giao trinh toan roi rac

Chương 1: Đại số mệnh đề Mục lục CHƯƠNG : ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 1.1 Tổng quan .6 1.2 Định nghĩa mệnh đề .6 1.3 Các phép tính mệnh đề 1.7 Mệnh đề hệ 19 1.10 Bài tập chương 25 CHƯƠNG : SUY LUẬN TOÁN HỌC & CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 29 2.1 Tổng quan .29 2.2 Suy luận toán học 29 2.3 Các phương pháp chứng minh 32 2.4 Tổng kết chương 45 2.5 Bài tập chương 45 CHƯƠNG : VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ 48 3.1 Tổng quan .48 3.2 Các định nghĩa 48 3.3 Các lượng từ 52 3.5 Tổng kết chương 56 3.6 Bài tập chương 56 CHƯƠNG : LÝ THUYẾT TẬP MỜ & LOGIC MỜ 61 4.1 Tổng quan .61 4.2 Giới thiệu 61 4.3 Khái niệm tập mờ (fuzzy set) .62 4.4 Các phép toán tập mờ 65 4.5 Logic mờ 72 4.6 Suy diễn mờ (Fuzzy inference) 73 4.7 Tổng kết chương 78 Trang Chương 1: Đại số mệnh đề CHƯƠNG : ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 1.1 Tổng quan 1.2 Định nghĩa mệnh đề Mổi câu phát biểu sai gọi mệnh đề (Definition proposition: Any statement that is either true or false is called a proposition.) Trang Chương 1: Đại số mệnh đề Ví dụ 1: Các câu xác định mệnh đề 2+3=5 3*4 = 10 Tam giác có cạnh Washington D.C thủ đô Hoa Kỳ Toronto thủ đô Canada Câu xác định "2 + = 5", "Tam giác có cạnh nhau" "Washington D.C thủ đô Hoa Kỳ" mệnh đề Còn câu xác định "3*4 = 10" "Toronto thủ đô Canada" mệnh đề sai Như vậy, mệnh đề mệnh đề mệnh đề sai Hay nói cách khác, mệnh đề lựa chọn giá trị là sai Một mệnh đề vừa vừa sai Ví dụ 2: Xét câu phát biểu sau Hôm thứ ? Một số thực âm khơng phải số phương Hãy đọc kỹ đọan x+1=2 x+y=z Câu "Hôm thứ ? " không mệnh đề câu hỏi khơng có giá trị đúng, sai Câu "Một số âm khơng phải số phương" có chân trị xét tập họp số thực R lại có chân trị sai xét tập họp số phức Câu "x+1=2" câu "x+y=z" mệnh đề chúng chẳng chẳng sai biến câu chưa gán cho giá trị cụ thể Giá trị đúng, sai mệnh đề gọi chân trị mệnh đề Chân trị mệnh đề ký hiệu T (true), chân trị mệnh đề sai ký hiệu F (false) Bảng chân trị mệnh đề bao gồm trường hợp đúng, sai xảy mệnh đề Mục đích họat động khoa học phân biệt mệnh đề để xác định chân trị Sự xác định chân trị dựa vào thực nghiệm lý luận Lý luận xác định chân trị mệnh đề cách kết hợp mệnh đề mà ta biết Trang Chương 1: Đại số mệnh đề chân trị Các luật lệ chế ngự cách kết hợp mang tính xác phép tốn đại số Vì thế, cần nói đến "Đại số mệnh đề" 1.3 Các phép tính mệnh đề Trong phép tính mệnh đề, người ta không quan tâm đến ý nghĩa câu phát biểu mà ý đến chân trị mệnh đề Do đó, thực phép tốn mệnh đề thơng thường người ta khơng ghi rõ câu phát biểu mà ghi ký hiệu Các chữ dùng để ký hiệu mệnh đề Những chữ thường dùng P, Q, R, Mệnh đề có giá trị đơn (luôn sai) gọi mệnh đề nguyên từ ( atomic proposition ) Các mệnh đề mệnh đề nguyên từ gọi mệng đề phức hợp (compound propositions) Thông thường, tất mệnh đề phức hợp mệnh đề liên kết (có chứa phép tính mệnh đề) Các phép tính mệnh đề sử dụng nhằm mục đích kết nối mệnh đề lại với tạo mệnh đề Các phép tốn mệnh đề trình bày chương bao gồm : phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép XOR, phép kéo theo, phép tương đương 1.3.1 Phép phủ định (NEGATION) Cho P mệnh đề, câu "không phải P" mệnh đề khác gọi phủ định mệnh đề P Kí hiệu :  P ( P ) Ví dụ : P="2>0" P="2≤0" Bảng chân trị (truth table) p p TF F T Qui tắc: Nếu P có giá trị T phủ định P có giá trị F Trang Chương 1: Đại số mệnh đề 1.3.2 Phép hội (CONJUNCTION) Cho hai mệnh đề P, Q Câu xác định "P Q" mệnh đề gọi hội mệnh đề P Q Kí hiệu P  Q Ví dụ : Cho mệnh đề P Q sau P = " > " mệnh đề Q = " = " mệnh đề sai P  Q = " 2> = " mệnh đề sai Bảng chân trị p T T F F q T F T F p q T F F F Qui tắc : Hội mệnh đề hai mệnh đề Các trường hợp lại sai 1.3.3 Phép tuyển (DISJUNCTION) Cho hai mệnh đề P, Q Câu xác định "P hay (hoặc) Q" mệnh đề gọi tuyển mệnh đề P Q Kí hiệu P  Q Ví dụ : Cho mệnh đề P Q sau P = " > " mệnh đề Q = " = " mệnh đề sai P  Q = " ≥ " mệnh đề Bảng chân trị p T T F F q T F T F pq T T T F Trang Chương 1: Đại số mệnh đề Qui tắc : Tuyển mệnh đề sai hai mệnh đề sai Các trường hợp lại 1.3.4 Phép XOR Cho hai mệnh đề P Q Câu xác định "loại trừ P lọai trừ Q", nghĩa "hoặc P Q không đồng thời hai đúng" mệnh đề gọi P xor Q Kí hiệu P  Q Bảng chân trị p T T F F q pq T F F T T T F F 1.3.5 Phép tốn bit Các máy tính dùng bit để biểu diễn thông tin Một bit có giá trị Bit dùng để biểu diễn chân trị Thường người ta dùng bit để biểu diễn chân trị bit để biểu diễn chân trị sai Các phép tốn bit máy tính phép tốn logic Thơng tin thường biển diễn cách dùng xâu bit Ta có định nghĩa xâu bit sau: Định nghĩa : Một xâu bit (hoặc xâu nhị phân) dãy có nhiều bit Chiều dài xâu số bit xâu Ví dụ : 101011000 xâu bit có chiều dài Có thể mở rộng phép toán bit tới xâu bit Người ta định nghĩa OR bit, AND bit XOR bit xâu bit có chiều dài xâu có bit chúng ca1c OR, AND, XOR bit tương ứng xâu tương ứng Chúng ta dùng kí hiệu , ,  để biểu diễn phép tính OR bit, AND XOR tương ứng Trang 10 Chương 1: Đại số mệnh đề Ví dụ : Tìm OR bit, AND bit XOR bit xâu sau (mỗi xâu tách thành khối, khối có bit cho dễ đọc) 01101 10110 11000 11101 11101 11111 OR bit 01000 10100 AND bit 10101 01011 XOR bit 1.3.6 Phép kéo theo (IMPLICATION) Cho P Q hai mệnh đề Câu "Nếu P Q" mệnh đề gọi mệnh đề kéo theo hai mệnh đề P,Q Kí hiệu P  Q P gọi giả thiết Q gọi kết luận Ví dụ : Cho hai mệnh đề P Q sau P = " tam giác T " Q = " tam giác T có góc 60" Để xét chân trị mệnh đề P  Q, ta có nhận xét sau : - Nếu P đúng, nghĩa tam giác T rõ ràng P  Q - Nếu P sai, nghĩa tam giác T khơng khơng cân dù Q hay sai mệnh đề P  Q Sau bảng chân trị ví dụ bảng chân trị mệnh đề P Q p q pq T T T T F F F T T F F T Qui tắc : mệnh đề kéo theo sai giả thiết kết luận sai Các trường hợp khác Trang 11 Chương 1: Đại số mệnh đề Từ mệnh đề P  Q, tạo mệnh đề kéo theo khác mệnh đề Q  P Q  P gọi mệnh đề đảo mệnh đề phản đảo mệnh đề P  Q Ví dụ : Tìm mệnh đề đảo phản đảo mệnh đề sau " Nếu tơi có nhiều tiền tơi mua xe hơi" Mệnh đề đảo : " Nếu mua xe tơi có nhiều tiền" Mệnh đề phản đảo : " Nếu không mua xe tơi khơng có nhiều tiền" 1.3.7 Phép tương đương (BICONDITIONAL) Cho P Q hai mệnh đề Câu "P Q" mệnh đề gọi P tương đương Q Kí hiệu P  Q Mệnh đề tương đương P Q có chân trị P  Q = (P  Q)  (Q  P) Đọc : P Q P cần đủ Q Nếu P Q ngược lại Bảng chân trị p q pq T T T T F F F T F F F T 1.4 Biểu thức mệnh đề (LOGICAL CONNECTIVES) Cho P, Q, R, mệnh đề Nếu mệnh đề liên kết với phép tốn ta biểu thức mệnh đề Trang 12 Chương 1: Đại số mệnh đề Chú ý : Một mệnh đề biểu thức mệnh đề Nếu P biểu thức mệnh đề P biểu thức mệnh đề Chân trị biểu thức mệnh đề kết nhận từ kết hợp phép toán chân trị biến mệnh đề Ví chân trị mệnh đề P P P Q R QR  P (Q  R) T F T T T T T F T F F F T F F T F F T F F F F F F T T T T T F T T F F T F T F T F T F T F F F T dụ biểu : Tìm thức  (Q  R ) Do biêểu thức mệnh đề liên kết nhiều mệnh đề phép tốn nên phân tích để biểu diễn biểu thức mệnh đề mệnh đề Ví dụ : Xét câu phát biểu sau : " Nếu Michelle thắng kỳ thi Olympic, người khâm phục cô ấy, ta trở nên giàu có Nhưng, ta khơng thắng ta tất cả." Đây biểu thức mệnh đề phép tốn phép hội Có thể viết lại sau : "Nếu Michelle thắng kỳ thi Olympic, người khâm phục cô ấy, cô ta trở nên giàu có Nhưng, ta khơng thắng ta tất " Cả hai mệnh đề biểu thức mệnh đề mệnh đề phức hợp Có thể định nghĩa biến mệnh đề sau: P: Michelle thắng kỳ thi Olympic Trang 13 Chương 1: Đại số mệnh đề Q: người khâm phục cô R: cô ta trở nên giàu có S: ta tất Biểu diễn câu phát biểu mệnh đề phép tốn, ta có biểu thức mệnh ( P  (Q  R))  (P  S) đề sau : Biểu diễn câu phát biểu thành ngữ nghĩa sau : Nếu Michelle thắng kỳ thi Olympic, người khâm phục cô ấy, cô ta trở nên giàu có Nhưng, ta khơng thắng ta tất Nếu Michelle thắng kỳ thi Olympic, người khâm phục cô ấy, cô ta trở nên giàu có Michelle thắng kỳ thi Olympic Mọi người khâm phục cô AND Mọi người khâm phục cô ấy, cô ta trở nên giàu có AND Nếu ta khơng thắng ta tất Cơ ta khơng thắng Cơ ta trở nên giàu có Trang 14 Cô ta tất Cô ta NOT tất - S(T(x,y),x) = x , x,y[0,1]  Tính phân phối (distributivity) Có hai biểu thức xác định tính phân phối: - S(x,T(y,z)) = T(S(x,y), S(x,z)), x,y,z[0,1] - T(x,S(y,z)) = S(T(x,y), T(x,z)), x,y,z[0,1]  Luật De Morgan Cho T t-chuẩn, S t-đối chuẩn, n phép phủ định Chúng ta có ba (T,S,n) ba De Morgan : n(S(x,y)) = T(nx,ny) 4.4.5 Phép kéo theo Chúng ta xét phép kéo theo mối quan hệ, toán tử logic Ta có tiên đề sau cho hàm v(P1  P2) : - v(P1  P2) phụ thuộc vào v(P1), v(P2) - Nếu v(P1)  v(P3) v(P1  P2)  v(P3  P2), P2 - Nếu v(P2)  v(P3) v(P1  P2)  v(P1  P3), - Nếu v(P1) = v(P1  P) = , P - Nếu v(P1) = v(P  P1) = , P P1 - Nếu v(P1) = v(P2) = v(P1  P2) = Tính hợp lý tiên đề dựa vào logic kinh điển tư trực quan phép suy diễn Từ tiên đề ban đầu (v(P  P2) phụ thuộc vào v(P1), v(P2)) khẳng định tồn hàm số I(x,y) xác định [0,1] với mong muốn tính chân trị phép kéo theo qua biểu thức v(P1  P2) = I(v(P1), v(P2)) Định nghĩa 9: Phép kéo theo hàm số I : [0,1]2  [0,1] thỏa điều kiện sau : - Nếu x  z I(x,y)  I(z,y), y[0,1] - Nếu y  u I(x,y)  I(z,y), x[0,1] - I(0,x) = 1, x[0,1] - I(x,1) = 1, x[0,1] - I(1,0) = Định nghĩa 10: Cho T t-chuẩn, A t-đối chuẩn, n phép phủ định Hàm IS(x,y) xác định [0,1] biểu thức : IS(x,y) = S(n(x),y) Ví dụ : Cho  = {1, 2, 3, 4, 5}, A, B tập mờ  sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)} Với S(x,y) = max(x,y) n(x) = - x ta có : Is (0,0) = S(n(0),0) = Is (1,0.5) = S(n(1),0.5) = 0.5 Is (0.5,0.7) = S(n(0.5),0.7) = 0.7 Is (0.3,0.2) = S(n(0.3),0.2) = 0.7 Is (0.2,0.4) = S(n(0.2),0.4) = 0.8 4.5 Logic mờ 4.5.1 Định nghĩa mệnh đề mờ Trong logic rõ mệnh đề câu phát biểu có giá trị sai Trong logic mờ mệnh đề mờ câu phát biểu không thiết sai Mệnh đề mờ gán cho giá trị khoảng từ đến để mức độ (độ thuộc về) Ví dụ : " Nam trông đẹp trai" " Chiếc xe chạy đấy" " Cô sống tạm gọi hạnh phúc" Cho  = {P1, P2, } với P1, P2, mệnh đề Tập mờ A  tương ứng với ánh xạ v sau: v:   [0, 1] Pi   v(Pi) Ta gọi v(Pi) chân trị mệnh đề Pi [0, 1] Các phép toán mệnh đề mờ phép toán logic mờ dựa tập mờ Ký hiệu mức độ (chân trị) mệnh đề mờ P v(P) Ta có : 0 v(P) 4.5.2 Các phép toán logic mờ Các phép toán mệnh đề logic mờ định nghĩa sau: Phép phủ định : v( P ) = - v(P) Phép tuyển : v(P1 P2) = max(v(P1), v(P2)) Phép hội : v(P1 P2) = min(v(P1), v(P2)) Ví dụ 1: Cho P, Q, R mệnh đề mờ với : v(P) = 0.1, v(Q)= 0.9, v(R) = 0.8 Mệnh đề M = (PQ)R có chân trị (độ thuộc về) : 0.8 Phép kéo theo: v(PQ) = v( P Q) = max(v( P ), v(Q)) Ví dụ 2: Cho P, Q mệnh đề mờ với : v(P) = 0.1, v(Q)= 0.6 Mệnh đề v(PQ) = v( P Q) = max(v( P ), v(Q)) = max(1- 0.1, 0.6) = 0.9 4.6 Suy diễn mờ (Fuzzy inference) Suy diễn mờ hay gọi suy luận xấp xỉ trình suy kết luận dạng mệnh đề mờ điều kiện qui tắc "Nếu Thì ", với liệu đầu vào cho trước không rõ ràng Thông thường, suy diễn mờ hay sử dụng luật Modus Ponnens Modus Tollen Trong logic rõ, Modus Ponnen diễn đạt sau: Mệnh đề (Luật tri thức): PQ Mệnh đề (sự kiện): P Kết luận : Q Trong suy diễn mờ, luật diễn đạt dạng sau : Luật mờ : Nếu x=A y=B Sự kiện mờ : x=A' Kết luận : y=B' A, A' tập mờ không gian U, B B' tập mờ khơng gian V Ví dụ : Luật mờ : Nếu góc tay quay ga lớn xe nhanh Sự kiện mờ : Góc tay quay lớn Kết luận : Xe nhanh Trong logic rõ Modus Tollen có dạng: Mệnh đề (Luật tri thức): PQ Mệnh đề (sự kiện): Q Kết luận : P Trong suy diễn mờ, luật diễn đạt dạng sau : Luật mờ (hoặc tri thức mờ): PQ Sự kiện mờ : Q Kết luận : P Ví dụ : Luật mờ : Nếu góc tay quay ga lớn xe nhanh Sự kiện mờ : Xe khơng nhanh Kết luận : Góc tay quay không lớn Để ứng dụng suy diễn mờ vào tốn thực tế vấn đề mấu chốt mà cần thực xây dựng chế lập luận xấp xỉ Sau đây, chúng tơi xin trình bày ứng dụng suy luận xấp xỉ việc chẩn đoán bệnh lao phổi Trong phạm vi chương này, chúng tơi trình bày phần sơ lược cách xây dựng suy luận xấp xỉ Trước hết tìm hiểu qui trình chẩn đốn Hiện nay, bệnh nhân đến khám viện lao, bác sĩ tiến hành chẩn đoán theo bước sau: Giai đoạn 1: khám lâm sàng - Khám ban đầu : nhìn bề ngồi (tóc, da, mắt, ) - Hỏi tình trạng thể bệnh nhân để có thêm nhiều thơng tin - Từ triệu chứng lâm sàng tiến hành chẩn đoán khẳng định khả mắc bệnh bệnh nhân - Nếu hết giai đoạn này, bác sĩ khơng có nghi ngờ bệnh lao, ơng ta đưa câu trả lời phủ định bệnh lao gợi ý khả bệnh nhân mắc khác Bệnh nhân khuyên nên quay lại bệnh nặng mà không rõ nguyên - Ngược lại, tới cuối giai đoạn lâm sàng bệnh nhân bị nghi mắc bệnh lao giai đoạn chẩn đoán thứ hai tiến hành để có kết luận chắn Giai đoạn 2: khám cận lâm sàng - Khám nghiệm đờm, - Chụp X quang Hầu hết triệu chứng cận lâm sàng có ảnh hưởng mạnh đến khả mắc bệnh bệnh nhân Vì vậy, bệnh trạng khẳng định loại trừ cách chắn giai đoạn Sau đó, bác sĩ có kết luận đưa phương án điều trị thử Nếu bệnh trầm trọng bệnh nhân điều trị lao phổi thử, không trầm trọng thi điều trị bắng kháng sinh Bởi vì, thực tế khơng phải lao phổi mà bị viêm phổi điều trị kháng sinh đem lại kết tích cực Ngược lại, thực mắc bệnh lao phổi phương án điều trị lao phổi có tác dụng Tồn qui trình thể qua lược đồ sau: Chẩn đốn lâm sàng Khơng bệnh lao phổi Nghi ngờ bệnh lao phổi Chẩn đoán cận lâm sàng Khẳng định lao phổi Loại trừ lao phổi Khơng có kết luận Điều trị lao phổi Điều trị thử Bệnh nặng Bệnh không nặng Thử Điều trị kháng sinh Thử Điều trị lao phổi không hiệu Hiệ u tốt không hiệu Khẳng định điều trị lao phổi Loại trừ lao phổi Hiệ u tốt Xây dựng suy diễn xấp xỉ : Có đối tượng mà cần quan tâm : Bệnh nhân : ký hiệu P (Patient) Các triệu chứng : S (Symptom) Bao gồm : lâm sàng, cận lâm sàng, gọi chung triệu chứng Ta có : S = {S1, S2, , Sn} Bệnh cần chẩn đoán : lao phổi D (Disease) Nhận thấy đối tượng xuất quan hệ mờ : Quan hệ triệu chứng - bệnh nhân : RSP Quan hệ sử dụng làm thông tin đầu vào cho chế lập luận trình chẩn đoán, xác định SP [0,1] Giá trị thể mức độ xuất triệu chứng S bệnh nhân P Nói cách khác, R SP tập mờ có hàm thuộc xác định sau: SP : RSP  [0,1] Với SP = có nghĩa chắn bệnh nhân khơng có triệu chứng S Với SP = có nghĩa chắn bệnh nhân có triệu chứng S Với < SP < có nghĩa bệnh nhân có triệu chứng S với mức độ xuất SP Ví dụ : Giả sử để xem xét mức độ sốt bệnh nhân để đưa liều luợng thuốc, có phát biểu mờ (luật mờ) sau :  IF sốt nhẹ THEN liều lượng asperine thấp  IF sốt THEN liều lượng asperine bình thường  IF sốt cao THEN liều lượng asperine cao  IF sốt cao THEN liều lượng asperine cao 37 SN S 38 38.7 39 T 200 SC 40 600 o 41 C BT 400 SRC 800 C CN 1000 mg ■ Thông thường người ta thực bước: – Mờ hóa (fuzzyfication) giá trị nhập vào – Suy luận Mờ – Khử tính mờ (defuzzyfication) cho giá trị xuất Vậy bệnh nhân sốt 38.7 độ => liều lượng kê đơn 480mg Phần => q trình khử tính mờ (làm rõ hóa) chúng tơi khơng trình bày chi tiết đây, dựa vào đồ thị để suy kết Ngoài ra, bác sĩ phải đến kết luận "khơng rõ" triệu chứng Khi đó, SP định nghĩa giá trị bé sau: SP =   Kế tiếp, phải xác định quan hệ bệnh nhân - bệnh lao phổi : R PD Xác định mối quan hệ có nghĩa đưa kết chẩn đoán khả mắc bệnh bệnh nhân 4.7 Tổng kết chương Tất kiến thức trình bày chương phần lý thuyết tập mờ logic mờ Chúng không sâu vào chi tiết mà nhằm mục đích trình bày khái niệm phép toán để sinh viên nắm bắt vấn đề bên cạnh logic rõ có logic mờ Sinh viên tìm hiểu sâu logic mờ năm thứ tư phần ứng dụng logic mờ vào điều khiển tự động hóa (dành cho lớp điện tử) hay ứng dụng logic mờ trí tuệ nhân tạo Tuy vậy, hy vọng với sở kiến thức logic mệnh đề, suy luận toán học, vị từ lý thuyết tập mờ giáo trình hành trang hữu ích để vào tri thức cao 4.8 Bài tập chương Cho  = {6, 2, 7, 4, 9}, tập mờ A, B, C  tương ứng với ánh xạ A , B C sau: A = {(6,0.2), (2,0.9), (7,0.5), (4,0.3), (9,0.2)} B = {(6,0), (2,1), (7,0.5), (4,0.6), (9,0.1)} C = {(6,0.3), (2,0.1), (7,1), (4,0), (9,0.5)} C C C a/ Tính tập A , B C với hàm thuộc 1-x C C C C b/ Tính AB, BC, ABC, AC , AC với T(x,y) = min(x,y) c/ Tính AB, BC, ABC, AC , AC với S(x,y) = max(x,y) Cho tập mờ A,B,C định nghĩa số nguyên  = [0,5] với hàm thuộ x c sau: v A =  B = x  x Hãy xác định tập mờ sau dạng liệt kê đồ thị : C C C a/ Tính tập A , B C với hàm thuộc 1-x C C b/ Tính AB, BC, ABC, AC , AC với T(x,y) = C C min(x,y) c/ Tính AB, BC, ABC, AC , AC với S(x,y) = max(x,y) Thiết lập mơ hình phân loại sinh viên qua tập mờ sinh viên cần cù, sinh viên thông minh sinh viên lười C Cho A tập mờ xác định X Hãy biểu thức AC = X không tập họp kinh điển Kiểm tra xem tập mờ A, B với hàm thuộc xác định tập thỏa hai công thức De Morgan ... logic lập trình Tuy nhiên, có vấn đề cần lưu ý áp dụng tính giao hốn Trong vài ngơn ngữ lập trình, ví dụ C, Java, C++ việc sử dụng tính chất giao hốn khơng ý tưởng hay Ví dụ : Nếu A mảng có n phần... Double negation law : luật phủ định kép Cancellation laws : luật xóa bỏ Commutative laws : luật giao hốn Associative laws : luật kết hợp Distributive laws : luật phân bố De Morgan’s laws : luật