + + + + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷       ⇒ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 30 30 30 40 40 40 50 50 50 S       < + + + + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷       hay 10 10 10 30 40 50 S < + + từc là: 47 48 60 60 S < < Vậy 4 5 S < (1) Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 40 40 40 50 50 50 60 60 60 S       > + + + + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷       ⇒ 10 10 10 40 50 60 S > + + tức là : 37 36 60 60 S > > Vậy 3 5 S > (2). Từ (1) và (2) suy ra :đpcm. Quy Nhơn , ngày tháng năm Người viết Hoàng Thò Phương Anh 8 . SO SÁNH PHÂN SỐ Để so sánh 2 phân số , tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các phân số , ta có thể sử dụng nhiều. đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp so sánh phân số PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH . I/CÁCH 1: Ví dụ : So sánh 11 17 & 12 18 − − ? Ta viết : 11