Thành lập hệ thức tán sắc k=kω của các sóng ta đang xét.. Bằng cách đặt k dưới dạng k=k1− jα.
Trang 1BÀI TẬP LỚN ÂM HỌC
Bài tập 4/124: Hấp thụ âm bằng sự dẫn nhiệt
1 Sự trao đổi nhiệt giả định là chuẩn tĩnh, hãy thành lập hệ thức:
δQ=[ρ o c v ∂ T ∂t −P ρ o
o
∂ μ
∂ t ]δt
Áp dụng nguyên lý I nhiệt động học, ta có:
dU =δQ+δW =δQ−PdV
Đối với khí lí tưởng, ta có:
dU = i2nRdT =nC V ,m dT = m M C V , m dT
Xét trên một khối lượng đơn vị, ta có:
δq=δQ
m = δQ ρ o (1) du= 1
Mặt khác, ta có: C V ,m
M =c v
⇒ c v dT=δq−PdV (2)
Mà {V = 1ρ ⇒dV=−1ρ2 dρ
Từ (2) và (3), suy ra:
c v dT =δq+P dμ
ρ2
Kết hợp với biểu thức (1), ta được:
ρ o c v dT =δQ+ρ o P dμ
ρ2≈ δQ+P o dμ
ρ o
⇒ δQ=[ρ o c v ∂ T
∂ t −
P o
ρ o ∂ μ ∂ t ]δt=K ∂2T
∂ x2 δt
2 Giả định rằng sóng âm là một SPCĐS và ta có:
P−P o= p= po e j(ωt−kx); ρ−ρ o =μ=μ o .e j(ωt −kx); T−T o=θ=θo e j(ωt−kx);
Trang 2Rút ra hệ thức:
∂ P
∂ ρ=
P o
ρ o
c p− j k2W
c v − jk2W với W = K ω ρ o
Phương trình trạng thái khí lí tưởng:
PV =nRT = m
M RT= ρV M RT
⇒ P= ρ M RT (1)
Khi ở trạng thái cân bằng:
P o=ρ o
M R T o
Lấy logarith tự nhiên 2 vế của (1):
lnP=lnρ+lnT +ln( R
M)
Đạo hàm 2 vế, ta có:
dP
P = dρ ρ + dT T
Trong sự gần đúng của âm học (|p o|≪ P o ;|θ o|≪T o ;|μ o|≪ ρ o), ta có:
P−P o
ρ− ρ o
ρ +
T−T o T
⇒ p o e
j(ωt −kx)
P o =
μ o e j(ωt−kx)
ρ o +
θ o e j(ωt−kx)
T o
⇒ p o
P o=
μ o
ρ o+
θ o
T o
⇒ p o
μ o=
P o
ρ o+
P o
μ o
θ o
T o=
P o
ρ o(1+ρ o
μ o
θ o
T o) Mặt khác, ta có:
∂ P
∂ ρ = p μ=
P o
μ o=
P o
ρ o(1+ρ μ o
o
θ o
T o)
Ở câu trên ta đã có:
[ρ o c v ∂ T
∂t −
P o
ρ o ∂ μ ∂ t ]δt=K ∂2T
∂ x2δt
⇒(jω)(ρ o c v θ o .e j(ωt −kx)−P ρ o
o μ o .e j(ωt −kx))=K(jk)2.θ o .e j(ωt−kx)
⇒−K k2θ o=(jω)(ρ o c v θ o−P o
ρ o μ o)
Trang 3⇒ μ o=(ρ o c v jω+ K k2)θ o . ρ o
P o jω
⇒ μ o=ρ o2
P o (c v + K k2
jω ρ o)θ o
Với W = K ω ρ
o, ta có:
⇒ μ o=ρ o
2
P o (c v − jW k2)θ o
Thay vào ∂ P ∂ ρ, ta có:
∂ P
∂ ρ=
P o
ρ o(1+ P o
ρ o(c v − jW k2)T o)
⇒ ∂ P ∂ ρ=P o
ρ o( (c v − jW k2)+ P o
ρ o T o
(c v − jW k2) )
Mà P o=ρ o
M R T o ⇒ P o
ρ o T o = R
M
c p =c v + R M
Vì vậy, ta có:
∂ P
∂ ρ =
P o
ρ o(c p − jW k2
c v− jW k2)
3 Thành lập hệ thức tán sắc k=k(ω) của các sóng ta đang xét Bằng cách đặt k dưới dạng k=k1− jα Tính biểu thức α trong giới hạn k1≫α ,W k1α ≪c v và
W k12≪ c v
Ta có: Sóng áp suất p= p o e j(ωt−kx) (SPCĐS) nghiệm đúng phương trình lan truyền:
∂2p
∂ t2 − 1
c s2 ∂2p
∂ x2 =0
⇔( jω)2p=(∂ P
∂ ρ)(− jk)2p
Trang 4⇔ω2 =P o
ρ o(c p − jW k2
c v − jW k2)k2
Khi đặt k=k1− jα:
ω2 =(k1− jα)P o
ρ o
c p −2k1αW − jW(k12−α2)
c v −2k1αW − jW(k12−α2)
Khi đó: p= p o .e −αx e j(ωt −k1x) sẽ giảm dần trong quá trình lan truyền và biên độ giảm dần theo hàm mũ
Khi không có truyền nhiệt: W=0 thì α=0 và vận tốc âm
c s = ω k
1 =√γ P o
ρ o
Nếu truyền nhiệt là nhỏ k1≫α ,W k1α ≪ c v và W k12≪c v, ta được:
k12−2 jα k1≈ ω2 ρ o
P o γ(1− j W k12
(1
c v− 1c
p) )
Do đó:
k12≈ ω2 ρ o
P o γ
W k1
c v− 1
c p)= γ−1 2c p
K ω2
c3ρ o