40 DE THI VAO 10 CO DAP AN

A - PHẦN ĐỀ BÀI I - ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho biết a = b = − + Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab b) Giải hệ phương 3x + y =  trình: =-3  x - 2y Câu 2: Cho biểu  1≠  x + :  ÷ thức P = (với x > 0,  x - x x −1  x - x +1 x 1) a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P > Câu 3: Cho phương trình: x2 – 5x + m = (m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương x1 − x = trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I (I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: a) BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chạy cung nhỏ BC tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF ln thuộc đường thẳng cố định Câu 5: Cho hai số dương a, b 12 ≤ 21 thỏa mãn: a + b Tìm giá trị + nhỏ biểu thức: P = a b Ngày 16/5/2015 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Rút gọn biểu − 3− 3+ thức: b) Giải phương trình: x2 – 7x + = Câu 2: a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d: y = - x + Parabol (P): y = x2 b) Cho hệ phương 4x + ay = b  trình:  x - by = a Tìm a b để hệ cho có nghiệm ( x;y ) = ( 2; - 1) Câu 3: Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Người lái xe tính xếp toa 15 hàng thừa lại tấn, xếp toa 16 chở thêm Hỏi xe lửa có toa phải chở hàng ⊥ ngồi đường tròn (O;R) ta vẽ hai Câu 4: Từ điểm A nằm ∈ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MIAB, MKAC (IAB,KAC) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn ∈ · · ⊥ b) Vẽ MPBC (PBC) MPK = MBC Chứng minh: c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Câu 5: x - 2009 − y - 2010 − z - 2011 − + + = Giải x - 2009 y - 2010 z - 2011 phương trình: ĐỀ SỐ Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x4 + 3x2 – = b)  2x + y =  Câu 2: Rút gọn biểu 3x + 4y = -1 thức: a) A = − 2+ − b) B = − 21≠ +  2x + x  ( với x > 0, x )  x − − x + x + ÷ x  Câu 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 y = x – hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị vẽ phép tính Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BE CF cắt H a) Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn b) Gọi M N thứ tự giao điểm thứ hai đường tròn (O;R) với BE CF Chứng minh: MN // EF c) Chứng minh OA EF ⊥ Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x2 - x y + x + y - y + ĐỀ SỐ Câu 1: a) Trục thức mẫu 45 biểu thức sau: ; b) Trong hệ trục tọa độ 513− Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm M (- 2; ) Tìm hệ số a Câu 2: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) b) 2x++13y 2x = 7= -2x  Câu 3: Cho phương trình ẩn  x - y =  x: x2 – 2mx + = (1) a) Giải phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = · Câu 4: Cho hình vng IEM = 900 ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC cho: (I M không trùng với đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn · IME c) Gọi N giao điểm tia ⊥ AM tia DC; K giao điểm b) Tính số đo góc BN tia EM Chứng minh CK BN Câu 5: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + ≤ bc + ca ) ĐỀ SỐ Câu 1: a) Thực phép tính:  2 −  ÷ 3÷   b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b qua điểm A( 2; ) điểm B(-2;1) Tìm hệ số a b Câu 2: Giải phương trình sau: -2 a) x2 – 3x + = x + = b) x-1 x+1 x -1 Câu 3: Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai 0,4 Tính vận tốc tơ Câu 4: Cho đường tròn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn d) Gọi S, S 1, S2 thứ tự S + S = S diện tích ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh: Câu 5: Giải phương 10 x + = ( x + ) trình: ĐỀ SỐ Câu 1: Rút gọn biểu thức sau: a) A =  3+   3−  + − ≠  ÷  b) B =  b ÷ a   − ÷ +1 ÷   b a a b ÷ ( với a > 0, b > 0,  a - ab ÷ ab b   a b) Câu 2: a) Giải hệ  x - y = - ( 1)  phương trình: 2 b) Gọi x1, x2 hai  x + y = ( ) nghiệm phương trình:  x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P = x12 + x22 Câu 3: a) Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2; ) song song với đường thẳng 2x + y = Tìm hệ số a b b) Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm , biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh ( ) AC (M khác A C ) Đường tròn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng: a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn · b) NM tia phân giác ANI góc c) BM.BI + CM.CA = AB + AC2 Câu 5: Cho biểu thức 2x - xy + y - x + A = Hỏi A có giá trị nhỏ hay khơng? Vì sao? ĐỀ SỐ Câu 1: a) Tìm điều kiện x biểu thức sau có nghĩa: A = b) Tính: x-1+ 3-x 1 − 3− 5 +1 Câu 2: Giải phương trình bất phương trình sau: a) ( x – )2 = b) x - < Câu 3: Cho phương trình ẩn 2x + x: x2 – 2mx - = (1) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 b) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = Câu 4: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD khơng qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai M a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC b) Gọi H giao điểm MA BC; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK // CD c) Chứng minh: OK.OS = R2 Câu 5: Giải hệ phương  x + = 2y  trình:  y + = 2x ĐỀ SỐ Câu 1: a) Giải hệ phương 2x + y =  trình:  x - 3y = - b) Gọi x 1,x2 hai + nghiệm phương trình:3x x1 x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P= ≠  Câu 2: Cho biểu thức  a a a +1 A = với a > 0, a  a − − a - a ÷ ÷: a -   a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + + m = (1) a) Giải phương trình cho với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 ) Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn · · b) Chứng minh ADE = ACO ∈ c) Vẽ CH vng góc với AB (H AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH Câu 5: Cho số a, b, c ∈ [ 0≤; 1] Chứng minh rằng: a + b + c3 – ab – bc – ca ĐỀ SỐ ( ) Câu 1: a) Cho hàm số y = x + +− Tính giá trị hàm số x= b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – đường thẳng y = 3x + m cắt điểm nằm trục hoành Câu 2: a) Rút gọn  xx ≥+ 60, x ≠ x4, x ≠ x9- biểu thức: A = với  x - + x − ÷ ÷: x −   b) Giải phương x - 3x + = trình: ( x + ) ( x - 3) x - Câu 3: Cho hệ phương 3x - y = 2m -   x + 2y = 3m + trình: (1) a) Giải hệ phương trình cho m = b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10 Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM Chứng minh IK //AB a+b Câu 5: Chứng minh ≥ rằng: với a, b a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) số dương ĐỀ SỐ 10 Câu 1: Rút gọn biểu thức: a) A = − 50 −2 −1 b) B = , với < x x - 2x + 0, y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 3x + 2y + x + y ĐỀ SỐ 12 Câu 1: Tính gọn biểu thức: 1) A = 20 - 45 + 18 + 72 2) B = với a ≥  a + a  a- a   +  ÷ + ÷ a + ÷ 1- a ÷  0, a ≠ Câu 2: 1) Cho hàm số y = ax 2, biết đồ thị hàm số qua điểm A (- ; -12) Tìm a 2) Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m2 = (1) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt, có nghiệm - Câu 3: Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m Tính diện tích ruộng Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) S · 1) Chứng minh tứ giác BCS ABCD tứ giác nội tiếp CA tia phân giác góc 2) Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy 3) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Câu 5: Giải phương trình x - 3x + + x+3 = x-2 + x + 2x - ĐỀ SỐ 13 Câu 1: Cho biểu  a a - a a +  a +2 thức: P = với a > 0, a  a - a - a + a ÷ ÷: a-2   ≠ 1, a ≠ 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Câu 2: 1) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + = Tìm a để đường thẳng d qua điểm M (1, -1) Khi đó, tìm hệ số góc đường thẳng d 2) Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + = a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = b) Xác định giá trị m để phương trình có tích nghiệm 5, từ tính tổng nghiệm phương trình Câu 3: Giải hệ phương trình:  4x + 7y = 18 Câu 4: Cho ∆ABC cân 3x - y = A, I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK 1) Chứng minh điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O 2) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn tâm (O) 3) Tính bán kính đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm Câu 5: Giải phương trình: x + 2010 x2 + = 2010 ĐỀ SỐ 14 Câu 1: Cho biểu thức x +1 + x -2 x 2+5 x + 4-x x +2 P = với x ≥ 0, x ≠ 1) Rút gọn P 2) Tìm x để P = Câu 2: Trong mặt phẳng, y = (m − 1)x + n với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 1) Với giá trị m n d song song với trục Ox 2) Xác định phương trình d, biết d qua điểm A(1; - 1) có hệ số góc -3 Câu 3: Cho phương trình: x2 - (m - 1)x - m - = (1) 1) Giải phương trình với m = -3 2) Tìm m để phương trình x12 + x 22 (1) có nghiệm thoả mãn hệ thức = 10 3) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc giá trị m Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC 10 Câu 2: a) Điều kiện: x > -1 Đặt a = ; b = x x−+x1+ 2 Ta có: 2(a + b ) = 5ab (2a - b)(2b - a) = b = 2a ; a = 2b Do đó: 1) = 4(x + 1) = x x−+x1+ x2 - x + x2 - 5x - = x1 = + − 37 (loại); x2 = 2 2) = vô ⇔ x + = 4(x − xx 2+x−1)+x1⇔ + 14x − 5x + = nghiệm Vậy phương trình có + 37 nghiệm: x = ∈ b) Vì a, b, c [0; 2] nên: (2 - a)(2 - b)(2 - c) > - 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) - abc > 2(ab + bc + ca) > 4(a + b + c) - + abc nên 2(ab + bc + ca) > (vì a + b ≥ + c = abc 0) Suy (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) > a2 + b2 + c2 (vì (a + b + c)2 ≤ = 9) Dấu “=” xẩy số a, b, c có số 2, số số p (p, q) = Câu 3: Giả sử x = (p, q Z, q > 0) ∈ q Ta có (n N) p = q(-P  p  ∈ p   + + = n - 6q + n2q) q q => q ước p (p, q) = => q = lúc x = p ∈ => p2 + p + = n2 (p, n Z) (2p + 1)2 + 23 = 4n2 (2n)2 - (2p + 1)2 = 23 (2n - 2p - 1)(2n + 2p + 1) = 23 Do 2n - 2p - = 2n + 2p + = 23 ; 2n - 2p - = 23 2n + 2p + = (vì 23 P 2n + 2p + > 2n ∈ - 2p - > 0) p = (t/m) ; p = - (t/m) Vậy số hữu tỉ x cần tìm – 126 Câu 4: · K µ +=N µMIC · a) Tứ giác MNC MNKB nội tiếp (vì = 1800) Tứ giác MNCI nội tiếp (vì MNC = 900) · INC · · => , (1) BNK = IMC BMK (vì góc K nội tiếp chắn cung) · · Mặt khác BMK B = IMC (2) A S H P O C N I · · · · BMK + KMC = KMC + IMC (vì bù với góc A tam giác ABC) · ·INC Từ (1), (2) suy BNK = nên điểm K, N, I thẳng hàng · · MAK = MCN =β b) Vì (vì góc nội tiếpcùng chắn cung BM) M Q AK CN AB BK AB CN− BK CN = = cot− gβ =>= = MK MN MK MK MN MK MN AC CI BN AI BN Tương tự có: + = = MIMI MIMNMN hay (2) => hay (1) Mà ( = ) (3) α · · BK ICBMK = = IMC = tgα MI MK Từ (1), (2), (3) => (đpcm) AB AC BC + = MK MI MN c) Gọi giao AH, MN với ∈ đường tròn (O) thứ tự Q, S => AQMS hình thang cân (vì AQ // MS => AS = QM) Vẽ HP // AS (P MS) => HQMP hình thang cân, có BN trục đối xứng (vì Q H đối xứng qua BC) · NMC · = AIN · => N trung điểm PM SAC mà HP // KN (vì KN // AS 127 ) => KN qua trung điểm HM (đpcm) Câu 5: Đưa toán 2x − xy − y = p tìm P để hệ phương trình:  x + 2xy + 3y = có nghiệm Hệ Lấy (1) - 8x − 4xy − 4y = 4p (1) ⇔ 2 (2), ta có: px + 2pxy + 3py = 4p (2) (8 - p)x2 - 2y(2 + p)x - (4 + 3p)y2 = (3) - Nếu y = => (8 - p)x = ⇒ p = 0; p = x = p = - Nếu y chia vế pt (3) cho y ≠ ta có : (8 - p)t2 - 2(2 + p)t - (4 + 3p) = x (4) với t = 7y + Nếu p = t = - + Nếu p 8: Phương trình (2) có ∆≠5' nghiệm = (2 + p)2 + (8 - p)(4 + 3p) > p2 - 12p - 18 < ≤ p ≤ + 6 - Dấu “=” có xảy Vậy P = - , max P = 6 +3 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Từ giả thiết ta có: a b c ab - b - ac + c = =2 b - c aa - c a -abb1 - b -( aac- +b )c(2a - c ) = ( ab- -bc) ( a - c ) ( b - c ) ( b - c) Nhân vế đẳng thức với ta có: Vai trò a, b, c nhau, thực hốn vị vòng quanh a, b, c ta có: , bc cb ac - ac - bc ab + ba = Cộng vế với vế ( aca- ba ) ab- b ) ( a - c )c( b - c ) + ( + =0 đẳng thức trên, ta (b - c) (c - a) (a - b) có (đpcm) b) Đặt Thay 2010 = x ⇒ 2010 = x ; 2010 = x 128 vào ta có: =  1 + + 1 +  x - x 121 +2 x  1 2 ÷ x x4 =1+  - ÷ - x =0 A=  ÷- x  ÷ + x  - x x÷ 1x+x x  2 Câu 2: a) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c > Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a2 + bc ≥ 2a bc, b + ac ≥ 2b ac ; c + ab ≥ 2c ab 1 1 1  + + ≤  + + ÷ a + bc b + ac c + ab  a bc b ac c ab  Do a +b b+c c+a + + ab + bc + ca 2 = a+b+c ≤ abc abc 2abc = , đpcm Dấu xẩy a = b = c, tức tam giác cho tam giác b) Điều kiện x ≥ 0; y ≥ Ta có: A = (x - xy + y) + 2y - x +1 =[ ( ) ( -2 ( ) x - y + 1] - y + 2y 1 = x - y - + (2y - y + ) 2 21 1 = x - y -1 + y − ≥2 92 2 x = Vậy minA = A= - ⇔  x - y1 - = ⇔  −   2 y - 2= y =  Câu 3: a) ( x - y ) ) ( ) Điều kiện : ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có: (2 x-1+3 5-x ) ≤ (2 + 32 ) ( x - + - x) = 13.4 ⇒ x - + - x ≤ 13 29 Dấu xẩy x-1=2 5-x ⇔ x= 13 129 Thay vào pt cho thử lại thỏa mãn 29 Vậy pt có nghiệm x= 02 b) Xét đẳng thức: f(x) + 3f x ≠13 ∀ =  ÷ x (1) x Thay x = vào (1) ta có: f(2) 1 f ÷ + = 2 Thay x = vào (1) ta có: 1 f  ÷ + 3.f(2) = 21 13 Đặt f(2) = a, = b ta có  2a + 3b a f=- ÷=  Giải hệ, ta    32 3a + b =13  Vậy f(2) = - 32 Câu 4: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác A, O, D thẳng hàng OK = AB Vì FM f = EF mà EF = AB FM = OK a b o k c m ·⇒ Ta lại có AF = R AF = OA = AFM 1200 d e · · · · AOK + AOB = 1800 = AOK + 600 ⇒ AOK = 1200 Do đó: ∆AFM = ∆AOK (c.g.c) · ⇒ AM = AK, MAK = 600 ⇒ ∆AMK Câu 5: Gọi BH đường cao ∆ABO Ta có 2SAOB = OA BH Nhưng BH ≤ BO nên 2SAOB ≤ OA OB mà OA.OB OA + OB2 ≤ Do 2SAOB OA 2+ OB2 ≤ ⇔ ⊥2 Dấu “=” xảy OA OB OA = OB Chứng minh tương tự ta có: b o c h a d 130 2SBOC ; 2SCOD OB2 + OC OC OD22 ≤ 2SAOD OD 2+ OA Vậy 2S = 2(SAOB + ( OA ≤+ OB2 +2OC + OD ) SBOC + SCOD + SDOA) ≤ Hay 2S ≤ OA2 + OB2 + OC2 + OD2 Dấu xẩy OA = OB = OC = OD · · · · hình AOB = BOC = COD = DOA = 900 ⇒ ABCD vng tâm O Lời bình: Câu III.b từ đâu mà ra? 1) Chắc chắn bạn hỏi x= C(x) đa thức biến x Gọi A(x), B(x), P(x), Q(x), f(x) hàm số xác định phương trình A(x).f[P(x)] + B(x).f[Q(x)] = C(x) (1) Để tình giá trị hàm số f(x) điểm x = a ta làm sau Bước 1: Giải phương trình Q(x) = P(a) (2) Giả sử x = b nghiệm (2) Bước 2: Thay x = a, x = b vào phương trình (1), đặt x = f(a), y = f(b) ta có hệ (3)  A(a ) x + B( a ) y = C (a)  Giải hệ phương  B (b) x + A(b) y = C (b) trình (3) (đó hệ phương trình bậc hai ẩn x, y) • Trong tốn trên: A(x) = 1, B(x) = 3, P(x) = x, Q(x) = , C(x) = x2, a = x Phương trình Q(x) = P(a) 1 ⇔ ⇔ , tức bx == Số nghĩ x 21 x= biết phương trình (2) 2) Chú ý: Khơng cần có nghiệm Chỉ cần biết (có thể đốn) nghiệm đủ cho lời giải 131 thành cơng 3) Một số tập tương tự a) Tính giá trị hàm số ¡ f(x) x = f(x) + 3.f(−x) = + 3x (với x ∈ ) b) Tính giá trị f ( x) + hàm số f(x) x = (với ≠ x ≠ 1)   f ÷= x  1− x  c) Tính giá trị ( x − 1) f ( x) + hàm số f(x) x = (với ≠ x ≠ 1) 1 f  ÷=  x  x −1 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Từ x2 + y2 = 2xy = ⇒ (x + y)2 - = (x + y + 2) (x + y 2) xy x+y Vì x + y + ≠ = -1 nên x+y+2 (1) Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có: ⇒ x+y≤ x+y≤ ( x2 2+ y ) (2) Từ (1), (2) ta  x ≥ 0,xyy ≥ ≤ - được: Dấu "="  x =x y+ y + ⇔ x = y =  Vậy maxA = -1  2 x + y = b) Vì x2 + y2 + z2 = nên: 2 x + y2 + z2 x2 + y2 + z2 x + y2 + z2 + + = + + x + y2 y2 + z z2 + x2 x + y2 y2 + z2 z2 + x = 3x + my = 2  z2 Ta có x + y ≥ 2xy , - y = ≤1 z ⇒  mx 2 Tương tự , xxy2 + y 2≤ xy2xy 22 Vậy + + + + + xy +y≤zx2zxy z + 2yz 2xz 2 ⇔ , đpcm 2 22zy2 x + y3 + z 2xz x x y + 2yz + z 2xy ≤ +3 2 Câu 2: a) x + y + y + z +2 z3x ++10 x10 2xyz x ≥ − x2 + 9x + 132 20 = (1) Điều kiện: (2) ⇔+ 10 (1) (3x + 10 - + 1) + (x2 + 6x 3x + 9) = (- 1)2 + (x + 3)2 = 3x⇔+ 10 (thỏa mãn đk (2)  3x + 10 - = ⇔ x=-3 Vậy phương trình ⇔  x + =  (1) có nghiệm x = -3  x2 y22 - 2x 2x + y = 0(1) y =  ⇔ 2x x2 +   - 4x + = - y2 ≤ ⇒ y y ≤=1- 2⇒(x 11)≤ -y1 ≤ ⇒ b) Ta có: 2x Mặt khác: - + x (x - 1)2 - ≤ - y3 ≤ - y ≤ - (1) (2) Từ (1) (2) y = - nên x = ⇒ Thay vào hệ cho thử lại thỏa mãn Vậy x = y = -1 số cần tìm Câu 3: a) Đặt ta có x2 = b3 y2 = c3 33 yx == cb >> 00 Thay vào gt ta b3 + b 2c + c3 + bc = a a2 = b3 + b2c + c3 + bc2 + b c2⇒b + c ( ) a2 = (b + c)3 hay , đpcm ⇒ x +3 a32 y=2 b= +3 ca x0 ≠ b) Giả sử x0 nghiệm phương trình, dễ thấy Suy + ax0 + b a + x 01 = 01  ⇔ x + + a x  20 + ÷+b=0 + x 02x x x0  Đặt x0 + ⇒ y2 02 - 21= - ay20 - b = y0 ⇒ x + x0 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: = y0 - , y0 ≥ 2 2 - 2) = ⇒ ( aya02 ++ bb2) ≥ ≤(y0(2−a 22)+ b2 ) ( y02 + 1) Ta chứng (y02 − 2) y 04+ ≥ minh (2) y02 + 2 Thực vậy: ⇔ 5(y0 − 4y + 4) ≥ 4(y0 + 1) ⇔ 5y 04 − 24y 02 + 16 ≥ (1) (y x 02 133 (2) với nên (1) y ≥2 ⇔ 5(y02 − 4)(y 02 − ) ≥ Từ (1), (2) suy , a + b2 ≥ ⇒ 5(a + b ) ≥ đpcm c Câu 4: Đặt AH = x · Ta có AMB = 900 (OA = OB = OM)m k Trong ∆ vng AMB ta có MA2 = AH AB = 2Rx (H chân đường vng góc hạ từ M xuống b BC) a h o h' Mặt khác: MK2 = OH2 = (R - x)2 (vì MKOH hình chữ nhật) Theo ta có: 4Rx = 15(R - x)2 ∈ ⇒ Do H AB O ≤ x ≤ 2R Phương trình trở thành: 15x2 - 34Rx + 15R2 =0 ⇔ 3R 5R (5x - 3R) (3x - 5R) = ⇔x= ;x= Cả giá trị thoả mãn Vậy ta tìm điểm H H’ ⇒ điểm M M’ giao điểm nửa đường tròn với đường vng góc với AB dựng từ H H’ a Câu 5: Gọi I trung điểm CD e Nối EF, EI, IF, ta có IE đường ⇒ trung bình ∆BDC IE // BC Mà GF ⊥BC IE⊥ GF (1) d ⇒ Chứng minh tương tự EG ⊥IF (2) Từ (1) (2) G trực tâm ⇒ ∆EIF ⇒ ⊥ IG EF (3) Dễ chứng minh EF // DC (4) ⇒ ⊥ Từ (3) (4) IG DC Vậy ∆ DGC cân G DG = GC ⇒ 134 b f g i c ĐỀ SỐ 9x phương trình với 2x Câu 1: 1) Trừ vào vế 2 Ta có: (1)   x 29x x + 918x 18x ⇔ x ÷ ÷+2= 40 - - 40 = Đặt = y (2),   x x+ +9 9  x x + x + phương trình (1) trở x+9 thành y2 + 18y - 40 = ⇔ (y + 20) (y - 2) = ⇔ y = -20 ; y =  x + 20x +180 = (3) Thay vào (2),  x = - 20(x + 9) ⇔  ta có  x = 2(x + 9) =  x - 2x - 18 = (4) Phương trình x = ± 19 (3) vơ nghiệm, phương trình (4) có nghiệm là: Vậy phương trình cho có x = ± 19 nghiệm là: 2) Điều kiện (*) x > x+1 ≥ ⇔⇔  Phương trình x-3  x ≤x -+11 (x - 3) (x + 1) + 3(x - 3) =4 cho x-3 Đặt t = x+1 x - 3) ⇒ t = (x - 3) (x + 1) ( ⇔ t Phương trình trở x - = 1; t = - thành: t + 3t - =0 Ta có: (x -3) x + x +1 = (1) ; ( x − 3) = − (2) x > x −  xx>-3 ⇔ ⇔ ⇔ x = 1+ (x − 3)(x + 1) =  x − 2x − = + (1) (t/m (*)) x < x < ⇔ ⇔ ⇔ x = 1− (x − 3)(x + 1) = 16  x − 2x − 19 = + (2) (t/m (*)) Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = 1+ ; x = 1− ⇒ < x < - 3x > A ≥ Câu 2: 1) Điều kiện: - x2 > - ⇔ Vậy A2 = 25 - 30x + 9x (3 - 5x) = +16 ≥ 16 Dấu xẩy - x2 -3x ⇔ x= 135 - 5x = Vậy minA = 2) Chứng a + b + b + c + c + a ≥ (a + b + c) minh: (1) Sử dụng bất đẳng thức: , 2(x + y ) ≥ (x + y) ta có: (2) 2(a + b ) ≥ (a + b) ⇒ a + b ≥ a + b Tương tự, ta b + c ≥ b + c được: (3) (4) c + a ≥ c + a Lấy (2) + (3) + (4) theo vế rút gọn, suy (1) đúng, đpcm Câu 3: (1) có ⇔ ∆ y = x − ≥ ⇔ x ≤ −2; x ≥ (3) nghiệm (2) có nghiệm ⇔ − x⇔ − (y 2x+≥1)02 ⇔ = −−x22≤−x2x≤ (4) Từ (3), (4) ta có: x = - 2, từ ta có y = - Vậy hệ có nghiệm (- ; - 1) m ∈ Câu 4: Kẻ MP // BD (P AD) k MD cắt AC K Nối NP cắt BD H e AM AM CMAP Ta có mà i f = = (gt) APABAB CNCDAD Gọi O giao điểm ⇒ = ⇒ PN // ACa o b h AD CO CD MK BO OC AC BD Ta = , = n có OD OA PK OA NH MK NH OC Suy ra: = =⇒ KH // MN PK PH ⇒ OA Các tứ giác KENH, PH MFHK hình bình hành nên MF = KH EN = KH MF = EN ME = NF · · Câu 5: 1) Tứ giác MEH + MFH = 1800 MEHF nội tiếpvì · · · · ⇒ AMB = 1800 - EHF = EHA + FHB · »= MEF · MHF MF Ta có (góc nội tiếp chắn ) Lại có 136 · · · · MHF + FHB = 900 = MEF + EMD (1) · · ⇒ FHB = EMD (2) »⊥ ·⇒ · DMB · EHA · =NB ·0DMB ·NAB Từ (1) (2) , Gọi N ⇒ MAN =90 =NAB giao điểm MD với đường tròn (O) ta có (góc nội tiếp chắn ) AN // EH mà HE MA nên NA MA hay AN đường kính đường tròn Vậy MD qua O cố định ⊥ 2) Kẻ DI MA, DK MB, ta có AH S AM HE AD S AM DI = MAD = ; = MAD = BD SMBD BM DK BH SMBH BM HF Vậy (1) Ta có (cùng phụ với ) mà (CMT) Tứ giác MEHF nội tiếp nên Tứ giác MIDK nội tiếp nên ID HE = DK HF (2) Từ (1), (2) AH AD MA HE DI = · MHF · MB ·FHB ·2 DK HF BD BH HMB FHB ==EMD · EFH · = DMH ·= DIK · ⇒EHF · · · · AMH = EFH vµ EHF = 1800 - AMB · · · · DMB = DIK vµ IDK = 1800 - AMB ·⇒ ∆= DIK · ∆vµ HFE · (g.g) · ⇒ EFH DIK EHF = IDK ⇒ HE.DI ID DK suy ⇒ = =1 DK.HF HF HE MA AH AD ⇒ = MB2 BD BH ĐỀ SỐ 2- 24 - 25 Câu 1: Ta có: - + + + A= -1 -1 -1 = - + = - + = - + - + + 25 Câu 2: a) Từ giả thiết suy ra:  x2   y2   z2  x2 y2 z2 + + =0    2 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ a +b +c  b a +b +c  c a +b +c  a 137 1     1  ⇔ x2  - 2 + y2  - 2 + z2  - 2 =0 ÷ ÷ ÷ a +b +c  a +b +c  a +b +c  a b c (*) 1 1 1 - > 0; - > 0; - >0 2 2 a a +b +c b a +b +c c a + b2 + c2 Do Nên từ (*) suy x = y = z = 0, M = b) x3 = 2a +  a +   8a -  ⇔3÷  ÷ x3 = 2a + 3x x3 = x a 3- 1 - 2a ( )   2a + x(1 - 2a) ⇔ 3⇔ x + (2a - 1) x - 2a = (x - 1) (x2 + x + 2a) =   x - =  ⇔ ⇔x =  x + x + 2a = (v« nghiƯmdo a > )  nên x mét sè nguyên du¬ng Câu 3: 4c 35 35 ≥ + ≥ >0 4c + 57 1+a 35 + 2b ( + a ) ( 2b + 35 ) a) Ta có: (1) 4c 35 4c 35 ≤ ⇔ ≤ 1+a 4c + 57 35 + 2b + a 4c + 57 35 + 2b Mặt khác 4c 35 2b +1 ≤ 1= +a 4c +1 57 35 + 2b 3557+ 2b 2b 57 ⇔ ≥ + ≥ 35 + 2b 1+a 4c + 57 ( + a ) ( 4c + 57 ) ⇔ >0 Ta có: >0 138 (2) 4c 35 ≥ 1+ 157 +a 4c + 57 35 + 2b35 57 a 35 ⇔ ≥ + ≥ 1+a 4c + 57 35 + 2b ( 4c + 57 ) ( 35 + 2b ) 1- (3) Từ (1), (2), (3) ta có: 8abc 35 57 ≥ ( + a ) ( 4c + 57 ) ( 2b + 35 ) ( + a ) ( 2b + 35 ) ( 4c + 57 ) Do abc ≥ 35.57 = 1995 Dấu “=” xảy a 57 = 2, b = 35 c = Vậy (abc) = 1995 b) Đặt t = A = ta, B = tb, C = tc, D = td t= A B C D = = = ⇒ a b c d A+B+C+D a+b+c+d aA + bB + cC + dD = a t + b t + c t + d t Vì = (a + b + c + d) = A+B+C+D t = (a + b + c + d) +d (a + b + c +d)(A + aB++bC++c D) Câu 4: a) Xét ∆ABC có PQ // BC A AQ QP = AB BC BQ QM Xét ∆BAH có QM // AH Q ⇒ = P Cộng vế ta có: BA AH AQ BQ QP QM QP QM + = +2 ⇒ 1= + AB  AB BC  AH QP BQM BC 2SAH QP QM MNPQ M= H ⇒ 1=  S + ≥ N ÷ QP QM ABC AH SABC= BC max SMNPQ =BC  = BC =AH ⇔ QP BC AH 2 SABC ⇒ SMNPQ ≤ Tức ⇒ C PQ đường trung bình ∆ABC, PQ B qua trung điểm AH QP + QM QP QM b) Vì mà BC = ⇒ 1= 1= ⇔ + QP + QM = BC AH BC BC AH Do chu vi (MNPQ) = 2BC (không đổi) Câu 5: ∆HCD đồng dạng với ∆ ABM (g.g) mà A H M D C 139 AB = 2AM nên HC = 2HD Đặt HD = x HC = 2x Ta có: DH2 = HM HC hay x2 = HM 2x HM = 0,5x; MC = 2,5x; AM = ⇒ 2,5x; AH = 3x Vậy AH = 3HD 140 ... cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn · · b) Chứng minh ADE = ACO ∈ c) Vẽ CH vng góc với AB (H AB) Chứng minh MB qua trung điểm... cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung DE hai đường tròn với D ∈ (O) E ∈ (O’) cho B gần tiếp tuyến so với A · · 1) Chứng minh DAB = BDE 2) Tia AB cắt DE M Chứng minh M trung điểm DE 3) Đường thẳng EB cắt... 80km thời gian dự định Vì trời mưa nên phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm vận tốc dự định 15km/h nên quãng đường lại xe phải chạy nhanh vận tốc dự định 10km/h Tính thời gian dự định xe