PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN Ý YÊN NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu (6,0 điểm) Rút gọn biểu thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: a b c � �� � xy x xy x A � x 1 1�� : 1 x 1 � � xy 1 xy �� xy xy � � �� �với x, y > 0; xy ≠ Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A 6 y b) Cho x Tìm giá trị lớn biểu thức A Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: 12x 3x 3x Giải hệ phương trình: �x xy 2y � �2 �x 5y Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 2x 4x 19 3y Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A khơng trùng với B C) Kẻ AH BC (H �BC);HM AB (M �AB); HN AC (N �AC) 2 CN �AC � � � 2� 2� sin AMN c os OAC BM �AB � Chứng minh: Gọi D điểm nằm O C;Kẻ DE AB (E �AB);DF AC (F �AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R 1 1 x y z Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: Chứng minh x y z � xyz rằng: …………….Hết …….…… Họ tên thí sinh:……………………………… Chữ ký giám thị 1:………………… Số báo danh:………………………………… Chữ ký giám thị 2:………………… HƯỚNG DẪN CHẤMKHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC 2018 - 2019 Nội dung Điể m Câu ( 6, 0điểm) (1,0 đ).Rút gọn Ta có 2 2 2 42 42 ( 1) ( 1) 2 ( 1) � 2 2 2 0,5 0,5 ( 2,0 đ) Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 0,5 1 1 � �1 1 � �1 � � � � a b c �a b c � �ab bc ca � Ta có 0,5 0,5 �1 1 � �a b c � � � � � �a b c � � abc � �1 1 � � � �a b c � (do a b c ) 0,5 1 =a b c � �� xy x � xy x A � x 1 �� : 1 x 1 � � xy 1 xy �� xy xy � � �� � 3.(3,0 đ) Cho biểu thức với x, y > 0; xy ≠ a) Rút gọn biểu thức A 6 y b) Cho x Tìm giá trị lớn A a)(2,0đ)Với x, y > 0; xy ≠ 1có: A x 1 xy xy x xy 1 xy 1 xy xy 1 xy xy 1 xy xy x : xy x 1 xy xy 1 xy 0,5 xy x xy 1 xy 1 xy 1 xy xy x xy 1 x 1 x 1 xy xy xy 22 x 2x y xy xy 0,5 1,0 ; b) (1,0đ) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương x y , ta có: �1 1 6 x y xy xy y (do x ) 0,5 �1 � y �x � �1 y �x Dấu xảy � x = y = (thỏa mãn) Vậy giá trị lớn A x = y = 0,5 Câu 2.( 5,0 điểm) 1.(2,5đ) Giải phương trình 12x 3x 3x Đ: x � 0,25 0,5 12x 3x 3x � 12x 3x 3x 1( ÐK :12x 3x �0) � 144 x x 72 x3 24 x x x � 144 x 72 x3 15 x x � x 144 x3 72 x 15 x 0,5 x 0(ktm) � �� 144 x 72 x 15 x 0(1) � (1) � x 1 36 x 27 x 0,5đ � x (tm) �� � 36 x 27 x 0(2) � Giải (2) tìm hai nghiệm x1 27 297 27 297 (tm); x2 (ktm) 72 72 KL nghiệm pt… 2 � �x xy 2y �2 x 5y * � 2.(2,5 đ) Giải hệ phương trình 0,5 0,25 x xy y � x y x y ta đượ 0,5 0,5 c x = y x = -2y Với x = y thay vào phương trình (*) ta pt y2 +5 y +4 = 0,5 Giải phương trình, tìm y = -1; y = -4 Từ tìm x 0,25 Với x = -2y thay vào phương trình (*) ta 4y + 5y + = Chứng minh phương trình 0,5đ vơ nghiệm KL nghiệm hệ 0,25đ Câu (2,0 điểm) 2 Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x x 19 y x x 19 y x x 21 y � 2( x 1) 3(7 y ) (1) 0,5 Với x, y nguyên vế trái (1) chia hết từ (1) có: 0,5 3(7 y )M2 � y M2 � y lẻ 2 Ta lại có y �0 nên y Khi 2( x 1) 18 0,5 Ta được: x + = �3 , đó: x1 2; x2 4 0,25 Các cặp số (2 ; 1), ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (1) KL …… 0,25 Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A khơng trùng với B C) Kẻ AH BC (H�BC);HM AB (M�AB); HN AC (N �AC) CN �AC � � � 2� 2� sin AMN c os OAC BM �AB � Chứng minh: Gọi D điểm nằm O C; Kẻ DE AB (E �AB);DF AC (F �AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R 1.(2đ) Chứng minh Do sin2 = + cos2 (= 0,5 ) = sin2 + cos2 =1 0,25 0,5 ⇒ CM AC = CH.BC ; AB = BH.BC Do (1) 0,5 CM CH =CN.AC ; BH = BM AB Kết hợp với (1) ⇒ 0,25 ⇒ (đpcm) 2.(1,5đ) Xét tam giác ABC với DF // AB( DF ⊥ AC, DE ⊥ AB), theo định lí Talet ta có 0,5 ( CM DF = AE)(2) CM tương tự có: (3) 0,5 Nhân vế (2) (3) ta có Áp dụng tính chất dãy tỉ số có: 0,25 Từ CM DB.DC = EA.EB + FA.FC.(đpcm) 0,25 3.(1,5đ) CM AMHN hình chữ nhật ⇒ SAMHN = AM.AN (4) 0,25 0,5 CM AH2 = AM.AB ⇒ AM = CM tương tự có AN= (5) (6) 0,5 Từ (4),(5),(6) có SAMHN = Vậy giá trị lớn diện tích tứ giác AMHN tròn (O), cho ABC vng cân A Khi điểm A thuộc đường 0,25 1 1 x y z Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: Chứng minh rằng: x y z � xyz 1 a, b, c x y z Ta đặt (ĐK: a, b, c ) �x Do 0,5 1 a b c 1 b a c 1 c a b ,y ,z a a b b c c x y z � xyz � CM : a b b c c a � bc ca ca a b a b b c (*) a b 1� a b � � � � b c c a �a c b c � 0,5 0,5 b c 1�b c � � � � c a a b �b a c a � c a 1�c a � � � � a b b c �c b a b � Do a b b c c a 1�a b b c c a � � � � bc ca c a a b a b b c �a c b c b a c a c b a b � Vậy BĐT(*) đúng, suy đpcm 0,5 ... 27 x 0,5đ � x (tm) �� � 36 x 27 x 0(2) � Giải (2) tìm hai nghiệm x1 27 297 27 297 (tm); x2 (ktm) 72 72 KL nghiệm pt… 2 � �x xy 2y �2 x 5y * � 2.(2,5 đ)... nghiệm hệ 0,25đ Câu (2,0 điểm) 2 Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x x 19 y x x 19 y x x 21 y � 2( x 1) 3(7 y ) (1) 0,5 Với x, y nguyên vế trái (1) chia...HƯỚNG DẪN CHẤMKHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC 2018 - 20 19 Nội dung Điể m Câu ( 6, 0điểm) (1,0 đ).Rút gọn Ta có 2 2 2 42 42 ( 1)