Hàm số bậc nhất A- Kiến thức cơ bản : Dạng tổng quát: y= ax + b (a 0) Tính chất: Nếu a>0 thì hàm số đồng biến trên R Nếu a<0 thì hàm số nghịch biến trên R Đồ thị: Nếu b=0 thì đồ thị hàm số y=ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ O(0:0) và điểm A(1;a) Nếu b 0 thì đồ thị hàm số y= ax + b là đờng thẳng đi qua A(0;b) và điểm B(-b/a;0) Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng y=ax+b và y=ax+b Song song khi a=a và b b Cắt nhau khi a a Trùng nhau khi a=a và b=b Vuông góc khi a.a=-1 *Phơng trình hoành độ giao điểm của hai đờng thẳng trên là ax+b = ax+b Điểm thuộc đồ thị hàm số Điểm A(m;n) thuộc đồ thị hàm số y=ax+b khi n=a.m+b Hàm số bậc hai y=ax 2 (a0) *Dạng tổng quát: y=ax 2 (a0) *Tính chất: Nếu a>0 thì hàm số đồng biến khi x>0 nghịch biến khi x<0 Nếu a<0 thì hàm số đồng biến khi x<0 nghịch biến khi x>0 *Đồ thị: Đồ thị hàm số y=ax 2 (a0) là đờng Parabol có đỉnh là gốc toạ độ; nhận trục tung làm trục đối xứng; nằm phía trên trục hoành nếu a>0, nằm phía dới trục hoành nếu a<0. Phơng trình hoành độ giao điểm của Parabol y=ax 2 (a 0) và đờng thẳng y=mx+n là: ax 2 =mx+n hay ax 2 -mx-n=0 (1) +Nếu phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (>0) thì đờng thẳng và Parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B (với x A , x B là hai nghiệm của (1)). +Nếu phơng trình (1) có nghiệm kép (=0) thì đờng thẳng tiếp xúc với Parabol. +Nếu phơng trình (1) vô nghiệm (<0) thì đờng thẳng và Parabol không giao nhau Điểm thuộc đồ thị hàm số Điểm A(m;n) thuộc đồ thị hàm số y=ax 2 khi n=am 2 B. Bài tập: Dạng 1: Tính chất của hàm số y=ax+b: Bài 1:Chứng minh hàm số bậc nhất y=ax+b đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0. Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số a, b và xét xem hàm số nào đồng biến? hàm số nào nghịch biến? a) y=3-0,5x b) y=-1,5x c) y=5-2x 2 d) y= ( ) 2 1 x+1 e) y= ( ) 3 2x f) y+ 2 = 3x Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y=(m +1)x+5 Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến? nghịch biến ? Bài 4: Cho hàm số ( ) 3 2 1y x= + . Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao? Bài 5: Chứng minh rằng hàm số sau là đồng biến trong khoảng đã chỉ ra: a) 1 3 2 y x= trên R b) y = 3x + 2 trên R Bài 6: Chứng minh rằng hàm số sau là nghịch biến trong khoảng đã chỉ ra a) 1 4 3 y x= + trên R b) 4 3y x= trên R Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số là hàm số bậc nhất Bài 1: Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau đây là hàm số bậc nhất? a) 2 3 3 y m x= + b) 1 3 2 4 S t m = + (t là biến số) c) 1 1 3 1 y x m = + ữ d) ( ) 2 1 5 1 m y x m = Dạng 3: Đồ thị hàm số y ax b= + (a 0). Bài 1: Cho hàm số y = 2x. a) Vẽ đồ thị của hàm số trên. b) Xác định điểm A thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng -3 c) Tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x với trục Ox. Bài 2: Cho đờng thẳng 2 4= y x cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A và B. a) Xác định toạ độ các điểm A và B. b) Tính diện tích tam giác tạo bởi đờng thẳng ấy với hai trục toạ độ. c) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng trên. Bài 3: a) Vẽ đồ thị hàm số 2y x= và 2 1y x= + trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng trên. Bài 4: a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị các hàm số sau: 2=y x (d 1 ) 2 2= y x (d 2 ) 4= +y x (d 3 ) b) Đờng thẳng (d 3 ) cắt các đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) theo thứ tự tại A và B. Tìm toạ độ các điểm A, B và tính diện tích tam giác OAB. Bài 5: Cho hàm số ( ) 3y m x= a) Với giá trị nào thì hàm số đồng biến trên R? Nghịch biến trên R? b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1; - 2). c) Tìm m biết khi x= 1 3+ thì hàm số có giá trị bằng -3. B i 6 C ho hàm số y=3x+m 1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 5) 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là -5. 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -3. Bài 7: Cho hàm số ( ) 1y m x m= + +3 a)Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ. b)Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3. c)Xác định giá trị của m để đ.t.h.s cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2. d)Tìm m biết khi x=-3 thì hàm số có giá trị bằng 2. Bài 8: a)Xác định hàm số = +y ax b biết hàm số có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(2;1) b)Xác định hàm số = +y ax b biết đờng thẳng = +y ax b đi qua điểm A(2;1) và song song với đờng thẳng 2 5= +y x Dạng 4: Điểm cố định của đờng thẳng Bài 1: Cho hàm số 2 1= + +y mx m (1) Chứng tỏ rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Hãy xác định toạ độ điểm đó. Bài 2: Chứng minh rằng các đờng thẳng sau đây luôn đi qua một điểm cố định. a) 2y mx m= + b) 2 1y mx m= + c) ( ) ( ) 1 1y m x m= + + Dạng 5. Hệ số góc của đờng thẳng. Đờng thẳng song song và đờng thẳng cắt nhau Bài 1: Với điều kiện nào của k và m thì hai đờng thẳng : y = (k - 2)x + m 1 và y = (6 - 2k)x + 5 - 2m. a) Trùng nhau b) Song song c) Cắt nhau Bài 2: Cho hàm số 5y ax= + . Hãy xác định hệ số a trong mỗi trờng hợp sau: a) Đồ thị của hàm số song song với đờng thẳng 3y x= b) Khi 1 2= x thì hàm số có giá trị bằng 2 2= y Bài 3: Cho hàm số ( ) 3y m x k= + (d) . Tìm giá trị của m và k để đờng thẳng (d): a) Song song với đờng thẳng 2 1 0y x = và đi qua điểm M(1; -3). b) Đi qua hai điểm A(1; 2) và B(-3; 4) c) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 2+ . d) Trùng với đờng thẳng 3 5 0x y+ = Dạng 6: Lập phơng trình đờng thẳng . Bài 1: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2. Bài 2: Xác định hàm số y=ax+b biết đồ thị của hàm số là đi qua gốc toạ độ và: a) Đi qua điểm A(3; 2) b) Song song với đờng thẳng y=3x+1. Bài 3: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau: a) a =-1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 b) a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5) c) Đồ thị của hàm số song song với đờng thẳng 2y x= và đi qua điểm B(1; 2 3+ ) d) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3) e) Đồ thị hàm số đi qua M(2;- 3) và vuông góc với đờng thẳng y=x2 Bài 4: Cho hàm số y = (a1)x + a a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -3 b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 Bài 5: Cho đờng thẳng y = (m 2)x + n (m 2) (d) Tìm các giá trị của m và n biết đờng thẳng (d): a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;4) b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 + và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 2 + c) Trùng với đờng thẳng y2x+3=0 Bài 6: Cho hàm số y = (1 2m)x + m + 1 (1) a) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên R. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đờng thẳng y=3x1 c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) và các đờng thẳng y=x; y=2x-1 đồng quy. Bài 7: Trên mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4) Tìm hệ số góc của đờng thẳng đi qua A và B. Bài 8: Cho hàm số ( ) ( ) 1 1y m x m= + + (1) a) Xác định hàm số (1) biết đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ. b) Xác định m để đờng thẳng (1) song song với đờng thẳng 3 2y x= + c) Xác định m để đờng thẳng (1) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 . B i 9 Cho hai đờng thẳng y = 2x + m 1 và y = x + 2m . a) Tìm m để hai đờng thẳng trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung. b) Tìm m để hai đờng thẳng trên cắt nhau tại một điểm nằm trên đờng thẳng y=3x B i 10: Cho hàm số y=(m2)x+m+3. a) Tìm điều kiệm của m để hàm số luôn nghịch biến . b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hành độ là 3 . c) Tìm m để đồ thị các hàm số y=-x+2 ; y =2x1và y=(m2)x+m+3 đồng quy Bài 11: Tìm toạ độ của M(x 1 ; y 1 ) thuộc đờng thẳng 2x+3y =5 sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến M nhỏ nhất. Bài 12: Trên cùng mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(1; 4); B(-2; -2); C(3; 0) a) Viết phơng trình các đờng thẳng chứa cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC. b) Tìm toạ độ D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. c) Viết phơng trình đờng trung tuyến AM của tam giác ABC. d) Viết phơng trình đờng cao AH của tam giác ABC. e) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. f) Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. Dạng 7: Parabol và đờng thẳng: B i 1: Cho hàm số: y = 2 3x 2 (P) a) Tính giá trị của hàm số tại x = 0 ; -1 ; 3 1 ; -2 . b) Biết f(x) = 9 2 1 ; 8; ; 2 3 2 . Tìm x. Bài 2: Cho hàm số y=2x 2 (P). a) Vẽ đồ thị (P). b) Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB. c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0; 2) và tiếp xúc với (P). d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 5 e) Tìm trên độ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ. Bài 3. Cho hàm số y=2x 2 (P) a. Vẽ đồ thị. b. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đờng thẳng y=-x+3. c. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0;-2) và tiếp xúc với (P). Bài 4: Cho hai hàm số y = x 2 (P) và y = 2x + 3 (D) a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (D). b) Xác định toạ độ giao điểm A và B của (P) và (D). c) Gọi C và D thứ tự là hình chiếu vuông góc cảu A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD. B i 5: C ho parabol (P): 2 4 1 xy = và đờng thẳng (D): 12 = mmxy a) Vẽ (P) . b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) . c) Chứng tỏ (D) luôn đi qua một điểm cố định . Bài 6. Cho Parabol (P): y=x 2 và đờng thẳng (d): y=2x+m. Xác định m để: a. (d) tiếp xúc với (P). Tìm hoành độ tiếp điểm. b. (d) cắt (P) tại hai điểm, một điểm có hoành độ x=-1.Tìm tọa độ giao điểm còn lại. Bài 7: Cho Parabol y = x 2 (P) và đờng thẳng y = 2x m (D) a) Tìm m để (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt?tiếp xúc nhau?không giao nhau? b) Khi (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, hãy xác định toạ độ hai điểm A và B với m =-3. Bài 8: Cho Parabol (P): y = ax 2 và đờng thẳng y = mx + n. Xác định các hệ số a, m, n biết rằng (P) đi qua điểm A(-2; 2), đờng thẳng đi qua điểm B(1; 0) và tiếp xúc với (P). Bài 9: Cho hàm số y = (2m - 1) x 2 (P). a) Tìm m để (P) đi qua điểm A(2; -2). Vẽ đồ thị hàm số (P) vừa tìm đợc. b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua B(-1; 1) và tiếp xúc với (P) c) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1. Bài 10: Cho Parabol (P): y = ax 2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 1) a) Chứng minh đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi k. b) Gọi hoành độ của A,B lần lợt là x A , x B . CMR: 2 > A B x x c) Chứng minh OAB vuông. Bài 11: Cho Cho Parabol (P): y = 2 2 x và đờng thẳng (D): mx + y = 2. a) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (D) luôn đi qua 1 điểm cố định. b) Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt c) Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Khi đó tính diện tích AOB Bài 12: Với giá trị nào của m thì hàm số ( ) 2 y m 3m x 2m 6= + là hàm số bậc nhất. Bài 13: Cho hàm số y (3 2 2)x 2 1= + . (1) a, Hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R b, Tính giá trị của hàm số khi x 3 2 2= + . c, Tìm x để hàm số có giá trị bằng 1. Bài 14: Cho hàm số y (m 4)x m 6= + + . a, Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến. b, Tìm m biết đồ thị hàm số đi qua điểm (-1;2). Vẽ đồ thị hàm số với m tìm đợc. c, Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi giá trị của m thay đổi. Bài 15: Tìm m để hai đờng thẳng y (m 6)x 2= + + và y m(3m 4)x 5= + song song. Bài 16: Tìm k để hai đờng thẳng y (k 3)x 3k 3= + và y (2k 1)x k 5= + + + a, Cắt nhau tại một điểm trên trục tung. b, Song song với nhau. c, Trùng nhau. d, Vuông góc với nhau.