6 boi duong HS gioi toan6 10

http://tailieuchonloc.net CHUYÊN ĐỀ: SỐ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG ********** * Các toán dãy số viết theo quy luật Bài tốn 1: Tính tổng sau a)      n b)      2.n c)     (2.n  1) d)    10   2005 e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+….+2001 A      16   8192 Bài tốn 2: Tính nhanh tổng sau: Bài tốn 3: a) Tính tổng số lẻ có hai chữ số b) Tính tổng số chẵn có hai chữ số Bài tốn 4: a) Tổng 1+2+3+….+n có số hạng để kết tổng 190 b) Có hay khơng số tự nhiên n cho     n  2004 c) Chứng minh rằng:  (1     n)   không chia hết cho 10 n �N Bài tốn 5: a) Tính nhanh 1.2  2.3  3.4   1999.2000 b) áp dụng kết phần a) tính nhanh B  1.1  2.2  3.3   1999.1999 c) Tính nhanh : C  1.2.3  2.3.4   48.49.50 Hãy xây dựng cơng thức tính tổng a) c) trường hợp tổng qt Bài tốn 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n dãy số sau: a) 3;8;15;24;35; b) 3; 24;63;120;195; c) 1;3;6;10;15; d) 2;5;10;17; 26; e) 6;14; 24;36;50; g) 4; 28;;70;130; Bài toán 7: Cho dãy số 1;1  2;1   3;1    4; Hỏi dãy số có số có chữ số tận khơng ? Tại ? Bài toán 8: Cho S1   2; S2    5; S3     9; S4  10  11  12  13  14; Tính S100 Bài tốn 9: Tính cách hợp lý a) A  41.66  34.41   11   79 b) B      200   10   34 c) C  5.6  2.10.12  4.20.24  9.45.54 1.3.5  2.6.10  4.12.20  9.27.45 * Các toán tập hợp Bài toán 10: Cho a) A   1; 2 ; B   1;3;5 b) A   x, y ; B   x, y , z , t  Hãy viết tập hợp gồm phần tử phần tử thuộc A, phần tử thuộc B Bài toán 11: Cho a) A   x �N x M2; x M3; x  100 b) B   x �N x M6; x  100 Hãy viết tập hợp A, B cách liệt kê phần tử D  478478478 Bài toán 12: Cho C  353535 a) Viết tập hợp P chữ số C tập hợp Q chữ số D cách liệt kê phần tử b) Bằng cách liệt kê phần tử viết tập hợp gồm phần tử phần tử thuộc P phần tử thuộc Q   Bài toán 13: Cho a) A  x �N x  ab; a  3.b b) B   x �N 20Mx  xNΣ x 11.n 3; n N ; x 300 c) C � Xác định tập hợp cách liệt kê phần tử Bài toán 14: Xác định tập hợp sau cách tính chất đặc trưng a) A   1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100 b) B   2;6;12; 20;30; 42;56;72;90 CHUYÊN ĐỀ: TẬP HỢP , TẬP HỢP CON - ÁP DỤNG http://tailieuchonloc.net ********** Bài toán 1: Cho tập hợp A   a, b, c, d , e a) Viết tập hợp A có phần tử b) Viết tập hợp A có hai phần tử c) Có tập hợp A có ba phần tử ? có bốn phần tử ? d) Tập hợp A có tập hợp ? Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có tập hợp tập hợp B không trường hợp sau a) A   1;3;5 ; B   1;3;7 b) A   x, y ; B   x, y, z c) A tập hợp số tự nhiên có tận 0, B tập hợp số tự nhiên chẵn Bài toán 3: Ta gọi A tập thực B A ̹̹ B; A B Hãy viết tập thực tập hợp B   1; 2;3 B   3; 4;5 Bài toán 4: Cho tập hợp A   1; 2;3; 4 ; Viết tập hợp vừa tập hợp A, vừa tập hợp B Bài toán 5: Cho tập hợp A   1; 2;3; 4 a) Viết tập hợp A mà phần tử số chẵn b) Viết tất tập hợp tập hợp A Bài toán 6: Chứng minh A �B; B �D A �D Bài tốn 7: Có thể kết luận hai tập hợp A, B biết: a) x �B x �A b) x �A x �B , x �B x �A Bài tốn 8: Cho tập hợp K   5;6;7;8 Viết tập hợp tập hợp K cho phần tử có số lẻ, số chẵn Bài toán 9: Cho H tập hợp ba số lẻ đầu tiên, K tập hợp số tự nhiên a) Viết tập hợp L phần tử thuộc K mà không thuộc H b) CMR: H �K H � M ; M � K c) Tập hợp M có số phần tử cho + Hỏi M có phần tử ? nhiều phần tử ? + Có tập hợp M có phần tử thoả mãn điều kiện Bài toán 10: Cho tập hợp M   30; 4; 2005; 2;9 Hãy nêu tập hợp tập M gồm số: a) Có chữ số b) có hai chữ số c) Là số chẵn Bài toán 11: Cho A   x �N x M2; x M4; x  100 ; B   x �N x M8; x  100 a) Hãy liệt kê phần tử tập hợp A ; tập hợp B b) Hai tập hợp A, B có nahu khơng ? Vì ? Bài toán 12: Cho a � 18; 42;60 , b � 35;52 Hãy xác định tập hợp M   a  b Bài toán 13: Cho A tập hợp số tự nhiên đầu tiên, B tập hợp số chẵn a) CMR: B �A b) Viết tập hợp M cho B �M , M �A Có tập hợp M  xNΣ x 7.q 3; q N ; x 150 Bài toán 14: Cho A � a) Xác định A cách liệt kê phần tử ? b) Tính tổng phần tử tập hợp A Bài toán 15: Cho M   1;13; 21; 29;52 Tìm x; y �M biết 30  x  y  40 CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG http://tailieuchonloc.net ********** Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm ba chữ số a) Viết tập hợp A b) Tính tổng phần tử tập hợp A Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c cho  a  b  c a) Viết tập A số tự nhiên có ba chữ số gồm ba chữ số b) Biết tổng hai số nhỏ tập A 448 Tìm ba chữ số a, b, c nói Bài tốn 3: Thay chữ chữ số thích hợp để kết a) ab  bc  ca  abc b) abc  ab  a  874 c) abcd  abc  ab  a  4321 d) **.**  *** (2 thừa số vế trái chẵn tích số có ba chữ số nhau) Bài toán 4: Cho bốn chữ số a, b, c, d khác khác Lập số lớn số nhỏ có bốn chữ số gồm bốn chữ số Tổng hai số 11330 Tính tổng: a  b  c  d Bài tốn 5: a) Có hay khơng số tự nhiên có chữ số cho cộng với số gồm chữ số viết theo thứ tự khác tổng 999 b) Tồn hay khơng số tự nhiên có ba chữ số cho cộng với số gồm ba chữ số viết theo thứ tự khác tổng 999 ? Bài tốn 6: Tìm số có hai chữ số, biết viết thêm chữ số xen hai chữ số số số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu Bài tốn 7: Tìm kết phép nhân { { a) A  33 3.99 2005 c s 2005 c s { { b) B  33 3.33 2005 c s 2005c s Bài tốn 8: Tổng hai số có ba chữ số 836 Chữ số hàng trăm số thứ 5, số thứ hai Nếu gạch bỏ chữ số hai số có hai chữ số mà số gấp hai lần số Tìm hai số Bài tốn 9: Chia số tự nhiên gồm ba chữ số cho số tự nhiên gồm ba chữ số ta thương 2, dư Nếu xố chữ số số bị chia xoá chữ số số chia thương phép chia nhương số dư giảm trước 100 Tìm số bị chia số chia lúc đầu Bài tốn 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  2005  1005 : (999  x) với x �N Bài toán 11: Người ta viết liền dãy số tự nhiên 1: 1,2,3,4,5,… Hỏi chữ số thứ 659 chữ số ? Bài toán 12: Cho S   10  13   100 a) Tính số số hạng tổng b) Tìm số hạng thứ 22 tổng c) Tính tổng S Bài tốn 13: Tìm số có ba chữ số, biết chữ số hàng trăm hiệu chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị Chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thương dư Tích số phải tìm với số có chữ số tận { 123 tích hai số tự nhiên liên tiếp Bài toán 14: Chứng tỏ số A= 11 122 n c.s1 n c.s2 Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A viết 100 chữ số 3, số B viết 100 chữ số Hãy tính tích A.B CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG ********** http://tailieuchonloc.net Bài tốn 1: Tìm chữ số tận tích sau a) 312.352 b) 162.1252 c) 2002.722 d) 1212.316 Bài tốn 2: Tính giá trị biểu thức sau: a) a3 a9 b) (a )7 b) (a )4 a12 d) (23 )5 (23 )3 Bài tốn 3: Viết tích sau dạng luỹ thừa a) 410.230 b) 925.274.813 c) 2550.1255 d) 643.48.164 Bài toán 4: Viết thương sau dạng luỹ thừa 197 :193 a) 38 : 36 ; 75 : ; ; 210 : 83 ; 127 : 67 ; 275 : 813 b) 106 :10 ; 58 : 252 ; 49 : 642 ; 225 : 32 ; 183 : 93 ; 1253 : 254 Bài tốn 5: Tính giá trị biểu thức a) 56 : 53  33.32 b) 4.52  2.32 Bài toán 6: Viết tổng sau thành bình phương a) 13  23 b) 13  23  33 c) 13  23  33  43 d) 13  23  33  43  53 Bài toán 7: Viết số sau dươi dạng tổng luỹ thừa 10 a) 213 b) 421 c) 1256 d) 2006 e) abc g) abcde Bài toán : Tìm x �N biết a) 3x.3  243 b) x 20  x c) x.162  1024 d) 64.4 x  168 Bài toán : Viết tích sau dạng luỹ thừa a) x.5 x.5 x b) x1.x .x 2006 c) x.x x .x100 d) x x5 x8 .x 2003 Bài tốn 10: Tìm x, y �N biết x  80  y Bài toán 11: Thực phép tính sau cách hợp lý a) (217  17 ).(915  315 ).(24  42 ) b) (71997  71995 ) : (71994.7) c) (12  23  34  45 ).(13  23  33  43 ).(38  812 ) d) (28  83 ) : (25.23 ) Bài toán 12: Viết kết phép tính sau dạng luỹ thừa a) 166 : 42 b) 278 : c) 1255 : 253 d) 414.528 e) 12n : 22 n g) 644.165 : 420 Bài tốn 13: Tìm x �N biết a) x.4  128 b) x15  x c) (2 x  1)3  125 d) ( x  5)4  ( x  5)6 e) x10  1x g) x  15  17 h) (7 x  11)3  25.52  200 i) 3x  25  26.22  2.30 k) 27.3x  243 l) 49.7 x  2041 m) 64.4 x  45 n) 3x  243 p) 34.3n  37 Bài tốn 14: Tìm số dư chia A, B cho biết a) A  (4n  6n  8n  10n )  (3n  5n  n  n ) b) B  2003n  2004n  2005n ; n �N Bài tốn 15: Tìm n �N biết: a)  3n  81 b) 25 �5n �125 CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG (TIẾP THEO) ********** Bài tốn 16: Tính giá trị biểu thức http://tailieuchonloc.net 310.11  310.5 39.24 723.542 d) D  1084 212.14.125 g) G  355.6 a) A  210.13  210.65 28.104 46.34.95 e) E  612 453.204.182 h) H  1805 49.36  644 164.100 213  25 f) F  10 2 2 11.322.37  915 i) I  (2.314 ) b) B  c) C  Bài tốn 17: Tìm n �N * biết a) 32  2n  128 b) 2.16 �2n  d) (22 : 4).2n  k) 27.3n  243 c) 32.3n  35 n  4.2n  9.25 l) 49.7 n  2401 e) 34.3n  37 g) h) 27 n  3n i) 64.4n  45 Bài tốn 18: Tìm x biết a) ( x  1)3  125 b) x   x  96 c) (2 x  1)3  343 d) 720 :  41  (2 x  5)  Bài tốn 19: Tính tổng sau cách hợp lý a) A  20  21  22   22006 b) B    32   3100 c) C   42  43   4n d) D    52   52000 Bài toán 20: Cho A    22  23   2200 Hãy viết A+1 dạng luỹ thừa Bài toán 21: Cho B   32  33   32005 CMR: 2B+3 luỹ thừa Bài toán 22: Cho C   22  23   22005 CMR: C luỹ thừa Bài toán 23: Chứng minh rằng: a) 55  54  53 M7 b) 76  75  74 M11 c) 109  108  107 M222 e) 106  57 M59 g) 3n   2n  3n  2n M10n �N * h) 817  279  913 M45 i) 810  89  88 M55 k) 109  108  107 M555 Bài toán 24: a) Viết tổng sau thành tích:  22 ;  22  23 ;  22  23  24 b) Chứng minh rằng: A   22  23   22004 chia hết cho 3; 15 Bài toán 25: a) Viết tổng sau thành tích 34  35  36  37 b) Chứng minh rằng: B    32   399 M40 Bài toán 26: Chứng minh rằng: a) S1   52  53   52004 M6;31;156 b) S2   22  23   2100 M31 c) s3  165  215 M33 d) S4  53! 51!M29 CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG (TIẾP THEO) ********** * Các tốn tìm chữ số tận số I Tóm tắt lý thuyết Tìm chữ số tận tích http://tailieuchonloc.net + Tích số lẻ số lẻ + Tích số chẵn với số tự nhiên số chẵn + x0.a  y (với a �N ) + x5.a  y5 (với a �N ; a lẻ) Tìm chữ số tận luỹ thừa n n n n + x0  y ( n �N * ); + x1  y1 ( n �N ); + x5  y5 ( n �N * ); + x6  y ( n �N * ) + x4 k 1 4n  y ( k �N ); + x9 k 1  y9 ( k �N ); + x 4n 2k  y ( k �N * ); + x9 4n 2k  y1 ( k �N * ) 4n + x  y ( n �N * ); + x8  y ( n �N * ); + x3  y1 ( n �N * ); + x7  y1 ( n �N * ); * Chú ý: Số phương số bình phương số tự nhiên - Một số phương có tận 0; 1; 4; 5; khơng có tận 2; 3; 7; II Bài tập áp dụng: Bài toán 1: Tìm chữ số tận số sau 22003 ; 499 ;999 ;399 ;799 ;899 ; 7895 ; 748 ; 8732 ; 5833 ; 2335 Bài toán 2: Tìm chữ số tận hiệu 2007.2009.2011 2017  2002.2004.2006.2008 Bài tốn 3: CMR: số sau có có chữ số tận a) 11a a ( a �N ) b) 7a 2a (a số chẵn) Bài toán 4: Chứng minh tổng hiệu sau chia hết cho 10 a) 481n  19991999 b) 162001  82000 c) 192005  112004 d) 8102  2102 e) 175  244  1321 g) 122004  21000 Bài tốn 5: Tìm chữ số tận số: 22003 32003 ; 195 ; 2345 ; 5796 Bài tốn 6: Tìm chữ số tận tổng  52  53   596 73 35 2005 67 75 20042006 9294 (7  ) số tự nhiên 10 Bài toán 8: Cho S  30  31  32   330 Tìm chữ số tận S CMR: S khơng số Bài toán 7: Chứng minh số A  phương Bài tốn 9: Có hay khơng số tự nhiên n cho n  n  2M5 Bài toán 10: n n n * Chú ý: + x01  y 01 ( n �N * ) + x 25  y 25 ( n �N * ) + x76  y 76 ( n �N * ) + Các số 320 ;815 ;7 ;512 ;992 có tận 01 + Các số: 220 ;65 ;184 ; 242 ;684 ;742 có tận 76 + Số 26n (n  1) có tận 76 áp dụng: Tìm hai chữ số tận số sau 2100 ;71991;5151 ;9999 ;6666 ;14101.16101 ; 22003 Bài tốn 11: Tìm chữ số tận hiệu 71998  41998 Bài tốn 12: Các tổng sau có số phương không ? a) 108  b) 100! c) 10100  1050  99 CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG (TIẾP THEO) =====    ===== * Các toán tìm chữ số tận số Bài tốn 1: Tìm chữ số tận số sau http://tailieuchonloc.net a) 20022005 ; 19921994 ; 332003.342003 ; 282006.811003 ; 1892.18924.18927 1892100 b) 20032001 ; 19731.19732.19733 .1973100 ; 27 2003.92003 ; 812007.343669.92007 c) 1997 2005 ; 92006.232006 ; 1997 2.19975.19978 1997 2003 ; 1111999.271999 d) 1981997 ; 19982002 ; 362003.632003 ; 1998.19987.199813 1998151 Bài tốn 2: Tìm chữ số tận số sau a) 19992001 ; 992004 ; 2005.27 2005 ; 9992006 ; 99999 ; 199919 b) 20042005 ; 19942004 ; 8205.28205 ; 894895 ; 200420 ; 1947 Bài tốn 3: Tìm chữ số tận số sau a) 20022001 ; 19922000 ; 7281 ; b) 20032004 ; 1932001 ; 8321 c) 1997 2000 ; 27101 ; 2007 2001 d) 1998200 ; 24201 42201 ; 1982001 Bài toán 4: Cho A  20  21  22   22005 Tìm chữ số tận A Chứng tỏ A không số phương Bài tốn 5: Cho B   52  53   596 a) Chứng minh BM96 b) Tìm chữ số tận B Bài toán 6: Cho S   22  23   2100 a) Chứng minh S M3 b) Chứng minh S M15 c) Tìm chữ số tận S Bài tốn 7: Tìm chữ số tận số sau a) 23! b) 37! 24! c) 2.4.6 1998  1.3.5 1997 Bài toán 8: Các tích sau tận chữ số ? a) 49! b) 7.8.9 81 c) 100! Bài toán 9: Chứng minh a) 20022004  10021000 M10 b) 19992001  2012005 M10 c) 99  99 M10 Bài toán 10: Chứng minh rằng: a) 0,3.(20032003  19971997 ) số tự nhiên 2004 896 2004 2006 2000 51954 62006 2004 105110 205 112006 8283 2005 2005 52006 9999 20022003 205 20032005 99 b) 2006 1998 (1997 2004  19931994 ) số tự nhiên 10 CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG (TIẾP THEO) CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA =====    ===== http://tailieuchonloc.net * Tóm tắt lý thuyết: a) Nếu m  n a m  a n (a>1) b) Nếu a  b a n  b n (n>0) c) Nếu a < b a.c < b.c (c > 0) * Bài tập áp dụng: Bài toán 1: So sánh số sau, số lớn a) 1030 2100 b) 333444 444333 c) 1340 2161 d) 5300 3453 Bài toán 2: So sánh số sau a) 5217 11972 b) 2100 10249 c) 912 27 d) 12580 25118 e) 540 62010 f) 2711 818 Bài toán 3: So sánh số sau a) 536 1124 b) 6255 1257 c) 32 n 23n (n �N * ) d) 523 6.522 Bài toán 4: So sánh số sau a) 7.213 216 b) 2115 275.498 c) 19920 200315 d) 339 1121 Bài toán 5: So sánh số sau a) 7245  7244 7244  7243 b) 2500 5200 c) 3111 1714 d) 324680 237020 e) 21050 5450 g) 52 n 25 n ;(n �N ) Bài toán 6: So sánh số sau a) 3500 7300 b) 85 3.47 c) 9920 999910 d) 202303 303202 e) 321 231 g) 111979 371320 h) 1010 48.505 i) 199010  19909 199110 Bài toán 7: So sánh số sau a) 10750 7375 b) 291 535 c) 544 2112 Bài tốn 8: Tìm x �N biết a) 16 x  128 x x 1 x  18 { :2 b) 5 �100 18c / s Bài toán 9: Cho S    22   22005 Hãy so sánh S với 5.22004 Bài toán 10: Gọi m số số có chữ số mà cách ghi khơng có chữ số Hãy so sánh m với 10.98 Bài toán 11: Hãy viết số lớn cách dùng ba chữ số 1; 2; với điều kiện chữ số dùng lần dùng lần CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG =====    ===== I Tóm tắt lý thuyết: Nhắc lại quan hệ chia hết: http://tailieuchonloc.net Cho a; b  N ; b Nếu có số tự nhiên k cho a  b.k ta nói a chia hết cho b Kí hiệu: a Mb đọc là: a chia hết cho b b chia hết a; a bội b b ước a Tính chất chia hết tổng: a) Tính chất 1: a Mm ; bMm � a+bMm + Chú ý: 1) Tính chất với hiệu a �b : a Mm ; bMm � a- bMm a1 Mm; a2 Mm; ; an Mm � a1  a2   an Mm 2) Tính chất với tổng nhiều số hạng: b) Tính chất 2: Nếu a khơng chia hết cho m; b chia hết cho m a+b không chia hết cho m + Chú ý: - Tính chất với hiệu a>b - Tính chất với tổng nhiều số hạng, có số hạng khơng chia hết cho m, số hạng lại chia hết cho m Các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; a Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận chữ số chẵn chia hết cho số chia hết cho b Dấu hiệu chia hết cho 5: số có chữ số tận hặc chia hết cho số chia hết cho c Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho số chia hết cho d Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho số chia hết cho e Các dấu hiệu chia hết cho 4; 8; 25; 125 II Bài tập áp dụng Bài toán 1: Chứng minh rằng: a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c Bài toán 2: Chứng minh a Mm � k a Mm ( k �N ) Bài toán 3: Chứng minh rằng: a) ab  ba M b) ab  ba M9 với a>b 11 Bài toán 4: Chứng minh rằng: a) S    22   239 bội 15 b) T  1257  259 bội 124 c) M      2000 M d) P  a  a  a   a n Ma  1; a, n �N Bài toán 5: Cho a Mc b Mc Chứng minh rằng: ma  nb Mc; ma  nb Mc; m, n �N Bài toán 6: CMR: tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Bài toán 7: CMR: a) tổng ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 6, b) tổng ba số lẻ liên tiếp không chia hết cho Bài tốn 8: Tìm n �N để a) n  6Mn b) 4.n  5Mn c) 38  3n Mn d) n  5Mn  e) 3n  4Mn  g) 2n  1M 16  3n Bài toán 9: Cho a; b �N a  b M7 Chứng minh rằng: 4a  3b M7 n { M3 b) a, b, n �N B  (10  1).a  (11 {  n).b M9 Bài tốn 10: CMR:a) n �N A  2.n  11 nc / s1 Bài toán 11: a) CMR: n �N 10n  2M3 nc / s1 {   nM9 b) 88 CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG nc / s TẬP SỐ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT =====    ===== Phương pháp 1: để chứng minh AMb ( b �0 ) Ta biểu diễn A  b.k k �N 125 Bài tốn 1: Cho n �N Chứng minh rằng: (5n)100 M http://tailieuchonloc.net Bài toán 2: Cho A   22   22004 Chứng minh rằng: a) AM6 b) AM7 c) AM30 1998 Bài toán 3: Cho S     Chứng minh : 12 a) S M b) sM39 100 Bài toán 4: Cho B     120 Chứng minh rằng: BM Bài toán 5: Chứng minh a) 3636  910 M45 b) 810  89  88 M55 c) 55  54  53 M7 d)  7 M e) 2454.5424.210 M7263 g) 817  279  913 M45 11 h) 3n 3  3n 1  2n 3  2n  M6n �N i) (210  211  212 ) : số tự nhiên Phương pháp 2: Sử dụng hệ tính chất chia hết tổng Nếu a �bMm a Mm � b Mm Bài toán 6: Tìm n �N để: a) 3n  2Mn  b) n  2n  7Mn  c) n  1Mn  d) n  8Mn  e) n  6Mn  g) 4n  5M2n  h) 12  n M8  n i) 20Mn k) 28Mn  13 l) 113  n M7 m) 113  n M n � N Bài tốn 7: Tìm để phân số sau có giá trị số tự nhiên a) n2 b) n 1 c) n 1 n 1 d) 2n  n  5 Phương pháp 3: Để chứng minh biểu thức chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b ( b �0 )Ta xét trường hợp số dư chia n cho b Bài toán 8: a) Chứng minh rằng: Tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Chứng minh rằng: Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho c) Chứng minh rằng: Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 d) Chứng minh rằng: Tích số tự nhiên liên liếp chia hết cho 120 (Chú ý: Các toán sử dụng chứng minh chia hết, không cần CM lại) Bài toán 9: Chứng minh rằng: a) (5n  7)(4n  6) M2n �N b) (8n  1)(6n  5) không chia hết cho  �N Bài toán 10: Chứng minh rằng: A  n(n  1)(2n  1)M6n �N Bài toán 11: a) Cho n �N Chứng minh rằng: n M3 n chia dư b) CMR: Không tồn n �N để n   300 Bài tốn 12: Chứng minh rằng: m, n �N ta ln có m.n(m  n ) M3 Bài tốn 13: Chứng minh rằng: (n  20052006 )(n  20062005 )M2n �N 44 4 43 Bài tốn 14: CMR khơng tồn n �N để n   20042004 2004 15 so 2004 CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT (TIẾP)  =====    ===== Phương pháp 4: Để chứng minh AMb Ta biểu diễn b dạng b  m.n Khi + Nếu (m, n)=1 tìm cách chứng minh AMm AMn � AMm.n hay AMb 10 http://tailieuchonloc.net + Nếu (m; n) �1 ta biểu diễn A  a1.a2 tìm cách chứng minh a1 Mm; a2 Mn tích a1.a2 Mm.n tức AMb Bài tốn 1: a) Chứng minh rằng: Tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Chứng minh rằng: Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho c) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 d) Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120 Bài toán : Chứng minh rằng: a số lẻ khơng chia hết cho a  1M6 Bài tốn 3: a) Chứng minh rằng: Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho b) Chứng minh rằng: Tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 c) Chứng minh rằng: Tích bốn số chẵn liên tiếp chia hết cho 384 Bài toán 4: : Chứng minh rằng: B  10n  18n  1M27 Bài toán 5: Chứng minh rằng: a) 10n  36n  1M27n  N ; n { M27 b) số 11 27 c / s1  Phương pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết Bài toán 6: Bài toán 7: Chứng minh rằng: 1020006  8M72 { Chứng minh rằng: a) Số 55 không chia hết cho 125 ( n �N * ) nc / s b) 10n  23 M9 c) 3737  2323 M 10 Bài toán 8: Chứng minh rằng: a) 1033  8M2;9 c) 1050  5M3;5 b) 1010  14M3; d) 1025  26M2;9 Bài tốn 9: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số biết số chia hết cho 125, số chia hết cho Bài toán 10: Chứng minh n �N a) 24 n1  3M5 b) 24 n  1M5 c) 92 n1  1M 10 4n n1 d)  1M5 e)  2M5 10 Bài toán 11 : Chứng minh (2  1)10 M25 Bài toán 12: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số a) Chứng minh rằng: b Ma b) Giả sử b=k.a Chứng minh k ước 10 c) Tìm số ab nói CHUN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT (TIẾP)  Phương pháp 6: để chứng minh AMb ta biểu diễn A  A1  A2   An chứng minh Ai (i  1, n)Mb Bài toán 1: CMR: { M3 a) n �N A  2.n  11 nc / s1 11 http://tailieuchonloc.net n {  n).bM9 b) a, b, n �N B  (10  1).a  (11 nc / s1 {   nM9 c) 88 nc / s Bài toán 2: Hai số tự nhiên a 2a có tổng chữ số k Chứng minh aM9 Bài tốn 3: Tìm chữ số x, y để 1994 xyM72 * Các toán tổng hợp: Bài toán4: Chứng minh rằng: 88  220 M 17 13 � 10m  n M 13 m, n �N Bài toán 5: Chứng minh rằng: m  4n M Bài tốn 6: Có hay khơng hai số tự nhiên x, y cho ( x  y )( x  y )  2002 Bài tốn7: Tìm n �N để 13 a) 4n  5M b) 5n  1M7 c) 25n  3M53 d) 18n  3M7 Bài toán : Chứng minh ab  cd M 11 abcd M 11 11 Bài tốn : Cho hai số tự nhiên abc deg chia 11 dư Chứng minh số abc deg M Bài toán 10 : 13 Chứng minh rằng: abc deg M 13 Cho abc  deg M Bài toán 11: Cho biết số abcM7 Chứng minh rằng: 2a  3b  c M7 Bài toán 12 : Cho số abcM4 a, b chữ số chẵn Chứng minh rằng: a) cM4 b) bacM4 Bài tốn 13: Tìm chữ số a, b cho a  b  4;7 a5b1M3 Bài toán 14: 17( a, b �N ) Chứng minh rằng: 10a  b M 17 Cho 3a  2b M Bài toán 15: 17(a, b �N ) Chứng minh rằng: 10a  b M 17 Cho a  5b M n Bài toán 16: Chứng minh rằng: 9.10  18M27 n �N Bài toán 17: Chứng minh rằng: abcd M99 ab  cd M99 ngược lại CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN ÔN TẬP TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT (TIẾP) Bài toán 1: Tìm số tự nhiên a b cho a chia hết cho b b chia hết cho a Bài tốn 2: Tìm số tự nhiên n cho phân số sau có giá trị số tự nhiên 3n  n 1 2n  13 d) n 1 a) n  13 n 1 3n  e) n2 b) 3n  15 n 1 6n  g) 2n  c) 12 http://tailieuchonloc.net Bài toán 3: Biết a  bM7 Chứng minh rằng: abaM7 Bài toán 4: Biết a  b  c M7 Chứng minh rằng: abcM7 b=c Bài tốn 5: Tìm số tự nhiên ab cho 567a9bM45 Bài tốn 6: Tìm cặp số tự nhiên (a,b) cho a) 1 b   a b) a   b Bài toán 7: Cho số N  dcba Chứng minh rằng: a) N M4 � a  2bM4 b) N M8 � a  2b  4c M8 c) N M16 � a  2b  4c  8d M16 với b chẵn Bài toán 8: Chứng minh rằng: a) x  y M17 � x  y M17 b) a  4bM13 � 10a  b M13 c) a  2bM17 � 10a  bM17 Bài toán 9: Chứng minh rằng: a) 10n  72n  1M81n �N { M81 b) 11 81c / s1 Bài tốn 10: Tìm số tự nhiên n cho a) n  11Mn  b) 7nMn  c) n  2n  6Mn  d) n  n  1Mn  Bài tốn 11: Chứng minh số có hai chữ số chia hết cho tổng chữ số hàng chục lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho Bài toán 12: Với a, b chữ số khác Chứng minh rằng: a) abbaM11 b) aaabbbM37 c) abababM7 d) abab  baba M9 101 với a>b Bài toán 13: Cho số tự nhiên A, Người ta đổi chỗ chữ số số A để số B gấp ba lần số A Chứng minh B chia hết cho 27 CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ =====    ===== Bài toán 1: Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 2005 Bài tốn 2: Tìm số ngun tố p để p  11 số nguyên tố nhỏ 30 Bài toán 3: Cho A   52   5100 a) Số A số nguyên tố hay hợp số b) Số A có số phương khơng ? 13 http://tailieuchonloc.net Bài tốn 4: Tổng, hiệu sau số nguyên tố hay hợp số ? a) A  1.3.5.7 13  20 b) B  147.247.347  13 Bài toán 5: { { Cho n �N * Chứng minh số A  11 1211 hợp số nc / s1 nc / s1 Bài toán 6: a) Cho n số không chia hết cho Chứng minh rằng: n chia dư b) Cho p số nguyên tổ lớn Hỏi p  2003 số nguyên tố hay hợp số ? Bài toán 7: Cho n �N ; n  n không chia hết cho Chứng minh rằng: n  n  đồng thời số nguyên tố Bài toán 8: Cho p số nguyên tố lớn a) Chứng tỏ rằng: p có dạng 6k  6k  với k �N * b) Biết p  số nguyên tố Chứng minh rằng: p  hợp số Bài toán 9: Cho p p  số nguyên tố (p>3) Hỏi p+100 số nguyên tố hay hợp số ? Bài toán 10: Cho n  29k với k �N Với giá trị k n: a) Là số nguyên tố b) Là hợp số c) Không số nguyên tố không hợp số Bài toán 11: Chứng minh rằng: 8p-1 p số nguyên tố 8p+1 hợp số Bài tốn 12: Tìm tất số ngun tố p, q cho p  q pq  11 số ngun tố Bài tốn 13: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số ngun tố Bài tốn 14: Tìm số ngun tố p cho a) p  số nguyên tố b) p+8 p+10 số nguyên tố CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ (TIẾP THEO) =====    ===== Bài toán 15: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) A  13.15.17  91 b) B  2.3.5.7.11  13.17.19.21 c) C  12.3  3.41  240 d) D  45  36  72  81 e) E  91.13  29.13  12.13 g) G  4.19  5.4 h) H   3.17  34.3 i) I    73   75 Bài toán 16: Cho n  2.3.4.5.6.7 CMR: số tự nhiên liên tiếp sau hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7 14 http://tailieuchonloc.net Bài toán 17: Tìm số nguyên tố p cho p  6; p  8; p  12; p  14 số nguyên tố Bài toán 18: Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: ( p  1)( p  1) chia hết cho 24 Bài toán 19: Cho p 2p+1 hai số nguyên tố (p>3) Chứng minh rằng: 4p+1 hợp số Bài toán 20: Cho p 10p+1 hai số nguyên tố (p>3) Chứng minh rằng: 5p+1 hợp số Bài toán 21: Chứng minh với số nguyên tố p >3, ba số p, p+2, p+4 đồng thời số nguyên tố Bài toán 22: Hai số 2n  2n  với n >2 đồng thời số nguyên tố hay đồng thời hợp số không ? Bài tốn 23: Tìm số ngun tố p để có a) p+10 p+14 số nguyên tố b) p+2; p+6 p+8 số nguyên tố c) p+6;p+12; p+24; p+38 số nguyên tố d) p+2; p+4 số ngun tố Bài tốn 24: Tìm số nguyên tố a, b, c cho 2a  3b  6c  78 Bài toán 25: CMR: 2001.2002.2003.2004 +1 hợp số Bài tốn 26: Tìm số ngun tố p cho p  44 số nguyên tố Bài toán 27: CMR: Hai số 1994100  1994100  đồng thời số ngun tố Bài tốn 28: Tìm số ngun tố p cho p  94 p+1994 số ngun tố Bài tốn 29: Tìm tất số nguyên tố p để p  p số nguyên tố ÔN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ SỐ TỰ NHIÊN =====    ===== 18.123  9.4567.2  3.5310.6 Bài tốn 1: Tính    10   55  58  490 2181.729  243.81.27 c) C  2 243  18.54.162.9  723.729 a) A  5.415.99  4.320.89 5.29.619  7.229.276 210.615  314.15.413 d) D  18 15 25 18  b) B  Bài toán 2: a) Hãy viết liên tiếp hai mươi chữ số đặt số dấu cộng vào chữ số để tổng 1000 b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số đặt số dấu cộng vào chữ số để tổng 1000 15 http://tailieuchonloc.net Bài tốn 3: Cho bảng vng gồm vng hình Người ta viết vào ô bảng số tự nhiên từ đến 10 (mỗi số viết lần) Biết tổng số hàng, cột hai đường chéo 10 Hãy lập bảng Bài tốn 4: Trong hộp có 2000 viên bi Hai người tham gia trò Hình chơi, người phải bốc 11 viên bi nhiều 20 viên bi khỏi hộp Người bốc 11 viên bi cuối thua Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc thắng Bài toán 5: CMR: số tự nhiên viết 100 chữ số 100 chữ số tích hai số tự nhiên liên tiếp Bài tốn 6: Tìm số tự nhiên abc biết (a  b  c)3  abc a, b, clà ba chữ số khác Bài toán 7: Cho ba số tự nhiên a, b, c a b số chia cho dư 3, c chia cho dư a) Tìm số dư a+b+c; a+b-c; a+c-b chia cho b) Hai số ba số có tổng chia hết cho 5, hiệu chia hết cho ? Vì ? Bài toán 8: Phải thay x chữ số để a) 113  x M7 b) 113+x chia dư c) 20 x20 x20 xM7 d) 12  x3M3 e) x793 x 4M3 Bài toán 9: Ba lớp 6A, 6B, 6C chia số bút máy, đựng hộp Hộp thứ đựng 31 chiếc, hộp thứ hai đựng 20 chiếc, hộp thứ ba đựng 19 chiếc, hộp thứ tư đựng 18 chiếc, hộp thứ năm đựng 16 hộp thứ sáu đựng 15 chiếc.Hai lớp 6A 6B nhận hộp số bút máy mà lớp 6A nhận gấp lần số bút máy lớp 6B Hỏi lớp 6C nhận bút máy ? 102006  số tự nhiên Bài tốn 11: Tìm tất số dạng 6a1bc biết số chia hết cho 3; Bài tốn 12: Tìm chữ số x, y để: a) 56 x3 yM36 b) 71x1 yM45 Bài toán 13: Giả sử p1 ; p2 hai số nguyên tố lẻ liên tiếp ( p1  p2 ) Chứng minh số p1  p2 hợp số Bài toán 10: Chứng minh số A  ÔN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ SỐ TỰ NHIÊN (TIẾP) =====    ===== Bài tốn 1: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tổng 303 Tìm số lớn ba số Bài tốn 2: Tổng bốn số lẻ liên tiếp 216 Tìm bốn số Bài tốn 3: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng: a) Tổng chúng 266 chúng có ba số lẻ b) Tổng chúng 310 chúng có số chẵn Bài tốn 4: Tổng hai số a b với hiệu chúng 58 Tính a b 16 http://tailieuchonloc.net Bài tốn 5: Hiệu hai số 57 Nếu bỏ chữ số hàng đơn vị số bị trừ số trừ Hãy tìm số bị trừ số trừ Bài tốn 6: Bình nghĩ số Lấy số cộng thêm chia tổng cho 3, nhân với 4, trừ 6, chia cho Hỏi Bình nghĩ số ? Bài tốn 7: Cho tích a.b.c Nếu thêm b vào a tích tăng thêm A Nếu thêm c vào b tích tăng thêm B Nếu tăng a vào c tích tăng thêm C Chứng minh rằng: a b3 c3  A.B.C Bài toán 8: Rút gọn 125100.2160 a) A  289 80 98.58 b) B  27 Bài tốn 9: a) Tìm số tự nhiên chẵn x0) cho tổng 1! 2! 3!  n ! số phương ƠN TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT - SỐ NGUYÊN TỐ =====    ===== Bài toán 1: Cho n �N chứng minh rằng: a) (n  10)(n  15) M2 b) n(n  1)(2n  1)M6 Bài toán 2: Một học sinh viết số tự nhiên từ đến abc phải viết tất m chữ số Biết mM108 Tìm abc Bài tốn 3: Cho tổng       20 http://tailieuchonloc.net xoá hai số thay hiệu chúng làm nhiều lần Có cách làm cho kết cuối khơng ? Bài tốn 4: Chứng minh rằng: không tồn số tự nhiên a, b, c cho abc  a  333; abc  b  335; abc  c  341 Bài toán 5:Chứng minh rằng: ab  2.cd abcd M67 Bài toán 6:Chứng minh rằng: ab  cd  eg M11 abc deg M11 Bài tốn 7: Chứng minh rằng: a) abcabcM7;11;13 b) abc deg M23; 29 abc  2.deg Bài toán 8: Chứng minh viết thêm đằng sau số có hai chữ số số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 Bài tốn 9: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết số chia hết cho tích chữ số Bài tốn 10: Chứng minh số tự nhiên viết 27 số 10 liên tiếp chia hết cho 27 Bài tốn 11: Tìm số nguyên tố p cho a) p  2; p  10 số nguyên tố b) p  10; p  20 số nguyên tố Bài toán 12: a) Cho p p+4 số nguyên tố (p>3) Chứng minh p+8 hợp số b) Cho p số nguyên tố, 8p-1 số nguyên tố CMR: 8p+1 hợp số c) Cho p số nguyên tố, 20p+1 số nguyên tố CMR: 10p+1 hợp số Bài toán 13: Cho ba số nguyên tố lớn số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d M6 Bài toán 14: Cho a, b �N ; n �N * Biết a n M7 Chứng minh rằng: a  98b M49 Bài toán 15: Cho a, b �N ; n �N * Biết a n M5 Chứng minh rằng: a  225b M25 21 ... 2100 ;71991;5151 ;9999 ;66 66 ;1 4101 . 161 01 ; 22003 Bài tốn 11: Tìm chữ số tận hiệu 71998  41998 Bài toán 12: Các tổng sau có số phương khơng ? a) 108  b) 100 ! c) 101 00  105 0  99 CHUYÊN ĐỀ: LUỸ... 55  54  53 M7 b) 76  75  74 M11 c) 109  108  107 M222 e) 1 06  57 M59 g) 3n   2n  3n  2n M10n �N * h) 817  279  913 M45 i) 810  89  88 M55 k) 109  108  107 M555 Bài toán 24:... ********** Bài tốn 16: Tính giá trị biểu thức http://tailieuchonloc.net 310. 11  310. 5 39.24 723.542 d) D  108 4 212.14.125 g) G  355 .6 a) A  210. 13  210 .65 28 .104 46. 34.95 e) E  61 2 453.204.182