BÀI TẬP LỚN ÂM HỌC 1

Thành lập hệ thức tán sắc k=kω của các sóng ta đang xét.. Bằng cách đặt k dưới dạng k=k1− jα.

BÀI TẬP LỚN ÂM HỌC

Bài tập 4/124: Hấp thụ âm bằng sự dẫn nhiệt

1 Sự trao đổi nhiệt giả định là chuẩn tĩnh, hãy thành lập hệ thức:

δQ=[ρ o c v ∂ T ∂t −P ρ o

o

∂ μ

∂ t ]δt

Áp dụng nguyên lý I nhiệt động học, ta có:

dU =δQ+δW =δQ−PdV

Đối với khí lí tưởng, ta có:

dU = i2nRdT =nC V ,m dT = m M C V , m dT

Xét trên một khối lượng đơn vị, ta có:

δq=δQ

m = δQ ρ o (1) du= 1

Mặt khác, ta có: C V ,m

M =c v

⇒ c v dT=δq−PdV (2)

Mà {V = 1ρ ⇒dV=−1ρ2 dρ

Từ (2) và (3), suy ra:

c v dT =δq+P dμ

ρ2

Kết hợp với biểu thức (1), ta được:

ρ o c v dT =δQ+ρ o P dμ

ρ2≈ δQ+P o dμ

ρ o

⇒ δQ=[ρ o c v ∂ T

∂ t −

P o

ρ o ∂ μ ∂ t ]δt=K ∂2T

∂ x2 δt

2 Giả định rằng sóng âm là một SPCĐS và ta có:

P−P o= p= po e j(ωt−kx); ρ−ρ o =μ=μ o .e j(ωt −kx); T−T o=θ=θo e j(ωt−kx);

Rút ra hệ thức:

∂ P

∂ ρ=

P o

ρ o

c p− j k2W

c v − jk2W với W = K ω ρ o

Phương trình trạng thái khí lí tưởng:

PV =nRT = m

M RT= ρV M RT

⇒ P= ρ M RT (1)

Khi ở trạng thái cân bằng:

P o=ρ o

M R T o

Lấy logarith tự nhiên 2 vế của (1):

lnP=lnρ+lnT +ln( R

M)

Đạo hàm 2 vế, ta có:

dP

P = dρ ρ + dT T

Trong sự gần đúng của âm học (|p o|≪ P o ;|θ o|≪T o ;|μ o|≪ ρ o), ta có:

P−P o

ρ− ρ o

ρ +

T−T o T

⇒ p o e

j(ωt −kx)

P o =

μ o e j(ωt−kx)

ρ o +

θ o e j(ωt−kx)

T o

⇒ p o

P o=

μ o

ρ o+

θ o

T o

⇒ p o

μ o=

P o

ρ o+

P o

μ o

θ o

T o=

P o

ρ o(1+ρ o

μ o

θ o

T o) Mặt khác, ta có:

∂ P

∂ ρ = p μ=

P o

μ o=

P o

ρ o(1+ρ μ o

o

θ o

T o)

Ở câu trên ta đã có:

[ρ o c v ∂ T

∂t −

P o

ρ o ∂ μ ∂ t ]δt=K ∂2T

∂ x2δt

⇒(jω)(ρ o c v θ o .e j(ωt −kx)−P ρ o

o μ o .e j(ωt −kx))=K(jk)2.θ o .e j(ωt−kx)

⇒−K k2θ o=(jω)(ρ o c v θ o−P o

ρ o μ o)

⇒ μ o=(ρ o c v jω+ K k2)θ o . ρ o

P o jω

⇒ μ o=ρ o2

P o (c v + K k2

jω ρ o)θ o

Với W = K ω ρ

o, ta có:

⇒ μ o=ρ o

2

P o (c v − jW k2)θ o

Thay vào ∂ P ∂ ρ, ta có:

∂ P

∂ ρ=

P o

ρ o(1+ P o

ρ o(c v − jW k2)T o)

⇒ ∂ P ∂ ρ=P o

ρ o( (c v − jW k2)+ P o

ρ o T o

(c v − jW k2) )

Mà P o=ρ o

M R T o ⇒ P o

ρ o T o = R

M

c p =c v + R M

Vì vậy, ta có:

∂ P

∂ ρ =

P o

ρ o(c p − jW k2

c v− jW k2)

3 Thành lập hệ thức tán sắc k=k(ω) của các sóng ta đang xét Bằng cách đặt k dưới dạng k=k1− jα Tính biểu thức α trong giới hạn k1≫α ,W k1α ≪c v và

W k12≪ c v

Ta có: Sóng áp suất p= p o e j(ωt−kx) (SPCĐS) nghiệm đúng phương trình lan truyền:

∂2p

∂ t2 − 1

c s2 ∂2p

∂ x2 =0

⇔( jω)2p=(∂ P

∂ ρ)(− jk)2p

⇔ω2 =P o

ρ o(c p − jW k2

c v − jW k2)k2

Khi đặt k=k1− jα:

ω2 =(k1− jα)P o

ρ o

c p −2k1αW − jW(k12−α2)

c v −2k1αW − jW(k12−α2)

Khi đó: p= p o .e −αx e j(ωt −k1x) sẽ giảm dần trong quá trình lan truyền và biên độ giảm dần theo hàm mũ

Khi không có truyền nhiệt: W=0 thì α=0 và vận tốc âm

c s = ω k

1 =√γ P o

ρ o

Nếu truyền nhiệt là nhỏ k1≫α ,W k1α ≪ c v và W k12≪c v, ta được:

k12−2 jα k1≈ ω2 ρ o

P o γ(1− j W k12

(1

c v− 1c

p) )

Do đó:

k12≈ ω2 ρ o

P o γ

W k1

c v− 1

c p)= γ−1 2c p

K ω2

c3ρ o