Văn phạm phi ngữ cảnh và ứng dụng trong phân tích cú pháp_2

Lý do chọn đề tài Văn phạm phi ngữ cảnh là một là mô hình toán học sản sinh ralớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh.Văn phạm phi ngữ cảnh cho phép mô tả cácbiểu thức số học trong các dấu ngoặc lồng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS KIỀU VĂN HƯNG

Hà Nội - 2018

Header Page 2 of 128.

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian cố gắng, nỗ lực học tập và nghiên cứu, đến naytôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình Để có được kếtquả này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thànhnhất đến thầy giáo, TS Kiều Văn Hưng, người đã định hướng nghiêncứu và truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luậnvăn của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy côgiáo trong bộ môn Toán Ứng dụng nói riêng và khoa Toán, trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2 nói chung

Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những ngườibạn thân yêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất chotôi để tôi có thể học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn của mình

Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và cácbạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 08 tháng 06 năm 2018

Tác giả luận văn

Đặng Văn Quân

Header Page 3 of 128.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêngtôi, được thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Kiều Văn Hưng

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả trích dẫntrong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 08 tháng 06 năm 2018

Tác giả luận văn

Đặng Văn Quân

Header Page 4 of 128.

Mục lục

1.1 Ngôn ngữ và biểu diễn ngôn ngữ 8

1.1.1 Ngôn ngữ 8

1.1.2 Biểu diễn ngôn ngữ 14

1.2 Văn phạm 15

1.3 Ngôn ngữ phi ngữ cảnh 18

2 Văn phạm phi ngữ cảnh 20 2.1 Định nghĩa 20

2.2 Cây dẫn xuất trong văn phạm phi ngữ cảnh 25

2.3 Các chiến lược phân tích cú pháp 29

3 Ứng dụng của văn phạm phi ngữ cảnh 35 3.1 Tổng quan về ứng dụng của văn phạm phi ngữ cảnh 36

3.2 Một số thuật toán phân tích cú pháp 43

Header Page 5 of 128.

3.2.1 Thuật toán Left to right parse - Leftmost

deriva-tion (LL) 433.2.2 Thuật toán Earley 473.2.3 Thuật toán Cocke-Younger-Kasami (CYK) 49

Header Page 6 of 128.

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Văn phạm phi ngữ cảnh là một là mô hình toán học sản sinh ralớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh.Văn phạm phi ngữ cảnh cho phép mô tả cácbiểu thức số học trong các dấu ngoặc lồng nhau hay những cấu trúc khốitrong ngôn ngữ lập trình, có nhiều ứng dụng thực tế rất quan trọng, đặcbiệt là trong phân tích cú pháp

Ngôn ngữ hình thức được nhà ngôn ngữ học nổi tiếng Noam sky phân ra làm bốn loại: ngôn ngữ ngữ cấu (nhóm 0), ngôn ngữ cảmngữ cảnh (nhóm 1), ngôn ngữ phi ngữ cảnh (nhóm 2) và ngôn ngữ chínhquy (nhóm 3) Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp ngôn ngữ phi ngữcảnh và văn phạm phi ngữ cảnh em đã quyết định chọn đề tài nghiêncứu cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng là

Chom-“Văn phạm phi ngữ cảnh và ứng dụng trong phân tích cú pháp”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về văn phạm và ngôn ngữ phi ngữ cảnh trong lý thuyếtngôn ngữ hình thức

Header Page 7 of 128.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày một cách hệ thống về văn phạm, ngôn ngữ phi ngữ cảnh

và ứng dụng liên quan

4 Đối tượng và phạm vi nghiên nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Văn phạm và ngôn ngữ phi ngữ cảnh

• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tổng quan về văn phạm và ngônngữ phi ngữ cảnh

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu các tài liệu, sách, báo liên quan đến các kết quả đã có vềvăn phạm và ngôn ngữ phi ngữ cảnh Tổng hợp kiến thức và trình bàymột cách hệ thống

6 Đóng góp mới

Hệ thống các kiến thức về văn phạm phi ngữ cảnh và ứng dụngcủa chúng, góp phần làm phong phú hơn các kết quả, sự hiểu biết vềvăn phạm và ngôn ngữ phi ngữ cảnh Hi vọng luận văn là một tài liệutham khảo hữu ích về lý thuyết và ngôn ngữ hình thức

Header Page 8 of 128.

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Có thể hình dung một văn phạm như một “thiết bị tự động” cókhả năng sinh ra một tập hợp các từ trên một bảng chữ cho trước Mỗi

từ được sinh ra sau một số hữu hạn bước thực hiện các quy tắc của vănphạm

Việc xác định một ngôn ngữ trên bảng chữ cho trước có thể đượcthực hiện bằng một trong các cách thức sau:

Cách 1: Đối với mỗi từ thuộc ngôn ngữ đã cho, ta có thể chọn mộtquy cách hoạt động của “thiết bị tự động” để sau một số hữu hạn bướclàm việc nó dừng và sinh ra chính từ đó

Cách 2: “Thiết bị tự động” có khả năng lần lượt sinh ra tất cả các

từ trong ngôn ngữ đã cho

Cách 3: Với mỗi từ cho trước, “thiết bị tự động” có thể cho biết từ

đó có thuộc ngôn ngữ đã cho hay không

Trong lý thuyết văn phạm, người ta đã chứng minh được rằng bacách thức trên là tương đương nhau hay văn phạm làm việc theo cáccách trên là tương đương nhau Vì vậy, ở đây ta quan tâm đến cách thứ

Header Page 9 of 128.

nhất, tức là ta xét văn phạm như là một “thiết bị tự động” sinh ra các

từ Vì lẽ đó mà người ta còn gọi các “thiết bị tự động” đó là văn phạmsinh

Việc sinh ra các từ có thể được thực hiện bằng nhiều cách khácnhau Các từ có thể được sinh ra bởi các văn phạm, bởi các Otomat, bởicác máy hình thức như máy Turing, Ở đây ta đề cập đến cách củaN.Chomsky đưa ra vào những năm 1956-1957

Tổng số vị trí của các ký hiệu xuất hiện trong xâu α được gọi là

độ dài của từ α và ký hiệu là |α|

Như vậy, một từ trên bảng chữ Σ là một xâu hữu hạn gồm một số

Header Page 10 of 128.

lớn hơn hay bằng không các chữ của Σ, trong đó một chữ có thể xuấthiện nhiều lần.

Xâu không có chữ nào được gọi là từ rỗng và được ký hiệu là ε

Về cấu trúc đại số thì Σ∗ là một vị nhóm tự do sinh bởi Σ với đơn

vị là từ rỗng ε, còn Σ+ là một nửa nhóm tự do sinh bởi Σ Có thể chứngminh được rằng các tập Σ∗ và Σ+ là vô hạn đếm được

Chú ý rằng ngôn ngữ rỗng: ∅ là khác với ngôn ngữ chỉ gồm một từ rỗng:{ε}

Header Page 11 of 128.

Ví dụ 1.3 + L = {ε, 0, 1, 01, 10, 00, 11, 011, 100} là một ngôn ngữ trênbảng chữ cái Γ = {0, 1}.

+ L = {a, b, c, aa, ab, ac, abc} là ngôn ngữ trên bảng chữ Σ = {a, b, c}.+ L1 = {ε, a, b, abb, aab, aaa, bbb, abab}, L2 = {anbn|n ∈ N } là hai ngônngữ trên bảng chữ Σ = {a, b}, L1 là ngôn ngữ hữu hạn trong khi L2 làngôn ngữ vô hạn Mỗi từ thuộc ngôn ngữ L2 có số chữ a bằng số chữ bvới a và b không xen kẽ, a nằm ở phía trái và b ở phía phải của từ

Một số phép toán cơ bảnCác họ ngôn ngữ cụ thể thường được đặc trưng một cách tiện lợiqua các phép toán xác định trên ngôn ngữ, họ đó gồm các ngôn ngữnhận được bằng việc tổ hợp từ một số ngôn ngữ cho trước bởi một sốphép toán nào đó Vì mỗi ngôn ngữ là một tập hợp nên ta có các phéptoán đại số tập hợp như là phép giao, phép hợp, phép hiệu, phép lấy

bù trên các ngôn ngữ Chẳng hạn, với L1 và L2 là hai ngôn ngữ trênbảng chữ Σ thì ta cũng có các ngôn ngữ mới sau đây trên bảng chữ

Dễ dàng thấy rằng phép hợp các ngôn ngữ có các tính chất sau:i) Phép hợp hai ngôn ngữ có tính giao hoán: L1 ∪ L2 = L2 ∪ L1.

ii) Phép hợp các ngôn ngữ có tính kết hợp: (L1∪L2)∪L3 = L1∪(L2∪L3).iii) Với mọi ngôn ngữ L trên Σ thì: L ∪ ∅ = ∅ ∪ L = L và L ∪ Σ∗ = Σ∗

Giao của hai ngôn ngữ L1 và L2 trên bảng chữ cái Σ, ký hiệu

L1 ∩ L2, là một ngôn ngữ trên bảng chữ Σ, đó là tập từ:

L = {ω ∈ Σ∗ | ω ∈ L1 và ω ∈ L2}

Định nghĩa phép giao có thể mở rộng cho một số hữu hạn các ngônngữ, tức là giao của các ngôn ngữ L1, L2, , Ln trên bảng chữ Σ, làtập từ:

iv) Với mọi ngôn ngữ L trên Σ thì: L ∩ ∅ = ∅ ∩ L = L và L ∩ Σ∗ = Σ∗

Ngôn ngữ phần bù của ngôn ngữ L trên bảng chữ Σ, ký hiệu CΣL(hay đơn giản là CL, nếu không gây nhầm lẫn), là một ngôn ngữ trênbảng chữ cái Σ, đó là tập từ:

CΣL = {ω ∈ Σ∗ | ω /∈ L}

Nhận xét

Header Page 13 of 128.

Dễ dàng thấy rằng phép lấy phần bù các ngôn ngữ có các tính chấtsau:

iii) Đặc biệt: Phép nhân ghép không có tính phân phối đối với phép giao.Phép hợp, phép giao không có tính phân phối đối với phép nhân ghép.Tức là với mọi ngôn ngữ L1, L2 và L3, thì:

L1(L2 ∩ L3) 6= (L1L2) ∩ (L1L3) và

L1 ∪ (L2L3) 6= (L1 ∪ L2)(L1 ∪ L3),

L1 ∩ (L2L3) 6= (L1 ∩ L2)(L1 ∩ L3)

Ví dụ 1.5 Đây là một phản ví dụ để chỉ ra rằng phép nhân ghép không

có tính phân phối đối với phép giao Phép hợp, phép giao không có tínhphân phối đối với phép nhân ghép Xét các ngôn ngữ L1 = {0, 01}, L2 ={01, 10}, L3 = {0} trên bảng chữ cái Σ = {0, 1}

+ Có thể kiểm tra được rằng phép nhân ghép không có tính phân phốiđối với phép giao:

Ta có: L2 ∩ L3 = ∅, do đó:

L1(L2 ∩ L3) = ∅,

Mặt khác, ta có L1L2 = {001, 010, 0101, 0110} và L1L3 = {00, 010}, dođó:

Vậy L1∪ (L2L3) 6= (L1∪ L2(L1∪ L3), tức là phép hợp không có tính phânphối đối với phép nhân ghép

Header Page 15 of 128.

Tương tự, đối với phép giao, ta có:

1.1.2 Biểu diễn ngôn ngữ

Biểu diễn ngôn ngữ hữu hạn: Biểu diễn chúng bằng cách liệt kêtất cả các chuỗi thuộc vào chúng

Ví dụ 1.6

L1 = {ε}, L2 = {a, ba, aaba, bbbbb}

Ví dụ 1.7 Ngôn ngữ gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 20 và lớn hơn 12, là

1.2 Văn phạm

Định nghĩa 1.1 Văn phạm G là một bộ sắp thứ tự gồm 4 thành phần:

G = hΣ, ∆, S, P i,trong đó:

+ Σ là một bảng chữ, gọi là bảng chữ cơ bản (hay bảng chữ kết thúc),mỗi phần tử của nó được gọi là một ký hiệu kết thúc hay ký hiệu cơ bản;+ ∆ là một bảng chữ, ∆ ∩ Σ = ∅, gọi là bảng ký hiệu phụ (hay bảng chữkhông kết thúc), mỗi phần tử của nó được gọi là một ký hiệu không kếtthúc hay ký hiệu phụ

+ S ∈ ∆ được gọi là ký hiệu xuất phát hay tiên đề;

+ P là tập hợp các quy tắc sinh có dạng α → β, α được gọi là vế trái

và β được gọi là vế phải của quy tắc này, với α, β ∈ (Σ ∪ ∆)∗ và trong

α chứa ít nhất một ký hiệu không kết thúc

P = α → β | α = α0Aα00, với A ∈ ∆, α0, α00, β ∈ (Σ ∪ ∆)

Chẳng hạn, với Σ = {0, 1}, ∆ = {S, A, B} thì các quy tắc S →0S1A, 0AB → 1A1B, A → ε, là các quy tắc hợp lệ vì vế tráiluôn chứa ít nhất 1 ký hiệu phụ thuộc ∆ Nhưng các quy tắc dạng

0 → A, 01 → 0B, là các quy tắc không hợp lệ

Ví dụ 1.10 Các bộ bốn sau là các văn phạm:

+ G1 = h{0, 1}, {S}, S, {S → 0S1, S → ε}i,

+ G2 = h{a, b}, {S, A}, S, {S → Ab, A → aAb, A → ε}i,

+ G3 = h{a, b, c}, {S, A, B, C}, S, {S → ABC, A → aA, B → bB, C →

cC, A → a, B → b, C → c}i,

+ G4 = hΣ, ∆, S, P i, trong đó:

Σ = {tôi, anh, chị, ăn, uống, cơm, phở, sữa, café},

Header Page 17 of 128.

∆ = {h câui, h chủngữi, h vịngữi, hđộngtừ1i, hđộngtừ2i, hdanhtừ1i,

Chú ý rằng, nếu các quy tắc có vế trái giống nhau có thể viết gọnlại: hai quy tắc α → β, α → γ có thể được viết là α → β | γ Chẳnghạn, như trong văn phạm G1 ở thí dụ 1.10, ta có thể viết hai quy tắccủa nó dưới dạng S → 0S1 | ε

Định nghĩa 1.2 Cho văn phạm G = hΣ, ∆, S, P i và η, ω ∈ (Σ ∪ ∆)∗

Ta nói ω được suy dẫn trực tiếp từ η trong G, ký hiệu η `G ω hay ngắngọn là η ` ω (nếu không sợ nhầm lẫn), nếu tồn tại quy tắc α → β ∈ P

và γ, δ ∈ (Σ ∪ ∆)∗ sao cho η = γαδ, ω = γβδ

Điều này có nghĩa là nếu η nhận vế trái α của quy tắc α → β như là từcon thì ta thay α bằng β để được từ mới ω

Định nghĩa 1.3 Cho văn phạm G = hΣ, ∆, S, P i và η, ω ∈ (Σ ∪ ∆)∗

Ta nói ω được suy dẫn từ η trong G, ký hiệu η |=G ω hay ngắn gọn

là η |= ω (nếu không sợ nhầm lẫn), nếu η = ω hoặc tồn tại một dãy

D = ω0, ω1, , ωk ∈ (Σ ∪ ∆)∗ sao cho ω0 = η, ωk = ω và ωi−1 ` ωi, với

i = 1, 2, , k

Dãy D = ω0, ω1, , ωk được gọi là một dẫn xuất của ω từ η trong G và

số k được gọi là độ dài của dẫn xuất này Nếu ω0 = S và ωk ∈ Σ∗ thìdãy D gọi là dẫn xuất đầy đủ

Header Page 18 of 128.

Nếu ωi được suy dẫn trực tiếp từ ωi−1 bằng việc áp dụng một quy tắc pnào đó trong G thì ta nói quy tắc p được áp dụng ở bước thứ i.

Định nghĩa 1.4 Cho văn phạm G = hΣ, ∆, S, P i Từ ω ∩ Σ∗ được gọi

là sinh bởi văn phạm G nếu tồn tại suy dẫn S |= ω Ngôn ngữ sinh bởivăn phạm G, ký hiệu L(G), là tập hợp tất cả các từ sinh bởi văn phạmG:

L(G) = {ωk ∈ Σ∗|S |=G ω}

Định nghĩa 1.5 Hai văn phạm G1 = hΣ1, ∆1, S1, P1i và G2 = hΣ2, ∆2, S2, P2iđược gọi là tương đương nếu L(G1) = L(G2)

Ví dụ 1.11 + Xét văn phạm G1 trong thí dụ 1.10 Từ ω = 00001111được suy dẫn từ S bằng dãy dẫn xuất độ dài 5: S ` 0S1 ` 00S11 `000S111 ` 0000S1111 ` 00001111 (có thể viết ngắn gọn là ω = 0414)

Bằng việc sử dụng n lần (n ≥ 0) quy tắc 1 rồi quy tắc 2, ta có: S |= 0n1n

7, ta có: S ` ABC |= amAbnBckC |= ambnck

Do đó L(G3) = {ambnck|m ≥ 1, n ≥ 1, k ≥ 1}

+ Dễ dàng thấy rằng: L(G4) = {tôi ăn cơm, anh ăn cơm, chị ăn cơm, }

Ví dụ 1.12 Cho hai văn phạm

G3 = hΣ, {S}, S, P 3i, G4 = hΣ, {S}, S, P 4i,

Header Page 19 of 128.

S ` Si1 ` Si2i1 ` ` Sik−1 i2i1 ` Sikik−1 i2i1,

(với i1, i2, , ik ∈ Σ), trong đó i1, i2, , ik−1 ≥ 0 và ik ≥ 1 Do đó,L(G3) = {n|n ≥ 1}

Lập luận như trên, ta nhận được L(G4) = {n|n ≥ 0} Vì vậy, G3 và G4

không tương đương nhau

Định nghĩa 1.6 Một văn phạm G = hΣ, ∆, S, P i được gọi là phi ngữcảnh (context free) nếu mọi luật sinh trong P có dạng A → x, trong đó

A ∈ Σ còn x ∈ (Σ ∩ ∆)∗

Định nghĩa 1.7 Một ngôn ngữ được gọi là phi ngữ cảnh nếu và chỉ nếu

có một văn phạm phi ngữ cảnh G sao cho L = L(G)

Ví dụ 1.13 Ngôn ngữ sau là phi ngữ cảnh

phạm này sinh ra ngôn ngữ

L = {w ∈ {a, b}∗ : na(w) = nb(w) và na(v) ≥ nb(v)}.với v là một tiếp đầu ngữ bất kỳ của w

Header Page 21 of 128.

Chương 2 Văn phạm phi ngữ cảnh

Dựa vào đặc điểm của tập quy tắc mà người ta chia các văn phạmthành các nhóm khác nhau Noam Chomsky (Giáo sư của Viện côngnghệ Massachusetts đã phân loại văn phạm thành bốn nhóm:

Nhóm 0: Văn phạm không hạn chế (hay văn phạm ngữ cấu, vănphạm tổng quát),

Nhóm 1: Văn phạm cảm ngữ cảnh,Nhóm 2: Văn phạm phi ngữ cảnh,Nhóm 3: Văn phạm chính quy

a) G được gọi là văn phạm ngữ cảnh nếu:

Văn phạm G = hΣ, ∆, S, P i mà không có một ràng buộc nào đốivới các quy tắc của nó được gọi là văn phạm tổng quát hay văn phạmkhông hạn chế

b) G được gọi là văn phạm cảm ngữ cảnh nếu:

Văn phạm G = hΣ, ∆, S, P i mà các quy tắc của nó đều có dạng:

α → β, với α = α0Aα00, A ∈ ∆, α0, α00, β ∈ (Σ ∩ ∆)∗, và |α| ≤ |β|, đượcgọi là văn phạm nhóm 1 hay văn phạm cảm ngữ cảnh

c) G được gọi là văn phạm phi ngữ cảnh nếu:

Văn phạm G = hΣ, ∆, S, P i mà các quy tắc của nó có dạng A → ω,trong đó A ∈ ∆, ω ∈ (Σ ∩ ∆)∗, được gọi là văn phạm nhóm 2 hay vănphạm phi ngữ cảnh

d) G được gọi là văn phạm chính quy nếu:

Văn phạm G = hΣ, ∆, S, P i mà các quy tắc của nó chỉ có dạng

A → aB, A → a (hoặc chỉ có dạng A → Ba, A → a), trong đó

A, B ∈ ∆, a ∈ Σ, được gọi là văn phạm nhóm 3 hay văn phạm chínhquy

Như vậy, các quy tắc trong văn phạm nhóm 0 có dạng: α → β,với α = α0Aα00, A ∈ ∆, α0, α00, β ∈ (Σ ∩ ∆)∗ Các quy tắc của văn phạmnhóm 0 được gọi là quy tắc không hạn chế Ngôn ngữ do văn phạm nhóm

0 sinh ra được gọi là ngôn ngữ tổng quát

Các quy tắc trong văn phạm nhóm 1 được gọi là quy tắc cảm ngữcảnh Ngôn ngữ do văn phạm cảm ngữ cảnh sinh ra được gọi là ngônngữ cảm ngữ cảnh

Các văn phạm mà các quy tắc của chúng có dạng trên, đồng thời

Header Page 23 of 128.

chứa thêm quy tắc rỗng S → ε, cũng được xếp vào lớp văn phạm

nhóm 1

Như vậy, các quy tắc trong văn phạm phi ngữ cảnh có vế trái chỉchứa một ký hiệu phụ còn vế phải là tùy ý, và được gọi là quy tắc phingữ cảnh Ngôn ngữ do văn phạm phi ngữ cảnh sinh ra được gọi là ngônngữ phi ngữ cảnh

Các văn phạm mà các quy tắc của chúng có dạng trên, đồng thờichứa thêm quy tắc rỗng S → ε cũng được gọi là văn phạm chính quy(hay còn gọi là văn phạm chính quy suy rộng)

Các quy tắc trong văn phạm chính quy được gọi là quy tắc chínhquy Ngôn ngữ do văn phạm chính quy sinh ra được gọi là ngôn ngữchính quy

Ví dụ 2.1 Cho văn phạm G = h{a, b, c}, {S, A, B, C}, S, P i, trong đó:

P = {S → aSAC, S → abC, CA → BA, BA → BC, BC → AC, bA →

bb, C → c} Khi đó G là văn phạm cảm ngữ cảnh

Sử dụng n − 1 lần (n ≥ 1) quy tắc 1, rồi quy tắc 2, kế đến sử dụng liêntiếp các quy tắc 3, 4, 5 (để đổi chỗ A và C), sau đó sử dụng n − 1 lầnquy tắc 6 và n lần quy tắc 7, ta có:

S |= an−1S(AC)n−1 ` anbC(AC)n−1 |= anbAn−1Cn |= anbncn

Từ đó suy ra L(G) = {anbncn|n ≥ 1}

Ví dụ 2.2 + Cho văn phạm

G1 = h{a, b}, {S, A}, S, P i,trong đó:

P = {S → Sa, S → Aa, A → aAb, A → ab}

Header Page 24 of 128.

Khi đó G1 là văn phạm phi ngữ cảnh.

Khi đó, G1 là văn phạm chính quy và L(G1) = {12n | n ≥ 0} Thật vậy,

sử dụng quy tắc 1, ta có S ` 12n, (ε = 12n với n = 0), sử dụng quy tắc

2, rồi n − 1 lần (n ≥ 1) liên tiếp cặp quy tắc 3 và 4, cuối cùng là quytắc 5, ta có:

S ` 1A ` 11B ` 111A ` |= 1(12n−2)A ` 1(12n−2)1 = 12n.+ Cho văn phạm

G2 = h{0, 1}, {S, A}, S, P2, P2 = {S → 0A, A → 0A, A → 1A, A → 0}i.Khi đó, G1 là văn phạm chính quy và L(G2) = {0ω0 | ω ∈ {0, 1}∗} Thậtvậy, sử dụng quy tắc 1, rồi một số hưữ hạn lần tuỳ ý, có thể xen kẽ cácquy tắc 2 và 3, cuối cùng là quy tắc 4, ta có: S ` 0A |= 0ωA ` 0ω0.Nhận xét

Từ các định nghĩa trên, ta thấy lớp văn phạm không hạn chế làrộng nhất, nó chứa đựng các văn phạm cảm ngữ cảnh, lớp văn phạm

Header Page 25 of 128.

cảm ngữ cảnh chứa các văn phạm phi ngữ cảnh và lớp văn phạm phingữ cảnh chứa các văn phạm chính quy.

Ngôn ngữ hình thức được gọi là ngôn ngữ tổng quát (hay cảm ngữcảnh, phi ngữ cảnh, chính quy) nếu tồn tại văn phạm loại tương ứngsinh ra nó Vì vậy, đối với các lớp ngôn ngữ, nếu ký hiệu L0, L1, L2, L3lần lượt là các lớp ngôn ngữ tổng quát, cảm ngữ cảnh, phi ngữ cảnh vàchính quy thì ta có bao hàm thức:

L3 ⊂ L2 ⊂ L1 ⊂ L0

Ta cũng thấy về mặt cấu trúc ngữ pháp thì các quy tắc của cácvăn phạm phi ngữ cảnh và văn phạm chính quy là đơn giản hơn cả vàchúng có nhiều ứng dụng trong việc thiết kế các ngôn ngữ lập trình vàtrong nghiên cứu về chương trình dịch Vì vậy, trong các phần tiếptheo chúng ta dành thêm sự quan tâm tới hai lớp văn phạm đó

Ví dụ 2.4 Cho bảng chữ cái Σ = {a1, a2, , an}

Chứng minh rằng các ngôn ngữ: L1 = {ω = a1a2 an}, L2 = Σ+, L3 =

Σ∗, L = ∅ là các ngôn ngữ chính quy trên bảng chữ Σ

Thật vậy, ta có thể xây dựng các văn phạm chính quy sinh các ngôn ngữtrên:

G1 = hΣ, {S, A1, , An−1}S,

{S → a1A1, A1 → a2A2, , An−2 → an−1An−1, An−1 → an}i

Dễ thấy G1 là văn phạm chính quy, và L1 = L(G1)

G2 = hΣ, {S}, S, {S → aS, S → a|a ∈ Σ}i,

dễ thấy G2 là văn phạm chính quy, và L2 = L(G2)

G3 = hΣ, {S, A}, S, {S → ε, S → a, S → aA, A → aA, A → a|a ∈ Σ}i,

dễ thấy G3 là văn phạm chính quy, và L3 = L(G3)

G4 = hΣ, {S}, S, {S → aS|a ∈ Σ}i, dễ thấy G4 là văn phạm chính quy,

Header Page 26 of 128.

và nó làm việc không bao giờ dừng, tức là không có ω ∈ Σ∗ sinh bởi G4,vậy G4 sinh ra ngôn ngữ ∅.

Định nghĩa 2.2 Cho văn phạm phi ngữ cảnh G = hΣ, ∆, S, P i Câysuy dẫn đầy đủ trong văn phạm G là một cây có gốc thoả mãn bốn điềukiện sau:

i Mỗi đỉnh của cây được gán một nhãn là các ký hiệu trong tập Σ ∪ ∆ ∪{ε} Gốc của cây được gán nhãn là S

ii Mỗi đỉnh trong được gán nhãn là một ký hiệu nào đó trong ∆

iii Mỗi đỉnh ngoài (lá của cây) được gán nhãn là một ký hiệu trong tậpΣ

iv Nếu đỉnh m được gán nhãn là A ∈ ∆, còn các đỉnh n1, n2, , nk

là các con của đỉnh m theo thứ tự từ trái sang phải và được gán nhãn

B1, B2, , Bk tương ứng thì A → B1B2 Bk là một quy tắc trong Pcủa văn phạm G

Nếu đọc tất cả nhãn ở các lá theo thứ tự từ trái sang phải, ta sẽnhận được một từ nào đó Từ đó sẽ là một phần tử trong L(G) và đượcgọi là kết quả của cây suy dẫn trong G

Định nghĩa 2.3 Suy dẫn trái nhất (nói gọn là suy dẫn trái), nếu ở mỗibước suy dẫn, biến được thay thế là biến nằm bên trái nhất trong dạngcâu

Suy dẫn phải nhất: (nói gọn là suy dẫn phải), nếu ở mỗi bước suy dẫn,biến được thay thế là biến nằm bên phải nhất trong dạng câu

Header Page 27 of 128.