A+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC TS BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH III (lưu hành nội bộ) CHUỖI - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ L APLACE Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Hà Nội - 2018 (bản cập nhật Ngày tháng năm 2018) Tập Bài giảng q trình hồn thiện chứa lỗi đánh máy, lỗi kí hiệu chỗ sai chưa kiểm tra hết Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến để tập Bài giảng hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gửi địa “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos Use at your own risk! Hà Nội, Ngày tháng năm 2018 MỤC Mục lục LỤC Chương Chuỗi (11LT+11BT) 5 Đại cương chuỗi số Chuỗi số dương 2.1 Tiêu chuẩn tích phân 2.2 Các tiêu chuẩn so sánh 2.3 Tiêu chuẩn d’Alambert 2.4 Tiêu chuẩn Cauchy 2.5 Đọc thêm: Tiêu chuẩn d’Alambert vs Tiêu chuẩn Cauchy 2.6 Bài tập ôn tập Chuỗi số với số hạng có dấu 3.1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 3.2 Chuỗi đan dấu 3.3 Hội tụ tuyệt đối vs Bán hội tụ 3.4 Phép nhân chuỗi 3.5 Khi dùng tiêu chuẩn nào? 3.6 Ví dụ chuỗi bán hội tụ khơng phải chuỗi đan dấu 3.7 Bài tập ôn tập Chuỗi hàm số 4.1 Chuỗi hàm số hội tụ 4.2 Chuỗi hàm số hội tụ 4.3 Các tính chất chuỗi hàm số hội tụ 4.4 Một số ý chuỗi hàm 4.5 Bài tập ôn tập Chuỗi lũy thừa 5.1 Các tính chất chuỗi lũy thừa 5.2 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 12 12 14 20 22 24 26 29 29 31 32 34 36 38 40 47 47 49 51 55 56 58 61 63 MỤC LỤC 5.3 Khai triển Maclaurin số hàm số sơ cấp 5.4 Đọc thêm: Công thức Euler 5.5 Ứng dụng chuỗi lũy thừa 5.6 Bài tập ôn tập Chuỗi Fourier 6.1 Chuỗi lượng giác & chuỗi Fourier 6.2 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 6.3 Khai triển hàm số chẵn, hàm số lẻ 6.4 Khai triển hàm số tuần hoàn với chu kỳ 6.5 Khai triển chuỗi Fourier hàm số đoạn [a, b] 6.6 Bài tập ôn tập Chương Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT) 65 68 70 71 76 76 77 81 84 86 88 93 Các khái niệm mở đầu Phương trình vi phân cấp 2.1 Đại cương phương trình vi phân cấp 2.2 Các phương trình khuyết 2.3 Phương trình vi phân với biến số phân ly 2.4 Phương trình vi phân đẳng cấp 2.5 Phương trình đưa phương trình đẳng cấp 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính 2.7 Phương trình Bernoulli 2.8 Phương trình vi phân tồn phần 2.9 Thừa số tích phân 2.10 Bài tập ôn tập Phương trình vi phân cấp hai 3.1 Đại cương phương trình vi phân cấp hai 3.2 Các phương trình khuyết 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số số 3.5 PTVP tuyến tính đưa PTVP tuyến tính với hệ số 3.6 Phương trình Euler 3.7 Phương trình Chebysev 3.8 Đọc thêm: Phương pháp đặc trưng giải PTVP tuyến tính cấp n với hệ số 3.9 Bài tập ôn tập Đại cương hệ phương trình vi phân cấp 4.1 Các loại nghiệm hệ PTVP 4.2 Mối liên hệ PTVP cấp n hệ n PTVP cấp 95 96 96 97 98 99 99 100 102 103 104 106 107 107 107 109 116 120 121 122 122 123 125 125 127 MỤC LỤC Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 5.1 Hệ PTVP TT cấp 5.2 Hệ PTVP TT cấp không 5.3 PP biến thiên số giải hệ PTVP TT cấp Hệ PTVP TT với hệ số số 6.1 Phương pháp đặc trưng 6.2 Phương pháp khử 6.3 Bài tập ôn tập Chương Phương pháp toán tử Laplace (8 LT + BT) 128 128 130 131 133 133 135 137 139 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược 1.1 Phép biến đổi Laplace 1.2 Phép biến đổi Laplace nghịch đảo Phép biến đổi toán với giá trị ban đầu 2.1 Phép biến đổi đạo hàm, nghiệm toán giá trị ban đầu 2.2 Phép biến đổi Laplace hàm số f (t) có dạng f (t) = tg(t) 2.3 Phép biến đổi Laplace tích phân Phép tịnh tiến phân thức đơn giản 3.1 Phép tịnh tiến 3.2 Phép biến đổi Laplace ngược hàm phân thức Đạo hàm, tích phân tích phép biến đổi 4.1 Tích chập - Phép biến đổi Laplace tích chập 4.2 Vi phân phép biến đổi 4.3 Tích phân phép biến đổi 4.4 Phép biến đổi Laplace hàm Heaviside tịnh tiến trục 4.5 Bài toán giá trị ban đầu PTVP có hệ số hàm số 139 140 143 145 145 147 148 149 149 150 154 154 156 157 158 160 Phụ lục 163 Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số 163 Chương B Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh 171 Chương C Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh d’Alembert Cauchy 175 lim an+1 n→+∞ an lim n→+∞ √ n = tiêu chuẩn mạnh tiêu chuẩn d’Alembert 175 an = tiêu chuẩn mạnh tiêu chuẩn Cauchy 178 MỤC LỤC CHƯƠNG CHUỖI (11LT+11BT) §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ Định nghĩa 1.1 Cho {an }∞ n=1 dãy số Tổng vô hạn a1 + a2 + · · · + an + · · · gọi chuỗi số kí hiệu ∞ an , an gọi số hạng tổng quát n=1 Sn = a1 + a2 + · · · + an gọi tổng riêng thứ n i) Nếu dãy số {Sn } hội tụ lim Sn = S tồn tại, ta nói chuỗi số n→∞ có tổng S viết ∞ ∞ an hội tụ n=1 an = S n=1 ii) Ngược lại, ta nói chuỗi số ∞ an phân kỳ n=1 Ví dụ 1.1 Hãy xét ví dụ trực quan chuỗi số sau Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1] Chia đôi khoảng ta hai khoảng [0, 1/2] (1/2, 1], khoảng có độ dài 1/2 Sau ta lại tiếp tục chia đơi khoảng [0, 1/2], ta hai khoảng, khoảng có độ dài 1/4 Tiếp tục kéo dài trình ta chuỗi số sau: 1 1 = + + ··· + n + ··· Ví dụ 1.2 Xét chuỗi số sau: + + ··· + n + ··· Chương Chuỗi (11LT+11BT) Chuỗi số có tổng riêng thứ n n(n + 1)/2 nên tiến vô n tiến vơ Nói cách khác, chuỗi số phân kỳ Ví dụ 1.3 (Ngụy biện toán học) Chứng minh −1 = +∞ Chứng minh Xét chuỗi số S= Ta có 2S = + 1 + + ··· + n + ··· 1 + + · · · = + S ⇒ S = Áp dụng lập luận với chuỗi số S = + + + ··· 2S = + + + · · · = S − ⇒ S = −1 ⇒ −1 = +∞ Tại với lập luận mà S= 1 + + ··· + n + ··· = dẫn đến kết đúng, S = + + + · · · + 2n + · · · = −1 lại dẫn đến kết sai? Ví dụ 1.4 (Ngụy biện tốn học) Chứng minh = Chứng minh Xét chuỗi số S = − + − + − + Ta có S = (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = + + · · · = Mặt khác, Vậy = S = + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = + + + · · · = Ví dụ 1.5 Xét hội tụ tính tổng (nếu có) (1) chuỗi hình học · · · Ta có (1) gọi chuỗi cấp số nhân ∞ n=0 S n qSn = a + aq + · · · + aq n−1 = aq + aq + · · · + aq n aq n = a + aq + aq + Đại cương chuỗi số Do Sn = a 1−q 1−q n (q = 1) lim Sn = n→∞ |q| < a 1−q ∞ |q| > • Trường hợp q = dễ thấy chuỗi số cho phân kỳ có tổng riêng thứ n an • Trường hợp q = −1 ta có Sn = 0, a, n chẵn, nên không tồn lim Sn n→+∞ n lẻ Kết luận: chuỗi hình học cho hội tụ có tổng |q| ≥ a 1−q |q| < phân kỳ Ví dụ 1.6 Viết số thực sau 2.317 = 2.3171717 dạng phân số 2.317 = 2.3 + 17 17 17 + + + ··· 10 10 10 Sau số hạng chuỗi cho hình học với a = 2.317 = 17 103 1− 102 = 17 103 q = ∞ 10 102 Do 1147 495 Ví dụ 1.7 Chứng minh 1.9999 = Chứng minh Ta có 1.9999 = 1.¯9 = + 9 + + ··· = + 10 100 10 Sau số hạng tổng cho hình học với a = 1.9999 = 1.¯9 = + 10 1− 10 n=0 10 q = n 10 Do đó, = Nếu nhìn thống qua 1.9999 < Chính vậy, chưa học khái niệm giới hạn chuỗi số, đẳng thức có lẽ gây bối rối cho nhiều người Chương Chuỗi (11LT+11BT) Ví dụ 1.8 (Nghịch lý Zeno) (2) Có lẽ, nghịch lý tiếng toán học nghịch lý Zeno, đưa nhà triết học Hy Lạp cổ đại Zeno of Elea (c 490–430 BC) Giả sử bạn thả bóng từ điểm A có độ cao đơn vị độ dài so với mặt đất Bạn nghĩ bóng rơi xuống mặt đất (dưới tác dụng lực hấp dẫn) Tuy nhiên, điều Gọi B điểm hình chiếu A xuống mặt đất 1) Để di chuyển từ A đến B , bóng phải di chuyển quãng đường điểm A1 trung điểm A B đến 2) Sau di chuyển đến A1 , bóng phải di chuyển quãng đươcng điểm A2 trung điểm A1 B đến 3) sau đó, bóng phải di chuyển quãng đường điểm A2 B đến điểm A3 trung 4) Quá trình tiếp tục, đến bước thứ n bóng phải di chuyển quãng đường 21n đến điểm An trung điểm An−1 B Vì chuỗi vơ hạn nên bóng không chạm đến mặt đất Một số giải pháp đề xuất Từ xưa đến có nhiều giải pháp đề xuất, có giải pháp Aristotle Archimedes 1) Aristotle (384 TCN-322 TCN) nhận xét rằng, khoảng cách giảm dần nên thời gian cần thiết để thực di chuyển khoảng cách giảm dần 2) Archimedes trình bày phương pháp để tìm kết hữu hạn cho tổng gồm vô hạn phần tử giảm dần, tức lượng thời gian thực bước giảm theo cấp số nhân, có vơ số khoảng thời gian tổng thời lượng cần thiết dành cho di chuyển từ điểm đến điểm lại số hữu hạn, thực chuyển động ∞ n=1 (2) = 2n Một nghịch lý tương đương với nghịch lý Achilles rùa sau Achilles chạy đua với rùa Vì Achilles chạy nhanh rùa nên đồng ý Achilles chấp rùa đoạn 100 mét Nếu giả sử tay đua bắt đầu chạy với tốc độ không đổi (Achilles chạy nhanh rùa chậm), sau thời gian hữu hạn, Achilles chạy 100 mét, tức đến điểm xuất phát rùa Nhưng thời gian này, rùa chạy quãng đường ngắn, ví dụ 10 mét Sau Achilles lại tốn khoảng thời gian để chạy đến điểm cách 10 mét ấy, mà thời gian rùa lại tiến xa chút nữa, Vì vậy, Achilles đến vị trí mà rùa đến, rùa lại cách đoạn Bởi số lượng điểm Achilles phải đến mà rùa qua vơ hạn, khơng bắt kịp rùa Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số 165 Ví dụ 0.1 Quay trở lại ví dụ nêu trên, muốn sử dụng tiêu chuẩn so sánh hai chuỗi ∞ ∞ n √ √ (−1)n (−1)n + n5 + n3 n + n n=1 n=1 cần phải chứng minh thêm √ √ 1 + n3 + n5 + n3 n 1 √ √ + f (n) := : = = + + n + n3 + n5 + n3 n3 n3 n n2 dãy số đơn điệu Chứng minh điều khơng khó, dãy số đơn điệu giảm n3 , n2 , 1 n2 Một cách tổng quát ta có kết sau Ví dụ 0.2 (Xem [3]) Chứng minh chuỗi số ∞ n=1 (−1)n f (n) nα i) bán hội tụ < α ≤ 1, ii) hội tụ tuyệt đối α > với f (x) = P (x) Q(x) hàm phân thức hữu tỉ cho lim f (x) = c = x→∞ Chứng minh Ta có f ′ (x) = P ′ (x)Q(x) − P (x)Q′ (x) Q2 (x) Do P ′ (x)Q(x) − P (x)Q′ (x) đa thức có bậc hữu hạn, nên có hữu hạn nghiệm Điều có nghĩa với x đủ lớn f ′ (x) không đổi dấu Hệ {f (n)}+∞ n=n0 dãy số đơn điệu với n0 ≥ Áp dụng tiêu chuẩn so sánh mở rộng với hai chuỗi số ∞ n=1 (−1)n f (n) nα ∞ n=1 (−1)n nα ta có điều phải chứng minh Bài tập 0.1 Chứng minh chuỗi số ∞ (−1)n sin n=1 bán hội tụ với f (x) = P (x) Q(x) nα f (n), 0 1, bất đẳng thức (1.1) ln thỏa mãn với n ≥ n0 đó, lim [(n + 1)γ − nγ ] = +∞ n→+∞ Như vậy, γ > theo tiêu chuẩn Leibniz, chuỗi cho hội tụ Thậm chí, hội tụ tuyệt đối Thật vậy, từ bất đẳng thức | ln(1 + x)| ≤ 2|x| với x đủ nhỏ ta có < ln + (−1)n nγ Theo tiêu chuẩn so sánh thông thường, chuỗi < ∞ nγ bn hội tụ tuyệt đối n=1 • Nếu γ = bất đẳng thức (1.1) trở thành n ≤ n + + (−1)n+1 ⇔ −1 ≤ (−1)n+1 với n Theo tiêu chuẩn Leibniz, chuỗi ∞ bn hội tụ n=1 • Nếu < γ < 1, bất đẳng thức (1.1) khơng n chẵn đủ lớn, trở thành nγ ≤ (n + 1)γ − ⇔ ≤ (n + 1)γ − nγ Tuy nhiên, lim [(n + 1)γ − nγ ] = lim nγ n→+∞ n→+∞ 1+ n γ − = lim nγ n→+∞ γ = lim 1−γ = n n→+∞ n Tóm lại, khơng thể sử dụng tiêu chuẩn Leibniz để xét hội tụ chuỗi đan dấu ∞ n=1 bn trường hợp < γ < Vậy phải xử lý trường hợp này? Từ khai triển Maclaurin hàm số ln(1 + x) ta có x− x2 3x2 ≤ ln(1 + x) ≤ x − 4 với x lân cận đủ nhỏ Vì vậy, với x = (−1)n (−1)n ≤ ln + − nγ 4n2γ nγ an bn (−1)n nγ ≤ ta có (−1)n − 2γ γ n 4n cn với n đủ lớn • Nếu < γ < chuỗi ∞ n=1 an ∞ n=1 cn hội tụ nên chuỗi ∞ n=1 bn hội tụ 168 Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số • Nếu < γ ≤ ∞ chuỗi phân kì có tổng ∞ n=1 cn phân kì có tổng n=1 ∞ n=1 cn = −∞ nên chuỗi ∞ bn n=1 bn = −∞ Định lý 0.4 (Xem [4, p.207]) Cho ∞ an chuỗi số hội tụ f (x) hàm số nhận n=1 giá trị thực cho lân cận 0, f (x) = αx + βx2k + o(x2k ), ∞ Khi chuỗi f (an ) hội tụ n=1 ∞ β = 0, k ∈ N (an )2k hội tụ n=1 Chú ý 1.1 Trường hợp khai triển Maclaurin hàm số f (x) kết thúc với lũy thừa lẻ x, nghĩa là, f (x) = αx + βx2k+1 + o(x2k+1 ), β = 0, k ∈ N, kết định lý khơng Cụ thể, i) ∞ ∞ (an )2k+1 hội tụ ⇒ n=1 ii) ∞ n=1 iii) ∞ n=1 ∞ f (an ) hội tụ ⇒ f (an ) hội tụ n=1 (an )2k+1 hội tụ n=1 ∞ f (an ) hội tụ ⇒ |an |2k+1 hội tụ n=1 Ví dụ 0.1 (Phản ví dụ cho Chú ý 1.1 phần i), Xem [4, Example 4, p.209]) Xét chuỗi số ∞ an , an = n=1 • chuỗi ∞ (an )2k+1 = n=1 • Chuỗi ∞ ∞ n=1 ∞ f (an ) = n=1 n=1 (−1)n √ 4n (−1)n √ n (−1)n √ 4n f (x) = x + x3 + x4 Khi đó, k = hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz, + (−1)n √ n + (−1)n n phân kì Ví dụ 0.2 (Phản ví dụ cho Chú ý 1.1 phần ii), Xem [4, Example 5, p.209]) Xét chuỗi số ∞ an , n=1 (−1)k + √ , a2k = √ 2k 2k hàm số f (x) = x + x3 − x4 Khi đó, phân kì ∞ n=1 an a2k+1 = − √ , 2k ∞ n=1 f (an ) hội tụ, ∞ n=1 a3n ∞ n=1 a4n Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số 169 Ví dụ 0.3 (Phản ví dụ cho Chú ý 1.1 phần iii), Xem [4, Example 6, p.210]) ∞ Xét chuỗi số an , an = n=1 (−1)n ln n hàm số f (x) = sin x = x − Khi kì ∞ (−1)n ln n sin n=1 x3 + o(x3 ) hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz, ∞ n=1 (−1)n ln n = ∞ n=1 ln3 n phân Tuy Định lý 0.4 mở rộng cho trường hợp hàm f (x) có khai triển Maclaurin kết thúc với lũy thừa lẻ x, ta có kết sau Định lý 0.5 (Xem [4, p.208]) Cho f (x) hàm số nhận giá trị thực cho lân cận 0, f (x) = αx + βx2k+1 + o(x2k+1 ), ∞ Khi đó, n=1 |an |2k+1 hội tụ ∞ β = 0, k ∈ N f (an ) hội tụ n=1 Như vậy, Định lý 0.4 Định lý 0.5 cho điều kiện đủ để kiểm tra hội tụ chuỗi ∞ f (an ) dựa vào khai triển Maclaurin hàm số f (x) n=1 Ví dụ 0.1 (Xem [4, p.208]) Xét hội tụ chuỗi ∞ n=1 √ arctan (−1) 4n n Trong tình này, • khai triển Maclaurin hàm f (x) = arctan x đến bậc ba, arctan x = x − chuỗi số ∞ n=1 |an |2k+1 = hội tụ chuỗi số ∞ ∞ n=1 √ n arctan n=1 x3 + o(x3 ), phân kì, khơng thể kết luận (−1)n √ 4n • khai triển Maclaurin hàm số f (X) = arctan x đến bậc năm, arctan x = x − chuỗi số tụ ∞ n=1 |an |2k+1 = ∞ n=1 √ n x3 x5 − + o(x5 ), hội tụ, nên chuỗi số ∞ n=1 arctan (−1)n √ 4n hội 170 Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số Ví dụ 0.2 Xét hội tụ chuỗi số ∞ bn , n=1 bn = e sin αn nγ − 1, γ > Nếu α = kπ với k ∈ Z chuỗi cho có tổng Nếu α = kπ với k ∈ Z xét khai triển Maclaurin ex − 1: ex − = x + x2 + o(x2 ) Ta có • Chuỗi • Chuỗi ∞ n=1 ∞ n=1 sin αn nγ a2n = hội tụ với α, γ ∈ R, γ > theo tiêu chuẩn Dirichlet ∞ n=1 sin2 αn n2γ hội tụ γ > 12 Do đó, theo Định lý 0.1 Định lý 0.4 ta có • chuỗi ∞ n=1 • Chuỗi bn hội tụ γ > 21 , ∞ n=1 bn phân kì có tổng ∞ n=1 bn = +∞ < γ ≤ 12 PHỤ LỤC MỘT - SỐ TIÊU CHUẨN HỘI TỤ HAY - ∞ a) Nếu chuỗi an+1 an ≤ bn+1 , ∀n bn n=1 ∞ b) Nếu chuỗi ∞ ∞ an bn chuỗi n=1 an hội tụ n=1 an phân kì chuỗi n=1 ∞ bn phân kì n=1 a) Từ bất đẳng thức Chứng minh ∞ n=1 ≥ K Khi bn hội tụ chuỗi ĐỘC ĐÁO DỄ CHỨNG MINH Định lý 0.1 (Tiêu chuẩn so sánh kết hợp d’Alambert) Cho số dương thỏa mãn B an+1 an ≤ bn+1 bn lấy logarit số e hai vế: ln an+1 − ln an ≤ ln bn+1 − ln bn , ∀n ≥ K Lấy tổng n chạy từ K đến N ta N n=K N (ln an+1 − ln an ) ≤ n=K (ln bn+1 − ln bn ) , hay ln aN +1 − ln aK ≤ ln bN +1 − ln bK ⇔ ln aN +1 ≤ ln ⇔aN +1 ≤ Vì chuỗi ∞ aK bN +1 bK (2.1) aK bN +1 , ∀N ≥ K bK bn hội tụ , theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi số n=1 ∞ n=1 171 an hội tụ 172 Chương B Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh b) Chứng minh tương tự ∞ Định lý 0.2 Cho chuỗi số dương an giả thiết lim n ln n→+∞ n=1 minh an an+1 = K Chứng a) Nếu K > chuỗi hội tụ b) Nếu K < chuỗi phân kì Chứng minh a) Định lý chứng minh cách đơn giản dựa vào an định nghĩa giới hạn Hình dung lim n ln an+1 = K nghĩa với ǫ > n→+∞ từ lúc tồn số hạng dãy n ln (K − ǫ, K + ǫ) an an+1 n ln chui vào khoảng an an+1 , ∀n ≥ N α K −ǫ K +ǫ Hình 0.2 Nếu K > ta chọn số α = K − ǫ (ǫ > 0) nằm K Do lim n ln n→+∞ tồn số N cho n ln Suy Vì + an an+1 an an+1 > α, ∀n ≥ N α an+1 ≤ e− n , ∀n ≥ N an n n < e, ∀n nên α an+1 ≤ e− n ≤ an 1+ n −α = (n+1)α nα Áp dụng tiêu chuẩn so sánh kết hợp d’Alambert (Định lý 0.1) với hai chuỗi ∞ n=1 = K, bn với bn = nα ta có chuỗi ∞ bn hội tụ (α > 1) nên n=1 b) Trường hợp K = lim n ln n→+∞ an an+1 n ln ∞ n=1 an hội tụ n=1 < ta có an an+1 ∞ < 1, ∀n ≥ N an Chương B Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh 173 Suy n−1 an+1 ≥ e− n > , ∀n ≥ N an n e < 1+ n−1 n Vậy {nan+1 } dãy số tăng kể từ n = N trở đi, nghĩa nan+1 ≥ N aN , ∀n ≥ N Suy an+1 ≥ N aN , ∀n ≥ N n Theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi ∞ an phân kì n=1 Định lý 0.3 Chứng minh a) Nếu ∞ n=1 a2n ∞ n=1 b2n chuỗi số hội tụ chuỗi b) Áp dụng câu a), chứng minh ∞ n=1 a) Dựa vào bất đẳng thức ≤ |an bn | ≤ 12 (a2n + b2n ) n2 an bn hội tụ tuyệt đối n=1 a2n hội tụ [Gợi ý] b) Áp dụng câu a) với bn = ∞ ∞ n=1 an n hội tụ tuyệt đối 174 Chương B Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh PHỤ LỤC MỘT SỐ TIÊU CHUẨN HỘI TỤ MẠNH HƠN D ’A LEMBERT VÀ an+1 n→+∞ an §1 lim C CAUCHY VÀ CÁC TIÊU CHUẨN MẠNH HƠN TIÊU =1 CHUẨN D ’A LEMBERT Tiêu chuẩn Kummer sau ông chứng minh vào năm 1835 Đây tiêu chuẩn mạnh để kiểm tra hội tụ chuỗi số dương Định lý 1.1 (Định lý Kummer) Cho ∞ an chuỗi số dương n=1 n=1 số dương phân kì Giả thiết lim n→+∞ ∞ 1 an − dn an+1 dn+1 = K Khi a) Nếu K > chuỗi ∞ an hội tụ n=1 b) Nếu K < chuỗi ∞ an phân kì n=1 Chọn dn = với n ta có ∞ dn chuỗi số dương phân kì Khi n=1 lim n→+∞ 1 an − dn an+1 dn+1 = lim n→+∞ an −1 an+1 an+1 = n→+∞ an K +1 lim 175 = K, dn chuỗi 176 Chương C Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh d’Alembert Cauchy Định lý Kummer trở thành Định lý 1.2 (Tiêu chuẩn d’Alambert) a) Nếu lim an+1 n→+∞ an b) Nếu lim an+1 n→+∞ an Chọn dn = n = = K+1 < (tức K > 0) chuỗi K+1 > (tức K < 0) chuỗi ∞ ta có ∞ an hội tụ n=1 ∞ an phân kì n=1 dn chuỗi số dương phân kì Khi n=1 lim n→+∞ 1 an − dn an+1 dn+1 Do lim n n→+∞ = lim n→+∞ an −1 an+1 n an − (n + 1) an+1 = K = K + Tiêu chuẩn Kummer trở thành Định lý 1.3 (Tiêu chuẩn Raabe) Cho chuỗi số dương ∞ an giả thiết lim n n→+∞ n=1 R Khi an an+1 −1 = a) Nếu R > (tức K > 0) chuỗi số hội tụ b) Nếu R < (tức K < 0) chuỗi số phân kì Chọn dn = n ln n ∞ dn chuỗi số dương phân kì Thay vào tiêu chuẩn Kummer ta n=1 có tiêu chuẩn Bertrand sau Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn Bertrand) Cho chuỗi số dương ∞ an giả thiết n=1 lim ln n n n→+∞ an − − = B an+1 Khi a) Nếu B > chuỗi số hội tụ b) Nếu B < chuỗi số phân kì Chú ý 3.1 Tiêu chuẩn Raabe mạnh tiêu chuẩn d’Alambert, người ta thường sử dụng tiêu chuẩn Raabe tiêu chuẩn d’Alambert khơng có hiệu Tiêu chuẩn Bertrand mạnh tiêu chuẩn Raabe, người ta thường sử dụng tiêu chuẩn Bertrand tiêu chuẩn Raabe khơng có hiệu Chương C Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh d’Alembert Cauchy Ví dụ 1.1 [Dùng tiêu chuẩn Raabe] Xét hội tụ chuỗi số ∞ n=1 n! 177 n n e [Lời giải] Ta thấy lim n n→+∞ an −1 an+1 = lim n n→+∞ e + n1 n −1 = , theo quy tắc L’Hospital e = − x→0 x (1 + x) x lim Theo tiêu chuẩn Raabe, chuỗi cho phân kì Chú ý trường hợp không dùng tiêu chuẩn d’Alambert Cauchy √ an+1 = lim n an = n→+∞ n→+∞ an lim Ví dụ 1.2 (Dùng tiêu chuẩn Bertrand) Xét hội tụ chuỗi số ∞ n=2 √1 (n− n) ln2 n Ta có lim ln n n n→+∞ ln n an − − = − lim √ √ = > n→+∞ n + + n an+1 Theo tiêu chuẩn Bertrand, chuỗi số cho hội tụ Chú ý trường hợp không dùng tiêu chuẩn Raabe lim n n→+∞ an −1 an+1 = − lim √ n→+∞ √ = n+ n+1 Ví dụ 1.3 Chứng minh dùng tiêu chuẩn Bertrand với chuỗi số ∞ e−(1+ +···+ n−1 ) 1 n=2 tính lim ln n n n→+∞ an −1 −1 =0 an+1 nên chuỗi cho phân kì Tuy nhiên khơng sử dụng tiêu chuẩn Raabe trường hợp an − = lim n e n − = lim n n→+∞ n→+∞ an+1 178 Chương C Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh d’Alembert Cauchy §2 lim n→+∞ √ n an = VÀ CÁC TIÊU CHUẨN MẠNH HƠN TIÊU CHUẨN CAUCHY Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn A) Cho chuỗi số dương ∞ an giả thiết n=1 √ n (1 − n an ) = A n→+∞ ln n lim Khi đó, Nếu A > chuỗi hội tụ Nếu A < chuỗi phân kì Định lý 2.2 (Tiêu chuẩn B) Cho chuỗi số dương ∞ an giả thiết n=1 lim n→+∞ √ ln n n (1 − n an ) − = B ln(ln n) ln n Khi đó, Nếu B > chuỗi hội tụ Nếu B < chuỗi phân kì 178 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J.M.Ash, The Limit Comparison Test Needs Positivity, Math Mag., 85 (2012), 374– 375 [2] G H Hardy, A Course of Pure Mathematics, 10th ed., Cambridge Univ Press, London, 1960 [3] Nguyen S.Hoang, A Limit Comparison Test for General Series, The American Mathematical Monthly, 122, No (2015), 893–896 [4] M Longo and V Valori, The Comparison Test-Not Just for Nonnegative Series, Mathematics Magazine, 79, No (2006), 205–210 [5] James Stewart, Calculus, Early Transcendentals, 7th ed Brooks Cole Cengage Learning, 2012 179