ĐỀ CƯƠNG ôn tập TOAN 9 học kì i

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ I MƠN TỐN NĂM HỌC 2018-2019 A - LÝ THUYẾT I ĐẠI SỐ: Chương I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA 1) Định nghĩa, tính chất bậc hai a) Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a  x ≥ b) Với a ≥ ta có x = a ⇔   x = ( a) = a c) Với hai số a b khơng âm, ta có: a < b ⇔ a < b A neu A ≥ d) A = A = −A neu A <  2) Các công thức biến đổi thức A = A A A = (A ≥ 0, B > 0) B B AB = A B (A ≥ 0, B ≥ 0) A B = A B (B ≥ 0) A B = A B (A ≥ 0, B ≥ 0) A B = − A B (A < 0, B ≥ 0) C A mB A C = AB (AB ≥ 0, B ≠ 0) (A ≥ 0, A ≠ B2) = B B A−B A±B A A B = (B > 0) B B ( C C = A± B ) ( Am B A−B ) (A, B ≥ 0, A ≠ B) * CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: A Các bước thực hiên:  Tìm ĐKXĐ biểu thức: tìm TXĐ phân thức kết luận lại Phân tích tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn được) Quy đồng, gồm bước: + Chọn mẫu chung : tích nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để nhân tử phụ tương ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dạng Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên) Rút gọn Chương II HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT I HÀM SỐ: Khái niệm hàm số * Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x cho giá trị x, ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x x gọi biến số * Hàm số cho cơng thức cho bảng II HÀM SỐ BẬC NHẤT:  Kiến thức bản: 3) Định nghĩa, tính chất hàm số bậc a) Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b (a, b ∈ R a ≠ 0) b) Hàm số bậc xác định với giá trị x∈ R Hàm số đồng biến R a > Nghịch biến R a < 4) Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b (a: hệ số góc, b: tung độ gốc) 5) Cho (d): y = ax + b (d'): y = a'x + b' (a, a’ ≠ 0) Ta có: a = a ' b = b' (d) ≡ (d') ⇔  a = a ' b ≠ b' (d) // (d') ⇔  (d) ∩ (d') ⇔ a ≠ a' (d) ⊥ (d') ⇔ a.a' = − 6) Gọi α góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox thì: Khi a > ta có tanα = a Khi a < ta có tanα’ = a (α’ góc kề bù với góc * Các dạng tập thường gặp: - Dạng1: Xác dịnh giá trị hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng Phương pháp: Xem lại lí thuyết -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm giá trị x; thay giá trị x vào (d1) (d2) ta tính giá trị y Cặp giá trị x y toạ độ giao điểm hai đường thẳng Tính chu vi - diện tích hình tạo đường thẳng: Phương pháp: +Dựa vào tam giác vuông định lý Py- ta -go để tính độ dài đoạn thẳng khơng tính trực tiếp Rồi tính chu vi tam giác cách cộng cạnh + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S -Dạng 3: Tính góc α tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox Xem lí thuyết -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị x1 vào hàm số; tính y0 Nếu y0 = y1 điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 ≠ y1 điểm M khơng thuộc đồ thị -Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng ( xác định hệ số a b hàm số y=ax+b) Phương pháp chung: Gọi đường thẳng phải tìm có dạng (hoặc cơng thức hàm số ): y=ax+b Căn vào giả thiết để tìm a b Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) điểm Q(x1; y1) Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta phương trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm giá trị a b + Thay giá trị a b vào y = ax + b ta phương trình đường thẳng cần tìm -Dạng 6: Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho đường thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m ≠ 1; m ≠ -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m m thay đổi d1 ln qua 1điểm cố định b) C/m d1 //d3 d1 vng góc d2 c) Xác định m để đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui II HÌNH HỌC: Chương I HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG  Hệ thức cạnh đường cao:Hệ thức cạnh góc: + a2 = b2 + c2 + b = a.b , ; c = a.c , + a = b, + c, + h = b , c , b b, c c, + a.h = b.c + = , ; = , 1 c c b b + 2= 2+ h c D K D K Tỷ số lượng giác: Sin = ; Cos = ; Tg = ; Cotg = H H K D Tính chất tỷ số lượng giác: 1/ Nếu α + β = 90 Thì: b Sinα = Cosβ Cosα = Sinβ Tanα = Cot β Cotα = Tanβ 2/Với α nhọn < sin α < 1, < cos α < *sin2 α + cos2 α = *tan α = *cot α = *tan α cot α =1 Hệ thức cạnh góc: + Cạnh góc vng cạnh huyền nhân Sin góc đối: b = a.SinB.; c = a.SinC + Cạnh góc vng cạnh huyền nhân Cos góc kề: b = a.CosC.; c = a.CosB + Cạnh góc vng cạnh góc vng nhân Tan góc đối: b = c.TanB.; c = b.TanC + Cạnh góc vng cạnh góc vng nhân Cot góc kề: b = c.CotC.; c = b.CotB Chương II ĐƯỜNG TRỊN:  Sự xác định đường trịn: Muốn xác định đường tròn cần biết: + Tâm bán kính,hoặc + Đường kính( Khi tâm trung điểm đường kính; bán kính 1/2 đường kính) , + Đường trịn qua điểm ( Khi tâm giao điểm hai đường trung trực hai đoạn thẳng nối hai ba điểm đó; Bán kính khoảng cách từ giao điểm đến điểm đó)  Tính chất đối xứng: + Đường trịn có tâm đối xứng tâm đường trịn + Bất kì đường kính vào trục đối xứng đường tròn  Các mối quan hệ: Quan hệ đường kính dây: + Đường kính (hoặc bán kính) ⊥ Dây ⇔ Đi qua trung điểm dây Quan hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây ⇔ Chúng cách tâm + Dây lớn ⇔ Dây gần tâm  Vị trí tương đối đường thẳng với đường trịn: + Đường thẳng khơng cắt đường trịn ⇔ Khơng có điểm chung ⇔ d > R (d khoảng cách từ tâm đến đường thẳng; R bán kính đường trịn) + Đường thẳng cắt đường trịn ⇔ Có điểm chung ⇔ d < R + Đường thẳng tiếp xúc với đường trịn ⇔ Có điểm chung ⇔ d = R  Tiếp tuyến đường tròn: Định nghĩa: Tiếp tuyến đường tròn đường thẳng tiếp xúc với đường trịn Tính chất: Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính đầu mút bán kính (tiếp điểm) 3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đường thẳng vng góc đầu mút bán kính đường trịn tiếp tuyến đường trịn B- BÀI TẬP Bài 1: a) Tính: 20 − 45 + 80 18 + 81 b) Tìm x để x − có nghĩa? Bài 2: a) Tính: ( 12 + 27 − 3) b) Tính: 20 − 45 + 18 + 72 c) GPT: ( x − 1) = 25 x + 36 x = 44  x+ x   x− x  − ÷  ÷ Bài 3: Cho biểu thức: A = 1 +  x +1 ÷ x −1 ÷    a) Tìm điều kiện xác định biểu thức A b) Rút gọn A c) Tìm giá trị lớn A x −1 x + x +1 + x −1 x +1 Bài 4: Cho biểu thức: A = với x ≥ 0, x ≠ a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A có giá trị  a + a  a− a  ÷ − ÷ Bài 5: Cho biểu thức: P =  + a + ÷ a − ÷   a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P c) Với giá trị a P có giá trị −1 1+ Bài 6: Cho biểu thức: P = x x −8 x+2 x +4 a) Rút gọn biểu thức P + 3(1 − x ) , với x ≥ b) Tìm giá trị nguyên dương x để biểu thức Q = Bài 7: Cho biểu thức: P(x) = 2P nhận giá trị nguyên 1− P x − x +1  x + x   + 1÷ , với x ≥ x ≠ x −  x + ÷  a) Rút gọn biểu thức P(x) b) Tìm x để: 2x2 + P(x) ≤ Bài 8: Cho hàm số y = -2x + a) Vẽ đồ thị hàm số b) Gọi A B giao điểm đồ thị với trục tọa độ.Tính diện tích tam giác OAB ( với O gốc tọa độ đơn vị trục tọa độ centimet ) c) Tính góc tạo đường thẳng y = -2x + 3.với trục Ox Bài 9: Cho hai hàm số: y = x + y = − x + a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ Oxy b) Bằng đồ thi xác định toạ độ giao điểm A hai đường thẳng c) Tìm giá trị m để đường thẳng y = mx + (m − 1) đồng qui với hai đường thẳng Bài 10: Cho hàm số y = (4 – 2a)x + – a (1) a) Tìm giá trị a để hàm số (1) đồng biến b) Tìm a để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y = x – c) Vẽ đồ thị hàm số (1) a = Bài 11: Viết phương trình đường thằng (d) có hệ số góc qua điểm M(2;1) Bài 12: Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m + (*) a) Với giá trị m hàm số đồng biến b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = 2x – Bài 13: a) Trên hệ trục tọa độ vẽ đồ thị hàm số sau: (d1): y = x + (d2) : y = –2x + b) Tìm tọa độ giao điểm A (d1) (d2) phép tính c) Tính góc tạo đường thẳng (d1) với trục Ox Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Hãy viết hệ thức liên hệ đường cao hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền b) Tính AH biết BH = 4cm; HC = 9cm Bài 15: Giải tam giác vuông ABC, biết góc A = 900; AB = 5cm; góc C = 300 Bài 16: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = 9cm ; AC = 12cm a)Tính số đo góc B (làm tròn đến độ) độ dài BH b) Gọi E; F hình chiếu H AB; AC.Chứng minh: AE.AB = AF.AC Bài 17: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R Vẽ đường trịn tâm K đường kính OB a) Chứng tỏ hai đường trịn (O) (K) tiếp xúc b) Vẽ dây BD đường trịn (O) ( BD khác đường kính), dây BD cắt đường tròn (K) M.Chứng minh: KM // OD Bài 18: Cho tam giác ABC vng A có ·ABC = 600 AB = 8cm Kẻ đường cao AH (H thuộc cạnh BC) Tính AH; AC; BC Bài 19: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi Ax; By tia vng góc với AB.(Ax ; By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB).Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn, cắt Ax C cắt By D · a) Chứng minh CD = AC + BD COD = 900 b) AD cắt BC N Chứng minh: MN / / BD c) Tích AC.BD không đổi điểm M di chuyển nửa đường tròn Bài 20: Cho đường tròn (O, R), dây AB < 2R Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến A đường tròn điểm C a) Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn b) Cho R = 15cm, AB = 24cm Tính độ dài OC Bài 21 Cho hình vng ABCD Qua điểm A vẽ đường thẳng cắt cạnh BC E cắt đường thẳng CD F Chứng minh rằng: 1 = + 2 ΑΒ AΕ ΑF - Xem lại tất tập SGK, SBT Bài Bài HƯỚNG DẪN GIẢI a) 20 − 45 + 80 = 4.5 − 9.5 + 16.5 = − + 3.4 = 11 18 + 81 = 36 + 81 = + =15 b) x − có nghĩa khi: 2x – ≥ ⇔ x ≥ Bài 2 a) ( 12 + 27 − 3) = + – 3.3 = 15 b 20 − 45 + 18 + 72 = 4.5 − 9.5 + 9.2 + 36.2 = −3 +9 +6 = − + 15 ( x − 1) =3 ⇔ 2x − =  2x −1 = ⇔  x − = −3  2x = ⇔  x = −2 x=2 ⇔  x = −1 Vậy: tập nghiệm phương trình S = { 2; −1} 25 x + 36 x = 44 ⇔ x + x = 44 ⇔ 11 x = 44 ⇔ x =4 ⇔ x = 16 Vậy nghiệm phương trình là: S = { 16} Bài a) Điều kiện xác định biểu thức A x ≥ ; x ≠ b)  x+ x   x− x  A =  + − ÷  ÷  x +1 ÷ x −1 ÷     x x +  x x −1  ÷1 − = 1+  x + ÷ x −1   ( ( ) )( ) = 1+ x 1− x ( ) ÷ ÷  = 1− x c) x ≥ ⇔ −x ≤ ⇔ − x ≤ Giá trị lớn A x = Bài ( x − 1)( x + 1) ( x + 1) + a) A = ( x ≥ 0, x ≠ ) x −1 x +1 = x + + x + = 2( x + 1) b) A = ⇔ 2( x + 1) = ( x ≥ 0, x ≠ ) ⇔ x +1 = ⇔ x = ⇒ x = (TMĐK) Vậy: A = x = Bài a) Điều kiện:  { a a≥−10 ≠ ⇔ { aa ≥≠ 10 a + a  a− a  ÷ − ÷ b) P =  + a + ÷ a − ÷    a ( a + 1)  a ( a − 1)  =  + − ÷ ÷ a + ÷ a − ÷   = (2 + a )(2 − a ) = 4−a c) P= −1 = ( − 1) = − 1+ ⇒ −1 = − a ⇒ a = 5− Bài a) Rút gọn biểu thức P P= = x x −8 + 3(1 − x ) , với x ≥ x+2 x +4 x − + − x = 1− x b)Tìm giá trị nguyên dương x để biểu thức Q = nguyên 2(1 − x ) 1− x 2P = = −2 = 1− P − (1 − x ) x x ∈Ζ ⇔ x =1 Q∈ Ζ ⇔ x Q = Bài a) Rút gọn biểu thức P P= x − x +1  x + x   + 1÷ , với x ≥ x ≠ x −  x + ÷  ( x − 1)  x ( x + 1)   + 1÷ = ÷ = ( x − 1).( x + 1) = x − x −  x +1  b) 2x2 + P(x) ≤ 2P nhận giá trị 1− P ⇔ 2x2 + x −1 ≤ ⇔ (2 x − 1)( x + 1) ≤  x≥    2 x − ≥      x ≤ −1 x +1 ≤ ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ x ≤  2 x − ≤   x ≤     x + ≥   x ≥ −1  Kết hợp điều kiện, suy ra: ≤ x ≤ Bài a) Vẽ đồ thị hàm số: x y= -2x+3 1,5 b) SOAB = = c) Ta có : Tg ABO = :1,5 = ⇒ ABO = 630 26 ' ⇒ ABx = 1800 − 630 26 ' = 116034 ' Bài Vậy: Góc tạo đường thẳng y = -2x +3 với trục Ox 116034 ' a)Vẽ đồ thị hai hàm số: Hide Luoi x -1 y y=x+1 y=-x+3 y=x +1 x y=-x+3 A x -1 O b) Nhìn đồ thị ta có tọa độ giao điểm hai đường thẳng A(1 ; 2) c) Đường thẳng y = mx + (m − 1) đồng qui với hai đường thẳng qua điểm A(1 ; 2) Ta có: = m.1 + m − ⇔m= Vậy: m = đường thẳng y = mx + (m − 1) đồng qui với hai đường thẳng Bài 10 a) Hàm số (1) đồng biến khi: – 2a > a < b) Đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y = x – khi:  − 2a =  3 − a ≠ −2 a = / ⇔  a ≠ ⇒ a = 3/ c) Khi a = ta có hàm số y = x + x -2 y=x+2 Y y=x+2 A x B O -1 Bài 11 Viết phương trình đường thằng (d) có hệ số góc qua điểm M(2;-1) Bài 12 Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m + (*) a) Với giá trị m hàm số đồng biến b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = 2x – Bài 13 a) Trên hệ trục tọa độ vẽ đồ thị hàm số sau: (d1): y = x + (d2) : y = –2x + b) Tìm tọa độ giao điểm A (d1) (d2) phép tính c) Tính góc tạo đường thẳng (d1) với trục Ox Bài 14 a) AH2 = BH.CH b) AH2 = 4.9 = 36 => AH = (cm) Bài 15 Xét tam giác ABC vng A ta có: B µ = 900 − 300 ị B = 600 B AC = AB.tan600 Þ AC = 5.tan600 Þ AC ≈ 8,660 cm AB Þ BC ≈ 10 cm BC = Sin300 A 300 C Bài 16 A F E C B H a) Tính độ dài BH số đo góc B (làm tròn đến độ) BC = AB + AC = 92 + 122 = 15 (cm) AB2 = BC.BH ⇒ BH = Tan B = AB 92 = = 5,4 (cm) BC 15 AC 12 µ ≈ 530 = = ⇒Β AB b) Chứng minh: AE.AB = AF.AC ∆ ABH vuông H, đường cao HE ⇒ AH2 = AB AE ∆ ACH vuông H, đường cao HF ⇒ AH2 = AC AF Vậy: AE.AB = AF.AC Bài 17 D M K A B O a) Chứng tỏ hai đường tròn (O) (K) tiếp xúc Ta có: K tâm đường trịn đường kính OB Nên: K trung điểm OB ⇒ OK + KB = OB ⇒ OK = OB – KB Hay: OK = R – r Vậy: hai đường tròn (O) (K) tiếp xúc B b) Chứng minh: KM // OD Ta có: ∆ OMB nội tiếp đường trịn đường kính OB Nên: ∆ OMB vuông M ⇒ OM ⊥ MB ⇒ MD = MB Mà: OK = KB (Bán kính đường trịn tâm O) Do đó: MK đường trung bình tam giác ODB ⇒ KM // OD Bài 18 a) Tính AH: Tam giác ABH vng H có: B AH = AB.cos B = = (cm) 60 b) Tính AC: Tam giác ABC vng A có: AC = AB.tan B = (cm) c) Tính BC: Ta có: H C A AH BC = AB AC ⇒ AH = AB AC 8.8 = = 16 (cm) BC Bài 19 a) Chứng minh: CD = AC+BD Ta có: CM = CA ( CM; CA tiếp tuyến) DM = DB ( DM; DB tiếp tuyến) y x D M C N A Cộng theo vế ta được: O CM + DM = CA + DB Hay CD = CA +BD B · * Chứng minh COD = 900 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt : OC phân giác góc AOM OD phân giác góc BOM · Mà Góc AOM góc BOM hai góc kề bù nên OC ⊥ OD hay COD = 900 b) Chứng minh MN song song với BD Ta có CN NB CN ⇒ NB ⇒ AC / / BD ( vng góc với AB) CA = mà CA = CM ; BD = MD (cmt) BD CM = ⇒ MN / / BD (định lí đảo Talet) MD c) Tích AC.BD không đổi điểm M di chuyển nửa đường trịn Ta có : Tam giác COD vng; có OM đường cao nên: CM.MD = OM = R ( không đổi) Mà CA = CM BD = DM (cmt) Nên CA.BD = R ( không đổi) điểm M di chuyển nửa đường tròn C Bài 20 B H O A a Chứng minh: a) Gọi H giao điểm OC AB ∆ AOB cân O ( OA = OB = R) có OH đường cao ⇒ OH đường phân giác · · ⇒ BOC = AOC · · Xét ∆ OAC ∆ OBC có OA = OB = R BOC , OC chung = AOC ⇒ ∆ OAC = ∆ OBC (c.g.c) · · ⇒ OBC = OAC = 90 ⇒ OB ⊥ CB ⇒ CB tiếp tuyến (O) b) Ta có OH ⊥ AB AB 24 ⇒ AH = HB = ⇒ AH = = 12cm 2 Áp dụng ĐL Py-Ta-Go cho ∆ OAH vuông H ta có: OH = OA − AH = 152 − 122 = cm Vì ∆ OAC vng A nên ta có: OA2 = OH.OC OA 152 ⇒ OC = = = 25cm OH Bài 21 Chứng minh : 1 = + 2 ΑΒ AΕ ΑF B F E A C D M Qua A, dựng đường thẳng vng góc với AF, đường thẳng cắt đường thẳng CD M Ta có: Tứ giác AECM nội tiếp ( ∠ EAM = ∠ ECM = 900) ⇒ ∠ AME = ∠ ACE = 450 ( ∠ ACE = 450 : Tính chất hình vng) ⇒ Tam giác AME vng cân A ⇒ AE = AM ∆ AMF vuông A có AD đường cao, nên: 1 = + 2 ΑD AM ΑF Vì : AD = AB (cạnh hình vng) ; AM = AE (cmt) Vậy: 1 = + 2 ΑΒ AΕ ΑF ...Chương II HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT I HÀM SỐ: Kh? ?i niệm hàm số * Nếu đ? ?i lượng y phụ thuộc vào đ? ?i lượng x cho giá trị x, ta xác định giá trị tương ứng y y g? ?i hàm số x x g? ?i biến số * Hàm số cho công... qua ? ?i? ??m ( Khi tâm giao ? ?i? ??m hai đường trung trực hai đoạn thẳng n? ?i hai ba ? ?i? ??m đó; Bán kính khoảng cách từ giao ? ?i? ??m đến ? ?i? ??m đó)  Tính chất đ? ?i xứng: + Đường trịn có tâm đ? ?i xứng tâm đường... giác ABC vuông A, đường cao AH a) Hãy viết hệ thức liên hệ đường cao hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền b) Tính AH biết BH = 4cm; HC = 9cm B? ?i 15: Gi? ?i tam giác vng ABC, biết góc A = 90 0; AB =