Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 28 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
28
Dung lượng
5,43 MB
Nội dung
Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Một ao hình ABCDE (như hình vẽ), ao có mảnh vườn hình tròn có bán kính 10 m Người ta muốn bắc câu cầu từ bờ AB ao đến vườn Tính gần độ dài tối thiếu l cầu biết : - Hai bờ AE BC nằm hai đường thẳng vng góc với nhau, hai đường thẳng cắt điểm O ; - Bờ AB phần parabol có đỉnh điểm A có trục đối xứng đường thẳng OA ; - Độ dài đoạn OA OB 40 m 20 m; - Tâm I mảnh vườn cách đường thẳng AE BC 40 m 30 m A l ≈ 17, m B l ≈ 25, m C l ≈ 27, m Lời giải : D l ≈ 15,7 m Chọn A A ∈ Oy Gán trục tọa độ Oxy cho cho đơn vị 10 m B ∈ Ox Khi mảnh vườn hình tròn có phương trình ( C ) : ( x − ) + ( y − 3) = có tâm I ( 4;3) Bờ AB phần Parabol ( P ) : y = − x ứng với x ∈ [ 0; 2] M ∈ ( P ) Vậy toán trở thành tìm MN nhỏ với N ∈ ( C ) Đặt trường hợp xác định điểm N MN + MI ≥ IM , MN nhỏ MN + MI = IM ⇔ N ; M ; I thẳng hàng Bây giờ, ta xác định điểm N để IN nhỏ N ∈ ( P ) ⇔ N ( x; − x ) IN = ( − x) + ( − x2 ) ⇔ IN = ( − x ) + ( − x ) 2 ⇔ IN = x − x − x + 17 Xét f ( x ) = x − x − x + 17 [ 0; 2] ⇔ f ′ ( x ) = x − x − f ′ ( x ) = ⇔ x ≈ 1,3917 nghiệm 1,3917 ∈ [ 0; 2] Ta có f ( 1,3917 ) = 7,68 ; f ( ) = 17 ; f ( ) = 13 Vậy giá trị nhỏ f ( x ) [ 0; 2] gần 7, 68 x ≈ 1,3917 Vậy IN ≈ 7, 68 ≈ 2, 77 ⇔ IN = 27, m ⇔ MN = IN − IM = 27, − 10 = 17, m Câu 2: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần năm 2017 – 2018) Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ −2018; 2018] để hàm số y = x + − mx − đồng biến ( −∞; + ∞ ) A 2017 B 2019 C 2020 Lời giải D 2018 Chọn D TXĐ : D = ¡ x y′ = −m x +1 Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y ′ ≥ , ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≤ x x2 + , ∀x ∈ ¡ ( 1) x Xét f ( x ) = ¡ x2 + lim f ( x ) = −1 ; lim f ( x ) = x →−∞ f ′( x) = x →+∞ (x Ta có: m ≤ + 1) x + > , ∀x ∈ ¡ nên hàm số đồng biến ¡ x , ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≤ −1 x +1 Mặt khác m ∈ [ −2018; 2018] ⇒ m ∈ [ −2018; − 1] Vậy có 2018 số nguyên m thoả điều kiện Câu 3: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ Hỏi số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = e f ( x) −2 bao nhiêu? A B C Lời giải D Chọn D f ( x ) = ln 2 ⇔ f x = ln ⇔ ( ) −2 =0 f ( x ) = − ln Dựa vào bbt ta thấy: Đường thẳng y = ln cắt đồ thị y = f ( x ) điểm Xét e f ( x) Đường thẳng y = − ln cắt đồ thị y = f ( x ) điểm Nên phương trình e f y= e f ( x) −2 ( x) − = có nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Câu 4: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số y = f ( − x ) + x2 − x nghịch biến khoảng A ( −3; 1) B ( −2; ) C ( 1; 3) Lời giải Chọn C 3 D −1; ÷ 2 x2 − x có y ′ = − f ′ ( − x ) + x − 1 − x = −3 x = y ′ = ⇔ − f ′ ( − x ) + x − = ⇔ f ′ ( − x ) = − ( − x ) ⇔ 1 − x = ⇔ x = 1 − x = x = −2 Xét hàm số y = f ( − x ) + Ta có bảng biến thiên: x2 Do Hàm số y = f ( − x ) + − x nghịch biến khoảng ( 1;3) Câu 5: Tập tất giá trị tham số thực m để phương trình m ( ) + x + − x + + − x − = có hai nghiệm phân biệt nửa khoảng ( a; b ] Tính b − a 6−5 6−5 A B 35 C 12 − 35 D 12 − Câu 6: Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ( y = x 2017 + 2019 − x A ) tập xác định Tính M − m 2019 + 2017 B 2019 2019 + 2017 2017 C 4036 D 4036 2018 Câu 7: Tập tất giá trị tham số thực m để phương trình m ( ) + x + − x + + − x − = có hai nghiệm phân biệt nửa khoảng ( a; b ] Tính b − a A 6−5 35 B 6−5 C 12 − 35 D 12 − Lời giải Chọn D Đặt t = + x + − x với −1 ≤ x ≤ Khi đó: t = + − x2 ⇔ − x2 = t − ⇒ t′ = 1 − = ⇔ 1− x = 1+ x ⇔ x = 1+ x 1− x +- Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ≤t ≤ −t + Ta có phương trình: m ( t + 3) + t − = ⇔ m = t +3 −t − 6t − −t + ′ ⇒ f t = ( ) Xét hàm số: f ( t ) = , t ∈ 2; ( t + 3) t +3 f ′ ( t ) = ⇔ t = −3 ± ∉ 2; Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇒a= ( ) ( 3− 3− hay < m ≤ ≤ t ≤ Khi < f ( t ) ≤ 7 ( ) ) 3− 12 − , b= ⇒b− a = 7 Câu 8: Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ( y = x 2017 + 2019 − x A ) tập xác định Tính M − m 2019 + 2017 C 4036 B 2019 2019 + 2017 2017 D 4036 2018 Lời giải Chọn D TXĐ: D = − 2019; 2019 Ta có y ′ = 2017 + 2019 − x − ⇒ y′ = ⇔ 2017 + 2019 − x − x2 2019 − x x2 =0⇔ 2017 2019 − x + 2019 − x 2019 − x 2019 − x Trên D , đặt t = 2019 − x , t ≥ Ta được: t = x = − 2018 2t + 2017t − 2019 = ⇔ ⇒ 2019 − x = ⇔ 2019 t = − x = 2018 Khi f − 2018 = −2018 2018 ; f 2018 = 2018 2018 ( ( ) ) f − 2019 = −2017 2019 ; =0 ( ) f ( 2019 ) = 2017 2019 Suy m = y = −2018 2018 , M = max y = 2018 2018 D D Vậy M − m = 4036 2018 Câu 9: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số thực m cho giá trị lớn x − 14 x + 48 x + m − 30 đoạn [ 0;2] không vượt 30 Tổng tất giá trị S A 108 B 136 C 120 D 210 hàm số y = Câu 10: Cho hàm số y = − x + x + có đồ thị ( C ) điểm M ( m;1) Gọi S tập hợp tất giá trị thực m để qua M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) Tổng giá trị tất phần tử S A B 40 C 16 D 20 Câu 11: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y= x − 14 x + 48 x + m − 30 đoạn [ 0;2] không vượt 30 Tổng tất giá trị S A 108 B 136 C 120 Lời giải Chọn B x − 14 x + 48 x + m − 30 ′ g ( x ) = x − 28 x + 48 Xét hàm số g ( x ) = x = −6 ( L ) g′( x ) = ⇔ x = ( L ) x = TM ( ) { max f ( x ) = max g ( ) ; g ( ) [ 0;2] [ 0;2] } m − 30 ≤ 30 ⇒ ⇔ ≤ m ≤ 16 m + 14 ≤ 30 = max { m − 30 ; m + 14 } ≤ 30 [ 0;2] D 210 16 Suy S = ∑ x = 136 x =1 Câu 12: Cho hàm số y = − x + x + có đồ thị ( C ) điểm M ( m;1) Gọi S tập hợp tất giá trị thực m để qua M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) Tổng giá trị tất phần tử S A B 40 16 Lời giải C D 20 Chọn B Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) qua M ( m;1) có hệ số góc k là: y = k ( x − m ) + Để qua M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) điều kiện hệ phương trình sau có hai nghiệm x phân biệt − x3 + x + = k ( x − m ) + − x + 4x + = k ( x − m) + ⇔ ( I) ′ −3 x + x = k ( − x + x + 1) = k ( 1) ( 2) Thay ( ) vào ( 1) ta − x + x + = ( −3 x + x ) ( x − m ) + ⇔ x x − ( 3m + ) x + 8m = x = ⇔ x − ( 3m + ) x + 8m = ( ) Như vậy, hệ ( I ) có hai nghiêm phương trình ( 3) có nghiệm nghiệm khác ; phương trình ( 3) có nghiệm khác Phương trình ( 3) có nghiệm x = m = Khi đó, phương trình ( 3) trở thành x = x2 − 4x = ⇔ ; x = Do m = thỏa mãn Phương trình ( 3) có nghiệm khác điều kiện ∆ = ( 3m + ) − 4.2.8m = 3m + ≠0 ∆ = ( 3m + ) − 4.2.8m = m = ⇔ 3m + ⇔ m = ≠ Như S = 0; ; Tổng giá trị tất phần tử S + 40 +4= 9 Câu 13: Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R \ { −2; 2} , có bảng biến thiên sau: −∞ x y′ − −2 +∞ 0 − + +∞ +∞ + +∞ −1 y −∞ −∞ k l Gọi , số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= Tính k + l f ( x ) − 2018 A k + l = B k + l = C k + l = D k + l = Câu 14: Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R \ { −2; 2} , có bảng biến thiên sau: x −∞ −2 − − + y′ +∞ +∞ +∞ y +∞ + −1 −∞ −∞ Gọi k , l số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= Tính k + l f ( x ) − 2018 A k + l = B k + l = C k + l = D k + l = Lời giải Chọn D Vì phương trình f ( x ) = 2018 có ba nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y = có f ( x ) − 2018 ba đường tiệm cận đứng Mặt khác, ta có: 1 nên đường thẳng đường tiệm cận ngang lim y = lim =− y=− x →+∞ x →+∞ f ( x ) − 2018 2019 2019 đồ thị hàm số y = y = lim Và xlim →−∞ x →−∞ hàm số y = f ( x ) − 2018 = nên đường thẳng y = đường tiệm cận ngang đồ thị f ( x ) − 2018 f ( x ) − 2018 Vậy k + l = Câu 15: Cho x , y số thực thỏa mãn P= ( x − 3) + ( y − 1) = Giá trị nhỏ biểu thức y + xy + x + y − x + y +1 A B C 114 11 D Câu 16: Cho x , y số thực thỏa mãn P= ( x − 3) + ( y − 1) = Giá trị nhỏ biểu thức y + xy + x + y − x + y +1 A 114 11 Hướng dẫn giải B C D Chọn A Theo giả thiết, ta có ( x − 3) + ( y − 1) = ⇔ x + y = x + y − 2 Đặt t = x + y + , ta có t − = ( x − 3) + ( y − 1) ≤ (1 2 + 22 ) ( x − 3) + ( y − 1) ⇔ t − ≤ hay t ∈ [ 1;11] 2 2 Mặt khác, t = ( x + y + 1) ⇔ t = ( x + y ) + y + xy + x + y + ⇔ t = ( x + y − ) + y + xy + x + y + ⇔ t = ( y + xy + x + y − 1) + ( x + y + 1) − Suy y + xy + x + y − = t − t + t2 − t + 4 = t + − ≥ t − = , với t ∈ [ 1;11] t t t 17 Vậy P = t = Suy x = , y = x = , y = − 5 Khi đó, P = Câu 17: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x + a Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho [ 0; 2] Có số nguyên a thuộc [ −4; 4] cho M ≤ 2m ? A B C D +) Ω ( A ) tập hợp điểm thuộc hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị b = , b = a , a = (phần gạch chéo đồ thị) Xét phương trình hồnh độ giao điểm a = ⇔ a = 1 a4 ⇒ Ω ( A ) = ∫ − a da = ∫ ( − a ) da = a − ÷ = − = 0 4 0 1 3 3 Vậy xác suất cần tìm P= = Câu 25: Biết tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình x − x + = m − có nghiệm khoảng có dạng ( a; b ) Tính tổng S = a + b B A C 25 D 10 Câu 26: Biết tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình x − x + = m − có nghiệm khoảng có dạng ( a; b ) Tính tổng S = a + b A B C 25 D 10 Lời giải Câu sửa đề lại: Từ nghiệm thành nghiệm Chọn B x − x + x ≥ Xét hàm số f ( x ) = x − x + = x + x + x < Ta có bảng biến thiên Do ta có đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + Suy đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) = x − x + Số nghiệm phương trình x − x + = m − số giao điểm đồ thị ( C ) đường thẳng d : y = m − Để phương trình x − x + = m − có nghiệm d cắt ( C ) điểm a = < m − < ⇔ < m < Vậy suy S = a + b = b = Câu 27: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = tan x − đồng biến khoảng tan x − m π − ;0 ÷ A −1 ≤ m < B m < C m ≥ Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ m ≤ −1 D 0 ≤ m < Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x − x − 3m − với m tham số thực Điều kiện cần đủ để g ( x ) ≤ , ∀x ∈ − 5; 2 A m ≥ f B m ≥ f − 3 ( ) ( ) C m ≥ f ( 0) Câu 29: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = D m ≤ f ( 5) tan x − đồng biến khoảng tan x − m π − ;0 ÷ A −1 ≤ m < B m < C m ≥ m ≤ −1 D 0 ≤ m < Hướng dẫn giải Chọn D π π > ∀x ∈ 0; Đặt t = tan x , x ∈ − ;0 ÷⇒ t ∈ ( −1;0 ) Khi ta có t x′ = cos x 4 tan x − t −2 Do tính đồng biến hàm số y = giống hàm số f ( t ) = tan x − m t −m t −2 ∀t ∈ ( −1;0 ) Tập xác định: D = ¡ \ { m} Xét hàm số f ( t ) = t −m 2−m Ta có f ' ( t ) = ( t − m) π Để hàm số y đồng biến khoảng − ;0 ÷ khi: f ' ( t ) > ∀t ∈ ( −1;0 ) m < 2−m 2 − m > ⇔ > ∀t ∈ ( −1;0 ) ⇔ ⇔ m ≤ −1 ⇔ m ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 0; ) t − m ( ) m ∉ ( −1;0 ) m ≥ 1 ( tan x − m ) − ( tan x − ) 2 cos x CASIO: Đạo hàm hàm số ta y ' = cos x ( tan x − m ) Ta nhập vào máy tính thằng y ' \CALC\Calc x = − \ = \ m = ? giá trị đáp án π ( Chọn giá trị thuộc π − ;0 ÷ ) Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x − x − 3m − với m tham số thực Điều kiện cần đủ để g ( x ) ≤ , ∀x ∈ − 5; 2 A m ≥ f B m ≥ f − 3 ( ) ( ) C m ≥ f ( 0) D m ≤ f ( 5) Hướng dẫn giải Chọn A 2 Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + x − ; g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = −3x + ⇔ x = ∨ x = ± Ta thấy g ′ ( x ) ≥ , ∀x ∈ − 5; nên hàm số g ( x ) đồng biến − 5; g ( x) ≤ ⇔ g ≤ ⇔ m ≥ f Do đó, để g ( x ) ≤ , ∀x ∈ − 5; −max 5; ( ) ( 5) Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết phương trình f ′ ( x ) = có bốn nghiệm phân biệt a , , b , c với a < < b < c Mệnh đề A f ( a ) > f ( c ) > f ( b ) B f ( a ) > f ( b ) > f ( c ) C f ( c ) > f ( a ) > f ( b ) D f ( b ) > f ( a ) > f ( c ) k k −1 Câu 32: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x Đặt f ( x ) = f ( f ( x ) ) với k số nguyên lớn Hỏi phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt ? A 122 B 120 C 365 D 363 Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết phương trình f ′ ( x ) = có bốn nghiệm phân biệt a , , b , c với a < < b < c Mệnh đề A f ( a ) > f ( c ) > f ( b ) B f ( a ) > f ( b ) > f ( c ) C f ( c ) > f ( a ) > f ( b ) D f ( b ) > f ( a ) > f ( c ) Lời giải Chọn A Ta có bảng biến thiên x -∞ f / (x) a - 0 + b - c + f(0) f(x) - f(c) f(a) Suy f ( c ) > f ( b ) +∞ f(b) (1) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) , đường thẳng x = a , x = S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) , đường thẳng x = , x = b S3 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) , đường thẳng x = b , x = c Vì S1 + S3 < S ⇔ ∫ a ⇔ c b f ′ ( x ) dx + ∫ f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx b 0 c b a b ∫ f ′ ( x ) dx + ∫ f ′ ( x ) dx < −∫ f ′ ( x ) dx ⇔ f ( 0) − f ( a ) + f ( c ) − f ( b ) < − f ( b ) + f ( 0) ⇔ f ( a ) > f ( c ) (2) Từ (1) (2) ⇒ f ( a ) > f ( c ) > f ( b ) k Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x Đặt f ( x ) = f ( f ( x) ) k −1 với k số nguyên lớn Hỏi phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt ? A 122 B 120 C 365 Lời giải Chọn A D 363 Nhận xét: + Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x sau: x = ⇒ f ( 1) = f ′ ( x ) = x − 12 x + = ⇔ Lại có x = ⇒ f ( 3) = f ( ) = f ( ) = - Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x qua gốc tọa độ - Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x tiếp xúc với trục Ox điểm ( 3; ) + Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) nên g ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) g ( ) = −3 nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x xuống đơn vị ta đồ thị hàm số y = g ( x ) Suy phương trình g ( x ) = có nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) + Tổng quát: xét hàm số h ( x ) = f ( x ) − a , với < a < Lập luận tương tự trên: - h ( ) = −a < h ( 1) > ; h ( ) < - Tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x xuống a đơn vị ta đồ thị hàm số y = h ( x ) Suy phương trình h ( x ) = ln có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Khi đó, x = + Ta có f ( x ) = x − x + x = ⇔ x = + f ( x) = f ( x) = f ( f ( x) ) = ⇔ Theo trên, phương trình f ( x ) = có có ba nghiệm f ( x ) = dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Nên phương trình f ( x ) = có + nghiệm phân biệt f ( x) = f x = ⇔ ( ) + f ( x ) = f ( x ) = có + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = a , với a ∈ ( 0; ) lại có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt Suy phương trình f ( x ) = có 32 + + nghiệm phân biệt f ( x) = + f ( x) = ⇔ f ( x ) = f ( x ) = có + + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = b , với b ∈ ( 0; ) lại có nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất 9.3 nghiệm phân biệt f ( x) = + f ( x) = ⇔ f ( x ) = f ( x ) = có 33 + + + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = c , với c ∈ ( 0; ) lại có 27 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất 27.3 nghiệm phân biệt Vậy f ( x ) có 34 + 33 + 32 + + = 122 nghiệm 2 Câu 35: Cho hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x − m − m , với m tham số Gọi A , B hai điểm cực trị đồ thị hàm số I ( 2; −2 ) Tổng tất số m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính A − 17 B 17 C 14 17 D 20 17 2 Câu 36: Cho hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x − m − m , với m tham số Gọi A , B hai điểm cực trị đồ thị hàm số I ( 2; −2 ) Tổng tất số m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính A − 17 B 17 14 17 Lời giải C D 20 17 Chọn D x = m +1 Ta có y ′ = x − 6mx + 3m − = ( x − m ) − 1 ; ⇔ x = m −1 Do đó, hàm số ln có hai cực trị với m Giả sử A ( m + 1; −4m − ) ; B ( m − 1; −4m + ) Ta có AB = , ∀m ∈ R Mặt khác, ∆IAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = nên từ sin ·AIB = AB = R suy sin ·AIB AB = ⇒ ·AIB = 90o hay ∆AIB vuông I 2R AB AB ⇔ IM = =5 m = 2 ⇔ ( m − ) + ( −4m + ) = ⇔ 17m − 20m + = ⇔ m = 17 20 Tổng tất số m + = 17 17 Gọi M trung điểm AB , ta có M ( m; −4m ) IM = k k −1 Câu 37: HẾT Cho hàm số f ( x ) = x − x + x Đặt f ( x ) = f ( f ( x ) ) với k số nguyên lớn Hỏi phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt? A 365 B 1092 C 1094 D 363 k k −1 Câu 38: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x Đặt f ( x ) = f ( f ( x ) ) với k số nguyên lớn Hỏi phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt ? A 365 B 1092 C 1094 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có f ′ ( x ) = 3x − 12 x + Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có: D 363 f ( x) = f ′( x) = k −2 f x = ( ) f k −1 ( x ) = k −2 f ( x) = k f ( x ) = ⇔ k −1 ⇔ f ( x ) = ⇔ ⇔ f ( x) = f ( x ) = k −1 f x = ( ) M k −1 f ( x ) = k Bài toán giải tìm số nghiệm phương trình f ( x ) = + Phương trình f ( x ) = có ba nghiệm thuộc ( 0; ) + Phương trình f ( x ) = f ( f ( x ) ) f ( x ) = x1 ∈ ( 0; 1) ⊂ ( 0; ) = ⇔ f ( x ) = x2 ∈ ( 1; 3) ⊂ ( 0; ) f x = x ∈ 3; ⊂ 0; ( ) ( ) ( ) Từ bảng biến thiên ta có với giá trị x1 , x2 , x3 ∈ ( 0; ) phương trình f ( x ) = xi , i = 1,3 có ba nghiệm thuộc ( 0; ) Như phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc ( 0; ) k + Bằng quy nạp ta chứng minh phương trình f ( x ) = có 3k nghiệm thuộc ( 0; ) k Từ đó, số nghiệm phương trình f ( x ) = + + 32 + + 3k −1 = + 3k −1 − 36−1 − = 365 k k −1 Bài toán tổng quát: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x Đặt f ( x ) = f ( f ( x ) ) với k số Vậy số nghiệm phương trình f ( x ) = + n tự nhiên lớn Hỏi phương trình f ( x ) = có nghiệm? Lời giải: (Cách 2) Ta có f ′ ( x ) = 3x − 12 x + Bảng biến thiên: −∞ x +∞ f ′( x) + 0 − + f ( x) k k Gọi ak ; bk số nghiệm phương trình f ( x ) = 0; f ( x ) = ak = ak −1 + bk −1 ⇒ ak = ak −1 + 3k −1 Từ bảng biến thiên ta có k bk = 3n − 3n + Do an = a1 + 3n −1 + 3n − + + = + (Vì a1 = ) = 2 3n + n Vậy phương trình f ( x ) = có nghiệm Cách 3: Nhận xét: + Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x sau: x = ⇒ f ( 1) = f ′ ( x ) = x − 12 x + = ⇔ Lại có x = ⇒ f ( 3) = f ( ) = f ( ) = - Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x qua gốc tọa độ - Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x tiếp xúc với trục Ox điểm ( 3; ) + Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) nên g ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) g ( ) = −3 nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x xuống đơn vị ta đồ thị hàm số y = g ( x ) Suy phương trình g ( x ) = có nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) + Tổng quát: xét hàm số h ( x ) = f ( x ) − a , với < a < Lập luận tương tự trên: - h ( ) = −a < h ( 1) > ; h ( ) < - Tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x xuống a đơn vị ta đồ thị hàm số y = h ( x ) Suy phương trình h ( x ) = ln có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Khi đó, x = + Ta có f ( x ) = x − x + x = ⇔ x = + f ( x) = f ( x) = f ( f ( x) ) = ⇔ Theo trên, phương trình f ( x ) = có có ba nghiệm f ( x ) = dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Nên phương trình f ( x ) = có + nghiệm phân biệt f ( x) = + f ( x) = ⇔ f ( x ) = 3 f ( x ) = có + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương f ( x ) phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = a , với a ∈ ( 0; ) lại có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt Suy phương trình f ( x ) = có 32 + + nghiệm phân biệt f ( x) = + f ( x) = ⇔ f ( x ) = f ( x ) = có + + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương f ( x ) phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = b , với b ∈ ( 0; ) lại có nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất 9.3 nghiệm phân biệt f ( x) = + f ( x) = ⇔ f ( x ) = f ( x ) = có 33 + + + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương f ( x ) phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = c , với c ∈ ( 0; ) lại có 27 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất 27.3 nghiệm phân biệt Vậy f ( x ) = có 34 + 33 + 32 + + = 122 nghiệm f ( x) = + f ( x) = ⇔ f ( x ) = f ( x ) = có 34 + 33 + 32 + + = 122 nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương f ( x ) phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = c , với c ∈ ( 0; ) lại có 81 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất 81.3 nghiệm phân biệt Vậy f ( x ) có 35 + 34 + 33 + 32 + + = 365 nghiệm Câu 39: Cho đồ thị ( C ) : y = x + x + x + Gọi M ( 0; m ) điểm nằm trục tung mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) Biết tập hợp giá trị m nửa khoảng ( a; b ] Giá trị a + b B − Câu 40: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d , A 1 ( a , b, c , d ∈ ¡ D −1 C ) thỏa mãn a > , d > 2018 , a + b + c + d − 2018 < Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − 2018 A B C D Câu 41: Cho đồ thị ( C ) : y = x + x + x + Gọi M ( 0; m ) điểm nằm trục tung mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) Biết tập hợp giá trị m nửa khoảng ( a; b ] Giá trị a + b A 1 B − Lời giải C D −1 Chọn C 2x +1 + 2 x2 + x + - Gọi ∆ đường thẳng qua M ( 0; m ) có hệ số góc k ⇒ ∆ : y = kx + m - Đường thẳng ∆ tiếp tuyến (C) hệ phương trình sau có nghiệm: x + x + x + = kx + m 2x +1 k = + 2 x2 + x + - Ta có: y ′ = x+2 x x 2x2 + x = m ( 1) + x2 + x + = + +m ⇔ 2 x2 + x + x2 + x + Hệ phương trình có nghiệm ( 1) có nghiệm x+2 - Xét hàm số: f ( x ) = ¡ , x2 + x + ⇒ có f ′ ( x ) = −3 x ( x + x + 1) x + x + ⇒ f ′( x) = ⇔ x = BBT: Dựa vào BBT ta thấy: phương trình ( 1) có nghiệm − a = − ⇒ Vậy a + b = b = Câu 42: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a , b, c , d ∈ ¡ ) < m ≤ hay m ∈ − ;1 thỏa mãn a > , d > 2018 , a + b + c + d − 2018 < Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − 2018 A B C D Lời giải Chọn D - Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 = ax + bx + cx + d − 2018 g ( ) = d − 2018 Ta có: g ( 1) = a + b + c + d − 2018 g ( ) > Theo giả thiết, ta g ( 1) < lim g ( x ) = +∞ x →+∞ ⇒ ∃β > 1: g ( β ) > ⇒ ∃α < : g ( α ) < - Lại do: a > nên lim g x = −∞ ( ) x →−∞ g ( α ) g ( ) < Do đó: g ( ) g ( 1) < ⇒ g ( x ) = có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( α ; β ) g ( 1) g ( β ) < Hay hàm số y = g ( x ) có đồ thị dạng y f(x)=(1/3)*(x+1)*(2x-1)*(x-2) x -2 -1 Khi đồ thị hàm số y = g ( x ) có dạng O f(x)=abs((1/3)*(x+1)*(2x-1)*(x-2)) y x -2 -1 O Vậy hàm số y = f ( x ) − 2018 có điểm cực trị ( ) ( ) x + x −1 m x + + 16 x − x ÷ = , với m tham số x −1 thực Tìm số giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt A 11 B C 20 D Câu 43: Cho phương trình x + x −1 m x + + 16 x − x ÷ = , với m tham số x −1 thực Tìm số giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt A 11 B C 20 D Câu 44: Cho phương trình Lời giải Chọn D Điều kiện x > ( ) x + x −1 m x + + 16 x − x ÷ = x −1 ⇔m x+ + 16 x − x = x − x − x −1 Ta có ⇔ m+ 4 x −1 x x −x x −1 ⇔ m = −16 − + ( 1) + 16 = 1− x x −1 x x −1 x x x −1 , x > ta có < t < x Xét hàm số f ( t ) = −16t − + khoảng ( 0;1) ta có f ′ ( t ) = −16 + ; f ′ ( t ) = t t Đặt t = Bảng biến thiên ⇔t= Từ ta thấy, phương trình ( 1) có hai nghiệm thực phân biệt −16 < m < −11 Do có giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán MUA TRỌN BỘ 15.000 CÂU TRẮC NGHIỆM THI THPTQG GIÁ 200 GỌI O93.735.1107 ... đường tiệm cận ngang lim y = lim =− y=− x →+∞ x →+∞ f ( x ) − 2018 2019 2019 đồ thị hàm số y = y = lim Và xlim →−∞ x →−∞ hàm số y = f ( x ) − 2018 = nên đường thẳng y = đường tiệm cận ngang đồ thị... thiên sau: x −∞ −2 − − + y′ +∞ +∞ +∞ y +∞ + −1 −∞ −∞ Gọi k , l số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= Tính k + l f ( x ) − 2018 A k + l = B k + l = C k + l = D k + l = Lời... thiên sau: −∞ x y′ − −2 +∞ 0 − + +∞ +∞ + +∞ −1 y −∞ −∞ k l Gọi , số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= Tính k + l f ( x ) − 2018 A k + l = B k + l = C k + l = D k + l = Câu