Sách hướng dẫn học tập Xác Suất Thống Kê lý thuyết xác suất thống kê là một bộ phận của tóan học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát.
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP XÁC SUT THNG KÊ (Dùng cho sinh viên ngành CNTT và TVT h đào to đi hc t xa) Lu hành ni b HÀ NI - 2006 HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP XÁC SUT THNG KÊ Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG LI NÓI U Lý thuyt xác sut thng kê là mt b phn ca toán hc, nghiên cu các hin tng ngu nhiên và ng dng chúng vào thc t. Ta có th hiu hin tng ngu nhiên là hin tng không th nói trc nó xy ra hay không xy ra khi thc hin mt ln quan sát. Tuy nhiên, nu tin hành quan sát khá nhiu ln mt hin tng ngu nhiên trong các phép th nh nhau, ta có th rút ra đc nhng kt lun khoa hc v hi n tng này. Lý thuyt xác sut cng là c s đ nghiên cu Thng kê – môn hc nghiên cu các các phng pháp thu thp thông tin chn mu, x lý thông tin, nhm rút ra các kt lun hoc quyt đnh cn thit. Ngày nay, vi s h tr tích cc ca máy tính đin t và công ngh thông tin, lý thuyt xác sut thng kê ngày càng đc ng dng rng rãi và hiu qu trong mi lnh vc khoa hc t nhiên và xã h i. Chính vì vy lý thuyt xác sut thng kê đc ging dy cho hu ht các nhóm ngành đi hc. Có nhiu sách giáo khoa và tài liu chuyên kho vit v lý thuyt xác sut thng kê. Tuy nhiên, vi phng thc đào to t xa có nhng đc thù riêng, đòi hi hc viên phi làm vic đc lp nhiu hn, vì vy cn phi có tài liu hng dn hc tp ca tng môn h c thích hp cho đi tng này. Tp tài liu “Hng dn hc môn toán xác sut thng kê” này đc biên son cng nhm mc đích trên. Tp tài liu này đc biên son cho h đi hc chuyên ngành in t-Vin thông theo đ cng chi tit chng trình qui đnh ca Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông. Ni dung ca cun sách bám sát các giáo trình ca các trng đi hc khi k thu t và theo kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, giáo trình này cng có th dùng làm tài liu hc tp, tài liu tham kho cho sinh viên ca các trng, các ngành đi hc và cao đng khi k thut. Giáo trình gm 6 chng tng ng vi 4 đn v hc trình (60 tit): Chng I: Các khái nim c bn v xác sut. Chng II: Bin ngu nhiên và các đc trng ca chúng. Chng III: Véc t ngu nhiên và các đc trng ca chúng. Chng IV: Lut s ln và đnh lý gii hn. Chng V:.Thng kê toán hc Chng VI: Quá trình ngu nhiên và chui Markov. iu kin tiên quyt môn hc này là hai môn toán cao cp đi s và gii tích trong chng trình toán đi cng. Tuy nhiên vì s hn ch ca chng trình toán dành cho hình thc đào to t xa, do đó nhiu kt qu và đnh lý ch đc phát bi u và minh ha ch không có điu kin đ chng minh chi tit. Giáo trình đc trình bày theo cách thích hp đi vi ngi t hc, đc bit phc v đc lc cho công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn gii thiu ca mi chng đ thy đc mc đích ý ngha, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt và ch dn rõ ràng. c bit bn đc nên chú ý đn các nhn xét, bình lun đ hiu sâu hn hoc m rng tng quát hn các kt qu và hng ng dng vào thc t. Hu ht các bài toán đc xây dng theo lc đ: đt bài toán, chng minh s tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu thut toán gii quyt bài toán này. Các ví d là đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý hoc các thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng hn khi tip thu bài hc. Sau các chng có phn tóm tt các ni dung chính và cui cùng là các câu hi luyn tp. Có khong t 20 đn 30 bài tp cho mi chng, tng ng vói 3 -5 câu hi cho mi tit lý thuyt. H th ng câu hi này bao trùm toàn b ni dung va đc hc. Có nhng câu kim tra trc tip các kin thc va đc hc nhng cng có nhng câu đòi hi hc viên phi vn dng mt cách tng hp và sáng to các kin thc đ gii quyt. Vì vy vic gii các bài tp này giúp hc viên nm chc hn lý thuyt và kim tra đc mc đ tip thu lý thuy t ca mình. Tuy rng tác gi đã rt c gng, song vì thi gian b hn hp cùng vi yêu cu cp bách ca Hc vin, vì vy các thiu sót còn tn ti trong giáo trình là điu khó tránh khi. Tác gi rt mong s đóng góp ý kin ca bn bè đng nghip, hc viên xa gn và xin cám n vì điu đó. Cui cùng chúng tôi bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã khuyn khích đng viên, to nhiu điu kin thun li đ chúng tôi hoàn thành tp tài liu này. Hà Ni, đu nm 2006. Lê Bá Long Khoa c bn 1 Hc Vin CNBCVT Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 3 CHNG I: CÁC KHÁI NIM C BN V XÁC SUT GII THIU Các hin tng trong t nhiên hay xã hi xy ra mt cách ngu nhiên (không bit trc kt qu) hoc tt đnh (bit trc kt qu s xy ra). Chng hn ta bit chc chn rng lông ca qu có mu đen, mt vt đc th t trên cao chc chn s ri xung đt . ó là nhng hin tng din ra có tính quy lut, tt đ nh. Trái li khi tung đng xu ta không bit mt sp hay mt nga s xut hin. Ta không th bit có bao nhiêu cuc gi đn tng đài, có bao nhiêu khách hàng đn đim phc v trong khong thi gian nào đó. Ta không th xác đnh trc ch s chng khoán trên th trng chng khoán… ó là nhng hin tng ngu nhiên. Tuy nhiên, nu tin hành quan sát khá nhiu ln mt hin tng ngu nhiên trong nhng hoàn c nh nh nhau, thì trong nhiu trng hp ta có th rút ra nhng kt lun có tính quy lut v nhng hin tng này. Lý thuyt xác sut nghiên cu các qui lut ca các hin tng ngu nhiên. Vic nm bt các quy lut này s cho phép d báo các hin tng ngu nhiên đó s xy ra nh th nào. Chính vì vy các phng pháp ca lý thuyt xác sut đc ng dng rng rãi trong vic gii quyt các bài toán thu c nhiu lnh vc khác nhau ca khoa hc t nhiên, k thut và kinh t-xã hi. Chng này trình bày mt cách có h thng các khái nim và các kt qu chính v lý thuyt xác sut: - Các khái nim phép th, bin c. - Quan h gia các bin c. - Các đnh ngha v xác sut: đnh ngha xác sut theo c đin, theo thng kê. - Các tính cht ca xác sut: công th c cng và công thc nhân xác sut, xác sut ca bin c đi. - Xác sut có điu kin, công thc nhân trong trng hp không đc lp. Công thc xác sut đy đ và đnh lý Bayes. - Dãy phép th Bernoulli và xác sut nh thc Khi nm vng các kin thc v đi s tp hp nh hp, giao tp hp, tp con, phn bù ca mt tp con … hc viên s d dàng trong vic tip thu, biu din hoc mô t các bin c. tính xác sut các bin c theo phng pháp c đin đòi hi phi tính s các trng hp thun li đi vi bin c và s các trng hp có th. Vì vy hc viên cn nm vng các phng pháp đm - gii tích t hp (đã đc hc lp 12 và trong ch ng 1 ca toán đi s A2). Tuy nhiên đ thun li cho ngi hc chúng tôi s nhc li các kt qu chính trong mc 3. Mt trong nhng khó khn ca bài toán xác sut là xác đnh đc bin c và s dng đúng các công thc thích hp. Bng cách tham kho các ví d và gii nhiu bài tp s rèn luyn tt k nng này. Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 4 NI DUNG 1.1. PHÉP TH VÀ BIN C 1.1.1. Phép th (Experiment) Trong thc t ta thng gp nhiu thí nghim, quan sát mà các kt qu ca nó không th d báo trc đc. Ta gi chúng là các phép th ngu nhiên. Phép th ngu nhiên thng đc ký hiu bi ch C . Tuy không bit kt qu s xy ra nh th nào, nhng ta có th lit kê đc hoc biu din tt c các kt qu ca phép th C . Mi kt qu ca phép th C đc gi là mt bin c s cp. Tp hp tt c các bin c s cp ca phép th đc gi là không gian mu, ký hiu Ω . Ví d 1.1: ̇ Phép th tung đng xu có không gian mu là { } NS,=Ω . ̇ Vi phép th tung xúc xc, các bin c s cp có th xem là s các nt trên mi mt xut hin. Vy {} 6,5,4,3,2,1=Ω . ̇ Phép th tung đng thi 2 đng xu có không gian mu là {} ),(),,(),,(),,( NNSNNSSS=Ω . Chú ý rng bn cht ca các bin c s cp không có vai trò đc bit gì trong lý thuyt xác sut. Chng hn có th xem không gian mu ca phép th tung đng tin là {} 1,0=Ω , trong đó 0 là bin c s cp ch mt sp xut hin và 1 đ ch mt nga xut hin. 1.1.2. Bin c (Event) Vi phép th C ta thng xét các bin c (còn gi là s kin) mà vic xy ra hay không xy ra hoàn toàn đc xác đnh bi kt qu ca C . Mi kt qu ω ca C đc gi là kt qu thun li cho bin c A nu A xy ra khi kt qu ca C là ω . Ví d 1.2: Nu gi A là bin c s nt xut hin là chn trong phép th tung xúc xc ví d 1.1 thì A có các kt qu thun li là 2, 4, 6. Tung hai đng xu, bin c xut hin mt mt sp mt mt nga (xin âm dng) có các kt qu thun li là ),(;),( SNNS . Nh vy mi bin c A đc đng nht vi mt tp con ca không gian mu Ω bao gm các kt qu thun li đi vi A . Mi bin c ch có th xy ra khi mt phép th đc thc hin, ngha là gn vi không gian mu nào đó. Có hai bin c đc bit sau: • Bin c chc chn là bin c luôn luôn xy ra khi thc hin phép th, bin c này trùng vi không gian mu Ω . • Bin c không th là bin c nht đnh không xy ra khi thc hin phép th. Bin c không th đc ký hiu φ . Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 5 Tung mt con xúc xc, bin c xut hin mt có s nt nh hn hay bng 6 là bin chc chn, bin c xut hin mt có 7 nt là bin c không th. 1.1.3. Quan h gia các bin c Trong lý thuyt xác sut ngi ta xét các quan h sau đây cho các bin c. a. Quan h kéo theo Bin c A kéo theo bin c B , ký hiu BA ⊂ , nu A xy ra thì B xy ra. b. Quan h bin c đi Bin c đi ca A là bin c đc ký hiu là A và đc xác đnh nh sau: A xy ra khi và ch khi A không xy ra. c. Tng ca hai bin c Tng ca hai bin c BA, là bin c đc ký hiu BA ∪ . Bin c BA ∪ xy ra khi và ch khi có ít nht A hoc B xy ra. Tng ca mt dãy các bin c { } n AAA , .,, 21 là bin c ∪ n i i A 1= . Bin c này xy ra khi có ít nht mt trong các bin c i A xy ra. d. Tích ca hai bin c Tích ca hai bin c BA, là bin c đc ký hiu AB . Bin c AB xy ra khi và ch khi c hai bin c A , B cùng xy ra. Tích ca mt dãy các bin c { } n AAA , .,, 21 là bin c ∏ = n i i A 1 . Bin c này xy ra khi tt c các bin c i A cùng xy ra. e. Bin c xung khc Hai bin s BA, gi là xung khc nu bin c tích AB là bin c không th. Ngha là hai bin c này không th đng thi xy ra. Chú ý rng các bin c vi phép toán tng, tích và ly bin c đi to thành đi s Boole do đó các phép toán đc đnh ngha trên có các tính cht nh các phép toán hp, giao, ly phn bù đi vi các tp con ca không gian mu. f. H đy đ các bin c Dãy các bin c n AAA , .,, 21 đc gi là mt h đy đ các bin c nu: i. Xung khc tng đôi mt, ngha là φ = ji AA vi mi nji , .,1 =≠ , ii. Tng ca chúng là bin c chc chc, ngha là Ω= = ∪ n i i A 1 . c bit vi mi bin c A , h { } AA, là h đy đ. Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 6 Ví d 1.3: Mt nhà máy có ba phân xng sn xut ra cùng mt loi sn phm. Gi s rng mi sn phm ca nhà máy ch do mt trong ba phân xng này sn xut. Chn ngu nhiên mt sn phm, gi 321 ,, AAA ln lt là bin c sn phm đc chn do phân xng th nht, th hai, th ba sn xut. Khi đó h ba bin c 321 ,, AAA là h đy đ. g. Tính đc lp ca các bin c Hai bin c A và B đc gi là đc lp vi nhau nu vic xy ra hay không xy ra bin c này không nh hng ti vic xy ra hay không xy ra bin c kia. Tng quát các bin c n AAA , .,, 21 đc gi là đc lp nu vic xy ra hay không xy ra ca mt nhóm bt k k bin c, trong đó nk ≤≤1 , không làm nh hng ti vic xy ra hay không xy ra ca các bin c còn li. nh lý 1.2: Nu BA, đc lp thì các cp bin c: BA, ; BA, ; BA, cng đc lp. Ví d 1.4: Ba x th A, B, C mi ngi bn mt viên đn vào mc tiêu. Gi CBA ,, ln lt là bin c A, B, C bn trúng mc tiêu. a. Hãy mô t các bin c: ,,ABC A B C A B C∪∪. b. Biu din các bin c sau theo CBA ,, : - :D Có ít nht 2 x th bn trúng. - :E Có nhiu nht 1 x th bn trúng. - :F Ch có x th C bn trúng. - :G Ch có 1 x th bn trúng. c. Các bin c CBA ,, có xung khc, có đc lp không ? Gii: a. ABC : c 3 đu bn trúng. A BC : c 3 đu bn trt. CBA ∪∪ : có ít nht 1 ngi bn trúng. b. CABCABD ∪∪= . Có nhiu nht mt x th bn trúng có ngha là có ít nht hai x th bn trt, vy ACCBBAE ∪∪= . CBAF = . CBACBACBAG ∪∪= . c. Ba bin c CBA ,, đc lp nhng không xung khc. 1.2. NH NGHA XÁC SUT VÀ CÁC TÍNH CHT Vic bin c ngu nhiên xy ra hay không trong kt qu ca mt phép th là điu không th bit hoc đoán trc đc. Tuy nhiên bng nhng cách khác nhau ta có th đnh lng kh nng xut hin ca bin c, đó là xác sut xut hin ca bin c. Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 7 Xác sut ca mt bin c là mt con s đc trng kh nng khách quan xut hin bin c đó khi thc hin phép th. Da vào bn cht ca phép th (đng kh nng) ta có th suy lun v kh nng xut hin ca bin c, vi cách tip cn này ta có đnh ngha xác sut theo phng pháp c đin. Khi thc hi n nhiu ln lp li đc lp mt phép th ta có th tính đc tn sut xut hin ca mt bin c nào đó. Tn sut th hin kh nng xut hin ca bin c, vi cách tip cn này ta có đnh ngha xác sut theo thng kê. 1.2.1. nh ngha c đin v xác sut Gi s phép th C tho mãn hai điu kin sau: (i) Không gian mu có mt s hu hn phn t. (ii) Các kt qu xy ra đng kh nng. Khi đó ta đnh ngha xác sut ca bin c A là thÓ cã hîptr−êng sè víièi lîi thuËn hîptr−êng sè A AP đ )( = (1.1) Nu xem bin c A nh là tp con ca không gian mu Ω thì Ω = Ω = A A AP cña tö phÇn sè cña tö phÇn sè )( (1.1)’ Ví d 1.5: Bin c A xut hin mt chn trong phép th gieo con xúc xc ví d 1.1 có 3 trng hp thun li ( 3=A ) và 6 trng hp có th ( 6=Ω ). Vy 2 1 6 3 )( ==AP . tính xác sut c đin ta s dng phng pháp đm ca gii tích t hp. 1.2.2. Các qui tc đm a. Qui tc cng Nu có 1 m cách chn loi đi tng 1 x , 2 m cách chn loi đi tng 2 x , . , n m cách chn loi đi tng n x . Các cách chn đi tng i x không trùng vi cách chn j x nu ji ≠ thì có n mmm +++ 21 cách chn mt trong các đi tng đã cho. b. Qui tc nhân Gi s công vic H gm nhiu công đon liên tip k HHH , .,, 21 và mi công đon i H có i n cách thc hin thì có tt c k nnn ××× 21 cách thc hin công vic H . c. Hoán v Mi phép đi ch ca n phn t đc gi là phép hoán v n phn t. S dng quy tc nhân ta có th tính đc: Có !n hoán v n phn t. Chng 1: Các khái nim c bn v xác sut 8 d. Chnh hp Chn ln lt k phn t không hoàn li trong tp n phn t ta đc mt chnh hp chp k ca n phn t. S dng quy tc nhân ta có th tính đc s các chnh hp chp k ca n phn t là )!( ! kn n A k n − = (1.2) e. T hp Mt t hp chp k ca n phn t là mt tp con k phn t ca tp n phn t. Cng có th xem mt t hp chp k ca n phn t là mt cách chn đng thi k phn t ca tp n phn t. Hai chnh hp chp k ca n phn t là khác nhau nu: ̇ có ít nht 1 phn t ca chnh hp này không có trong chnh hp kia. ̇ các phn t đu nh nhau nhng th t khác nhau. Do đó vi mi t hp chp k ca n phn t có !k chnh hp tng ng. Mt khác hai chnh hp khác nhau ng vi hai t hp khác nhau là khác nhau. Vy s các t hp chp k ca n phn t là )!(! ! ! knk n k A C k n k n − == (1.3) Ví d 1.6: Tung mt con xúc xc hai ln. Tìm xác sut đ trong đó có 1 ln ra 6 nt. Gii: S các trng hp có th là 36. Gi A là bin c “ trong 2 ln tung con xúc xc có 1 ln đc mt 6”. Nu ln th nht ra mt 6 thì ln th hai ch có th ra các mt t 1 đn 5, ngha là có 5 trng hp. Tng t cng có 5 trng hp ch xut hin mt 6 ln tung th hai. Áp dng quy tc cng ta suy ra xác sut đ ch có mt ln ra mt 6 khi tung xúc xc 2 ln là 36 10 . Ví d 1.7: Cho các t mã 6 bit đc to t các chui các bit 0 và bit 1 đng kh nng. Hãy tìm xác sut ca các t có cha k bit 1, vi 6, .,0 =k . Gii: S trng hp có th 6 2=Ω . t k A là bin c " t mã có cha k bit 1" . Có th xem mi t mã có cha k bit 1 là mt t hp chp k ca 6 phn t, vy s trng hp thun li đi vi k A là s các t hp 6 chp k . Do đó )!6(! !6 6 kk CA k k − == Vy xác sut ca các bin c tng ng () 6, .,0, 2)!6(! !6 6 = − = k kk AP k . Ví d 1.8: Mt ngi gi đin thoi quên mt hai s cui ca s đin thoi và ch nh đc rng chúng khác nhau. Tìm xác sut đ quay ngu nhiên mt ln đc đúng s cn gi. . NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP XÁC SUT THNG KÊ Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG LI NÓI U Lý thuyt xác sut thng kê là mt b phn ca toán. xác sut thng kê ngày càng đc ng dng rng rãi và hiu qu trong mi lnh vc khoa hc t nhiên và xã h i. Chính vì vy lý thuyt xác sut thng kê