BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI xác suất thống kê

Bài tập Xác suất – Thống kê BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI Bài 1.1 Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối đồng chất mặt phẳng a) Mô tả không gian biến cố sơ cấp: b) A ={Tổng số chấm mặt hai xúc xắc lớn 9} Giải: a) Gọi i = {Xuất mặt i chấm xúc sắc thứ nhất}, i =1,2, , Gọi j = {Xuất mặt j chấm xúc sắc thứ nhất}, j =1,2, ,   Khi đó:   (i, j) i, j  1,   b) A  (i, j) i  j  9; i, j  1, Bài 1.2 Trong tổ học sinh có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người lúc a) Khơng gian biến cố có số phần tử là: 10!  C1 3!7!  120 b) Số khả thuận lợi cho biến cố "Trong người chọn có người nữ" là: m  C14 C 26  C 24 C16  C34 C 60  100  C36  100 hay m  C10 Bài 1.3 Ba xạ thủ I, II III bắn người viên đạn vào mục tiêu Giả sử A, B, C biến cố sau: A={Xạ thủ I bắn trúng}; B={Xạ thủ II bắn trúng}; C={Xạ thủ III bắn trúng} a) Hãy miêu tả biến cố sau: A.B.C = {Cả xạ thủ bắn trúng} ABC ={Cả xạ thủ bắn trượt} A  B  C ={Có xạ thủ bắn trúng} b) Xét biến cố sau, biểu diễn qua biến cố A, B C: +) D ={Có xạ thủ bắn trúng}  D = AB  BC  AC +) E ={Có nhiều xạ thủ bắn trúng} ~ { Có xạ thủ bắn trượt}  E  A.B  B.C  A.C +) F ={Chỉ có xạ thủ bắn trúng} F  A.B.C  A.B.C  A.B.C +) G ={ Chỉ có xạ thủ III bắn trúng}  G  A.B.C  Bài 2.1 Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu Xác suất bắn trúng đích người 0,50 Chọn mệnh đề mệnh đề sau: ĐTh_SPYB Bài tập Xác suất – Thống kê a) Xác suất để hai người bắn trúng đích xác suất để hai người bắn trượt b) Xác suất để hai người bắn trượt lớn xác suất để người bắn trúng Giải: Vì xác xuất bắn trúng đích mối người 0,5, nên xác suất bắn trượt đích người 0,5; chọn mệnh đề a) Tương tự, dễ thấy biến cố “cả hai người bắn trượt”~ “ít người bắn trúng”; nên chọn mệnh đề b); hay, hai mệnh đề a) b) Bài 2.2 Gieo đồng thời ba đồng tiền xu cân đối đồng chất mặt phẳng Tìm xác suất để: a) Chỉ có đồng tiền xu xuất mặt sấp b) Có đồng tiền xu xuất mặt sấp c) Có hai đồng tiền xu xuất mặt ngửa Giải: - Gọi A, B C biến cố theo câu hỏi a, b c - Dễ thấy, không gian biến cố sơ cấp tập hợp: Ω = {(S,S,S), (S,S,N), (S,N,S), (N,S,S), (N,N,N), (N,N,S), (N,S,N), (S,N,N)}, suy Ω có phần tử; a) Có A = {(N,N,S), (N,S,N), (S,N,N)} có phần tử; suy ra: P(A)  b) Có B={(S,N,N), (N,S,N), (N,N,S), (S,S,N), (S,N,S), (N,S,S), (S,S,S)}, suy B có phần tử; đó: P(B)  C) Tương tự: C={(N,N,S), (N,S,N), (S,N,N), (N,N,N)}, suy C có phần tử, đó: P(C)  Cách 2: Theo ra, gieo đồng tiền có khả xảy ra, nên gieo đồng thời đồng tiền số khả phép thử là: 23 = 8; a) Dễ thấy, số khả thuận lợi cho A 3; đó: P(A)  b) Ta có biến cố đối B B ={Cả ba đồng xu x/h mặt ngửa} Suy ra: P(B)   P(B)    8 c) Tương tự Bài 2.3 Một người gọi điện thoại lại quên số cuối số điện thoại cần gọi mà nhớ số khác Tìm xác suất để người bấm ngẫu nhiên lần trúng số cần gọi Giải: Gọi A = {Người quay ngẫu nhiên lần trúng số cần gọi} Số biến cố sơ cấp đồng khả xảy (số cách gọi số cuối) là: n  A10  90 Số biến cố thuận lợi cho A m = ĐTh_SPYB Bài tập Xác suất – Thống kê P(A)  Vậy: 90 Bài 2.4 Trong hộp có bi trắng, bi đen Tìm xác suất để lấy từ hộp được: a/ viên bi đen b/ viên bi trắng Giải: Gọi A ={lấy từ hộp viên bi đen} B = { lấy từ hộp viên bi trắng } Ta có: C14 a/ P(A)   C10 C 26 b/ P(B)   C10 Bài 2.5 Ban chấp Hội sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm Yên Bái họp phiên họp thứ với 10 người tham gia ngồi quanh bàn tròn Mỗi người ngồi vào chỗ cách ngẫu nhiên Tìm xác suất hai người A B ngồi cạnh Giải: - Dễ dàng thấy số khả 10!; - Người A có 10 cách chọn chỗ ngồi; người B có cách chọn chỗ ngồi cạnh người A; Và người cịn lại có 8! cách chọn chỗ ngồi Suy số khả thuận lợi để hai người A B ngồi cạnh là: 10.2.8! Gọi N = {Hai người A B ngồi cạnh nhau}, ta có: P(N)  10.2.8!   0,2222 10! Bài 2.6 Năm học 2017 – 2018, Trường Tiểu học Nguyễn Trãi có 70 học sinh giỏi, có 25 nam Chọn ngẫu nhiên nhóm gồm 10 học sinh tham dự Lễ tổng kết năm học UBND Tỉnh tổ chức Tìm xác suất để nhóm học sinh chọn có em nam ? Giải: Gọi S = {Trong 10 sinh viên chọn có nam}; - Số khả chọn 10 sinh viên từ 70 sinh viên là: C7010 - Số khả chọn sinh viên nam bằng: C254 - Số khả chọn sinh viên nữ lại là: C456  Số khả thuận lợi cho S là: Do đó: C 254 C456 C 254 C 645 P(S)  C1070 Bài 3.1 Trong bình có cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để lần hai lấy cầu trắng, biết lần thứ lấy cầu trắng Giải: Gọi B ={Lần thứ lấy cầu trắng} A ={Lần thứ hai lấy cầu trắng} ĐTh_SPYB Bài tập Xác suất – Thống kê Như phải tìm P(A/B); Sau lần lấy thứ (biến cố B xảy ra) bình cịn lại cầu, có mầu trắng Do xác suất điều kiện A B xảy là: P(A / B)  Bài 3.2 Hộp thứ có bi trắng 10 bi đen Hộp thứ hai có bi trắng bi đen Từ hộp lấy viên bi Tìm xác suất để: a/ Cả hai viên bi lấy trắng, b/ Lấy bi trắng, bi đen Giải Gọi: T1={Lấy bi trắng từ hộp thứ nhất}; T2 ={Lấy bi trắng từ hộp thứ hai}; rõ ràng T1, T2 hai biến cố độc lập a) gọi: T ={Cả hai viên bi lấy trắng}, ta có: T = T1T2 Mặt khác có: P(T1 )  P(T2 )   Do đó: P(T)  P(T1T 2)  P(T 1)P(T 2)  b/ Gọi D1, D2 biến cố lấy bi đen hộp thứ nhất, thứ hai; từ có: T1 D2 = {Lấy bi trắng hộp thứ bi đen hộp thứ hai}, T2 D1 = {Lấy bi trắng hộp thứ hai bi đen hộp thứ nhất}; suy ra: A = T1 D2 + T2 D1; mặt khác, dễ dàng thấy: D1 xung khắc với T1; D2 ; P(D )   P(T2 )  Suy ra: P(A)  P(T1D2 )  P(T2 D1 )  P(T1 )P(D )  P(T2 )P(D1 ) xung khắc với T2; nên ta có: P(D1 )   P(T1 )  1 11    3 18 Bài 3.3 Giả sử lớp chia làm nhóm thực tập Nhóm I có 20 sinh viên, có 10 nữ; Nhóm II có 18 sinh viên, có 12 nữ; Nhóm III có 18 sinh viên, có nữ Chọn ngẫu nhiên lớp sinh viên Tính xác suất để sinh viên chọn nữ thuộc nhóm II Giải: - Dễ dàng thấy lớp có số sinh viên 20 + 18 + 18 = 56 Gọi A ={Sinh viên chọn nữ} B ={Sinh viên chọn thuộc nhóm II}, ta thấy: P(AB)  12 18 P(AB) ; P(B) =  P(A / B) =  56 56 P(B) Bài 3.4 Trong số tân sinh viên năm học 2018-2019 trường CĐSP Yên Bái có 35% nữ 65% nam Trong số tân sinh viên nữ có 22% có quê Lục Yên, số tân sinh viên nam có 18% có quê Lục Yên ĐTh_SPYB Bài tập Xác suất – Thống kê a Rút ngẫu nhiên hồ sơ số hồ sơ tân sinh viên Tìm xác suất để hồ sơ tân sinh viên có quê Lục Yên b Rút ngẫu nhiên hồ sơ ta hồ sơ tân sinh viên có q Lục n Tìm xác suất để hồ sơ tân sinh viên nữ Giải: Ta kí hiệu: G = {Rút ngẫu nhiên hồ sơ tân sinh viên nữ}; T = {Rút ngẫu nhiên hồ sơ tân sinh viên nam}; L = {Rút ngẫu nhiên hồ sơ tân sinh viên có quê Lục Yên} Ta có: P(G) = 0,35; P(T) = 0,65; P(L/G) = 0,22 P(L/T) = 0,18 a) Theo đầu ta có: L = G.L + T.L , suy ra: P(L) = P(GL) + P(TL), áp dụng cơng thức xác suất tích, có: P(L) = P(G) P(L/G) + P(T)P(L/T) = 0,22 0,35 + 0,08 0,65 = 0,194 (Có thể áp dụng cơng thức xác suất toàn phần học sau) b) Tương tự, áp dụng cơng thức xác suất tích hai biến G L ta có: P(GL) = P(L).P(G/L) = P(G).P(L/G) Suy ra: P(G / L)  P(G).P(L / G) P(L)  0,35  0, 22 0,194  0,3969 (Ngồi áp dụng cơng thức Bayes học sau) Bài 3.5 Hai em bé chơi trò chơi ném bi vào lỗ, Em thứ ném trước với xác suất ném trúng 0,5 Nếu ném trượt, em thứ hai ném với xác suất ném trúng 0,4 Nếu em thứ hai ném trượt, em thứ lại ném với xác suất ném trúng 0,3 Tìm xác suất để: a/ Em thứ thắng chơi b/ Em thứ hai thắng chơi Giải: Gọi Ai = {Em thứ ném bi trúng lỗ lần thứ i}, i = 1, B = {Em thứ hai ném bi trúng lỗ} Hiển nhiên A1, A2 độc lập với (vì ném trúng lần thứ không cần ném lần thứ 2) a/ Gọi C ={Em thứ thắng chơi}, ta có: _ _ C  A1  A1 B A , có A1 vµ A1 B A xung khắc với nhau, nên áp dụng cơng thức xác suất tích ta có: _ P(C)  P(A1 )  P(A1 B A ) _  P( A1 )  P( A1 ).P( B/ A1 ).P( A2 / A1 B) = 0,5 + 0,5 0,6 0,3 = 0,59 b/ Gọi D ={ Em thứ hai thắng chơi}, đó: D  A1B  P(D)  P(A1 B)  P(A1 )P(B / A1 )  0,5.0,4  0,02 ĐTh_SPYB Bài tập Xác suất – Thống kê Nhiệm vụ 4.3 Áp dụng lý thuyết, tự giải tập sau: Bài 4.1 Có hai lơ gà giống, lơ I gồm 15 con, có gà trống; Lơ II gồm 20 con, có gà trống Một gà nhảy từ lô II sang lô I Từ lô I bắt ngẫu nhiên Tìm xác suất để gà bắt gà trống? Giải: (dễ thấy từ lô II sang lơ I gà trống mái  làm thay đổi số gà lơ I; đó…) Gọi A ={Con gà bắt gà trống}; B ={Con gà nhảy từ lô II sang lô I gà trống}; Ta có: B ={Con gà nhảy từ lơ II sang lơ I gà mái}; đó: B B lập thành hệ đầy đủ biến cố Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(A) = P(B).P(A/B) + P( B )P(A/ B )  4 16 3      0, 20 20 16 20 16 20 20 20 Bài 4.2 Một em học sinh tiểu học có 10 hộp bi gồm hộp loại một, hộp có bi trắng bi đỏ; hộp loại hai, hộp có bi trắng bi đỏ; hộp loại ba, hộp có bi trắng bi đỏ a/ Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên bi Tìm xác suất để bi lấy bi đỏ b/ Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên bi bi trắng Tìm xác suất để viên bi lấy từ hộp loại hai Giải: Gọi Hi ={Bi lấy thuộc hộp loại i}, i = 1, 2, 3; rõ ràng H1, H2, H3 lập thành hệ đầy đủ biến cố a/ Gọi A ={Bi lấy bi đỏ}; (dễ thấy bi lấy thuộc hộp loại 1, hộp loại hộp loại ba; nghĩa A xảy biến cố Hi xảy ra) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A)   P(H i )P(A / H i ) i 1  P(H1 )P(A / H1 )  P(H2 )P(A / H2 )  P(H3 )P(A / H3 )  451     0,643 10 10 10 10 700 Gọi B ={ Bi lấy bi trắng}; theo đầu ta phải tính P(H2 / B) Áp dụng cơng thức Bayes ta có: P(H / B)  ĐTh_SPYB P(H )P(B / H ) P(B) (1) Bài tập Xác suất – Thống kê +/ Tính: P(H )  10 (2) vµ P(B / H )  10 (3) P(B)   P(H i )P(B / H i ) i 1  P(H1 )P(B / H1 )  P(H2 )P(B / H )  P(H )P(B / H )  3 249    10 10 10 10 700 (4) Thế (2), (3) (4) vào (1) có: 12 28 P(H / B)  100   0,337 249 83 700 Bài 4.3 Trong thi bắn súng ASIAD năm 2018, vận động viên bắn 60 viên đạn vào bia Một vận động viên Việt Nam bắn trúng vòng 10 với xác suất 0,92 Tìm xác suất để: a/ Vận động viên bắn trúng vòng 10 60 viên b/ Vận động viên bắn trượt ngồi vịng 10 hai viên c/ Vận động viên bắn trượt ngồi vịng 10 viên Giải: Theo ta thấy việc vận động viên Việt Nam bắn 60 viên đạn vào bia thực n = 60 phép thử Bernoulli với xác suất bắn trúng vòng 10 p = 0,92 Gọi A ={Vận động viên bắn trúng vòng 10}, dễ thấy A ={Vận động viên bắn trượt vịng 10}; A A lập thành hệ đầy đủ biến cố; Gọi A1, A2 A3 biến cố câu hỏi a, b c đầu Khi ta có: 60 a/ P(A1 )  P60 (60;0,92)  C60 (0,92)60 (1  0,92)0  (0,92)60 b/ P(A2 )  P60 (2;0,08)  C 60 (0,08)2 (0,92)58  1770.(0,0064).(0,92)58  11,324.(0,92)58 c/ Dễ dàng thấy biến cố đối A3 là: A3  A1 = Vận động viên bắn trúng vòng 10 60 viên) ; đó: P(A3 )  P60 (m  1;0,08)   P(A1 )   (0,92)60 Bài 4.4 Sinh viên năm thứ Trường CĐSP Yên Bái chiếm 37%, năm thứ hai chiếm 33% năm thứ ba chiếm 30% số sinh viên toàn trường Hưởng ứng vận động hiến máu tình nguyện, năm thứ có 35%, năm thứ hai có 40% năm thứ ba có 48% số sinh viên đăng ký hiến máu a Hiệu trưởng gặp ngẫu nhiên sinh viên cổng trường, tìm xác suất để sinh viên đăng ký hiến máu tình nguyện b Hiệu trưởng gặp ngẫu nhiên sinh viên không đăng ký hiến máu Hỏi khả ĐTh_SPYB Bài tập Xác suất – Thống kê sinh viên học năm thứ nhiều hơn? Giải: Gọi Gi ={Gặp ngẫu nhiên sinh viên học năm thứ i}, với i = 1, 2, H ={Gặp ngẫu nhiên sinh viên đăng ký hiến máu} Theo đầu ta có: P(G1) = 0,37; P(G2) = 0,33; P(G3) = 0,30 P(H/G1) = 0,35; P(H/G2) = 0,40; P(H/G3) = 0,48 a Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(H) = P(H/G1)P(G1) + P(H/G2)P(G2) + P(H/G3)P(G3) = 0,35.0,37+0,40.0,33+0,48.0,30 = 0,4055 = 40,55% Vậy, ta nói: tỉ lệ sinh viên đăng ký hiến máu tình nguyện trường CĐSP Yên Bái đạt 40,55% b) Áp dụng công thức Bayes ta có: P(H / G1 )P(G1 ) 0,35  0,37 P(G1 / H)    0,3194  31,94% P(H) 0,4055 P(G2 / H)  P(H / G )P(G ) 0,40  0,33   0,3255  32,55% P(H) 0,4055 P(G3 / H)  P(H / G3 )P(G ) 0, 48  0,30   0,3551  35,51% P(H) 0, 4055 Từ kết thấy: tỉ lệ sinh viên đăng ký hiến máu tình nguyện năm thứ nhất, năm thứ hai năm thứ ba 31,94%; 32,55% 35,51% Suy Hiệu trưởng gặp sinh viên không đăng ký hiến máu có khả sinh viên năm thứ nhiều (tình nguyện thấp khơng tình nguyện cao hơn) Bài 6.1 Gieo xúc xắc cân đối đồng chất mặt phẳng Gọi X số chấm xuất mặt xúc xắc a/ Lập bảng phân phối xác suất X b/ Viết biểu thức hàm phân phối vẽ đồ thị hàm phân phối Giải: - Các giá trị mà X nhận là: 1, 2, 3, 4, 5, _ - Xác suất mặt i chấm ( i  1, ) bằng: pi   p;(i  1, 6) _ a/ Bảng phân phối xác suất: X pi 1 6 6 b/ Biểu thức hàm phân phối đồ thị: ĐTh_SPYB 6 Bài tập Xác suất – Thống kê  1 /  1 /  F( x )   / 2 /  5/6  1 víi x  víi  x  víi  x  víi  x  víi  x  víi  x  víi x  Bài 6.2 Trong hộp có viên bi, có viên mầu đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Gọi X số bi mầu đỏ lấy a/ Lập bảng phân phối xác suất X b/ Viết biểu thức hàm phân phối X c/ Tính P{0 < X < 2} theo cách Giải: - Các giá trị X nhận là: 0, 1, - Tính Pi (X), với i  1,2,3 ): C 20 C 32  +/ Với X = P(X  0)   C 52 10 1 C C +/ Với X =  P(X  1)  2  C5 10 C C +/ Với X =  P(X  2)   C5 10 Suy có bảng phân phối xác suất X sau: X Pi 10 10 10 b/ Biểu thức hàm phân phối X:  NÕu x   / 10 NÕu  x   F(x)   9 / 10 NÕu  x   NÕu x  c/ Tính P{0 < X < 2} - theo cách: +/ Cách 1: P(0 < X < 2) = P(X = 1) = 0,6 +/ Cách 2: P(0 < X < 2) = F(2) - F(0) = 0,9 - 0,3 = 0,6 Bài 6.3 Một thiết bị máy gồm phận hoạt động độc lập với Xác suất khoảng thời gian t phận bị hỏng tương ứng là: 0,2; 0,3; 0,25 Gọi X số phận bị hỏng khoảng thời gian t ĐTh_SPYB Bài tập Xác suất – Thống kê a/ Tìm phân phối xác suất X b/ Viết biểu thức hàm phân phối X c/ Tính P(0 < X  4) theo hai cách (trực tiếp dựa vào biểu thức hàm phân phối) Giải: a/ Các giá trị mà X nhận là: 0; 1; 2; +/ Gọi Ai ={Bộ phận thứ i bị hỏng khoảng thời gian t}, với i = 1,2,3; rõ ràng Ai , i =1, 2, độc lập với +/ Ta phải tính P(X  i),i  0,1,2,3 ; có: _ _ _ _ P(X = 0) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 )P( A2 )P( A3 ) = 0,8 0,7 0,75 = 0,42 _ _ _ _ P(X = 1) =P(A1)P( A2 )P( A3 ) + P( A1 )P(A2)P( A3 ) + P( A1 )P( A2 )P(A3) = 0,2 0,7 0,75 + 0,8 0,3 0,75 + 0,8 0,7 0,25 = 0,105 + 0,14 + 0,18 = 0,425 P(X = 3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,2 0,3 0,25 = 0,015 P(X = 2) = - [P(x = 0) + P(X = 1) + P(X = 3)] = - 0,86 = 0,14 Từ ta có bảng phân phối xác suất X sau: X P 0,42 0,425 0,14 0,015 _ b/ Biểu thức hàm phân phối: (áp dụng định nghĩa theo mốc x  0;0  x  1;1  x  2;2  x  3; vµ x > ) c/ Tính P(0 < X  4) = ? +/ Cách (tính trực tiếp): P(0 < X  4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,425 + 0,14 + 0,015 = 0,58 +/ Cách (áp dụng tính chất): P(0 < X  4) = P(0 < X < 3) + P(3  X  4) = F(3) - F(0) - P(X = 0) + F(4) - F(3) + P(X = 4) = - 0,42 + + = 0,58 Bài 7.1 Cho biến ngẫu nhiên X với hàm phân phối: 1 F(x)   arctan x  a/ Tìm xác suất biến cố: {0 < X < 1} b/ Tìm hàm mật độ X Giải: Ta nhận thấy F(x) hàm số liên tục tồn trục số a/ Ta có: ĐTh_SPYB 10 Bài tập Xác suất – Thống kê P(0  X  1)   f(x)dx  F(1)  F(0) 1  1  1     arctg 1    arctg      0,25 2   2   b/ Dựa vào mối quan hệ hàm mật độ hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục, ta có hàm mật độ: 1 1 f(x)  F'(x)  (  arctgx)'   2   1 x (1  x ) Bài 7.2 Cho hàm p(x)  c ;-2  x   x2 a/ Xác định c để p(x) hàm mật độ biến ngẫu nhiên X nhận giá trị tập trung đoạn [-2; 2] b/ Viết biểu thức hàm phân phối X c/ Tìm P 1  X  1 Giải: a/ Theo đầu bài, X nhận giá trị tập trung [-2; 2], nên hàm p(x) viết sau: NÕu x  [-2; 2]   p(x)   C NÕu x  [-2; 2]  - x2  - Vì [-2; 2] có  - Xét:   x2  , nên để p(x)  C  2 p(x)dx    x  C  0.dx    x2 2 dx   0.dx  2 C 2 dx x 1   2 (*) 2 - Đặt t   dt  dx  dx  2dt; Víi x  -2  t  -1;x   t  1; Khi (*) trở thành:   1  p(x)dx  C  Vậy, với C   dt  t2 p( x)   C.arcsin t |11  C   C    x2 hàm mật độ BNN X thoả mãn điều kiện đầu b/ Viết biểu thức hàm phân phối F(x) ? +/ Với x  -2  F(x)   0.dt   +/ Với -2 < x  2, ta có: ĐTh_SPYB  11 Bài tập Xác suất – Thống kê x 2 x   2 F(x)   p(t)dt   o.dt   Đặt t1  dt t 2    2 t x  dt  2dt1 ; Với t  2  t1  1;t  x  t1  ; đó: 2 x F(x)   1 dt1 2  t  arcsin t1 2 x  1 1 x  x  arcsin    arcsin   2  2 +/ Với x > 2: 2 x F(x)   p(t)dt   0.dt     2 x t 2    2 dt   0.dt  Theo tính tốn phần có: F(x)  arcsin t  Vậy ĐLNN X có hàm phân phối là: 1  2 dt t 2    2      NÕu x  - 1 x F ( x)   arcsin  NÕu -  x   2  NÕu x   c/ Tính P{-1 < X  1} = F(1) - F(-1) 1 1 1 1   arcsin     arcsin( )   2  2  1 1  1     arrcsin  arcsin( )        2   6    2 Bài 7.3 Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị tập trung đoạn [ ; ] với hàm mật độ có dạng p(x)  C.cosx a/ Xác định số C b/ Viết biểu thức hàm phân phối X  c/ Tìm P(0  X  ) * d / Nếu quan sát X năm lần có lần X nhận giá trị  khoảng [0; ] có khả nhất; tính xác suất Giải: ĐTh_SPYB 12 Bài tập Xác suất – Thống kê   a/ Theo giả thiết X nhận giá trị tập trung đoạn   ;  với hàm mật độ p(x)  C.cosx ;  2 ta viết:     NÕu x  - ;      2 p(x)      C.cos x NÕu x  - ;    2 Theo định nghĩa, p(x) phải thoả mãn điều kiện:   +/ C.cosx  0; đoạn   ;  có: cosx   C   2   1 +/   2   p( x)dx   0.dx   C.cos xdx   0.dx    2    C  cos xdx  C.sin x |   2C  C     1 hàm mật độ X là: p(x)  cos x 2 Vậy với C  b/ Viết biểu thức hàm phân phối F(x):  x  x +/ Với x   , có: F(x)   f (t)dt   0.dt   +/ Với   x      , có: F(x)   0.dt   x 1  cos t.dt  sin t |   x    (sin x  1)   1 +/ với x  ; ta có: F(x)   cos tdt  sin |    2  2   Vậy, BNN X có hàm phân phối là:    1 F ( x)   sin x  2     4 NÕu x  NÕu -  2  2  _ ĐTh_SPYB 13 x NÕu x  c/ Có : P(0  X  )  F ( )  F (0)  sin      Bài tập Xác suất – Thống kê d/ Dễ thấy lần quan sát X thực phép thử Bernoulli,với xác suất  có giá trị rơi vào [0; ] 4 2    2,121 Z ; số có khả thoả mãn 4 m0  [2,121]  +/ Xét np  p  điều kiện đầu là: +/ Khi ta phải tính:  2  2 5! (4  2)3 P5 (2; )  C52       4 2!.3! 16 64      5.(44  25 2)  0,3377 128 Bài 7.4 Chiều cao nữ giới trưởng thành thành phố Yên Bái biến ngẫu nhiên N(160;36) Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên nữ có người có chiều cao nằm khoảng (158; 162) Giải: (Ta thấy việc chọn người thực phép thử Bernoulli) Gọi X chiều cao nữ giới trưởng thành; theo giả thiết, X có phân phối chuẩn X N(  160; 2  36) , suy ra:   ; đó: Xác suất để người có chiều cao nằm khoảng (158; 162) là:  162  160   158  160  1  1 P(158  X  162)               6      3  3  0,6293  0,3707  0,2586  0,26 Suy ra: P4 (m  1;0,26)   P4 (m  0;0,26)   C04 (0,26)0 (0,74)4  1 (0,74)4 Bài 8.1 Tìm kỳ vọng tốn BNN X cho bảng phân phối xác suất sau: X P 0,6 0,3 0,1 n Giải: Áp dụng công thức: E(X)   x i p i ta có: i 1 E(X)  1.0,6  3.0,3  5.0,1  Bài 8.2 Giả sử X BNNLT có hàm mật độ: 0 nÕu x < hc x > f(x)   nÕu  x  1 Tìm kỳ vọng E(X)? ĐTh_SPYB 14 Bài tập Xác suất – Thống kê Giải: Áp dụng công thức định nghĩa ta có: E(X)    x.f(x)dx   Suy ra: E(X)   xdx  0    x.0dx   x.1.dx  x  x.0dx  Bài 8.3 Cho hàm mật độ biến ngẫu nhiên X sau:  nÕu x <  nÕu < x <  Ax f(x)   nÕu < x < A(2-x)  nÕu x >  Hãy xác định hệ số A, sau tính kỳ vọng X Giải: a/ Để f(x) hàm mật độ ĐLNN X, theo định nghĩa phải có: f(x)   A  và:  2  0dx   Ax dx   A(2  x) dx     0dx (khai triển hạng tử số 3) x   x3    A  4x  2x    A  0 1    A 8  2A     A8     A     A 3 3   3 nÕu < x < 2 x  3 với: A  cã hµm m / ® : f(x)   (2  x)2 nÕu < x <   nÕu x  (0; 2) 0   b/ E( X )     x f ( x )dx   x f ( x )dx   x f ( x )dx 31 32   x.x dx   x (2  x )2 dx 20 21 x4  x      x  x     1  ĐTh_SPYB 3  11  15        12  24 15 Bài tập Xác suất – Thống kê Bài 8.4 Cho biến ngẫu nhiên X Y độc lập có phân phối xác suất sau: X -1 p 0,2 0,3 Y -1 0,3 0,2 p 0,3 0,4 0,3 Lập bảng phân phối xác suất X2; X + Y tính kỳ vọng phương sai chúng Giải: a/ Theo định nghĩa tích biến cố A B AB, xảy A xảy B xảy ra; đó, khả X nhận giá trị i khả X nhận giá trị i2, hay: P(X2 = i2) = P(X = i) Suy ra: P(X2 =0) = P(X = 0) = 0,3 ; P(X2 = 22) = P(X = 4) = P(X=2) = 0,2 Mặt khác, ta có: (XX = 1) = (X = 1)(X =1)  (X = -1)(X = -1)  P(X2 = 1) = P(X = 1) + P(X = -1) = 0,3 + 0,2 = 0,5 Do đó, ta có bảng phân phối xác suất X sau: X2 P(X2=1) 0,3 0,5 0,2 Từ bảng phân phối xác suất có: E(X2) = 0,3 + 0,5 + 0,2 = 1,3 b/ Phân phối xác suất X + Y? Lập bảng cộng X với Y sau: Y X -1 -1 -2 -1 -1 2 Từ bảng ta có: +/ (X + Y = -2) = (X = -1).(Y = -1); X, Y độc lập, nên:  P(X + Y = -2) = P(X = -1).P(Y = -1) = 0,2 0,3 = 0,6 +/ (X + Y = -1) = (X = 0).(Y = -1)  (X = -1).(Y = 0)  P(X + Y = -1) = P(X = 0).P(Y = -1) +P(X = -1).P(Y = 0) = 0,3 0,3 + 0,2 0,4 = 0,09 + 0,08 = 0,17 Hồn tồn tương tự ta có: P(X+Y= 0) = P(X = 1).P(Y = -1) + P(X = 0).P(Y = 0) + P(X =-1).P(Y = 1) = 0,3 0,3 + 0,3 0,4 + 0,2 0,3 = 0,27 P(X+Y= 1) = P(X= 2).P(Y= -1) + P(X= 1).P(Y= 0) + P(X = 0) P(Y=1) = 0,2 0,3 + 0,3 0,4 + 0,3 0,3 = 0,27 P(X+Y = 2) = P(X = 2).P(Y = 0) + P(X = 1).P(Y = 1) ĐTh_SPYB 16 Bài tập Xác suất – Thống kê = 0,2 0,4 + 0,3 0,3 = 0,17 P(X + Y = 3) = P(X = 2) P(Y = 1) = 0,2 0,3 = 0,06 Suy ta có bảng phân phối xác suất X + Y sau: X+Y -2 -1 P 0,06 0,17 0,27 0,27 0,17 0,06 Vậy ta có: E(X+Y) = -2 0,06 + (-1) 0,17 + 0,27 + 0,27 + 0,17 + 0,06 = 0,5 Bài 8.5 Trong ca làm việc, máy tự động sản xuất 100 sản phẩm Xác suất để sản phẩm sản xuất thuộc loại phế phẩm 0,02 Ta xem trình sản xuất sản phẩm tiến hành độc lập với a/ Tìm quy luật phân phối xác suất số phế phẩm ca sản xuất b/ Trung bình ca có phế phẩm xác suất có số phế phẩm Giải: a/ Gọi X ={Số phế phẩm ca sản xuất}, theo thấy X có phân phối nhị thức, tức là: X ~ B(100; 0,02) b/ Dựa vào ý nghĩa kỳ vọng E(X), số phế phẩm trung bình ca sản xuất E(X); ta có: E(X) = np = 100 0,02 = 2; đó: P100 (2;0,02)  C100 (0,02)2 (0,98)98 Bài 10.1 Kết đo khối lượng giống cà chua Văn Chấn (Yên Bái) cho bảng sau (Đơn vị tính gam) Khối lượng (gam) Số (mi) 120 -140 140 - 160 160 - 180 180 - 200 200 - 220 220 - 240 240 - 260 260 - 280 Tổng: 10 14 12 50 Tính x,s2 , sˆ ,s vµ sˆ ĐTh_SPYB 17 Bài tập Xác suất – Thống kê Giải: +/ Vì số liệu thống kê cho dạng khoảng, nên ta chọn điểm đại diện xi (là điểm khoảng; cột số bảng đây); +/ Dùng phương pháp thu gọn số liệu thống kê phép biến đổi: ui  xi  x0 h Chọn: x0 = x5 = 210; h = 20  u i  x i  210 ; 20 +/ Lập bảng tính tốn sau: Khối lượng (gam) Số (mi) 120 -140 140 - 160 160 - 180 180 - 200 200 - 220 220 - 240 240 - 260 260 - 280 Tổng: Điểm đại diện xi ui miui miui2 130 150 170 190 210 230 250 270 -4 -3 -2 -1 -4 -12 -20 -14 -37 16 36 40 14 129 10 14 12 50 Từ bảng tính tốn ta có: u 1 (37)  0,74 vµ s2u  129  (0,74)  1,9324 50 50 Trở lại số liệu ban đầu ta có: _ X = 210 + 20 (-0,74) = 195,2 (gam); s2 = h2.s2u = 202 1,9324 = 772,96 sˆ  50 50.772,96 s   788,7347 49 49 Suy ra: s  27,8020 sˆ  28,0844 Bài 10.2 Đo độ dài loại chi tiết máy, người ta có bảng kết sau: X 18,4-18,6 18,6-18,8 mi 18,8-19,0 19,0-19,2 19,2-19,4 22 41 19 19,4-19,6 19,6-19,8 Trong X độ dài chi tiết máy tính Xăng-ti-mét Hãy tính x s2 (tính xác đến 0,0001) Giải Ta thấy giá trị X cho dạng khoảng, nên tìm điểm đại diện xi cho khoảng (cột thứ ba); mặt khác giá trị xi vừa tìm cách nhau, nên dùng ĐTh_SPYB 18 Bài tập Xác suất – Thống kê công thức thu gọn: u i  xi  x0 , Chọn: h = 0,2, x0 = x4 = 19,1 lập bảng tính h sau: Khoảng độ dài (cm) 18,4-18,6 18,6-18,8 18,8-19,0 19,0-19,2 19,2-19,4 19,4-19,6 19,6-19,8 Tổng: Số lượng (mi) 22 41 19 100 Từ bảng tính tốn có: u  Điểm đại diện xi 18,5 18,7 18,9 19,1 19,3 19,5 19,7 100 ui miu mi ui2 i -3 -2 -1 -3 -12 -22 19 14 12 24 22 19 28 36 138 s2u  1,3736 ; Trở lại số liệu ban đầu có: X  x  u.h  19,1  0,  19,1160 100 Và: s  h s u  (0, 2) 1,3736  0,0549 2 2 Bài 11.1 Tìm khoảng tin cậy với kỳ vọng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn; biết kích thước mẫu: n = 30; giá trị: x = 1,93; s2 = 0,6  = 0,95 Giải: Với  = - 0,95 = 0,05 29 bậc tự do, tra bảng phân phối Student ta có: t(0,05;29) = 2,05 s s   Áp dụng công thức  x  t  ;x  t   , khoảng tin cậy cần tìm là: n 1 n 1    0,6 0,6  ; 1,93  2,05 1,93  2,05   (1,6354; 2,2249) 29 29   Bài 11.2 Kiểm tra ngẫu nhiên 15 gói mì máy sản xuất người ta tính khối lượng trung bình chúng 39,8g với độ lệch 0,38g Coi khối lượng gói mì tn theo luật chuẩn Với độ tin cậy 0,99 ước lượng khối lượng trung bình gói mì máy sản xuất Giải: Theo đầu có: n = 15; X = 39,8; s = 0,38 Với độ tin cậy , suy ra:   0,01, tra bảng phân phối t: p(| X |)  t(n, )   với X~ t(n) ta có: tn - 1= 2,977 ĐTh_SPYB 19 Bài tập Xác suất – Thống kê Áp dụng cơng thức tính khoảng ước lượng kỳ vọng  chưa biết  ta có khoảng ước lượng cần tìm là: 0,38 0,38   39,8  2,977 ;39,8  2,977    (39,51; 40, 09) 15 15   Nói cách khác, khối lượng trung bình gói mì máy sản xuất thuộc khoảng (39,51; 40,09) Bài 11.3 Đo sức bền chịu lực nén mẫu loại vật liệu xây dựng người ta thu số liệu sau (đơn vị tính N/cm2): 4500; 6500; 5000; 5200; 4800; 4900; 5125; 6200; 5375 Từ kinh nghiệm nghề nghiệp người ta biết sức bền có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn  = 300 Hãy xác định khoảng tin cậy 95% cho sức bền trung bình loại vật liệu Giải: Trước hết tính trung bình mẫu sức bền chịu lực: X   Xi  (4500  6500  5000  5200  4800  4900  5125  6200  5375) i1  5288,89 Ở biết  = 300, khoảng tin cậy cần tìm có dạng:     ; X  x  X  x  n n  Trong đó: x   1,96 (tra từ bảng phân phối chuẩn N(0,1) cho F(x  )   Vậy khoảng tin cậy cần tìm là:  ) 300 300   5288,89  1,96 ;5288,89  1,96    (5092,89;5484,89) 3   Bài 11.4 Kiểm tra chất lượng thời gian gia công chi tiết máy phân xưởng sản xuất, người ta thu số liệu bảng sau: Thời gian (phút) Số chi tiết 16 - 18 18 - 20 20 - 22 22 - 24 24 - 26 Giả sử thời gian gia công chi tiết máy biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn a/ Với  = 0,95, ước lượng thời gian trung bình gia công chi tiết máy khoảng tin cậy đối xứng ĐTh_SPYB 20 Bài tập Xác suất – Thống kê b/ Nếu muốn giữ độ tin cậy 95% độ xác tăng gấp đơi cần phải kiểm tra chi tiết máy Giải: a/ Gọi X= {Thời gian gia công chi tiết máy} theo phân phối chuẩn với  = 1; thời gian trung bình gia cơng chi tiêt máy  Suy ra, khoảng tin cậy đối xứng  phân phối chuẩn N(  , 2 ) khoảng:  _     _      u   ; X  u     X n 2 n    +/ Vì giá trị cho dạng khoản, nên Tính X cách áp dụng phương pháp thu gọn số liệu thống kê theo công thức: u i  x3 = 21; h = thì: u i  x i  21 lập bảng tính sau: Khoảng thời gian 16 -18 18 - 20 20 - 22 22 - 24 24 - 26 Tổng: Số chi tiết mi 25 Điểm đại diện xi 17 19 21 23 25 xi  x0 , chọn xo = h ui miui miui2 -2 -1 -4 -5 8 16 35 Từ bảng tính có: _ 1 u    0,2 , suy ra: X  x h.u  21  2.0,2  21,4 25 Với -  = 0,95 có  = 0,05 ; tra bảng phân phối chuẩn N(0,1) ta có: u0,025 = 1,96; Khi khoảng tin cậy cần tìm là: 1   1,96;21,4  1,96    21,008;21,792   21,4  25 25     b/ Từ có độ xác ước lượng là:   u( )  0,392 n  0,392    0,196 ; đó, Muốn độ xác tăng lên gấp lần 2   2 với 2  0,196 có: I0  2.2  0,392 ; theo cơng thức:  42  n   u    I0 2 suy ra:  4.12  n (1,96)2   [100]  (0,392)  Vậy, để tăng độ xác lên lần ta cần phải kiểm tra tăng từ 25 chi tiết lên 100 chi tiết ĐTh_SPYB 21 Bài tập Xác suất – Thống kê Bài 12.1 Trong lô đũa tre xuất khẩu, người ta cho biết tỷ lệ phế phẩm 0,02 Ta chọn ngẫu nhiên có hồn lại 480 đũa để kiểm tra, thấy có 12 phế phẩm Xét xem tỷ lệ phế phẩm người ta thơng báo có không ? cho mức kiểm định  = 5% Giải: Coi việc kiểm tra 480 đũa thực 480 phép thử Bernoulli Gọi X số đũa bị phế phẩm; p xác suất để đũa sản xuất phế phẩm, ta đến kiểm định giả thiết: H: p = 0,02 = p0 với đối thiết H0 : p  0, 02 Ở đây, n = 480; m = 12 ; p0 = 0,02  Với  = 0,05 ta có: u    x   1,96 2 Bây ta tính giá trị biểu thức: u m  np 12  480.0,02 2,4    0,784 np (1  p ) 480.0,02.1  0,02 3,06 Từ ta thấy: u  0,784  1,96  x nên không đủ sở để bác bỏ giả thuyết H; tứclà tỷ lệ phế phẩm lô đũa tre xuất 0,02 chấp nhận Bài 12.2 Người ta nói rằng: Ở Yên Bái, xác suất để trồng cao su sống p = 0,8 Khi trồng ngẫu nhiên 100 thấy có 60 sống Có nhận xét câu nói trên? cho mức kiểm định  = 0,05 Giải: Theo đầu có n = 100; m = 60; p0 = 0,8  m n  60 100  0,  0,  p Từ ta đến kiểm định giả thiết: H : p = 0,8 với đối thiết H0: p < 0,8 Bây ta tính giá trị biểu thức: u m  np np (1  p )  60  100.0, 100.0, 8(1  0, 8)  20  5 (*) Với F( x ) = -  = 0,95, tra bảng phân phối chuẩn N(0; 1) ta có: x = 1,65 (**) Từ (*) (**) có: |u| = |-5| = > 1,65 = x suy bác bỏ giả thiết H mức 5%; nghĩa câu nói xác suất trồng sống 0,8 không ĐTh_SPYB 22 Bài tập Xác suất – Thống kê Bài 12.3 Một loại chi tiết máy sản xuất tự động, có kích thước tn theo luật chuẩn Trong điều kiện bình thường có trung bình 0  19mm ; độ lệch tiêu chuẩn   7,5mm Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra tính X  22mm Người ta nghi ngờ kích thước chi tiết máy có hướng tăng lên Hãy cho biết điều nghi ngờ có hay khơng ? (Với mức ý nghĩa 5%) Giải: Theo đầu có X = 22 mm;  = 19 mm; n = 10;  = 7,5mm; mặt khác thấy X = 22 > 19 = 0 , nên ta phải kiểm định giả thiết: H :   19mm , với đối thiết K:  > 19 mm Ta có: z (X  0 ) n (22  19) 10   1,269  7,5 Từ  = 0,05, với bậc tự do, tra bảng phân phối Student (bảng phía) có t  2,26 Từ có Z < t nên không đủ sở để bác bỏ H Do kích thước chi tiết máy chưa có xu hướng tăng lên Bài 12.4 Tuổi thọ bóng điện Compac Rạng đơng tn theo quy luật chuẩn với 0  500h  = 36h Nghi ngờ tuổi thọ giảm sút, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 16 bóng điện tính tuổi thọ trung bình X = 495h Hãy kiểm định với mức ý nghĩa  = 5% Giải: Vì 495 = X <  0= 500, nên theo đầu ta phải kiểm định giả thiết: H:  = 500h với đối thiết K:  < 500h +/ Từ  = 5%, ta tra bảng phân phối chuẩn N(0,1) được: x = 1,65 +/ Tính: z (0  X) n (495  500) 16   3,33  Ta thấy -3,33 < - 1,65  Z < - x ; nên giả thiết H bị bác bỏ, nghĩa là: tuổi thọ loại bóng điện thực giảm sút ĐTh_SPYB 23 .. .Bài tập Xác suất – Thống kê a) Xác suất để hai người bắn trúng đích xác suất để hai người bắn trượt b) Xác suất để hai người bắn trượt lớn xác suất để người bắn trúng Giải: Vì xác xuất...   12  24 15 Bài tập Xác suất – Thống kê Bài 8.4 Cho biến ngẫu nhiên X Y độc lập có phân phối xác suất sau: X -1 p 0,2 0,3 Y -1 0,3 0,2 p 0,3 0,4 0,3 Lập bảng phân phối xác suất X2; X + Y tính... ĐTh_SPYB 17 Bài tập Xác suất – Thống kê Giải: +/ Vì số liệu thống kê cho dạng khoảng, nên ta chọn điểm đại diện xi (là điểm khoảng; cột số bảng đây); +/ Dùng phương pháp thu gọn số liệu thống kê phép