1.1.Tổng quan•Mục tiêu của chương 1Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau:Thế nào là mệnh đề, chân trị của mệnh đề, các phép toán mệnh đề.Thực hiện được các phép toán mệnh đề.Hiểu được các ứng dụng của phép toán logic trong lập trình và trong đời sống hàng ngày.•Kiến thức cơ bản cần thiếtCác kiến thức cơ bản trong chương này bao gồm:Kiến thức về phép toán đại số, phép toán hình học cơ bản.Có khả năng suy luận.Biết lập trình bằng ngôn ngữ Pascal, C
Chương 1: Đại số mệnh đề CHƯƠNG : ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 1.1 Tổng quan • Mục tiêu chương Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt vấn đề sau: - Thế mệnh đề, chân trị mệnh đề, phép toán mệnh đề - Thực phép toán mệnh đề - Hiểu ứng dụng phép toán logic lập trình đời sống hàng ngày • Kiến thức cần thiết Các kiến thức chương bao gồm: - Kiến thức phép tốn đại số, phép tốn hình học - Có khả suy luận - Biết lập trình ngơn ngữ Pascal, C • Tài liệu tham khảo Phạm văn Thiều, Đặng Hữu Thịnh Toán rời rạc ứng dụng tin học Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội - 1997 (chương 1, trang - 28) • Nội dung cốt lõi - Định nghĩa mệnh đề, biểu thức mệnh đề - Các phép tốn - Ví dụ ứng dụng - Giới thiệu số thuật ngữ chuyên dùng - Tương đương logic cách chứng minh 1.2 Định nghĩa mệnh đề Mổi câu phát biểu sai gọi mệnh đề (Definition proposition: Any statement that is either true or false is called a proposition.) Trang Chương 1: Đại số mệnh đề Ví dụ 1: Các câu xác định mệnh đề 2+3=5 3*4 = 10 Tam giác có cạnh Washington D.C thủ đô Hoa Kỳ Toronto thủ đô Canada Câu xác định "2 + = 5", "Tam giác có cạnh nhau" "Washington D.C thủ đô Hoa Kỳ" mệnh đề Còn câu xác định "3*4 = 10" "Toronto thủ đô Canada" mệnh đề sai Như vậy, mệnh đề mệnh đề mệnh đề sai Hay nói cách khác, mệnh đề lựa chọn giá trị là sai Một mệnh đề khơng thể vừa vừa sai Ví dụ 2: Xét câu phát biểu sau Hôm thứ ? Một số thực âm số phương Hãy đọc kỹ đọan x+1=2 x+y=z Câu "Hôm thứ ? " khơng mệnh đề câu hỏi khơng có giá trị đúng, sai Câu "Một số âm khơng phải số phương" có chân trị xét tập họp số thực R lại có chân trị sai xét tập họp số phức Câu "x+1=2" câu "x+y=z" mệnh đề chúng chẳng chẳng sai biến câu chưa gán cho giá trị cụ thể Giá trị đúng, sai mệnh đề gọi chân trị mệnh đề Chân trị mệnh đề ký hiệu T (true), chân trị mệnh đề sai ký hiệu F (false) Bảng chân trị mệnh đề bao gồm trường hợp đúng, sai xảy mệnh đề Mục đích họat động khoa học phân biệt mệnh đề để xác định chân trị Sự xác định chân trị dựa vào thực nghiệm lý luận Lý luận xác định chân trị mệnh đề cách kết hợp mệnh đề mà ta biết Trang Chương 1: Đại số mệnh đề chân trị Các luật lệ chế ngự cách kết hợp mang tính xác phép tốn đại số Vì thế, cần nói đến "Đại số mệnh đề" 1.3 Các phép tính mệnh đề Trong phép tính mệnh đề, người ta khơng quan tâm đến ý nghĩa câu phát biểu mà ý đến chân trị mệnh đề Do đó, thực phép tốn mệnh đề thơng thường người ta không ghi rõ câu phát biểu mà ghi ký hiệu Các chữ dùng để ký hiệu mệnh đề Những chữ thường dùng P, Q, R, Mệnh đề có giá trị đơn (luôn sai) gọi mệnh đề nguyên từ ( atomic proposition ) Các mệnh đề mệnh đề nguyên từ gọi mệng đề phức hợp (compound propositions) Thông thường, tất mệnh đề phức hợp mệnh đề liên kết (có chứa phép tính mệnh đề) Các phép tính mệnh đề sử dụng nhằm mục đích kết nối mệnh đề lại với tạo mệnh đề Các phép tốn mệnh đề trình bày chương bao gồm : phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép XOR, phép kéo theo, phép tương đương 1.3.1 Phép phủ định (NEGATION) Cho P mệnh đề, câu "không phải P" mệnh đề khác gọi phủ định mệnh đề P Kí hiệu : ¬ P ( P ) Ví dụ : P="2>0" ¬P= " ≤ " Bảng chân trị (truth table) p ¬p TF F T Qui tắc: Nếu P có giá trị T phủ định P có giá trị F Trang Chương 1: Đại số mệnh đề 1.3.2 Phép hội (CONJUNCTION) Cho hai mệnh đề P, Q Câu xác định "P Q" mệnh đề gọi hội mệnh đề P Q Kí hiệu P ∧Q Ví dụ : Cho mệnh đề P Q sau P = " > " mệnh đề Q = " = " mệnh đề sai P ∧Q = " 2> = " mệnh đề sai Bảng chân trị p T T F F q T F T F p ∧q T F F F Qui tắc : Hội mệnh đề hai mệnh đề Các trường hợp lại sai 1.3.3 Phép tuyển (DISJUNCTION) Cho hai mệnh đề P, Q Câu xác định "P hay (hoặc) Q" mệnh đề gọi tuyển mệnh đề P Q Kí hiệu P ∨Q Ví dụ : Cho mệnh đề P Q sau P = " > " mệnh đề Q = " = " mệnh đề sai P ∨Q = " ≥ " mệnh đề Bảng chân trị p T T F F q T F T F p∨q T T T F Trang Chương 1: Đại số mệnh đề Qui tắc : Tuyển mệnh đề sai hai mệnh đề sai Các trường hợp lại 1.3.4 Phép XOR Cho hai mệnh đề P Q Câu xác định "loại trừ P lọai trừ Q", nghĩa "hoặc P Q không đồng thời hai đúng" mệnh đề gọi P xor Q Kí hiệu P ⊕ Q Bảng chân trị p T T F F q p⊕q T F F T T T F F 1.3.5 Phép toán bit Các máy tính dùng bit để biểu diễn thơng tin Một bit có giá trị Bit dùng để biểu diễn chân trị Thường người ta dùng bit để biểu diễn chân trị bit để biểu diễn chân trị sai Các phép toán bit máy tính phép tốn logic Thơng tin thường biển diễn cách dùng xâu bit Ta có định nghĩa xâu bit sau: Định nghĩa : Một xâu bit (hoặc xâu nhị phân) dãy có nhiều bit Chiều dài xâu số bit xâu Ví dụ : 101011000 xâu bit có chiều dài Có thể mở rộng phép tốn bit tới xâu bit Người ta định nghĩa OR bit, AND bit XOR bit xâu bit có chiều dài xâu có bit chúng ca1c OR, AND, XOR bit tương ứng xâu tương ứng Chúng ta dùng kí hiệu ∧, ∨, ⊕ để biểu diễn phép tính OR bit, AND XOR tương ứng Trang Chương 1: Đại số mệnh đề Ví dụ : Tìm OR bit, AND bit XOR bit xâu sau (mỗi xâu tách thành khối, khối có bit cho dễ đọc) 01101 10110 11000 11101 11101 11111 OR bit 01000 10100 AND bit 10101 01011 XOR bit 1.3.6 Phép kéo theo (IMPLICATION) Cho P Q hai mệnh đề Câu "Nếu P Q" mệnh đề gọi mệnh đề kéo theo hai mệnh đề P,Q Kí hiệu P → Q P gọi giả thiết Q gọi kết luận Ví dụ : Cho hai mệnh đề P Q sau P = " tam giác T " Q = " tam giác T có góc 60°" Để xét chân trị mệnh đề P → Q, ta có nhận xét sau : - Nếu P đúng, nghĩa tam giác T rõ ràng P → Q - Nếu P sai, nghĩa tam giác T không khơng cân dù Q hay sai mệnh đề P → Q Sau bảng chân trị ví dụ bảng chân trị mệnh đề P →Q p q p→q T T T T F F F T T F F T Qui tắc : mệnh đề kéo theo sai giả thiết kết luận sai Các trường hợp khác Trang 10 Chương 1: Đại số mệnh đề Từ mệnh đề P → Q, tạo mệnh đề kéo theo khác mệnh đề Q → P ¬Q → ¬P gọi mệnh đề đảo mệnh đề phản đảo mệnh đề P → Q Ví dụ : Tìm mệnh đề đảo phản đảo mệnh đề sau " Nếu tơi có nhiều tiền tơi mua xe hơi" Mệnh đề đảo : " Nếu tơi mua xe tơi có nhiều tiền" Mệnh đề phản đảo : " Nếu khơng mua xe tơi khơng có nhiều tiền" 1.3.7 Phép tương đương (BICONDITIONAL) Cho P Q hai mệnh đề Câu "P Q" mệnh đề gọi P tương đương Q Kí hiệu P ↔ Q Mệnh đề tương đương P Q có chân trị P ↔ Q = (P → Q) ∧(Q → P) Đọc : P Q P cần đủ Q Nếu P Q ngược lại Bảng chân trị p q p↔q T T T T F F F T F F F T 1.4 Biểu thức mệnh đề (LOGICAL CONNECTIVES) Cho P, Q, R, mệnh đề Nếu mệnh đề liên kết với phép tốn ta biểu thức mệnh đề Trang 11 Chương 1: Đại số mệnh đề Chú ý : Một mệnh đề biểu thức mệnh đề Nếu P biểu thức mệnh đề ¬P biểu thức mệnh đề Chân trị biểu thức mệnh đề kết nhận từ kết hợp phép toán chân trị biến mệnh đề Ví chân trị mệnh đề ¬P P ¬P Q R Q ∧R ¬ P ∨(Q ∧R) T F T T T T T F T F F F T F F T F F T F F F F F F T T T T T F T T F F T F T F T F T F T F F F T dụ biểu : Tìm thức ∨(Q ∧R ) Do biêểu thức mệnh đề liên kết nhiều mệnh đề phép toán nên phân tích để biểu diễn biểu thức mệnh đề mệnh đề Ví dụ : Xét câu phát biểu sau : " Nếu Michelle thắng kỳ thi Olympic, người khâm phục ấy, ta trở nên giàu có Nhưng, ta khơng thắng ta tất cả." Đây biểu thức mệnh đề phép tốn phép hội Có thể viết lại sau : "Nếu Michelle thắng kỳ thi Olympic, người khâm phục cô ấy, cô ta trở nên giàu có Nhưng, ta khơng thắng ta tất " Cả hai mệnh đề biểu thức mệnh đề mệnh đề phức hợp Có thể định nghĩa biến mệnh đề sau: P: Michelle thắng kỳ thi Olympic Trang 12 Chương 1: Đại số mệnh đề Q: người khâm phục cô R: ta trở nên giàu có S: ta tất Biểu diễn câu phát biểu mệnh đề phép tốn, ta có biểu thức mệnh ( P → (Q ∧R)) ∧(¬P → S) đề sau : Biểu diễn câu phát biểu thành ngữ nghĩa sau : Nếu Michelle thắng kỳ thi Olympic, người khâm phục ấy, ta trở nên giàu có Nhưng, ta khơng thắng ta tất Nếu Michelle thắng kỳ thi Olympic, người khâm phục cô ấy, cô ta trở nên giàu có Michelle thắng kỳ thi Olympic Mọi người khâm phục cô AND Mọi người khâm phục cô ấy, cô ta trở nên giàu có AND Nếu ta khơng thắng ta tất Cơ ta khơng thắng Cơ ta trở nên giàu có Trang 13 Cô ta tất Cô ta NOT tất Chương 1: Đại số mệnh đề 1.5 Các ứng dụng Logic (EVERDAY LOGICAL) Ngày nay, logic mệnh đề ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: - Viết - Nói - Tìm kiếm mạng (search engines) - Toán học - Các chương trình máy tính (logic in programming) Do đó, hiểu biết qui tắc để sử dụng logic hữu ích Sau vài ví dụ để ứng dụng • Ví dụ 1: Logic tìm kiếm mạng Đặt vấn đề : Bạn muốn tìm tài liệu mạng có liên quan đến hai từ "disc golf" Nếu bạn gõ vào ô tìm kiếm hai từ "disc golf" này, bạn tìm thấy tài liệu disc tài liệu golf khơng tìm thấy các tài liệu "disc golf" Cách giải : Bạn cần gõ vào tìm kiếm "disc AND golf" • Ví dụ : Logic lập trình (Logic in programming) Đặt vấn đề : Bạn muốn đặt điều kiện 0