NER OR M SOLVING C EM EY PRO HL BL AT Mathley Number 1/January 2014 Mathley nhóm giải toán mạng xuất toán lời giải định kỳ, viết phù hợp với học sinh trung học có khiếu tốn học bạn trẻ yêu toán học, tham gia thi học sinh giỏi tốn Mỗi năm có sáu ấn điện tử đời nhằm phục vụ phong trào giải toán Mathley is an online problem solving corner with prolems, solutions, and materials freely accessible to junior up to high school students The corner is is made public six times per year on a regular basis dedicated to the promotion of problem solving among junior and high school students ĐĂNG NGHỊ , KIỀU ĐÌNH MINH Email: mathley@hus.edu.vn Website: www.hexagon.edu.vn/mathley.html Cố vấn/Advisors: NGUYỄN DUY THÁI SƠN, VŨ THẾ KHÔI Trị sự/Executive Editor: PHẠM VĂN THUẬN Biên tập/Associate editors: MICHEL BATAILLE , VŨ THẾ KHÔI, TRẦN QUANG HÙNG , HÀ DUY HƯNG , NGUYỄN TIẾN LÂM , MẠC CÁC BÀI TOÁN/PROBLEMS Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, cắt đường thẳng qua C vng góc AC N Chứng minh ĐHQG Hà Nội Cho đoạn AD, BE, CF có trung điểm đường thẳng qua N vng góc với PC ln qua điểm cố định nằm đường thẳng Các điểm X, Y, Z thuộc đường P di chuyển thẳng EF, FD, DE cho AX BY CZ Chứng minh Nguyễn Văn Linh, trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, X, Y, Z thẳng hàng ĐHQG Hà Nội Hai đường tròn γ δ tiếp xúc với Đặng Hùng Thắng, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, đường tròn ω A B Từ A kẻ tiếp tuyến , tới δ, từ B kẻ ĐHQG Hà Nội Cho dãy số (tn ) xác định truy hồi sau t0 = 0, hai tiếp tuyến t1 , t2 tới γ Biết cắt t1 X, cắt t2 Y, t1 = 6, tn+2 = 14tn+1 − tn Chứng minh với số n ≥ 1, chứng minh tứ giác AXBY tứ giác ngoại tiếp tn diện tích tam giác có độ dài ba cạnh số Hà Duy Hưng, trường THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà nguyên Nội, Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội Với n nguyên dương ta Nguyễn Tiến Lâm, trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, kí hiệu n ĐHQG Hà Nội Cho đa giác có 2013 cạnh, hỏi có xn = tam giác khơng cân có đỉnh đỉnh đa giác cho yn k=1 k n k có góc lớn 120◦? Michel BATAILLE, 12, rue Sainte-Catherine, 76000 ROUEN xn , yn số nguyên dươngn nguyên tố Chứng minh yn không chia hết cho với số nguyên dương n (FRANCE) Gọi S k tập tất ba số thực (a, b, c) thỏa mãn a < k(b + c), b < k(c + a), c < k(a + b) Hỏi với giá trị Vũ Thế Khôi, Viện Toán học, Viện KHCN Việt Nam, Cầu Giấy, k S k tập {(a, b, c)|ab + bc + ca > 0}? Hà Nội Có 2014 em học sinh đến từ trường trung học phổ Nguyễn Duy Thái Sơn, trường Đại học Đà Nẵng, Đà Nẵng thơng tồn quốc ngồi quanh bàn tròn theo cách tùy ý Sau ban tổ chức muốn xếp lại cho học sinh trường Cho dãy số (un )∞ n=1 , u1 = 1, u2 = 2, un+2 = un+1 + ngồi liền cách thực phép đổi chỗ sau: hoán (−1)n −1 un + với số nguyên dương n Chứng minh số đổi vị trí hai nhóm học sinh liền (xem minh họa) Tìm ngun dương biểu diễn dạng tổng số số số k nhỏ cho đạt kết mong muốn hạng đôi phân biệt dãy số (un )∞ n=1 ban tổ chức với không k phép đổi chỗ Phép đổi chỗ Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, sau · · · ABCD EFG · · · −→ · · · EFG ABCD · · · ĐHQG Hà Nội Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp 2 xúc CA, AB E, F P di chuyển EF, PB cắt CA M, MI Copyright c 2013 HEXAGON