Báo cáo robot EP4000d Môn Kỹ thuật Robot

CHƯƠNG 1. Giới thiệu tổng quan về robot YASKAWA EP4000D11.1Giới thiệu về hãng YASKAWA11.2.Giới thiệu về Robot EP4000D1CHƯƠNG 2. Động học thuận vị trí52.1 . Xây dựng chương trình động học thuận52.11 .Gắn trục tọa độ lên các khớp52.1.2. Xác định các ma trận A62.1.3. Xác định các ma trận T72.2. Xây dựng phần mềm tính toán động lực học thuận11CHƯƠNG 3. Ma trận Jacoby163.1.Xây dựng ma trận Jacoby163.2.Thực hiện trên MatLab163.3.Xây dụng giao diện phần mềm tính toán Jacoby18CHƯƠNG 4. Động học đảo vị trí214.1. Lập phương trình tính toán động học đảo vị trí robot214.1.1 Tính ma trận nghịch đảo của các ma trận vị trí khớp214.1.2. Tính toán động học ngược robot theo phương pháp phân ly biến224.2. Xây dựng giao diện nhập xuất dữ liệu và hiển thị kết quả24CHƯƠNG 5. Thiết kế quỹ đạo chuyển động của các khớp Robot theo quỹ đạo dạng bậc 3275.1. Quỹ đạo đa thức bậc 3 đi qua hai điểm đơn275.2. Quỹ đạo đa thức bậc 3 đi qua 1 điểm trung gian θv28CHƯƠNG 6. Xây dựng mô hình động lực học cho đối tượng trênToolBox SimmechanicsMatLab 306.1. Mô phỏng Robot trên MatLab306.2. Cấu trúc sơ đồ điều khiển các trục của robot306.3. Giao diện bảng điều khiển316.4. Chương trình điều khiển32

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 Giới thiệu tổng quan về robot YASKAWA

EP4000D 1

1.1 Giới thiệu về hãng YASKAWA 1

1.2 Giới thiệu về Robot EP4000D 1

CHƯƠNG 2 Động học thuận vị trí 5

2.1 Xây dựng chương trình động học thuận 5

2.11 Gắn trục tọa độ lên các khớp 5

2.1.2 Xác định các ma trận A 6

2.1.3 Xác định các ma trận T 7

2.2 Xây dựng phần mềm tính toán động lực học thuận 11

CHƯƠNG 3 Ma trận Jacoby 16

3.1 Xây dựng ma trận Jacoby 16

3.2 Thực hiện trên MatLab 16

3.3 Xây dụng giao diện phần mềm tính toán Jacoby 18

CHƯƠNG 4 Động học đảo vị trí 21

4.1 Lập phương trình tính toán động học đảo vị trí robot 21

4.1.1 Tính ma trận nghịch đảo của các ma trận vị trí khớp 21

4.1.2 Tính toán động học ngược robot theo phương pháp phân ly biến 22

4.2 Xây dựng giao diện nhập xuất dữ liệu và hiển thị kết quả 24

CHƯƠNG 5 Thiết kế quỹ đạo chuyển động của các khớp Robot theo quỹ đạo dạng bậc 3 27

5.1 Quỹ đạo đa thức bậc 3 đi qua hai điểm đơn 27

5.2 Quỹ đạo đa thức bậc 3 đi qua 1 điểm trung gian θvv 28

CHƯƠNG 6 Xây dựng mô hình động lực học cho đối tượng

trênToolBox Simmechanics/MatLab 30

6.1 Mô phỏng Robot trên MatLab 30

6.2 Cấu trúc sơ đồ điều khiển các trục của robot 30

6.3 Giao diện bảng điều khiển 31

6.4 Chương trình điều khiển 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về robot YASKAWA EP4000D

1.1 Giới thiệu hãng hãng YASKAWA

Robot EP4000D do hãng YASKAWA tại Nhật Bản thiết kế và chế tạo Hãngđược thành lập năm 1915 với lịch sử trên 100 năm, là tập đoàn hàng đầu thế giớitrong sản xuất và cung cấp các sản phẩm trong lĩnh vực robot công nghiệp, biếntần, truyền động điện

Các sản phẩm của Yaskawa là sự kết hợp giữa thành tựu nghiên cứu phát triển về

cơ và điện tử kết tinh trong một sản phẩm Yaskawa là công ty đầu tiên trên thếgiới đưa ra khái niệm “Mechatronics – cơ điện tử” nổi tiếng và giờ đây đã trởthành một lĩnh vực mũi nhọn thu hút được rất nhiều sự quan tâm vì nó tạo ra cácsản phẩm tự động hóa đáp ứng được các yêu cầu ngày càng cao trong đời sống sảnxuất

1.2 Giới thiệu về Robot EP4000D

Robot EP4000D được phát triển để ứng dụng vào các dây truyền sản xuất côngnghiệp với phù hợp với nhiều công việc khác nhau như:

 Robot gắp (Handling)

 Robot nâng bốc, đóng gói ( Picking/packing, palletizing)

 Robot hàn, hàn điểm ( Arc handling, spot welding)

 Robot sơn ( Painting)

 Robot lắp ráp ( Assembly/distributing)

Do vậy việc sử dụng sản phẩm robot EP4000D của Yaskawa sẽ đảm bảo tínhtương thích, độ nhất quán và chất lượng dịch vụ cao trong việc tự động hóa cácmáy móc, dây chuyền sản xuất vì Yaskawa có thể cung cấp tát cả các loại robot đểgiải quyết các bài toán và đáp ứng các yêu cầu khác nhau của khách hàng.

Các robot EP4000D có trọng tải 200 kg, chiều ngang ngang 3,505 mm và tầmvới thẳng đứng 2,629 mm Thiết kế gọn nhẹ của robot cho phép làm việc trongkhông gian chật hẹp một cách kinh hoạt

Đây là loại robot có sáu trục quay vận hành bằng khí nén kết hợp với động cơđiện, giúp robot vận hành một cách linh hoạt, di truyển dễ dàng dến từng vị trí đảmbảo độ chính xác của robot trong công việc

Hình ảnh bên dưới cho ta thấy các kích thước của robot, cũng như vùng làm việccủa robot là vùng có màu xanh

Thông số kĩ thuật của robot

Robot dùng bộ diều khiển DX100, giúp người vận hành có thể dễ dàng lập trình

và điều khiển robot, cũng như dễ dàng kết nối robot với hệ thống trong dây chuyềnsản xuất

Dưới đây là các thông số kĩ thuật của bộ điều khiển

Chương 2: Động học thuận vị trí

2.1 Xây dựng phương trình động học thuận

2.1.1 Gắn trục tọa độ lên các khâu

Hình 2.1 Lựa chọn các hệ tọa độ cho từn khớp robot

>> A2=[c2 -s2 0 a2*s2; s2 c2 0 a2*s2; 0 0 1 0 ;0 0 0 1];

>> A3=[c3 0 s3 a3*c3; s3 0 -c3 a3*s3; 0 1 0 d3; 0 0 0 1];

>> A4=[c4 0 -s4 0; s4 0 c4 0; 0 -1 0 0; 0 0 0 1];

>> A5=[c5 0 s5 0; s5 0 -c5 0; 0 1 0 d5; 0 0 0 1];

>>A6=[c6 -s6 0 0; s6 c6 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1];

Bảng 2.2 Ma trận định vị theo khớp

[cos (i1), 0 , sin(i1), a1*cos(i1)]

[sin(i1), 0 , -cos(i1), a1*sin(i1)]

[ 0 ,1 , 0 , d1 ]

[ 0 , 0 , 0 , 1 ]

A2=

[cos(i2), -sin(i2), 0, a2*sin(i2)]

[sin(i2), cos(i2), 0, a2*sin(i2)]

[ 0, 0, 1, 0 ][ 0, 0, 0, 1 ]

A3=

[cos(i3), 0, sin(i3), a3*cos(i3) ]

[sin(i3), 0, -cos(i3), a3*sin(i3)]

[ 0, 1, 0, d3 ]

[ 0, 0, 0, 1 ]

A4=

[cos(i4), 0, -sin(i4), 0 ][sin(i4), 0, cos(i4), a4*sin(i4) ][ 0, -1, 0, 0 ]

2.1.3 Xác định các ma trận T theo các hệ tọa độ lần lượt từ khâu cuối về.

*T64 = A5 A6

>> T46=A5*A6

T46 =

[ cos(i5)*cos(i6), -cos(i5)*sin(i6), sin(i5), 0]

[ cos(i6)*sin(i5), -sin(i5)*sin(i6), -cos(i5), 0]

-cos(i5)*sin(i4)*sin(i6), sin(i4)*sin(i5), d5*cos(i4)]

[ -cos(i6)*sin(i5), sin(i5)*sin(i6), cos(i5), 0]

[ cos(i3)*cos(i6)*sin(i5) sin(i3)*(sin(i4)*sin(i6) cos(i4)*cos(i5)*cos(i6)), sin(i3)*(cos(i6)*sin(i4) + cos(i4)*cos(i5)*sin(i6)) - cos(i3)*sin(i5)*sin(i6),cos(i4)*sin(i3)*sin(i5) - cos(i3)*cos(i5), a3*sin(i3) - d5*sin(i3)*sin(i4)]

-[cos(i4)*sin(i6) + cos(i5)*cos(i6)*sin(i4), cos(i4)*cos(i6) - cos(i5)*sin(i4)*sin(i6),sin(i4)*sin(i5), d3 + d5*cos(i4)]

[ 0, 0, 0, 1]

cos(i4)*cos(i5)*sin(i6)) - sin(i3)*sin(i5)*sin(i6)), cos(i2)*(cos(i5)*sin(i3) +

cos(i3)*cos(i4)*sin(i5)) + sin(i2)*(cos(i3)*cos(i5) - cos(i4)*sin(i3)*sin(i5)),

cos(i2)*(a3*cos(i3) - d5*cos(i3)*sin(i4)) + a2*sin(i2) - sin(i2)*(a3*sin(i3) -

cos(i4)*cos(i5)*sin(i6)) - sin(i3)*sin(i5)*sin(i6)), sin(i2)*(cos(i5)*sin(i3) +

cos(i3)*cos(i4)*sin(i5)) - cos(i2)*(cos(i3)*cos(i5) - cos(i4)*sin(i3)*sin(i5)),

sin(i2)*(a3*cos(i3) - d5*cos(i3)*sin(i4)) + a2*sin(i2) + cos(i2)*(a3*sin(i3) -

d5*sin(i3)*sin(i4))]

[ cos(i4)*sin(i6) + cos(i5)*cos(i6)*sin(i4), cos(i4)*cos(i6) - cos(i5)*sin(i4)*sin(i6), sin(i4)*sin(i5), d3 + d5*cos(i4)]

[ 0, 0, 0, 1 ]

*T60 = A1.T16

T06 =

[sin(i1)*(cos(i4)*sin(i6)+cos(i5)*cos(i6)*sin(i4)) cos(i1)*(cos(i2)*(cos(i3)*(sin(i4)*sin(i6) - cos(i4)*cos(i5)*cos(i6)) +cos(i6)*sin(i3)*sin(i5)) - sin(i2)*(sin(i3)*(sin(i4)*sin(i6) - cos(i4)*cos(i5)*cos(i6))

cos(i3)*cos(i6)*sin(i5))), sin(i1)*(cos(i4)*cos(i6) cos(i5)*sin(i4)*sin(i6)) cos(i1)*(cos(i2)*(cos(i3)*(cos(i6)*sin(i4) + cos(i4)*cos(i5)*sin(i6)) -sin(i3)*sin(i5)*sin(i6)) - sin(i2)*(sin(i3)*(cos(i6)*sin(i4) + cos(i4)*cos(i5)*sin(i6))

cos(i3)*cos(i4)*sin(i5)) + sin(i2)*(cos(i3)*cos(i5) - cos(i4)*sin(i3)*sin(i5))) +sin(i1)*sin(i4)*sin(i5), cos(i1)*(cos(i2)*(a3*cos(i3) - d5*cos(i3)*sin(i4)) +a2*sin(i2) - sin(i2)*(a3*sin(i3) - d5*sin(i3)*sin(i4))) + a1*cos(i1) + sin(i1)*(d3 +d5*cos(i4))]

[ - sin(i1)*(cos(i2)*(cos(i3)*(sin(i4)*sin(i6) - cos(i4)*cos(i5)*cos(i6)) +cos(i6)*sin(i3)*sin(i5)) - sin(i2)*(sin(i3)*(sin(i4)*sin(i6) - cos(i4)*cos(i5)*cos(i6))

cos(i3)*cos(i6)*sin(i5))) cos(i1)*(cos(i4)*sin(i6) + cos(i5)*cos(i6)*sin(i4)), cos(i1)*(cos(i4)*cos(i6)-cos(i5)*sin(i4)*sin(i6))-

sin(i1)*(cos(i2)*(cos(i3)*(cos(i6)*sin(i4) + cos(i4)*cos(i5)*sin(i6)) sin(i3)*sin(i5)*sin(i6)) - sin(i2)*(sin(i3)*(cos(i6)*sin(i4) + cos(i4)*cos(i5)*sin(i6))

cos(i3)*cos(i4)*sin(i5)) + sin(i2)*(cos(i3)*cos(i5) cos(i4)*sin(i3)*sin(i5))) cos(i1)*sin(i4)*sin(i5), sin(i1)*(cos(i2)*(a3*cos(i3) - d5*cos(i3)*sin(i4)) +a2*sin(i2) - sin(i2)*(a3*sin(i3) - d5*sin(i3)*sin(i4))) - cos(i1)*(d3 + d5*cos(i4)) +a1*sin(i1)]

-[-cos(i2)*(sin(i3)*(sin(i4)*sin(i6)-cos(i4)*cos(i5)*cos(i6))-cos(i3)*cos(i6)*sin(i5))-sin(i2)*(cos(i3)*(sin(i4)*sin(i6)-cos(i4)*cos(i5)*cos(i6))+cos(i6)*sin(i3)*sin(i5)),-cos(i2)*(sin(i3)*(cos(i6)*sin(i4)+cos(i4)*cos(i5)*sin(i6))+cos(i3)*sin(i5)*sin(i6))-sin(i2)*(cos(i3)*(cos(i6)*sin(i4)+cos(i4)*cos(i5)*sin(i6))- sin(i3)*sin(i5)*sin(i6)),sin(i2)*(cos(i5)*sin(i3) + cos(i3)*cos(i4)*sin(i5)) - cos(i2)*(cos(i3)*cos(i5) -cos(i4)*sin(i3)*sin(i5)), d1 + sin(i2)*(a3*cos(i3) - d5*cos(i3)*sin(i4)) + a2*sin(i2)+ cos(i2)*(a3*sin(i3) - d5*sin(i3)*sin(i4))]

[ 0, 0, 0, 1 ]

2.2 Xây dựng phần mềm tính toán động lực học thuận

Sử dụng công cụ guide trong matlab, đầu tiên ta xây dựng mennu

-Nút ĐỘNG HỌC THUẬN mở giao diện tương ứng.

function donghocthuan_Callback(hObject, eventdata, handles) close

donghocthuan

- Nút MA TRẬN JACOBY mở giao diện tương ứng

function jacobi_Callback(hObject, eventdata, handles)

close

jacobi

- Nút ĐỘNG HỌC NGHỊCH mở giao diện tương ứng

function donghocnghich_Callback(hObject, eventdata, handles)

close

IF.m

- Nút THOAT có chức năng đóng giao diện

function thoat_Callback(hObject, eventdata, handles)

close

- Tiếp theo, ta xây dựng được giao diện tính toán động học thuận:

Hình 2.3: Giao diện phần mềm tính toán động học thuận

Ta xây dựng hàm callback cho nút TINH TOAN sẽ thực hiện chương trình đọc dữ liệu từ bảng nhập dữ liệu, sau đó hiển thị ma trận T06

function tinhtoan_Callback(hObject, eventdata, handles)

% Khai bao a,d

a1=550; d1=740; a2=1100; a3=250; d3=2135; d5=255;

%tinh toan va hien thi

nx= num2str(sin(i1)*(cos(i4)*sin(i6) + cos(i5)*cos(i6)*sin(i4))

-cos(i1)*(cos(i2)*(cos(i3)*(sin(i4)*sin(i6) - cos(i4)*cos(i5)*cos(i6)) +cos(i6)*sin(i3)*sin(i5)) - sin(i2)*(sin(i3)*(sin(i4)*sin(i6) - cos(i4)*cos(i5)*cos(i6))

- cos(i3)*cos(i6)*sin(i5))));

set(handles.nx,'string',nx);

-cos(i4)*cos(i5)*cos(i6)) + cos(i6)*sin(i3)*sin(i5)) sin(i2)*(sin(i3)*(sin(i4)*sin(i6) - cos(i4)*cos(i5)*cos(i6)) - cos(i3)*cos(i6)*sin(i5))) - cos(i1)*(cos(i4)*sin(i6) + cos(i5)*cos(i6)*sin(i4)));

-set(handles.ny,'string',ny);

cos(i3)*cos(i6)*sin(i5)) sin(i2)*(cos(i3)*(sin(i4)*sin(i6) cos(i4)*cos(i5)*cos(i6)) + cos(i6)*sin(i3)*sin(i5)));

-set(handles.nz,'string',nz);

cos(i1)*(cos(i2)*(cos(i3)*(cos(i6)*sin(i4) + cos(i4)*cos(i5)*sin(i6)) sin(i3)*sin(i5)*sin(i6)) - sin(i2)*(sin(i3)*(cos(i6)*sin(i4) + cos(i4)*cos(i5)*sin(i6)) + cos(i3)*sin(i5)*sin(i6))));

-set(handles.ox,'string',ox);

oy= num2str( cos(i1)*(cos(i4)*cos(i6) cos(i5)*sin(i4)*sin(i6)) sin(i1)*(cos(i2)*(cos(i3)*(cos(i6)*sin(i4) + cos(i4)*cos(i5)*sin(i6)) - sin(i3)*sin(i5)*sin(i6)) - sin(i2)*(sin(i3)*(cos(i6)*sin(i4) + cos(i4)*cos(i5)*sin(i6)) + cos(i3)*sin(i5)*sin(i6))));

-set(handles.oy,'string',oy);

+ cos(i3)*sin(i5)*sin(i6)) - sin(i2)*(cos(i3)*(cos(i6)*sin(i4) + cos(i4)*cos(i5)*sin(i6)) - sin(i3)*sin(i5)*sin(i6)));

set(handles.oz,'string',oz);

+ sin(i2)*(cos(i3)*cos(i5) - cos(i4)*sin(i3)*sin(i5))) + sin(i1)*sin(i4)*sin(i5));

set(handles.ax,'string',ax);

sin(i2)*(cos(i3)*cos(i5) - cos(i4)*sin(i3)*sin(i5))) cos(i1)*sin(i4)*sin(i5));

-set(handles.ay,'string',ay);

-cos(i2)*(cos(i3)*cos(i5) - cos(i4)*sin(i3)*sin(i5)));

set(handles.az,'string',az);

a2*sin(i2) - sin(i2)*(a3*sin(i3) - d5*sin(i3)*sin(i4))) + a1*cos(i1) + sin(i1)*(d3 + d5*cos(i4)));

set(handles.px,'string',px);

a2*sin(i2) - sin(i2)*(a3*sin(i3) - d5*sin(i3)*sin(i4))) - cos(i1)*(d3 + d5*cos(i4)) + a1*sin(i1));

set(handles.py,'string',py);

cos(i2)*(a3*sin(i3) - d5*sin(i3)*sin(i4)));

set(handles.pz,'string',pz);

Nút THOAT có chức năng đóng giao diện

function thoat_Callback(hObject, eventdata, handles)

close

- Nút QUAY LAI có chức năng trở về menu chính

function back_Callback(hObject, eventdata, handles)

close

mennu

Chương 3 Ma trận Jacoby

3.1 Xây dựng ma trận Jacoby

>> T061(4,:)=[]; T061(:,4)=[];

>> R06 = T061;

>> X =[R06 zeros(3,3); zeros(3,3) R06];

>> J = X*JH;

3.3 Xây dựng phần mềm giao diện tính toán Jacoby

- Sử dụng công cụ guide trong matlab, ta xây dựng được giao diện:

- Ta xây dựng hàm callback cho nút TINH TOAN sẽ thực hiện chương trình đọc dữ liệu

từ bảng nhập dữ liệu, sau đó hiển thị ma trận Jacobi.

function tinhtoan_Callback(hObject, eventdata, handles)

% Khai bao a,d

a1=550; d1=740; a2=1100; a3=250; d3=2135; d5=255;

% Tinh toan va hien thi

J11 = set(handles.J11, 'string' ,num2str(J11));

J12 = set(handles.J12, 'string' ,num2str(J12));

J13 = set(handles.J13, 'string' ,num2str(J13));

J14 = set(handles.J14, 'string' ,num2str(J14));

J15 = set(handles.J15, 'string' ,num2str(J15));

J16 = set(handles.J16, 'string' ,num2str(J16));

J21 = set(handles.J21, 'string' ,num2str(J21));

J22 = set(handles.J22, 'string' ,num2str(J22));

J23 = set(handles.J23, 'string' ,num2str(J23));

J24 = set(handles.J24, 'string' ,num2str(J24));

J25 = set(handles.J25, 'string' ,num2str(J25));

J26 = set(handles.J26, 'string' ,num2str(J26));

J31 = set(handles.J31, 'string' ,num2str(J31));

J32 = set(handles.J32, 'string' ,num2str(J32));

J33 = set(handles.J33, 'string' ,num2str(J33));

J34 = set(handles.J34, 'string' ,num2str(J34));

J35 = set(handles.J35, 'string' ,num2str(J35));

J36 = set(handles.J36, 'string' ,num2str(J36));

J41 = set(handles.J41, 'string' ,num2str(J41));

J42 = set(handles.J42, 'string' ,num2str(J42));

J43 = set(handles.J43, 'string' ,num2str(J43));

J44 = set(handles.J44, 'string' ,num2str(J44));

J45 = set(handles.J45, 'string' ,num2str(J45));

J46 = set(handles.J46, 'string' ,num2str(J46));

J51 = set(handles.J51, 'string' ,num2str(J51));

J52 = set(handles.J52, 'string' ,num2str(J52));

J53 = set(handles.J53, 'string' ,num2str(J53));

J54 = set(handles.J54, 'string' ,num2str(J54));

J55 = set(handles.J55, 'string' ,num2str(J55));

J56 = set(handles.J56, 'string' ,num2str(J56));

J61 = set(handles.J61, 'string' ,num2str(J61));

J62 = set(handles.J62, 'string' ,num2str(J62));

J63 = set(handles.J63, 'string' ,num2str(J63));

J64 = set(handles.J64, 'string' ,num2str(J64));

J65 = set(handles.J65, 'string' ,num2str(J65));

J66 = set(handles.J66, 'string' ,num2str(J66));

Nút THOÁT có chức năng đóng giao diện

function thoat_Callback(hObject, eventdata, handles) close

Nút QUAY LAI có chức năng trở về menu chính

function back_Callback(hObject, eventdata, handles)

4.1.2 Tính toán động học ngược robot theo phương pháp phân ly biến

Do robot Yaskawa có 6 bậc tự do việc tính toán trực tiếp theo phương pháp phân lybiến số rất khó để tính toán, nên nhóm em chọn phương án chia robot ra thành từngphần 3 x 3 để thuận lợi cho việc tính toán động học ngược

Ma trận định vị tổng quát có dạng:

Tính toán góc theta 1

Phương trình tính toán góc theta 1: B1*T=T13

Ma trận vế trái là:

c c s s c s c s a c a c c a s s

c s c s s s c c a s a c s a s c VF

4.2 Xây dựng giao diện nhập xuất dữ liệu và hiển thị kết quả

Sử dụng lệnh guide trong matlab, ta tiến hành xây dựng giao diện tính toán và hiện kết quả cho động học nghịch

Hình 4.1 Xây dựng hàm callback cho nút TINH TOAN sẽ thực hiện quá trình

nhập,xuất dữ liệu trên màn hình

% Khai bao a,d

a1=550; d1=740; a2=1100; a3=250; d3=2135; d5=255;

%nhap du lieu vao

set(handles.theta3, 'string' ,theta3);

Nút THOAT có chức năng đóng giao diện :

function thoat_Callback(hObject, eventdata, handles)

close

Nút QUAY LAI có chức năng trở về menu chính :

function thoat_Callback(hObject, eventdata, handles)

- giải hệ phương trình trên ta xác định được các hệ sô a0,a1,a2,a3 :

Do các khớp của robot yaskawa EP4000D đều là khớp quay nên tương tự ta sẽ

có quỹ đạo chuyển động bậc ba của các khớp còn lại

5.2 Quỹ đạo đa thức bậc 3 đi qua 1 điểm trung gian θv

- đường bậc 3 đầu có dạng:

θ(t) = a10 + a11t + a12t2 +a13t3

- đường bậc 3 sau có dạng:

θ(t) = a + a t + a t2 + a t3