2 Giải đề thi đại học khối A môn toán 2008

Hướng dẫn và lời giải chi tiết đề thi đại học Khối A Môn Toán 2008

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI MÔI TOÁN KHỐI A NĂM 2008  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Đánh giá và định hướng” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com 1 Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 2 đề thi môn toán khối A năm 2008 Phần chung cho tất cả các thí sinh Câu I: (2 điểm): Cho hàm số: 2 2 mx (3m 2)x 2 y , ml . x 3m à tham số + = + (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để góc giữa hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45 0 . Câu II: (2 điểm) 1. Giải phơng trình: 1 1 7 4sin x . 3 sin x 4 sin x 2 + = ữ ữ 2. Giải hệ phơng trình: 2 3 2 4 2 5 x y x y xy xy 4 , (x, y ). 5 x y xy(1 2x) 4 + + + + = + + + = Ă Câu III: (2 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đờng thẳng: x 1 y z 2 (d) : 2 1 2 = = . 1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên đờng thẳng (d). 2. Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Câu IV: (2 điểm) 1. Tính tích phân /6 4 0 tan x.dx I . cos2x = 2. Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: 4 4 2x 2x 2 6 x 2 6 x m, (m ).+ + = Ă Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a Theo chơng trình THPT không phân ban (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phơng trình chính tắc của Elíp (E), biết rằng (E) có tâm sai bằng 5 3 và hình chữ nhật cở sở của (E) có chu vi bằng 20. 3 2. Cho khai triển (1 + 2x) n = a 0 + a 1 x + .+ a n x n , trong đó * n Ơ và các hệ số a 0 , a 1 , ., a n thoả mãn hệ thức 1 n 0 n a a a . 4096 2 2 + + + = . Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 , ., a n . Câu V.b Theo chơng trình THPT phân ban (2 điểm) 1. Giải phơng trình log 2x 1 (2x 2 + x 1) + log x + 1 (2x 1) 2 = 4. 2. Cho lăng trụ ABC.ABC có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC a 3= và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A.ABC và tính côsin của góc giữa hai đờng thẳng AA, BC. Đánh giá và định hớng thực hiện Câu I. 1. Với hàm số: y = 2 ax bx c dx e + + + , với ad 0, tử, mẫu không có nghiệm chung ta lần lợt có: Viết lại hàm số dới dạng: y = f(x) = x + + dx e + . a. Tập xác định D = Ă \{ e d }. b. Sự biến thiên của hàm số: Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận: x lim y = . x e / d lim y = nên x = e d là đờng tiệm cận đứng. x lim [y (x + )] = 0 nên y = x + là đờng tiệm cận xiên. Bảng biến thiên: y' = 2 d (dx e) + = 2 2 (dx e) d (dx e) + + , Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x) = (dx + e) 2 d. Vậy phơng trình y' = 0 hoặc vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt. Do đó hàm số hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị. 4 Lập bảng biến thiên: x e/d + y' y Dựa vào bảng biến thiên đa ra kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến và cực trị của hàm số. c. Đồ thị: Do có bốn trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm số có bốn dạng. Một số tính chất của hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất Tích chất 1: Hàm số đồng biến trên D khi: e D d y' 0, x D . Tích chất 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu khi: Phơng trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác e d . Khi đó: Giá trị cực trị của hàm số tại x 0 là y(x 0 ) = 0 2ax b d + . Phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số có dạng y = 1 d (2ax + b). Tích chất 3: Hàm số có hai cực trị trái dấu khi: Phơng trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác e d và ph- ơng trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm. Tích chất 4: Hàm số có hai cực trị cùng dấu khi: y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác e d và phơng trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. 5 I I I I Tích chất 5: Đồ thị nhận giao điểm I của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng. Hớng dẫn chứng minh Bớc 1: Thật vậy, dời trục bằng tịnh tiến về gốc I(x 0 , y 0 ), với công thức dời trục: 0 0 x X x y Y y = + = + . Thay x, y vào phơng trình hàm số ta đợc: Y = F(X). Bớc 2: Hàm số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng. Tích chất 6: M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số. Ta có: a. Tích các khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận là một hằng số. b. Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B thì: M là trung điểm AB. IAB có diện tích không đổi. Hớng dẫn chứng minh Ta lần lợt xác định: Miền xác định D. Đạo hàm y'. Các đờng tiệm cận, suy ra toạ độ giao điểm I của hai tiệm cận. M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, có hoành độ bằng a M(a, y(a)). a. Ta có: Khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng đợc cho bởi d 1 . Khoảng cách từ M tới tiệm cận xiên đợc cho bởi d 2 . Suy ra: d 1 .d 2 = hằng số. b. M(a; y(a)) ta có: Phơng trình tiếp tuyến (t M ) tại M có dạng: y y(a) = y'(a)(x a). Xác định toạ độ giao điểm A của (t M ) và tiệm cận đứng. Xác định toạ độ giao điểm B của (t M ) và tiệm cận xiên. Nhận xét rằng: x A + x B = 1 + 2a 1 = 2a = 2x M . Vậy M là trung điểm AB. Diện tích IAB đợc cho bởi: S = 1 2 IA.IB.sinAIB = 1 2 |y A y I |.|x B x I | không phụ thuộc a. 6 2. Yêu cầu của bài toán đợcchia thành hai phần: Phần I: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai đờng tiệm cận, với hàm số: y = 2 ax bx c dx e + + + ta lần lợt thực hiện: Bớc 1: Viết lại hàm số dới dạng: y = f(x) = x + + dx e + . Bớc 2: Khi đó, để hàm số có hai đờng tiệm cận điều kiện là 0. Và ta đợc: x e / d lim y = nên x = e d là đờng tiệm cận đứng. x lim [y (x + )] = 0 nên y = x + là đờng tiệm cận xiên. Phần II: Tìm điều kiện để hai đờng tiệm cận tạo với nhau một góc , ta lần l- ợt thực hiện: Bớc 1: Chỉ ra các vtpt 1 2 n , n uur uur của hai đờng tiệm cân. Bớc 2: Khi đó: 1 2 1 2 n .n cos . n . n = uur uur uur uur Bớc 3: Kết luận. Câu II. 1. Chúng ta đi đánh giá lần lợt: 7 VP 4sin x 4sin 2 x 4 4 = = ữ ữ 4sin x 4 = ữ 4sin x 4 = + ữ ( ) 2 2 sin x cos x ,= + 1 1 3 cos x sin x 2 = ữ 1 1 sin x cos x VT . sin x cos x sin x.cos x + = + = Tức cả hai vế sẽ có nhân tử chung là (sinx + cosx), điều đó khẳng định rằng phơng trình sẽ đợc chuyển về dạng tích để giải. Và cụ thể chúng ta sẽ thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình. (*) Bớc 2: Sử dụng các phép biến đổi nh trên để chuyển phơng trình về dạng tích: (sinx + cosx).f(x) = 0 Nghiệm. Bớc 3: Kết hợp với (*) để đa ra kết luận về nghiệm cho phơng trình. 7 2. Đây là hệ phơng trình không mẫu mực, do vậy để giải nó chúng ta cần có những đánh giá nh sau: Phơng trình thứ nhất của hệ có thể đợc phân chia nh sau: 2 2 5 x y xy(x y) xy 4 + + + + = Tức là, nó đợc xây dựng dựa trên bộ cơ sở x 2 + y và xy. Chúng ta thử định hớng biến đổi phơng trình thứ hai của hệ theo x 2 + y và xy, cụ thể: 4 2 5 x y xy(1 2x) 4 + + + = 2 2 5 (x y) xy . 4 + + = Từ đó, bằng việc sử dụng ẩn phụ 2 u x y v xyà v== + , hệ phơng trình đợc biến đổi về dạng: 2 5 u uv v 4 5 u v 4 + + = + = Hệ này đợc giải dễ dàng bằng phơng pháp thế. Cuối cùng với (u 0 ; v 0 ) tìm đợc chúng ta sẽ có hệ mới: 2 0 0 x y u xy v + = = . Nh vậy, chỉ cần sử dụng phơng pháp thế chúng ta sẽ giải đợc hệ trên. Câu III. 1. Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh một lợng kiến thức tổng quát là Tìm điểm M thuộc đờng thẳng (d) thoả mãn điều kiện K", ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số: (d): 0 0 0 x x at y y bt y z ct = + = + = + , t Ă (có vtcp u(a; b; c) r ). Bớc 2: Điểm M (d), suy ra M(x 0 + at; y 0 + bt; z 0 + ct) Bớc 3: Thiết lập tính chất K cho điểm M. Cách 2: Sử dụng điều kiện K khẳng định M thuộc đờng (L), khi đó: (d) (L) = {M}. 8 Chúng thờng gặp: 1. Tìm trên đờng thẳng (d) điểm M(x M ; y M ; z M ) sao cho 2 M x + 2 M y + 2 M z nhỏ nhất (hoặc đợc phát biểu dới dạng "Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc M của O trên (d)"). Khi đó, nếu sử dụng cách 1 thì bớc 3 có nội dung: 2 2 2 M M M x y z+ + = (x 0 + at) 2 + (y 0 + bt) 2 + (z 0 + ct) 2 = At 2 + Bt + C 4A Vậy, ta đợc ( ) 2 2 2 M M M Min x y z 4A + + = đạt đợc khi b t 2A = M. 2. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đờng thẳng (d). Khi đó: Nếu sử dụng cách 1 thì bớc 3 có nội dung: AM (d) AM u uuuur r AM.u 0= uuuur r Giá trị t Toạ độ H. Nếu sử dụng cách 2 thì thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Xác định vtcp a r của đờng thẳng (d). Bớc 2: Viết phơng trình mặt phẳng (P) thoả mãn: (P): qua A (P) (d) . Bớc 3: Hình chiếu vuông góc M của A lên đờng thẳng (d) là giao điểm của (d) và (P). Từ việc xác định đợc toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d), chúng ta thực hiện đợc việc: Tìm toạ độ điểm M thuộc (d) sao cho độ dài AM ngắn nhất. Tìm toạ độ điểm A 1 đối xứng với điểm A qua (d), cụ thể ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d). Bớc 2: Suy ra toạ độ điểm A 1 từ điều kiện M là trung điểm của AA 1 . Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách: Bớc 1: Xác định vtcp u r của đờng thẳng (d). Bớc 2: Giả sử A 1 (x; y; z), suy ra: 1 1 Trungđiểm M của AA thuộc(d) AA (d) A A A 1 x x y y z z M ; ; (d) 2 2 2 AA .u 0 + + + ữ = uuuur r Toạ độ A 1 . 9 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A vuông góc với (d) và cắt (d), cụ thể ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d). Bớc 2: Suy ra đờng thẳng (AM) là đờng thẳng cần dựng. Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách: Bớc 1: Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đờng thẳng (d). Bớc 2: Viết phơng trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với đ- ờng thẳng (d). Bớc 3: Đờng thẳng cần tìm chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Viết phơng trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (d), cụ thể ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d). Bớc 2: Mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (d) đợc xác định bởi: (S): T B âm A án kính R=AM . Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách: Bớc 1: Gọi R là bán kính mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (d) thì ta có: R = d(A, (d)). Bớc 2: Phơng trình mặt cầu (S) đợc xác định bởi: (S): T B âm A án kính R . Viết phơng trình mặt cầu tâm A và cắt (d) tại hai điểm E, F sao cho EF = l, cụ thể ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d). Ta có M là trung điểm của đoạn EF. Bớc 2: Mặt cầu (S) cần dựng đợc xác định bởi: (S): T B EM 2 2 âm A án kính R=AE= AM + (S): T EF B 2 2 2 âm A án kính R= AM + ữ . Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách: 10 . BC a 3a a. 2 2 = = + = AH 2 = AA 2 AH 2 = 3a 2 A& apos;H a 3.= (3) Thay (2) , (3) vào (1), ta đợc 3 A& apos;.ABC a V . 2 = b. Tính côsin c a góc gi a hai. c a BC, suy ra AH (ABC) nên: A& apos;.ABC ABC 1 V A 'H.S 3 = 1 A& apos;H.AB.AC. 6 = (1) Trong đó, ta lần lợt có: AB = a, AC a 3= . (2) 2 2 1 1 AH