DS_C8_Cau 41-58 PHUONG TRINH DUONG THANG

x 1 y  z 1   x  x 1 y z 1  2 :   Phương trình đường thẳng song song với d :  y  1  t cắt hai z   t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : đường thẳng 1;  là: x   A  y   t z   t   x  2  B  y  3  t  z  3  t   x  2  C  y  3  t  z  3  t  x   D  y  3  t z   t  Hướng dẫn giải Gọi  đường thẳng cần tìm Gọi A    1, B     A  1  A  1  3a;2  a;1  2a  B    B 1  b;2b; 1  3b  AB   3a  b  2; a  2b  2; 2a  3b   d có vectơ phương ad   0;1;1  / / d  AB, ad phương  có số k thỏa AB  kad  3a  b    3a  b  2 a        a  2b   k    a  2b  k    b   2a  3b   k  2a  3b  k   k  1    Ta có A  2;3;3 ; B  2;2;2   qua điểm A  2;3;3 có vectơ phương AB   0; 1; 1 x   Vậy phương trình   y   t z   t  (ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  x  1  2t  d :  y   t Phương trình đường thẳng vng góc với z   x y 1 z    1  P  : 7x  y  4z  cắt hai đường thẳng d1 , d là: x7 y z 4   1 x  y z 1   C 7 1 Hướng dẫn giải Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A  d  d1, B  d  d A x  y z 1   4 x  y z 1   D B Trang 1/42 A  d1  A  2a;1  a; 2  a  B  d  B  1  2b;1  b;3 AB   2a  2b  1; a  b; a  5  P  có vectơ pháp tuyến nP   7;1; 4  d   P   AB, n p phương  có số k thỏa AB  kn p  2a  2b   7k  2 a  2b  k   a      a  b  k  a  b  k    b  2   a   4 k   a  k  5  k  1    d qua điểm A  2;0; 1 có vectơ phương ad  nP   7;1   Vậy phương trình d x  y z 1   4 x 1 y  z   Viết phương trình đường 1 thẳng  qua điểm A  2;3; 1 cắt d B cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :   : x  y  z   x3 y 6 z 2   1 x7 y z 4   B 1 x 3 y 6 z    C 2 3 x3 y 6 z 2 x3 y6 z2     D 5 9 1 Hướng dẫn giải B  d  B 1  t ;  2t; t  A  B  3;6; 2  , AB  1;3; 1 t  d  B ,        t  4  B  3; 6;  , AB   5; 9;5   qua điểm B có vectơ phương AB x3 y 6 z 2 x3 y 6 z 2     1 5 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A  2;2;1 cắt trục Vậy phương trình  tung B cho OB  2OA x y6 z  A  8 1 x3 y6 z2   C 5 9 Hướng dẫn giải x y 6   x y 6  D  B z 1 x y6 z z   8 1 1 B  Oy  B  0; b;0   B  0;6;0  , AB   2;4; 1 b  OB  2OA    b  6  B  0; 6;0  , AB   2; 8; 1 Trang 2/42  qua điểm B có vectơ phương AB x y6 z x y 6 z     2 8 1 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng  qua điểm B 1;1;2  cắt đường Vậy phương trình  x  y  z 1   C cho tam giác OBC có diện tích 2 x 1 y 1 z    A 2 1 x y 6 z  B  1 x 1 y 1 z  x 1 y 1 z      C 31 78 2 109 1 x 1 y 1 z    D 31 78 109 Hướng dẫn giải C  d  C   t;3  2t; 1  t  thẳng d : 83 OC    t;3  2t; 1  t  OB  1;1;2  OB, OC    5t  7; t  5;1  3t    t   BC   3; 2; 1  SOBC  OB, OC    4  31 78 109  t  BC   ; ;    35  35 35 35   qua điểm B có vectơ phương BC x 1 y 1 z  x 1 y 1 z      Vậy phương trình  31 78 2 109 1 x  t x  y 1 z     Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d :  y  1 1  z  2  t  Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng d1 , d x   t x   t   A  y   2t B  y   2t z   t z  1 t   Hướng dẫn giải Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A  d  d1 , B  d  d  x   3t  C  y   2t  z   5t  x   t  D  y  z  1 t  A  d1  A   a;1  a;2  a  B  d  B  b;3; 2  b  AB   a  b  2; a  2; a  b   d1 có vectơ phương a1  1; 1; 1 d có vectơ phương a2  1;0;1 Trang 3/42  AB  a1  AB.a1   d  d1 a      A  2;1;2  ; B  3;3;1    d  d  AB  a2  AB.a2  b  d qua điểm A  2;1;2  có vectơ phương ad  AB  1;2; 1 x   t  Vậy phương trình d  y   2t z   t  x 1 y z    , mặt phẳng 1  P  : x  y  z   A 1; 1;  Đường thẳng  cắt d  P  M N (ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng  x 1 y  z  x  y 1 z      A B 2 3 2 x 2 y 3 z 2 x 1 y  z      C D 2 1 2 Hướng dẫn giải M  d  M  1  2t; t; t   A trung điểm MN  N   2t; 2  t;  t  N   P   t   M  3;2;4   qua điểm M  3; 2;  có vectơ phương a  AM   2;3;  Vậy phương trình  x 1 y 1 z    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  S  :  x  1   y  3   z  1 2 x  y 1 z 1   , mặt cầu 1  29 A 1; 2;1 Đường thẳng  cắt d  S  M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng  x 1 y  z 1 x 1    1 x 1 y  z 1 x 1   B  1 x 1 y  z 1 x 1   C  1 x 1 y  z 1 x 1   D  1 Hướng dẫn giải M  d  M   t;1  2t;1  t  A y2  11 y2  11 y2  11 y2  11 z 1 10 z 1 10 z 1 10 z 1 10 A trung điểm MN  N  t; 5  2t;1  t  t   MN   4; 10;2   2  2;5; 1  N   S   6t  14t  20    10  14 22 20  t    MN   ; ;     7;11; 10   3  3  qua điểm A 1; 2;1 có vectơ phương a  MN Vậy phương trình  x 1 y  z 1 x 1 y  z 1     1 11 10 Trang 4/42 (ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z   hai điểm A  3;0;1 , B 1; 1;3 Trong đường thẳng qua A song song với  P  , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ có phương trình x  y 1 z  x  y z 1     A B 26 26 11 2 11 2 x  y z 1 x  y 1 z      C D 26 11 2 26 11 2 Hướng dẫn giải Gọi  đường thẳng cần tìm Gọi mặt phẳng  Q  qua A  3;0;1 song song với  P  Khi đó: Q  : x  y  z   Gọi K , H hình chiếu B lên ,  Q  Ta có d  B,    BK  BH Do AH đường thẳng cần tìm Q  có vectơ pháp tuyến nQ  1; 2;  BH qua B có vectơ phương a BH  nQ  1; 2;  x  1 t  BH :  y  1  2t  z   2t  H  BH  H 1  t; 1  2t;3  2t  H   P  t   10  11   H  ; ;   9 9  26 11   qua điểm A  3;0;1 có vectơ phương a  AH   ; ;     26;11; 2   9 9 Vậy phương trình   : x  y z 1   26 11 2 x  y  z 1   , mặt phẳng 1  P  : x  y  z   Gọi M giao điểm d  P  Gọi  đường thẳng nằm Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  P vng góc với d cách M khoảng 42 Phương trình đường thẳng  x 3 y  z 5 x 5 y 2 z 5     3 3 x 5 y  z 5   B 3 x 3 y  z 5   C 3 x 3 y  z 5 x 3 y 4 z 5     D 3 Hướng dẫn giải Gọi M  d   P  A M  d  M   t ; 2  t ; 1  t  M   P   t  1  M 1; 3;0   P có vecttơ pháp tuyến nP  1;1;1 d có vecttơ phương ad   2;1; 1 Trang 5/42  có vecttơ phương a   ad , nP    2; 3;1 Gọi N  x; y; z  hình chiếu vng góc M  , MN   x  1; y  3; z  2 x  y  z  11   MN  a   Ta có:  N   P    x  y  z     2  MN  42  x  1   y  3  z  42 Giải hệ ta tìm hai điểm N  5; 2; 5 N  3; 4;5 x 5  x3  Với N  3; 4;5 , ta có  : Với N  5; 2; 5 , ta có  : y2  3 y4  3 z5 z 5 x   t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1;1;2  , hai đường thẳng 1 :  y  1  2t z   x2 y z2   Phương trình đường thẳng d qua điểm I cắt hai đường thẳng 1 1 ,  2 : x 1 y 1 z    A 1 C  x 1 y 1 z    1 1  x   2t  B  y   t z   t   x   2t  D  y   t z   t  Hướng dẫn giải Gọi 1  mặt phẳng qua I 1 1 qua M  3; 1;4  có vectơ phương a1  1;2;0  IM   2; 2;2   1   có vectơ pháp tuyến n1   a1 , IM    4; 2; 6  Gọi   mặt phẳng qua I   qua M  2;0;2  có vectơ phương a2  1;1;2  IM   3; 1;0     có vectơ pháp tuyến n2   a2 , IM    2; 6;2  d qua điểm I 1;1;2  có vectơ phương ad   n1 , n2    40; 20; 20   x   2t  Vậy phương trình đường thẳng d  y   t z   t  x 1 y 1 z x 1 y  z   , d2 :   1 mặt phẳng  P  : x  y  z   Gọi  đường thẳng song song với  P  cắt d1 , d Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : hai điểm A, B cho AB  29 Phương trình tham số đường thẳng  Trang 6/42  x  1  2t  x   4t   A  :  y  2t  :  y  2  4t  z  1  3t  z   3t    x   4t  C  :  y  2t  z   3t  Hướng dẫn giải A  d1  A 1  2a; 1  a; a   x   4t  B  :  y  2t  z   3t   x  1  2t  D  :  y  2  4t  z  1  3t  B  d  B 1  b;2  2b; b   có vectơ phương AB   b  2a;3  2b  a; b  a   P có vectơ pháp tuyến nP  1;1; 2  Vì  / /  P  nên AB  nP  b  a  Khi AB   a  3; a  3; 3  A  3;0;1 , AB   4; 2; 3 a  Theo đề bài: AB  29     a  1  A  1; 2; 1 , AB   2; 4; 3  x  1  t  x   4t   Vậy phương trình đưởng thẳng   y  2t  y  2  4t  z  1  3t  z   3t   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x 1 y z    1 x 1 y  z    Gọi  đường thẳng song song với  P  : x  y  z   cắt 2 d1 , d hai điểm A, B cho AB ngắn Phương trình đường thẳng  d2 :  x   t   B  y     z    t  x  12  t  A  y   z  9  t   x    C  y   t    z    t   x   2t   D  y   t    z    t Hướng dẫn giải A  d1  A 1  2a; a; 2  a  B  d  B 1  b; 2  3b;  2b   có vectơ phương AB   b  2a;3b  a  2; 2b  a    P  có vectơ pháp tuyến nP  1;1;1 Vì  / /  P  nên AB  nP  AB.nP   b  a  Khi AB    a  1; 2a  5;6  a  AB   a  1   a  5    a  2  6a  30a  62  49   6a     ; a  2 2  Trang 7/42 Dấu "  " xảy a  7  9   A  6; ;   , AB    ;0;  2  2  Đường thẳng  qua điểm A  6; ;   vec tơ phương ud   1;0;1  2  x   t   Vậy phương trình   y     z    t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : x 1 y  z   x  y 1 z 1   Đường thẳng d song song với  P  : x  y  z   cắt hai 1 đường thẳng 1;  A, B cho AB ngắn Phương trình đường thẳng d 2 : A x   y   z  C x   y   z  x 1  x 1  D B y2 z2  1 y2 z2  1 Hướng dẫn giải Gọi A  d  1, B  d   A  1  A    a ;   a ; a  B    B   2b;1  b;1  b  AB    a  2b  3; 2a  b  3;  a  b  1 d / /  P   AB.nP   b  a  AB   a  5;  a  1; 3 AB   a    27  3; a  Dấu "  " xảy a   A 1; 2;  , B  2; 1; 1 AB   3; 3; 3 d qua điểm A 1; 2;  có vectơ phương ad  1;1;1 Vậy phương trình d x   y   z  x2 y z2   , mặt phẳng 1  P  : x  y  z   M 1; 1;0  Đường thẳng  qua điểm M , cắt d tạo với  P  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : góc 300 Phương trình đường thẳng  x2 y z2 x4 y3 z 5   A   1 2 5 x2 y z2 x 4 y 3 z 5   B   1 2 5 x 1 y  z x 1 y 1 z     C 1 2 23 14 1 Trang 8/42 x2 y z2 x 4 y 3 z 5     1 2 5 Hướng dẫn giải Gọi N    d N  d  N   2t; t; 2  t  D  có vectơ phương MN  1  2t;1  t; 2  t  P có vectơ pháp tuyến nP   2; 1; 1 t   MN  1;1    sin  d ,  P      23 14  MN nP t   MN   ; ;     5 5  qua điểm M 1; 1;0  có vectơ phương ad  MN MN nP x 1 y 1 z x 1 y 1 z     23 14 2 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A  3; 1;1 , nằm mặt phẳng Vậy phương trình  x  P  : x  y  z   , đồng thời tạo với  :  y2 z  góc 450 Phương trình đường 2 thẳng d  x   7t  A  y  1  8t  z  1  15t  x   t  B  y  1  t z    x   7t  C  y  1  8t  z   15t   x   7t x   t   D  y  1  t  y  1  8t  z   15t z    Hướng dẫn giải  có vectơ phương a  1;2;2  d có vectơ phương ad   a; b; c   P có vectơ pháp tuyến nP  1; 1;1 d   P   ad  nP  b  a  c; 1  , d   450  cos  , d   cos 450  a  2b  c a b c 2  2   a  2b  c    a  b  c  ;   c  Từ 1   , ta có: 14c  30ac    15a  7c  x   t  Với c  , chọn a  b  , phương trình đường thẳng d  y  1  t z    x   7t  Với 15a  7c  , chọn a   c  15; b  8 , phương trình đường thẳng d  y  1  8t  z   15t  Trang 9/42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm  P  : x  y  z   , đồng thời tạo với đường thẳng  : Phương trình đường thẳng d x 1 y  z    A 5 x 1 y  z    C Hướng dẫn giải  có vectơ phương a  1; 2;2  x 1  x 1  D B A 1; 1;2  , song song với x 1 y 1 z   góc lớn 2 y 1  5 y 1  5 z2 z2 7 d có vectơ phương ad   a; b; c   P có vectơ pháp tuyến nP   2; 1; 1 Vì d / /  P  nên ad  nP  ad nP   2a  b  c   c  2a  b 5a  4b cos  , d    2 5a  4ab  2b2 5a  4ab  2b 5a  4b a  5t   Đặt t  , ta có: cos  , d   5t  4t  b 5t     1 Xét hàm số f  t   , ta suy được: max f  t   f     5t  4t   5 Do đó: max cos  , d    a t   27 b Chọn a   b  5, c  Vậy phương trình đường thẳng d x 1 y 1 z    5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A  1;0; 1 , cắt 1 : x 1 y  z    , cho 1 x3 y 2 z 3   nhỏ Phương trình đường thẳng d 1 2 x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1         D C A B 4 5 2 2 1 Hướng dẫn giải Gọi M  d  1  M 1  2t;2  t; 2  t  góc d  : d có vectơ phương ad  AM   2t  2; t  2; 1  t   có vectơ phương a2   1;2;2  t2 6t  14t  t2 Xét hàm số f  t   , ta suy f  t   f     t  6t  14t  Do cos  , d     t   AM   2;2  1 cos  d ;    Vậy phương trình đường thẳng d x 1 y z 1   2 1 Trang 10/42 x  t x y2 z  d2 :   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng d1 :  y   t    z  1  2t  x 1 y 1 z 1   Gọi  đường thẳng cắt d1 , d , d điểm A, B, C cho AB  BC Phương trình đường thẳng  x2 y2 z x y2 z x y  z 1 x y  z 1     D   A B  C  1 1 1 1 1 1 Hướng dẫn giải Gọi A  d1 , B  d , C  d Ta có: A  a;4  a; 1  2a  , B  b;2  3b; 3b  , C  1  5c;1  2c; 1  c  Yêu cầu toán  A, B, C thẳng hàng AB  BC a   5c  2b a     4  a   2c    3b   b   B trung điểm AC  c    1  2a  a  c   3b  d2 : Suy A 1;3;1 , B  0;2;0,  , C  1;1; 1  qua điểm B  0;2;0,  có vectơ phương CB  1;1;1 Vậy phương trình đường thẳng  x y2 z   1 Trang 11/42