Thông tin tài liệu
PHỊNG GD-ĐT ĐỨC THỌ Đề thi thức ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN NĂM HỌC 2015-2016 Thời gian làm 120 phút x �1 3x �1 Bài 1: Cho biểu thức A � �: x x 1 x �x � a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A Bài 2: a) Giải phương trình 2x2 x 2015 4 x2 5x 2016 4 2x2 x 2015 x2 5x 2016 2 b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x3 2x2 3x y3 2 Bài 3: a) Tìm a, b cho đa thức f x ax bx 10x chia hết cho đa thức g x x x b) Biết x2 y2 x y Tìm GTNN GTLN P x y Bài 4: Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng DC N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh OEM vuông cân b) Chứng minh ME // BN c) Từ C kẻ CH BN (H BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng a b b c c d a d � Bài 5: Cho a, b, c > Chứng minh b c c d d a a b BÀI GIẢI �x ��1 � Bài 1: ĐKXĐ: � x� � � �1 x x x �x 1 x 2x x x a) Ta có A � 2� 1 x 1 x 1 x � 3x 3x 3x x 1 � b) Để A nhận giá trị nguyên 1 3x �Ư(2) = {-2; -1; 1; 2} Với 1 3x 2 � x (không TMĐK) Với 1 3x 1� x Với 1 3x 1� x (TMĐK) Với 1 3x � x (loại) (loại) Vậy x = thỏa mãn tốn c) Vì A �A , dấu "=" xảy A Do để A A � 1 3x � x 2 1 3x 1 3x 1 Đối chiếu ĐKXĐ x , x �1 thỏa mãn toán 3 Bài 2: a) Phương trình tương đương �2x2 x 2015 x2 5x 2016 � � � 2017 � 2x2 x 2015 2x2 10x 4032 � 11x 2017 � x 2017 Vậy phương trình có nghiệm x b) Xét x = y3 khơng thỏa mãn Xét x = y3 � y Xét x 1 y3 � y Với x 1 x 1, x nguyên nên x2 Ta có 1 x2 � x3 2x2 3x x3 3x2 3x x 1 Mặt khác x > 2x2 3x 2 2 Nếu x 1 2x 3x x x 3x x x 1 x 2 Do x3 2x2 3x x3 , suy x3 y3 x 1 , vơ lí Vậy x;y � 1;0 ; 1;2 thỏa mãn toán Bài 3: a) Giả sử đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x), tồn đa thức q(x) cho f x ax3 bx2 10x q x x2 x với x a b a b 6 a 4 � � � �� �� Xét x = x = -2 ta có � 2a b 6 � b 2 �8a 4b 24 � Vậy a;b 4; 2 thỏa mãn tốn 2 b) Ta có x y x y x y 2 x y � x y x y 2 x y 2 2 � x y � x y 1� � ��0 � P x y �1� 1�P �1 2 x y x � � �� GTNN P -1 Đạt � x y 1 � y1 � x y � x1 � �� GTLN P Đạt � x y � y � BE MC � �� � 450 OBE OCM Bài 4: a) Xét OBE OMC có � � OB OC � nên OBE = OMC (c – g – c) � COM � OE = OM BOE � COM � 900 mà BOM � BOE � 900 � MOE � 900 � BOM E A O B M H H' D N C Do OEM vng cân O b) Áp dụng hệ định lí TaLet ta có: MN MC BE MN BE MC // AD nên hay suy ME // BN (Định lí đảo định lí TaLet) AN AD AB AN AB � 450 c) Giả sử đường thẳng OM cắt BN H' Vì OEM vng cân nên OME � � 450 (đồng vị), suy OH'B � � 450 , BMH' � � ME // BN nên OH'B (đối OME OCM OMC MH' MB MH' MC � CMH' � � đỉnh) suy MH'B MCO (g – g) � , BMO (đối đỉnh) MC MO MB MO � � 450 Suy BMO H'MC (c – g – c) � MH'C MBO � � Do OH'B MH'C 900 suy CH' BN Suy điểm H' trùng với H Vậy O, M, H thẳng hàng Bài 5: BĐT tương đương a b b c c d d a a b b c c d d a �0 � 1 1 1 1�4 b c c d d a a b b c c d d a a b a c b d c a d b � � �1 �1 �4 � a c � b d � � ��4 b c c d d a a b �b c d a � �c d a b � 1 Áp dụng BĐT � với x, y > Ta có x y x y 4 b d 1 � � 4 a c �1 a c � �b c d a � b d �c d a b ��a b c d a b c d � � � � Do BĐT chứng minh Dấu "=" xảy a = b = c = d � Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh ... TaLet ta có: MN MC BE MN BE MC // AD nên hay suy ME // BN (Định lí đảo định lí TaLet) AN AD AB AN AB � 450 c) Giả sử đường thẳng OM cắt BN H' Vì OEM vng cân nên OME � � 450 (đồng vị),... với x a b a b 6 a 4 � � � �� �� Xét x = x = -2 ta có � 2a b 6 � b 2 �8a 4b 24 � Vậy a;b 4; 2 thỏa mãn tốn 2 b) Ta có x y x y x y
Ngày đăng: 31/12/2018, 07:13
Xem thêm:
