kiến thức khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Kiến thức Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D · Hàm số f ng bin trờn D y 0, "x ẻ D y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Hàm số f nghch bin trờn D yÂ Ê 0, "x ẻ D y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Nếu y ' = ax + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Ỵ R Û í a > ì ỵD £ + y ' £ 0, "x Ỵ R Û í a < ì ỵD £ · Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c (a ¹ 0) : + Nếu D < g( x ) ln dấu với a + Nếu D = g( x ) dấu với a (trừ x = - b ) 2a + Nếu D > g( x ) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g( x ) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g( x ) dấu với a · So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0: ìD ³ ìD ³ ï ï + x1 £ x2 < Û í P > + < x1 £ x2 Û í P > + x1 < < x2 Û P < ïỵS < ïỵS > · g( x ) £ m, "x Ỵ (a; b) Û max g( x ) £ m ; ( a;b ) g( x ) ³ m, "x Ỵ (a; b) Û g( x ) ³ m ( a;b ) B Một số dạng câu hỏi thường gặp Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu tập xác định (hoặc khoảng xác định) · Hàm số f đồng biến D Û y¢ ³ 0, "x Î D y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Hàm số f nghịch biến D Û y¢ £ 0, "x Î D y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Nếu y ' = ax + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Ỵ R Û í a > ì ỵD £ + y ' £ 0, "x Ỵ R Û í a < ì ỵD £ Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d đơn điệu khoảng (a ; b ) Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax + 2bx + c a) Hàm số f đồng biến (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) ³ g( x ) (*) f đồng biến (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) Trang Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.PNE.edu.vn · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) £ g( x ) (**) f đồng biến (a ; b ) Û h(m) £ g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ khơng đưa dạng (*) đặt t = x - a Khi ta có: y¢ = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c ìa > ïïD > ìa > – Hàm số f đồng biến khoảng (-¥; a) Û g(t ) ³ 0, "t < Û í Ú í ỵD £ ïS > ïỵ P ³ ìa > ïïD > ìa > – Hàm số f đồng biến khoảng (a; +¥) Û g(t ) ³ 0, "t > Û í Ú í ỵD £ ïS < ïỵ P ³ b) Hàm số f nghịch biến (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x ẻ (a ; b ) v y = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ Û h(m) ³ g( x ) (*) f nghịch biến (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) £ g( x ) (**) f nghịch biến (a ; b ) Û h(m) £ g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ khơng đưa dạng (*) đặt t = x - a Khi ta có: y¢ = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c ìa < ïï ì – Hàm số f nghịch biến khoảng (-¥; a) Û g(t ) £ 0, "t < Û ía < Ú íD > ỵD £ ïS > ïỵ P ³ ìa < ïïD > ìa < – Hàm số f nghịch biến khoảng (a; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > Û í Ú í ỵD £ ïS < ïỵ P ³ Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d đơn điệu khoảng có độ dài k cho trước ì · f đơn điệu khoảng ( x1; x2 ) Û y¢ = có nghiệm phân biệt x1, x2 a (1) ợD > · Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - x1x2 = d · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e a) Đồng biến (-¥;a ) b) Đồng biến (a ; +¥) Trang (2) Trần Sĩ Tùng www.PNE.edu.vn Khảo sát hàm số c) Đồng biến (a ; b ) ì -e ü adx + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 ợd ỵ ( dx + e ) ( dx + e ) Tập xác định: D = R \ í Trường hợp Nếu: f ( x ) ³ Û g( x ) ³ h(m) (i) Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) ³ khơng đưa dạng (i) ta đặt: t = x - a Khi bpt: f ( x ) ³ trở thành: g(t ) ³ , với: g(t ) = adt + 2a(da + e)t + ada + 2aea + be - dc a) (2) đồng biến khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïỵ g( x ) ³ h(m), "x < a ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) £ g( x ) ( -¥;a ] ợ a) (2) ng bin trờn khong (-Ơ;a ) ì -e ï Û í d ³a ïỵ g(t ) ³ 0, "t < (ii) ìa > ïïD > ìa > Ú í (ii) Û í îD £ ïS > ïî P ³ b) (2) đồng biến khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïỵ g( x ) ³ h(m), "x > a ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; +¥ ) î b) (2) đồng biến khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïỵ g(t ) ³ 0, "t > (iii) ìa > ïïD > ìa > Ú í (iii) Û í îD £ ïS < ïî P ³ c) (2) đồng biến khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ợù g( x ) h(m), "x ẻ (a ; b ) ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; b ] ỵ Tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e a) Nghịch biến (-¥;a ) b) Nghịch biến (a ; +¥) c) Nghịch biến (a ; b ) ì -e ü adx + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 ợd ỵ ( dx + e ) ( dx + e ) Tập xác định: D = R \ í Trang Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn Trường hợp Nếu f ( x ) £ Û g( x ) ³ h(m) (i) Trần Sĩ Tùng Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) ³ không đưa dạng (i) ta đặt: t = x - a Khi bpt: f ( x ) £ trở thành: g(t ) £ , với: g(t ) = adt + 2a(da + e)t + ada + 2aea + be - dc a) (2) nghịch biến khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïỵ g( x ) ³ h(m), "x < a ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) £ g( x ) ( -Ơ;a ] ợ b) (2) nghịch biến khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïỵ g( x ) ³ h(m), "x > a ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; +Ơ ) ợ a) (2) đồng biến khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïỵ g(t ) £ 0, "t < (ii) ìa < ïïD > ìa < (ii) Û í Ú í ỵD £ ïS > ïỵ P ³ b) (2) đồng biến khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïỵ g(t ) £ 0, "t > (iii) ìa < ïïD > ìa < (iii) Û í Ú í ỵD £ ïS < ïỵ P ³ c) (2) đồng biến khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ïỵ g( x ) ³ h(m), "x Ỵ (a ; b ) ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; b ] ỵ Trang Trần Sĩ Tùng Câu Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn Cho hàm số y = (m - 1) x + mx + (3m - 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định · Tập xác định: D = R y ¢= (m - 1) x + 2mx + 3m - (1) đồng biến R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ Cho hàm số y = x + x - mx - (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (-¥;0) Câu · Tập xác định: D = R y ¢= x + x - m y¢ có D¢ = 3(m + 3) + Nếu m £ -3 DÂ Ê ị y 0, "x ị hm số đồng biến R Þ m £ -3 thoả YCBT + Nếu m > -3 D¢ > Þ PT y¢ = có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) Khi hàm số đồng biến khoảng (-¥; x1 ),( x2 ; +Ơ) ỡD > ỡm > -3 ï ï Do hàm số đồng biến khoảng (-¥;0) Û £ x1 < x2 Û í P ³ Û í-m ³ (VN) ïỵS > ïỵ-2 > Vậy: m £ -3 Cho hàm số y = x - 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2; +¥) Câu · Tập xác định: D = R y ' = x - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2m + 1)2 - 4(m + m) = > éx = m y' = Û ê Hàm số đồng biến khoảng (-¥; m), (m + 1; +¥) ëx = m +1 Do đó: hàm số đồng biến (2; +¥) Û m + £ Û m £ Cho hàm số y = x + (1 - 2m) x + (2 - m) x + m + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến khoảng K = (0; +¥) Câu · Hàm đồng biến (0; +¥) Û y ¢= x + 2(1 - 2m) x + (2 - m) ³ với "x Ỵ (0; +¥) Û f ( x) = 3x + x + ³ m với "x Ỵ (0; +¥) 4x + 6(2 x + x - 1) Ta có: f ¢( x ) = = Û x + x - = Û x = -1; x = 2 (4 x + 1) ỉ1ư Lập BBT hàm f ( x ) (0; +¥) , từ ta i n kt lun: f ỗ ữ m ³ m è2ø Câu hỏi tương tự: b) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m ¹ -1) , K = (1; +¥) c) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m ¹ -1) , K = (-1;1) a) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m ¹ -1) , K = (-¥; -1) Trang ĐS: m ³ 11 ĐS: m ³ ĐS: m ³ Khảo sát hàm số Câu Trần Sĩ Tùng www.PNE.edu.vn Cho hàm số y = (m - 1) x + (m - 1) x - x + (1) (m ¹ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (-¥;2) · Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x + 2(m - 1) x - Đặt t = x – ta được: y¢ = g(t ) = (m - 1)t + (4m + 2m - 6)t + 4m + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (-¥;2) Û g(t ) £ 0, "t < ïì ì TH1: í a < Û ím 2- < ỵD £ Vậy: Với Câu ỵï3m - 2m - £ ìm2 - < ìa < ï ïïD > ïï3m - 2m - > Û í4m2 + 4m - 10 £ TH2: í ïS > ï -2m - ïỵ P ³ ï >0 ỵï m + -1 £ m < hàm số (1) nghịch biến khoảng (-¥;2) 3 Cho hàm số y = (m - 1) x + (m - 1) x - x + (1) (m ¹ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (2; +Ơ) ã Tp xỏc nh: D = R; y = (m2 - 1) x + 2(m - 1) x - Đặt t = x – ta được: y¢ = g(t ) = (m - 1)t + (4m + 2m - 6)t + 4m + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > ìm2 - < ìa < ï ïïD > ïï3m - 2m - > ìïm - < ìa < TH1: í TH2: í Ûí Û í4m2 + 4m - 10 £ < S ỵD £ ïỵ3m - 2m - £ ï ï -2m - ïỵ P ³ ï ì ỵ g(t ) £ 0, "t < (i) ém = éD ' = ê ìm ¹ ê ìD ' > ém = (i) Û ê ï Ûê Û êï ê í 4m - > ê íS > ëm ³ + ê ïỵm2 - 4m + ³ êë ïỵ P ³ ë Vậy: Với m ³ + hàm số (2) nghịch biến (-¥;1) Câu 15 Cho hàm số y = x - 2mx + 3m2 (2) 2m - x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến khoảng (1; +¥) · Tập xác định: D = R \ { 2m} y ' = - x + 4mx - m ( x - 2m)2 = f (x) ( x - 2m)2 Đặt t = x - Khi bpt: f ( x ) £ trở thành: g(t ) = -t - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - £ Hàm số (2) nghịch biến (1; +Ơ) y ' Ê 0, "x ẻ (1; +Ơ) ớ2m < ỡ ợ g(t ) Ê 0, "t > (ii ) ém = éD ' = ê ìm ¹ ê ìD ' > Û m £2- (ii) Û ê ï Û êï ê í 4m - < ê íS < ê ïỵm2 - 4m + ³ êë ïỵ P ³ ë Vậy: Với m £ - hàm số (2) nghịch biến (1; +¥) Trang Trần Sĩ Tùng www.PNE.edu.vn Khảo sát hàm số KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d A Kiến thức · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ = có nghiệm phân biệt · Hoành độ x1, x2 điểm cực trị nghiệm phương trình y¢ = · Để viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu, ta sử dụng phương pháp tách đạo hàm – Phân tích y = f ¢( x ).q( x ) + h( x ) – Suy y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) Do phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu là: y = h( x ) · Gọi a góc hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 tan a = k1 - k2 + k1k2 B Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song (vng góc) với đường thẳng d : y = px + q – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu p – Giải điều kiện: k = p (hoặc k = - ) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y = px + q góc a – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: k-p = tan a (Đặc biệt d º Ox, giải điều kiện: k = tan a ) + kp Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B cho DIAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua điểm cực đại, cực tiểu – Tìm giao điểm A, B D với trục Ox, Oy – Giải điều kiện SDIAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho DIAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện SDIAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua điểm cực đại, cực tiểu – Gọi I trung điểm AB ì – Giải điều kiện: í D ^ d ỵI Ỵ d Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu Trang Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn Trần Sĩ Tùng – Giải điều kiện: d ( A, d ) = d (B, d ) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khoảng cách hai điểm A, B lớn (nhỏ nhất) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị) – Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) AB Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu hoành độ điểm cực trị thoả hệ thức cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et Tìm điều kiện để hàm số có cực trị khoảng K1 = (-¥;a ) K2 = (a ; +¥) y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c Đặt t = x - a Khi đó: y ' = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c Hàm số có cực trị thuộc K1 = (-¥;a ) Hàm số có cực trị khoảng (-¥;a ) Û f ( x ) = có nghiệm (-¥;a ) Û g(t ) = có nghiệm t < Hàm số có cực trị thuộc K2 = (a ; +¥) Hàm số có cực trị khoảng (a ; +¥) Û f ( x ) = có nghiệm (a ; +¥) Û g(t ) = có nghiệm t > éP < ê ìD ' ³ Û êï ê íS < êë ïỵ P ³ éP < ê ìD ' ³ Û êï ê íS > êë ỵï P ³ Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả: a) x1 < a < x2 b) x1 < x2 < a c) a < x1 < x2 y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c Đặt t = x - a Khi đó: y ' = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c a) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < a < x2 Û g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < < t2 Û P < b) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < x2 < a ìD ' > ï Û g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < t2 < Û íS < ïỵ P > c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả a < x1 < x2 ìD ' > ï Û g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả < t1 < t2 Û íS > ïỵ P > Trang 10 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.PNE.edu.vn 2x - x -2 Câu 31 Cho hàm số y = 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ ỉ 2x - -1 ã Gi s M ỗỗ x0 ; ữữ ẻ (C ) x0 , y '( x0 ) = x0 - ø è ( x0 - ) Phương trình tiếp tuyến (D) với ( C) M: y = -1 ( x0 - ) æ ( x - x0 ) + x0 - x0 - 2x - ö Toạ độ giao điểm A, B (D) vi hai tim cn l: A ỗỗ 2; ÷÷ ; B ( x0 - 2;2 ) è x0 - ø Ta thấy y + yB x - x A + x B + x0 - = = x0 = x M , A = = yM Þ M trung điểm AB x0 - 2 Mặt khác I(2; 2) DIAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích é é ù ùú ỉ x0 - ê ú ³ 2p S = p IM = p ( x0 - 2) + ỗỗ - ÷ = p ê( x0 - 2)2 + ÷ ú ê x0 - êë ( x0 - 2)2 úû è ø ë û éx = 1 Dấu “=” xảy ( x0 - 2)2 = Ûê ( x - 2) ë x0 = Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) Câu hỏi tương tự: a) Với y = 3x + ĐS: M (0;1), M (-4;5) x+2 2mx + x-m Câu 32 Cho hàm số y = 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm m để tiếp tuyến diểm (C) cắt hai tiệm cận A B cho DIAB có diện tích S = 64 · (C) có tiệm cận đứng x = m , tiệm cận ngang y = 2m Giao điểm tiệm cận I (m;2m) æ 2m2 + 2mx + ö 2mx + 0 Gi M ỗỗ x0 ; ( x - x0 ) + ữữ ẻ (C ) PTTT D (C) M: y = x m x ( x0 - m ) 0 m ố ứ ổ D ct TC ti A ỗỗ m; è Ta có: IA = 2mx0 + 2m + ÷ , cắt TCN B(2 x0 - m;2m) ÷ x0 - m ø 4m + 58 ; IB = x0 - m Þ SIAB = IA.IB = 4m2 + = 64 Û m = ± x0 + m 2 Câu 33 Cho hàm số y = x x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với đường tiệm cận (C) tam giác có chu vi P = ( + ) · (C) có tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = Giao điểm tiệm cận I(1;1) Trang 70 Trần Sĩ Tùng æ Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn x ö x Gọi M ỗỗ x0 ; ữữ ẻ (C ) ( x0 ¹ 1) PTTT D (C) M: y = ( x - x0 ) + x x0 - ( x0 - 1) è ø ỉ x0 + ÷÷ , cắt TCN B(2 x0 - 1;1) x ố ứ D ct TC ti A ỗỗ 1; Ta có: PIAB = IA + IB + AB = ≥ 4+2 + x0 - + ( x0 - 1)2 + x0 - ( x0 - 1)2 é x0 = ë x0 = Dấu "=" xảy Û x0 - = Û ê + Với x0 = Þ PTTT D: y = - x ; Câu 34 Cho hàm số y = + Với x0 = Þ PTTT D: y = - x + 2x + có đồ thị (C) x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ æ · Giao điểm tim cn l I(1;2) Gi M ỗỗ x0 ;2 + è + PTTT M có dạng: y = -3 ( x0 - 1) ( x - x0 ) + + ữ ẻ (C) x0 - ÷ø x0 - ỉ + Toạ độ giao điểm tiếp tuyến với tim cn: A ỗỗ 1;2 + ố ö ÷ , B (2 x0 - 1;2) x0 - ữứ ì x0 - = 2.3 = (đvdt) x0 - + Ta có: SDIAB = IA.IB = × + DIAB vng có diện tích khơng đổi Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ IA= IB Û éx = 1+ = x0 - Þ ê x0 - êë x0 = - Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1 (1 + 3;2 + ) , M2 (1 - 3;2 - ) Khi chu vi DAIB = + Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) biểu thức P = a + b + a2 + b2 nhỏ a = b Thật vậy: P = a + b + a2 + b2 ³ ab + 2ab = (2 + 2) ab = (2 + 2) S Dấu "=" xảy Û a = b Câu hỏi tương tự: a) y = 2x -1 x -1 Câu 35 Cho hàm số y = ĐS: M1(0; -1), M2 (2;3) x -2 x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt tiệm cận A B cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất, với I giao điểm tiệm cận · (C) có TCĐ x = -1 , TCN y = Giao điểm tiệm cận I(-1;1) Trang 71 Khảo sát hàm số æ Trần Sĩ Tùng www.PNE.edu.vn x -2ö x -2 Gọi M çç x0 ; ( x - x0 ) + ữữ ẻ (C ) PTTT D ca (C) M: y = + x x0 + ( x0 + 1) è ø æ D ct hai tim cn ti A ỗỗ -1; x0 - ö ; IB = x0 + ÷÷ , B(2 x0 + 1;1) Ta có: IA = x0 + ø x0 + è Þ SIAB = IA.IB = Gọi p, r nửa chu vi bán kính đường trọn nội tiếp DIAB S Ta có: S = pr Þ r = = Do r lớn Û p nhỏ Mặt khác DIAB vuông I nên: p p p = IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB ³ IA.IB + IA.IB = + Dấu "=" xảy Û IA = IB Û ( x0 + 1)2 = Û x0 = -1 ± + Với x = -1 - Þ PTTT D: y = x + (1 + ) + Với x = -1 + Þ PTTT D: y = x + (1 - ) Câu 36 Cho hàm số y = 2x + x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai nhánh đồ thị (C), điểm M, N cho tiếp tuyến M N cắt hai đường tiệm cận điểm lập thành hình thang · Gọi M (m; yM ), N (n; yN ) điểm thuộc nhánh (C) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B Tiếp tuyến N cắt hai tiệm cận C, D æ 2m + ÷ , B(2m - 1;2) è m -1 ø PTTT M có dạng: y = yÂ(m).( x - m) + yM ị A ỗ 1; ỉ 2n + ÷ , D (2n - 1;2) è n -1 ø Tương tự: C ç 1; Hai đường thẳng AD BC có hệ số góc: k = -3 nên AD // BC (m - 1)(n - 1) Vậy điểm M, N thuộc nhánh (C) thoả mãn YCBT Câu 37 Cho hàm số y = x +3 x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm Mo ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh Mo trung điểm đoạn thẳng AB · Mo ( xo ; yo ) ẻ (C) ị y0 = + 4 ( x - x0 ) PTTT (d) M0 : y - y0 = x0 - ( x0 - 1)2 Giao điểm (d) với tiệm cận là: A(2 x0 - 1;1), B(1;2 y0 - 1) Þ x A + xB y + yB = x0 ; A = y0 Þ M0 trung điểm AB 2 Câu 38 Cho hàm số : y = x+2 (C) x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi Trang 72 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn æ · Giả sử M ỗ a; ố a+2ử ữ ẻ (C) a -1 ø PTTT (d) (C) M: y = y ¢(a).( x - a) + a+2 a + 4a - -3 Û y= x+ a -1 (a - 1)2 (a - 1) ỉ a+5ư ÷ , B(2a - 1;1) è a -1 ø Các giao điểm ca (d) vi cỏc tim cn l: A ỗ 1; đ đ ổ 6 IA = ỗ 0; ; IB = (2a - 2;0) Þ IB = a - ữ ị IA = a -1 ố a -1ø Diện tích DIAB : S DIAB = IA.IB = (đvdt) Þ ĐPCM Câu hỏi tương tự: a) y = 2x - x +1 ĐS: S = 12 Câu 39 Cho hàm số y = 2x -1 1- x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hồnh độ a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ ổ ố ã I (1; -2), A ỗ a; 2a - 2a - ö ( x - a) + ÷ PT tiếp tuyến d A: y = 1- a 1- a ø (1 - a)2 ỉ 2a ÷ è 1- a ø Giao điểm tiệm cận ngang tiếp tuyến d: Q(2a - 1; -2) Giao điểm tiệm cận đứng tip tuyn d: P ỗ 1; Ta cú: xP + xQ = 2a = x A Vậy A trung điểm PQ IP = 2a +2 = ; IQ = 2(a - 1) Suy ra: 1- a 1- a Câu 40 Cho hàm số y = SIPQ = IP.IQ = (đvdt) 2x -1 x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm đồ thị (C), điểm M có hồnh độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn: IA2 + IB = 40 ỉ 2x - · (C) có TCĐ: x = -1 ; TCX: y = Þ I(–1; 2) Gi s M ỗỗ x0 ; ữữ ẻ (C), (x0 > 0) x0 + ø è PTTT với (C) M: y = ( x0 + 1) ( x - x0 ) + æ 2x - x0 - ị A ỗỗ -1; ÷ , B ( (2 x0 + 1;2 ) x0 + ÷ø x0 + è ì 36 + 4( x0 + 1)2 = 40 ï IA + IB = 40 Û í ( x0 + 1)2 Û x0 = (y0 = 1) Þ M(2; 1) ïx > ỵ 2 Câu 41 Cho hàm số y = x +1 (C) x -1 Trang 73 Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn Trần Sĩ Tùng 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) · Gọi M (0; yo ) điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d) ì x +1 ì( y - 1) x - 2( y + 1) x + y + = (1) ïï x - = kx + yo o o ï o (d) tiếp tuyến (C) Û í -2 (*) Ûí -2 =k ï =k ï x ¹ 1; ( x - 1)2 ỵ ïỵ ( x - 1)2 YCBT Û hệ (*) có nghiệm Û (1) có nghiệm khác ìy = ìy ¹ é ï o ï o x = ; yo = Þ k = -8 ê Ûí Û Ú í 2 ê = 0; ïỵD ' = ( yo + 1) - ( yo - 1)( yo + 1) = ïỵ x = x yo = -1 Þ k = -2 ë Vậy có điểm cần tìm là: M(0; 1) M(0; –1) Câu 42 Cho hàm số y = x +3 (C) x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng d : y = x + điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) · Gọi M (m;2m + 1) Ỵ d PT đường thẳng D qua M có dạng: y = k ( x - m) + 2m + PT hoành độ giao điểm D (C): k ( x - m) + 2m + = Û kx - [(m + 1)k - 2m ] x + [ mk - (2m + 4)] = x+3 x -1 (*) ỡùk ùợD = [(m + 1)k - 2m ] - 4k [ mk - (2m + 4)] = D tiếp xuc với (C) Û (*) có nghiệm kép Û í ìk ¹ 2 2 ỵ g(k ) = (m - 1) k - 4(m - m - 4)k + 4m = Ûí Qua M (m;2m + 1) Ỵ d kẻ tiếp tuyến đến (C) Û g(k ) = ém = ê Û ê m = -1 êm = êë m = é D¢ = -32(m - m - 2) > 0; g(0) = 4m2 = ê có nghiệm k ¹ Û ê D¢ = -32(m - m - 2) > 0; g(0) = 4m2 = ê êë m - = Þ 16k + = Þ k = - Þ M (0;1) Þ M (-1; -1) Þ M (2;5) Þ M (1;3) Trang 74 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Cho hàm số y = - x + x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình x - x = m3 - 3m2 có ba nghiệm phân biệt Câu · PT x - x = m3 - 3m2 Û - x + x + = -m3 + 3m2 + Đặt k = -m3 + 3m + Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng d: y = k Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có nghiệm phân biệt Û < k < Û m Ỵ (-1;3) \ { 0;2} Cho hàm số y = x - x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Câu m x -1 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x - x - = · Ta có x - x - = m Û ( x - x - ) x - = m, x ¹ Do số nghiệm phương trình x -1 số giao điểm y = ( x - x - ) x - , (C ') đường thẳng y = m, x ¹ Với y = ( x - x - ) x - = í f ( x ) ì x > nên ( C ' ) bao gồm: ỵ- f ( x ) x < + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x = + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x = qua Ox Dựa vào đồ thị ta có: m < –2 m = –2 –2 < m < m≥0 vô nghiệm nghiệm kép nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt Cho hàm số y = x - x + có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Câu 2) Tìm m để phương trình x - x + = log12 m có nghiệm · Dựa vào đồ thị ta có PT có nghiệm Û log12 m = Û m = 12 = 144 12 Cho hàm số: y = x - x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x - x + + log2 m = Câu · x - x + + log2 m = Û x - x + = - log2 m (m > 0) (*) + Số nghiệm (*) số giao điểm đồ thị y = x - x + y = - log2 m + Từ đồ thị suy ra: 0 0, b > ) điểm thuộc nhánh (C) ỉ1 1ư é é 16 ù 16 ù 64 AB = (a + b) + 16 ỗ + ữ = (a + b)2 ê1 + ³ 4ab ê1 + = 4ab + ³ 32 ú ú 2 2 ab èa bø ë a b û ë a b û 2 Trang 82 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn ìa = b ìa = b ï Ûa=b=44 16 Û í = ab = a ỵ ïỵ ab AB nhỏ Û AB = Û í Khi đó: A ( -1 - 4;1 + 64 ) , B ( -1 + 4;1 - 64 ) Câu hỏi tương tự: a) y = 4x - x -3 ĐS: A ( - 3;4 - ) , B ( + 3;4 + ) Câu 17 Cho hàm số y = -x + x -2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C), điểm A, B cho độ dài đoạn AB đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d : y = x · PT đường thẳng AB có dạng: y = - x + m PT hoành độ giao điểm (C) AB: -x + = - x + m Û g( x ) = x - (m + 3) x + 2m + = (1) ( x ¹ 2) x -2 ìD > Để có điểm A, B (1) phải có nghiệm phân biệt khác Û í g ỵ g(2) ¹ ì Û í(m + 3) - 4(2m + 1) > Û "m ỵ4 - (m + 3).2 + 2m + ¹ ìx + x = m + Mặt khác y A = - x A + m; yB = - xB + m Ta có: í A B ỵ x A x B = m + Do đó: AB = Û ( xB - x A )2 + ( yB - y A )2 = 16 Û m - 2m - = Û ê m = -1 ëm = é é + Với m = , thay vào (1) ta được: x - x + = Û ê x = + Þ y = - ëx = - Þ y = Þ A(3 + 2; - 2), B(3 - 2; 2) A(3 - 2; 2), B(3 + 2; - 2) é + Với m = -1 , thay vào (1) ta được: x - x - = Û ê x = + Þ y = -2 - ë x = - Þ y = -2 + Þ A(1 + 2; -2 - 2); B(1 - 2; -2 + 2) A(1 - 2; -2 + 2); B(1 + 2; -2 - 2) Câu 18 Cho hàm số y = x + x + 14 có đồ thị (C) 6x + Tìm tất các điểm (C) có toạ độ ngun 1ỉ 4è · Ta có: y = ỗ x + + 53 ữ 6x + ø ìx Ỵ Z ï Điểm M ( x; y) Ỵ (C ) có toạ độ ngun ổ 53 ữẻZ ùy = ỗ 2x + + ỵ 4è 6x + ø ìx Ỵ Z ìx Ỵ Z ìx Ỵ Z ïỉ ù 53 53 ùỗ x + + Û ïï6 x + = ±1 Ú x + = 53 ẻZ ữẻZ ù 6x + íè íỉ 6x + ø ïỉ ùổ ùỗ x + + 53 ửữM 53 ö 53 ö x M + + ùợố ữ ùỗ ùỗ x + + 6x + ø ÷M 6x + ø 6x + ø ỵè ỵè Trang 83 Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn Trần Sĩ Tùng é Û ê x = Þ y = 14 Vậy có hai điểm thoả YCBT: (0;14), (-9; -4) ë x = -9 Þ y = -4 Câu 19 Cho hàm số y = x - 3x + có đồ thị (C) x -2 ỉ1 Tìm cặp điểm đồ thị (C) đối xứng qua điểm I ç ;1÷ è2 ø ỉ1 · Gọi M ( x1; y1), N ( x2 ; y2 ) Ỵ (C ) i xng qua im I ỗ ;1ữ è2 ø ìx + x = ì x = - x1 Ûí Þ N (1 - x1;2 - y1 ) Khi ta có: í ỵ y1 + y2 = ỵ y2 = - y1 ì x12 - x1 + ï y1 = é x = -2; y1 = -4 x1 - ï Vì M ( x1; y1), N ( x2 ; y2 ) Ỵ (C ) nên ta có: í Û ê x y 3; = = x x + 1 ë ï2 - y = 1 ï x -1 ỵ Vậy (C) có cặp điểm thoả YCBT: M (-2; -4), N (3;6) Câu 20 Cho hàm số y = x2 + x + có đồ thị (C) x +1 Tìm cặp điểm đồ thị (C) đối xứng qua đường thẳng d :16 x + 17 y + 33 = ỉ 21 ỉ 13 · ĐS: A ỗ -5; - ữ , B ỗ 3; ữ è 4ø è 4ø Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 84 ... - hàm số (2) nghịch biến (1; +¥) Trang Trần Sĩ Tùng www.PNE.edu.vn Khảo sát hàm số KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d A Kiến thức · Hàm số. .. Sĩ Tùng Câu Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn Cho hàm số y = (m - 1) x + mx + (3m - 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng... Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số www.PNE.edu.vn Câu 31 Cho hàm số y = x - x + mx + (1), với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = æ 11 ÷ è2 ø 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai