PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1: [2H3-5-4] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Trong không y 1 z  hai điểm A 1;2;   , B  1;0;2  Biết 1 điểm M thuộc  cho biểu thức T  MA  MB đạt giá trị lớn Tmax Khi x gian Oxyz , cho đường thẳng  :  đó, Tmax bao nhiêu? B Tmax   A Tmax  C Tmax  57 D Tmax  Lời giải Chọn C AB   2; 2;7   x  1  2t   Phương trình đường thẳng AB là:  y  2t   z   7t    1 Xét vị trí tương đối  AB ta thấy  cắt AB điểm C   ; ;    3 3  4 14  AC    ;  ;  ; AC  AB nên B nằm A C  3 3 T  MA  MB  AB Dấu xảy M trùng C Vậy Tmax  AB  57 Câu 2: [2H3-5-4] [NGUYỄN KHUYẾN TPHCM] [2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 6 5   điểm A(2;3;0), B (0;  2;0), M  ;  2;2  đường thẳng x  t  d :  y  Điểm C thuộc d cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhấ độ dài z   t  CM A B C D Lời giải Do AB có độ dài khơng đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ AC  CB nhỏ Vì C  d  C  t ;0;2  t   AC   AC  CB  Đặt u      2t  2    2t  2  9     9, BC  2t      2t      2t   4  2t  2;3 , v   2t  2; ápdụngbấtđẳngthức u  v  u  v 2t  2  9  2 2   25 Dấubằngxảyrakhivàchỉ 2t  2 3 7 3 6 7    t   C  ;0;   CM           5  2t  2 5 5 5 5  2 Câu 3: [2H3-5-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d qua điểm A 1; 1;  , song song với  P  : x  y  z   , đồng thời tạo với đường thẳng  : x 1 y 1 z   2 góc lớn Phương trình đường thẳng d x 1  x 1  C A y 1  5 y 1  x 1  x 1  D z2 z2 B y 1 z   5 y 1 z   5 7 Lời giải Chọn A  có vectơ phương a  1; 2;  d có vectơ phương ad   a; b; c   P có vectơ pháp tuyến nP   2; 1; 1 Vì d / /  P  nên ad  nP  ad nP   2a  b  c   c  2a  b  5a  4b  cos  , d    2 5a  4ab  2b2 5a  4ab  2b 5a  4b a  5t   , ta có: cos  , d   b 5t  4t  2 Đặt t  Xét hàm số f  t    5t  4  1 , ta suy được: max f  t   f     5t  4t   5 Do đó: max cos  , d    a t    27 b Chọn a   b  5, c  Vậy phương trình đường thẳng d x 1 y 1 z    5 Câu 4: [2H3-5-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d qua A  1;0; 1 , cắt x 1 y  z  x3 y 2 z 3     , cho góc d  : nhỏ 1 2 1 Phương trình đường thẳng d 1 : x 1 y z 1   2 1 x 1 y z 1   2 A B x 1 y z 1   2 C x 1 y z 1   D 5 2 Lời giải Chọn A Gọi M  d  1  M 1  2t ;  t ; 2  t  d có vectơ phương ad  AM   2t  2; t  2; 1  t   có vectơ phương a2   1; 2;  cos  d ;    t2 6t  14t  Xét hàm số f  t   t2 , ta suy f  t   f     t  6t  14t  Do cos  , d    t   AM   2;  1 x 1 y z 1   Vậy phương trình đường thẳng d 2 1 Câu 5: [2H3-5-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x 1 y z  x 1 y  z      d : Gọi  đường thẳng song song 1 2 với  P  : x  y  z   cắt d1 , d hai điểm A, B cho AB ngắn d1 : Phương trình đường thẳng   x   t   B  y     z    t  x  12  t  A  y   z  9  t   x    C  y   t    z    t D   x   2t   y  t    z    t Lời giải Chọn B A  d1  A 1  2a; a; 2  a  B  d  B 1  b; 2  3b;  2b   có vectơ phương AB   b  2a;3b  a  2; 2b  a    P  có vectơ pháp tuyến nP  1;1;1 Vì  / /  P  nên AB  nP  AB.nP   b  a  Khi AB   a  1; 2a  5;6  a  AB   a  1   2a  5    a  2  6a  30a  62  49   6 a     ; a  2 2  Dấu "  " xảy a   9  7  A  6; ;   , AB    ;0;   2  2  9 Đường thẳng  qua điểm A  6; ;   vec tơ phương ud   1;0;1  2  x   t   Vậy phương trình   y     z    t Câu 6: [2H3-5-4] Trong không gian Oxyz , cho điểm A  3;3; 3 thuộc mặt phẳng   : x – y  z  15  mặt cầu  S  : (x  2)2  (y 3)2  (z 5)  100 Đường thẳng  qua A , nằm mặt phẳng   cắt ( S ) A , B Để độ dài AB lớn phương trình đường thẳng  x3 y 3 z 3    x  3  5t  C  y   z  3  8t  A B x3 y 3 z 3   16 11 10 D x3 y 3 z 3   1 Lời giải Chọn A Mặt cầu  S  có tâm I  2;3;5 , bán kính R  10 Do d (I, ( ))  R nên  cắt S A , B Khi AB  R   d (I,  )  Do đó, AB lớn d  I ,     nhỏ nên  qua H , với H hình chiếu vng góc I lên   Phương trình x   2t  BH :  y   2t z   t  H  ( )    2t    – 2t    t  15   t  2  H  2; 7; 3 Do AH  (1;4;6) véc tơ phương  Phương trình x3 y 3 z 3   Câu 7: [2H3-5-4] Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  x   t x  1 t   ; d ' :  y   t  Biết  P  : x  y  z   hai đường thẳng d :  y  t  z   2t   z   2t   có đường thẳng có đặc điểm: song song với  P  ; cắt d , d  tạo với d góc 30O Tính cosin góc tạo hai đường thẳng A B C Lời giải D Chọn D Gọi  đường thẳng cần tìm, nP VTPT mặt phẳng  P  Gọi M 1  t; t;  2t  giao điểm  d ; M   t ;1  t ;1  2t  giao điểm  d  Ta có: MM     t   t;  t   t;   2t   2t   M   P  MM //  P     t  2  MM     t;   t;  2t   MM   nP t  6t  Ta có cos30  cos  MM , ud     36t  108t  156 t  1 x   x  t   Vậy, có đường thẳng thoả mãn 1 :  y   t ;  :  y  1  z  10  t  z  t   Khi cos  1 ,    Câu 8: [2H3-5-4] [CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ - 2017] Trong không gian cho đường thẳng x  y 1 z  x  y z 1     đường thẳng d : Viết phương trình 1 mặt phẳng  P  qua  tạo với đường thẳng d góc lớn : A 19 x  17 y  20 z  77  B 19 x  17 y  20 z  34  C 31x  y  z  91  D 31x  y  z  98  Lời giải Chọn D Đường thẳng d có VTCP u1   3;1;  Đường thẳng  qua điểm M  3;0; 1 có VTCP u  1; 2;3 Do    P  nên M   P  Giả sử VTPT  P  n   A; B; C  ,  A2  B  C   Phương trình  P  có dạng A  x  3  By  C  z  1  Do    P  nên u.n   A  2B  3C   A  2B  3C Gọi  góc d  P  Ta có u1.n sin   u1 n A  B  2C 14 A2  B  C  2 B  3C   B  2C  14  2 B  3C   B2  C  5B  7C    2 14 5B  12BC  10C 14 5B 212 BC  10C 5B  7C TH1: Với C  sin  70  14 14 B  5t   TH2: Với C  đặt t  ta có sin  C 14 5t  12t  10 Xét hàm số f  t   Ta có f   t    5t   5t  12t  10 50t  10t  112 5t  12t  10    75 t   f    14   f   t    50t  10t  112      7 t    f      5  Và lim f  t   lim x  x   5t   5t  12t  10  Bảng biến thiên Từ ta có Maxf  t   75 B 75 8 f  t    Khi sin  14 C 14   14 So sánh TH1 Th2 ta có sin lớn sin  B 75  C 14 Chọn B  8  C  5  A  31 Phương trình  P  31 x  3  y   z  1   31x  y  z  98  Câu 9: [2H3-5-4] (SGD - Quảng Nam - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z  , đường thẳng M x  y  1a z  d:   điểm A 1; 3; 1 thuộc mặt phẳng  P  Gọi  đường 1i N thẳng qua Ag, nằm mặt phẳng  P  cách đường thẳng d khoảng cách u lớn Gọi u   a; b; 1 véc tơ phương đường thẳng  Tính a  2b y e n A a  2b  3 a  2b  B a  2b  C a  2b  D Lời giải Chọn A d A d I A K (P) H (Q) Đường thẳng d qua M 1;  1; 3 có véc tơ phương u1   2;  1; 1 Nhận xét rằng, A  d d   P   I  7; 3;  1  Q  mặt phẳng chứa d  , d   d  ,  Q    d  A,  Q   Gọi d song song với  Khi Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên  Q  d Ta có AH  AK Do đó, d  , d  lớn  d  A,  Q   lớn  AH max  H  K Suy AH đoạn vng góc chung d  Mặt phẳng  R  chứa A d có véc tơ pháp tuyến n R   AM , u1    2; 4;  Mặt phẳng  Q  chứa d vng góc với nQ  n R  , u1   12; 18;    R nên có véc tơ pháp tuyến Đường thẳng  chứa mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  Q  nên có véc tơ phương u  n P , n R    66;  42;   11;  7; 1   Suy ra, a  11; b  7 Vậy a  2b  3 (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN - 2018) Trong không x  y 1 z    gian Oxyz , cho đường thẳng d : mặt phẳng 4  P  : x  y  z   Đường thẳng  qua E  2; 1;   , song song với  P  Câu 10: [2H3-5-4] đồng thời tạo với d góc bé Biết  có véctơ phương u   m; n; 1 Tính T  m  n A T  5 C T  B T  D T  4 Lời giải Chọn D Mặt phẳng  P  có vec tơ pháp tuyến n   2;  1;  đường thẳng d có vec tơ phương v   4;  4;3 Vì  song song với mặt phẳng  P  nên u  n  2m  n    n  2m  Mặt  khác ta có cos ; d   u.v 4m  4n   u v m2  n2  42   4   32 4m  41 5m  8m    4m  5  16m2  40m  25  5m2  8m  41 5m  8m  41 Vì 0   ; d   90 nên  ; d  bé cos ; d  lớn Xét hàm số f  t   Bảng biến thiên 16t  40t  25 72t  90t   f t   2 5t  8t  5 t  t    Dựa vào bảng biến thiên ta có max f  t   f    suy  ; d  bé m   n  Do T  m  n  4 Làm theo cách khơng cần đến kiện: đường thẳng  qua E  2; 1;   Câu 11: [2H3-5-4] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD biết A 1;0;1 , B 1;0; 3 điểm D có hồnh độ âm Mặt phẳng  ABCD  qua gốc tọa độ O Khi đường thẳng d trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD có phương trình  x  1  A d :  y  t  z  1  x   B d :  y  t  z  1   x  1  C d :  y  t z   D x  t  d :  y  z  t  Lời giải Chọn A Ta có AB   0;0; 4   4  0;0;1 Hay AB có véc-tơ phương k   0;0;1 Mặt phẳng  ABCD  có véc-tơ pháp tuyến: OA; OB    0;4;0    0;1;0  , hay j   0;1;0  véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng  ABCD   AD  k  AD  AB Vì  nên  Đường thẳng AD có véc-tơ phương  AD   ABCD   AD  j  j; k   1;0;0    x  1 t  Phương trình đường thẳng AD là:  y  z   Do D 1  t;0;1 t  Mặt khác AD  AB  t  02  1  1    t  4 Vì điểm D có hồnh độ âm nên D  3;0;1 Vì tâm I hình vng ABCD trung điểm BD , nên I   1;0; 1 Đường thẳng d trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD có véc-tơ pháp  x  1  tuyến j   0;1;0  , nên phương trình đường thẳng d là: d :  y  t  z  1  ... 1 y z 1   Vậy phương trình đường thẳng d 2 1 Câu 5: [2H3-5-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x 1 y z  x 1 y  z      d : Gọi  đường thẳng song song 1... trung điểm BD , nên I   1;0; 1 Đường thẳng d trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD có véc-tơ pháp  x  1  tuyến j   0;1;0  , nên phương trình đường thẳng d là: d :  y  t  z  1... mặt cầu  S  : (x  2)2  (y 3)2  (z 5)  100 Đường thẳng  qua A , nằm mặt phẳng   cắt ( S ) A , B Để độ dài AB lớn phương trình đường thẳng  x3 y 3 z 3    x  3  5t  C  y