Đề tài tìm số trung bình cộng

Môn Toán ở tiểu học được tích hợp từ nhiều mảng kiến thức toán. Trong đó, phần giải bài toán về tìm số trung bình cộng là mảng kiến thức không nhiều. Vì tích hợp nên các mảng kiến thức đều chỉ ở mức cơ bản, không chuyên sâu. Trong chương trình môn Toán lớp 4, nội dung tìm số trung bình cộng được tập trung biên soạn có hệ thống trong phần “Số tự nhiên” thuộc chương một. Khi tiếp cận với bài Tìm số trung bình cộng theo khái niệm thì các em lĩnh hội tương đối dễ dàng. Song đến bài Giải bài toán về tìm số trung bình cộng thì các em đã có sự mắc rối, lẫn lộn. Việc lẫn lộn này không chỉ diễn ra ở học sinh yếu mà ngay cả học sinh khá, giỏi cũng có lúc mắc phải. Trăn trở về vấn đề này, qua nhiều năm dạy lớp 4, chúng tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nhỏ về cách hướng dẫn học sinh giải bài toán về tìm số trung bình cộng. Vì thế, chúng tôi đã mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm: “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 4 giải bài toán về Tìm số trung bình cộng.”

Đề tài:

Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 4 giải bài toán về Tìm số trung bình cộng.

======

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài.

1.1, Cơ sở lí luận:

Đặc điểm tâm lí tiêu biểu của trẻ tiểu học là chóng nhớ, chóng thuộc nhưng nhanh quên; các em thường dễ dàng ghi nhớ những kiến thức ở dạng hình ảnh và

cụ thể Những kiến thức trừu tượng phức tạp thường làm cho các em dễ nhầm lẫn hay mắc rối; đặc biệt là những kiến thức về toán học có tư duy suy luận Lớp 4 là lớp học mở đầu cho giai đoạn phát triển khả năng tư duy và cũng là giai đoạn chuyển biến mạnh mẽ quá trình nhận thức của học sinh Sự thay đổi hoạt động chủ đạo khiến các em có nhiều bở ngỡ nên việc tiếp thu kiến thức có phần chững lại Bên cạnh đó, chương trình lớp 4 được thiết kế nhiều kiến thức mới so với ở lớp 3, mức độ khó cũng cao hơn nhằm mục đích kích thích khả năng tư duy cho học sinh;

vì vậy buộc các em phải có sự chuyển biến kịp thời để thích nghi với “môi trường” kiến thức mới

Một trong những mục tiêu cơ bản của dạy Toán ở Tiểu học là dạy phương pháp

tư duy và phát triển tư duy có logic cho học sinh Các hoạt động tư duy, đặc biệt tư duy bằng ngôn ngữ toán học là công cụ cơ bản để học sinh tiếp cận, rèn luyện và phát triển khả năng suy luận hợp lí và diễn đạt đúng Do đó, việc đưa học sinh vào các hoạt động học tập trong giờ học Toán cần được giáo viên đặc biệt quan tâm, chú ý Ngôn ngữ Toán học có nhiều khía cạnh khó, một trong những nội dung khó trong chương trình toán Tiểu học đó là các dạng bài toán có khái niệm đặc trưng về tìm số, về biểu diễn số, Trong đó, bài toán về tìm số trung bình cộng ở lớp 4 cũng

là một khái niệm tương đối trừu tượng đối với các em

Trong chương trình Toán lớp 4, bài toán về tìm số trung bình cộng chỉ được học trong 2 tiết ở tuần 5 và một bài tập ôn lại ở tuần 6; nhưng nó lại là kiến thức xuyên suốt trong nhiều bài toán của chương trình học và phục vụ thiết thực cho cuộc sống Trong đó, các bài toán về tìm trung bình cộng được ứng dụng nhiều vào thực tế như tính toán thống kê hay so sánh Đây là những kiến thức về ứng dụng được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp nhưng trong chương trình học chưa thực sự được chú trọng Mặc dù độ khó của những kiến thức này chưa yêu cầu phải huy động quá trình phân tích tư duy nhưng rất cần sự nhạy bén so sánh và phân biệt Song, việc so sánh và phân biệt các dạng toán trong chương trình là vấn đề không mấy dễ dàng đối với hầu hết học sinh lớp 4, vì đây là các mảng kiến thức có nhiều điểm trừu tượng so với khả năng tư duy của đa số các em Vậy mục tiêu dạy học loại bài toán này là giúp học sinh nhận dạng được bài toán, xác định được dạng riêng và tìm cách giải phù hợp để có kết quả đúng và hợp lí Để phân biệt được

từng dạng riêng và tìm được cách giải cho mỗi dạng bài toán này học sinh cần có căn cứ khoa học

2.1, Cơ sở thực tiễn:

Giải toán là mảng kiến thức thiết thực đối với học sinh tiểu học Thông qua giải toán, học sinh có thể phát triển khả năng tư duy phân tích và rèn luyện kĩ năng tính toán Để hiểu được, giải được một bài toán, một dạng bài toán, học sinh cần có một khả năng tưởng tượng liên hệ, đơn giản hóa những đối tượng trừu tượng, ; điều này không phải tất cả học sinh đều làm được Thực tế, dạy học toán ở chương trình tiểu học chưa được coi trọng vấn đề này mà chỉ dừng lại ở mức độ cung cấp kiến thức Trong các lần kiểm tra định kì, bài toán về trung bình cộng chỉ được kiểm tra trong một ý nhỏ; vì thế hầu hết các giáo viên và học sinh đều xem nhẹ việc dạy và học dạng bài toán này Dường như rất ít người nghĩ tới tầm quan trọng của dạng bài toán này là phục vụ cho việc ứng dụng vào thực tế cuộc sống, phát triển tư duy linh hoạt có logic, khả năng diễn đạt, Nói chung, bài toán về tìm số trung bình cộng như sợi chỉ xuyên suốt tất cả các mạch kiến thức trong bộ môn Toán ở bậc Tiểu học

Học sinh tiểu học có vốn sống còn ít, khả năng tự ý thức còn hạn chế Khi tìm hiểu về một vấn đề, học sinh tiểu học thường thể hiện một cách ngẫu hứng, có khi các em không hề hiểu việc mình làm có nghĩa gì; vì thế thiếu chú trọng, thiếu tập trung dẫn tới ít hướng đến mục tiêu công việc Trong các bài giải toán của các em, hầu như đa số học sinh chỉ biết làm theo thói quen, rất ít bài làm theo quá trình tư duy sáng tạo nên có những lời giải hoặc tên đơn vị được dùng rất ngô nghê Những hạn chế về việc trình bày bài toán của học sinh phần lớn là hậu quả của quá trình rèn luyện kĩ năng tư duy chưa được chú trọng và thiếu giải pháp hữu hiệu

Môn Toán ở tiểu học được tích hợp từ nhiều mảng kiến thức toán Trong đó, phần giải bài toán về tìm số trung bình cộng là mảng kiến thức không nhiều Vì tích hợp nên các mảng kiến thức đều chỉ ở mức cơ bản, không chuyên sâu Trong chương trình môn Toán lớp 4, nội dung tìm số trung bình cộng được tập trung biên soạn có hệ thống trong phần “Số tự nhiên” thuộc chương một Khi tiếp cận với bài Tìm số trung bình cộng theo khái niệm thì các em lĩnh hội tương đối dễ dàng Song đến bài Giải bài toán về tìm số trung bình cộng thì các em đã có sự mắc rối, lẫn lộn Việc lẫn lộn này không chỉ diễn ra ở học sinh yếu mà ngay cả học sinh khá, giỏi cũng có lúc mắc phải Trăn trở về vấn đề này, qua nhiều năm dạy lớp 4, chúng tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nhỏ về cách hướng dẫn học sinh giải bài toán về tìm số trung bình cộng Vì thế, chúng tôi đã mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh

nghiệm: “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 4 giải bài toán về Tìm số trung bình cộng.” Đây là một vấn đề đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu,

song chỉ đề cập ở mức độ hàn lâm, chuyên sâu vào phương pháp mà không chú trọng đến đối tượng học sinh Vấn đề hết sức nhạy cảm, bức thiết, phù hợp với xu thế hiện tại của giáo dục hiện nay là dạy học gắn với đối tượng học sinh Nếu đề tài này được nghiên cứu một cách nghiêm túc và ứng dụng kịp thời, thì có thể giải quyết cơ bản tình trạng khó phân biệt dạng bài toán, đồng thời khả năng tư duy

phân tích có logic kém chuẩn xác của một bộ phận không nhỏ học sinh tiểu học hiện nay

2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm nâng cao chất lượng dạy học toán ở lớp 4, phát triển kĩ năng tư duy trừu tượng phù hợp và linh hoạt hơn Hình thành ý thức lập luận chính xác, chặt chẽ trong giải toán và có trách nhiệm với việc diễn đạt lời nói của mình Qua

đó, học sinh có ý thức vận dụng kiến thức học tập vào cuộc sống “học đi đôi với hành”

Cung cấp con đường, cách thức học tập giúp học sinh có công cụ tìm kiếm và

sử dụng kiến thức là mục tiêu cao nhất của quá trình dạy học Có được các giải pháp sẽ tạo sự thuận lợi cho người giáo viên truyền thụ kiến thức về tìm số trung bình cộng; giải quyết phần nào những khó khăn mắc phải trong quá trình dạy học mảng kiến thức này Vì vậy, việc đưa ra hệ thống các giải pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán về tìm số trung bình cộng phù hợp với đối tượng học sinh là việc làm tối ưu cần thiết, giúp người giáo viên nắm được bản chất vấn đề và giúp học sinh cũng nắm được bản chất ấy, nâng cao được chất lượng học tập

3 Phương pháp tiến hành nghiên cứu

Đề tài kết hợp nhiều phương pháp:

- Phương pháp phân tích tổng hợp

- Phương pháp so sánh, đối chiếu

- Phương pháp phân loại thống kê

- Phương pháp tìm hiểu ý kiến chuyên gia

- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

***

B NỘI DUNG

I ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

1 Về giáo viên:

Trong quá trình dạy học toán, giáo viên ít quan tâm đến việc xác định đặc trưng của dạng bài học, vì vậy việc thiết kế bài giảng chưa được đầu tư bài bản nên khi trình bày nội dung bài học thường mang tính hàn lâm; nghĩa là quá trình dạy học chỉ dừng lại ở dạng nghiên cứu, học sinh tiếp thu bài học mang tính lí thuyết mà không nắm bắt được những vấn đề thực tiễn, cụ thể; điều này mâu thuẫn với đặc điểm tâm lí của học sinh tiểu học Việc tổ chức dạy học thường phụ thuộc vào giáo

án mẫu ít khi phân tích rõ đặc điểm học sinh lớp học và từng đối tượng cụ thể để chọn ra giải pháp phù hợp cho từng đối tượng Vì thế, người giáo viên không thể truyền tải trọn vẹn kiến thức của bài học cần trình bày Có khi thầy dạy để chỉ có thầy hiểu mà thôi

Thực tế trong quá trình đào tạo, giáo viên tiểu học không được trang bị kiến thức chuyên sâu về từng mảng kiến thức toán học Để nắm được bản chất đặc trưng của từng loại bài toán, người giáo viên phải tự tìm tòi và nghiên cứu Thông thường, giáo viên chỉ tham khảo các tài liệu hướng dẫn dạy học mà ít khi tìm đến những tài

liệu về chuyên đề Vì vậy, giáo viên chỉ nắm một cách phiến diện về vấn đề nên không thể sử dụng kiến thức một cách linh hoạt trong quá trình dạy học

Phần về tìm số trung bình cộng trong chương trình toán lớp 4 có thời lượng không nhiều Trong đó, mảng kiến thức về giải bài toán tìm số trung bình cộng chỉ

là một phần nhỏ Vấn đề giải bài toán về tìm số trung bình cộng là một vấn đề khá

phức tạp, dễ nhầm lẫn thường ít gặp trong các đề kiểm tra nên giáo viên không thực sự chú trọng Bên cạnh đó, mảng kiến thức này ít có tài liệu chỉ rõ phương pháp dạy học, điều đó khiến giáo viên thường phớt lờ, không chú trọng đến giải pháp truyền dạy

Trong quá trình dạy học các bài học này, mỗi giáo viên đều làm đúng vai trò hướng dẫn, tổ chức cho học sinh Tuy nhiên, do thời lượng 1 tiết học có hạn nên giáo viên chưa lồng ghép, liên hệ, phân biệt từng dạng bài tập trong các bài học

Do đó, sau các bài học đó học sinh chỉ nắm được kiến thức về nội dung học một cách chung chung Đôi khi giảng dạy nội dung này, giáo viên còn khó khăn khi lấy thêm một số ví dụ cụ thể ngoài sách giáo khoa để minh hoạ phân biệt từng dạng bài toán

2 Về học sinh.

Học sinh tiểu học là đối tượng tiếp xúc với hoạt động học tập chưa lâu, kinh nghiệm sống còn ít, điều này cho thấy vốn ngôn ngữ của các em chưa phong phú Mặt khác, học sinh tiểu học ở vùng nông thôn được tiếp xúc với các phương tiện thông tin chưa hiện đại, các đối tượng giao tiếp thường có trình độ ở mức thấp khiến cho môi trường học tập của các em thu hẹp trong phạm vi nhà trường Thời gian học tập ở trường không nhiều so với thời gian lao động và sinh hoạt ở nhà Đó

là những lí do khiến cho vốn kiến thức toán học của các em càng nghèo nàn, không đáp ứng kịp với yêu cầu chương trình sách giáo khoa đã xây dựng Qua tiếp xúc với các em chúng tôi nhận thấy hầu hết các em có thể hiểu vấn đề, nhưng khi yêu cầu nêu ứng dụng cho vấn đề lại thường ấp úng hoặc không nói được theo ý muốn Khi đưa ra một bài toán mới, đặc biệt là dạng bài toán về tìm số trung bình cộng thì các em không hiểu được từng thuật ngữ trong khái niệm, không phân biệt được các dữ kiện của bài toán dẫn tới việc trình bày bài giải mơ hồ và mâu thuẫn

Bên cạnh việc nghèo nàn về thuật ngữ, kiến thức toán học, học sinh tiểu học vùng nông thôn rất thiếu khả năng khái quát dữ kiện bài toán Việc sắp xếp các nhóm dữ kiện có cùng bản chất là việc làm khó khăn đối với các em Các bài tập kiểu bài toán giải các em chỉ có thể làm được sau rất nhiều gợi ý, đặc biệt rất ít học sinh tóm tắt được bài toán Hầu hết học sinh lớp 4 khi học các tiết toán về tìm số trung bình cộng đều gặp rất nhiều khó khăn Cụ thể là:

- Khó khăn trong việc phân biệt thuật ngữ trong khái niệm: học sinh không phân biệt được “số hạng” và “số các số hạng”, không hiểu “nhiều số” là bao nhiêu số

- Phân biệt dạng toán thiếu căn cứ, không nhận dạng được bài toán: chỉ có thể tìm trung bình cộng của các số cụ thể, không áp dụng được quy tắc để tìm số hạng khi bài toán đã cho số trung bình cộng và các số hạng kia

- Không biết xác định quy luật của dãy số đã cho để tìm số trung bình cộng

- Đặt lời giải và phép tính mâu thuẫn, dùng sai đơn vị

Trong thực tế, học sinh làm các bài tập về tìm trung bình cộng của các số đã cho nhanh hơn và ít sai hơn khi học các bài tập về tìm số trung bình cộng của dãy

số và các dạng khác, cũng có thể do các dạng bài toán này trừu tượng hơn Đặc biệt khi cho học sinh giải bài toán tìm số hạng chưa biết khi biết trung bình cộng và các

số hạng kia thì đa số học sinh lúng túng và làm bài chưa đạt yêu cầu vì không biết bắt đầu bài giải từ đâu Ban đầu, khi học bài về tìm số trung bình cộng của các số

cụ thể với ít số hạng thì phần đa các em làm được bài, song khi làm các bài tập có nhiều số hạng hoặc nhiều nhóm số hạng thì chất lượng bài làm yếu hơn Trí nhớ trở nên rối rắm, định nghĩa về tìm số trung bình cộng trở nên trừu tượng Học sinh không thể hiểu được: “số hạng” và “số các số hạng”, trung bình cộng của nhiều số

là số như thế nào

3 Nguyên nhân của những khó khăn:

*Thứ nhất: Toán về tìm số trung bình cộng là dạng toán mới đối với đối tượng

học sinh lớp 4, thời lượng học ít, khối lượng kiến thức lớn, khả năng ứng dụng vào thực tế rộng

*Thứ hai: Trong chương trình Toán 4 chưa có dạng bài tập phân dạng để học sinh

rèn kĩ năng phân biệt

*Thứ ba: Học sinh còn chưa biết phân biệt nghĩa của mỗi thuật ngữ toán học

*Thứ tư: Vốn kiến thức toán học nghèo nàn, khả năng khái quát của học sinh

còn hạn chế, kỉ năng tưởng tượng kém dẫn tới khả năng tư duy trừu tượng chưa cao, trí nhớ máy móc

II NHỮNG GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÌM

SỐ TRUNG BÌNH CỘNG

1 Cơ sở để xây dựng giải pháp.

Căn cứ vào đặc điểm tâm lí của học sinh tiểu học về ngôn ngữ, chú ý, trí nhớ, ý chí, tình cảm dẫn tới phát triển tư duy, nhận thức Từ đó có thể vận dụng khả năng

tư duy logic, nhận thức và nhu cầu tư duy để phục vụ diễn đạt chính xác Nhận thức được vai trò của tư duy phân tích trong hoạt động học tập giao tiếp thường ngày, giúp học sinh tích cực hơn trong việc rèn luyện kĩ năng diễn đạt

Thực tiễn trong dạy học, chất lượng học tập phụ thuộc nhiều vào điều kiện xã hội từng vùng Trong các điều kiện xã hội, điều kiện kinh tế, văn hóa có vai trò chủ yếu tạo nên nhu cầu kiến thức của người học Học sinh tiểu học vùng nông thôn đa

số ít được tiếp xúc với điều kiện kinh tế, văn hóa thuận lợi Điều kiện học tập của các em gặp nhiều khó khăn Vì vậy, khi dạy học, người giáo viên phải hiểu được hoàn cảnh của học sinh để chọn những phương pháp dạy học phù hợp nhất Đưa ra những giải pháp chung nhất, ứng dụng cho những tình huống phù hợp Tuy nhiên, mỗi con người có một đặc điểm cấu trúc tâm lí khác nhau, nên cùng một hiện tượng có thể xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau Song hệ thống các giải pháp được đề cập là những phương pháp giải quyết những vấn đề chung nhất với kết quả tối ưu nhất

2 Các giải pháp:

1.2; Sử dụng phương pháp trực quan giúp giảm bớt mức độ trừu tượng của bài toán.

1.2.1; Trực quan bằng vật thật.

Học tập bắt đầu bằng thực tiễn và phục vụ thực tiền – đó là nhận thức hoàn toàn đúng đắn, phù hợp với tâm lí của học sinh tiểu học Vận dụng quan điểm này, khi dạy bài “Tìm số trung bình cộng” chúng tôi bắt đầu bằng một ví dụ có thể sử dụng bằng vật thật để thao tác Chẳng hạn, sử dụng các viên bi trong ví dụ sau:

Hùng có 5 viên bi, Hà có 6 viên bi, Việt có 7 viên bi Nếu số bi đó chia đều cho

ba bạn thì mỗi bạn được mấy viên bi?

Khi đó giáo viên lần lượt lấy ra số bi của mỗi bạn, gộp lại rồi chia đều thành 3 phần, sau đó cho học sinh đếm từng phần và yêu cầu nhận xét từng bước đã thực hiện Kết quả, học sinh đã rút ra hai bước: bước 1 là gộp số bi lại, bước 2 là chia đều thành 3 phần Từ đó, giáo viên kết luận: Hùng có 5 viên bi, Hà có 6 viên bi,

Việt có 7 viên bi, trung bình mỗi bạn có 6 viên bi, số 6 gọi là số trung bình cộng

của ba số 5, 6 và 7

1.2.2; Trực quan bằng mô hình.

Sau khi học sinh hiểu được bản chất của số trung bình cộng và cách tìm trung

bình cộng từ vật thật, chúng tôi nâng cao tư duy cho học sinh bằng cách đưa

mô hình trực quan Chúng tôi lấy ngay ví dụ bài toán 1 trong sách giáo khoa,

nhưng làm mô hình như sau: cắt 10 băng giấy can màu hình chữ nhật có kích thước

3 4 (cm) xem như mỗi băng giấy là 1 lít dầu, giáo viên vẽ lên bảng mô hình 2 can dầu, dán lên mô hình mỗi can dầu theo số lượng lít dầu như bài toán cho, sau đó gộp lại và dán đều vào hai can rồi yêu cầu học sinh đếm số băng giấy để rút ra cách tính Kết quả, học sinh nêu được nhận xét như SGK và ghi được lời giải tương tự (khi thao tác đã yêu cầu học sinh gấp SGK)

1.2.3; Trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng.

Tiếp tục nâng cao tư duy đến mức trừu tượng hóa, sau khi thao tác bằng mô hình, chúng tôi cho học sinh khái quát bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng Bài toán được minh họa đầu tiên chính là bài toán 2 trong SGK Giáo viên phân tích và minh họa bằng sơ đồ đoạn thẳng, chỉ rõ sự tương quan giữa các đoạn thẳng được minh hoạ, sau đó cho học sinh tự nêu lời giải và rút ra nhận xét Từ nhận xét, tổng hợp thành quy tắc tìm số trung bình cộng của nhiều số và học sinh làm các bài tập thực hành

cơ bản Đến đây là kết thúc giai đoạn hình thành kiến thức cơ bản Nhưng để phát triển tư duy cho học sinh, giáo viên không thể chỉ dừng lại ở mức độ này mà cần

mở rộng và nâng cao hơn Giáo viên dành thời gian trong tiết ôn luyện để làm việc

đó Việc nâng cao tư duy trừu tượng cho học sinh qua bài toán tìm số trung bình cộng được thông qua hệ thống các bài tập, chẳng hạn chúng tôi đã sử dụng hệ thống bài tập sau:

6

Bài toán 1: Lan có 20 nhãn vở, Mai có số nhãn vở bằng Lan Đào có số nhãn vở

ít hơn trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là 6 nhãn vở Hỏi Đào có bao nhiêu nhãn vở?

* Phân tích: Sau khi đọc kỹ đề toán, phân tích mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài: Bài toán này cho biết sô nhãn vở của Lan, của Mai Số nhãn vở của Đào còn thiếu 6 nhãn nữa thì bằng trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn

Hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ:

+ Trước hết vẽ đoạn thẳng: Biểu thị tổng số nhãn vở của 3 bạn

+ Dựa vào đó học sinh nêu cách chia đoạn thẳng thể hiện mức trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn (Mỗi phần TBC là 1/3 tổng trên)

+ Từ đó biết được phần biểu thị số nhãn vở của Đào (ít hơn mức trung bình cộng

là 6 chiếc)

TBC TBC TBC

Lan + Mai Đào

Sau khi hướng dẫn tìm hiểu đề và tóm tắt bằng sơ đồ, nhiều học sinh đã biết từng bước tìm cách giải Những em chưa làm được bài, sau khi nghe bạn trình bày cách suy luận của sơ đồ các em đều nắm được và biết tự giải quyết các bài toán dạng tương tự

Bài giải:

Số nhãn vở của Lan và Mai là:

20 + 20 = 40 (nhãn vở)

Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là

(40 – 6) : 2 = 17 (nhãn vở)

Bạn Đào có số nhãn vở là:

17 – 6 = 11 (nhãn vở)

Đáp số: 11 nhãn vở

* Nhận xét: Trong các số, nếu có một số bé hơn mức trung bình cộng của các số

n đơn vị thì trung bình cộng của các số đó bằng tổng các số còn lại trừ đi n đơn vị rồi chia cho số lượng các số hạng còn lại đó.

Bài toán 2: Lân có 20 hòn bi Long có số bi bằng một nửa số bi của Lân Quý

có số bi nhiều hơn trung bình cộng của 3 bạn là 6 hòn bi Hỏi Quý có bao nhiêu hòn bi?

Phân tích: Ta xem trung bình cộng số bi của 3 bạn là 1 đoạn thẳng thì tổng số bi của 3 bạn là 3 đoạn như thế gộp lại.Mà số bi của Lân đã biết, số bi của Long ta sẽ tính qua Lân Từ đó ta tính được số bi của Quý.

Giải

Sơ đồ:

TBC TBC TBC

Lân + Long Quý

Số bi của Long là:

20 : 2 = 10 (hòn)

Số bi của Long và Lân là:

10 + 20 = 30 (hòn)

Trung bình cộng số bi của 3 bạn là:

(30 + 6) : 2 = 18 (hòn)

Số bi của Quý là:

18 + 6 = 24 (hòn)

Đáp số: 24 hòn

Nhận xét: Trong các số, nếu có một số lớn hơn mức trung bình cộng của các số n đơn vị thì trung bình cộng của các số đó bằng tổng các số còn lại cộng với n đơn

vị rồi chia cho số lượng các số hạng còn lại đó.

Hay: Nếu có hai số a, b và một số x chưa biết mà x lớn hơn trung bình cộng của 3

số a, b, x là n đơn vị thì trung bình cộng của 3 số là (a + b + n): 2 hay

(a + b + x): 3= (a + b +n) : 2

Bài toán 3: Khối lớp 4 của một trường Tiểu học có ba lớp Biết rằng lớp 4A có 28

học sinh, lớp 4B có 26 học sinh Trung bình số học sinh hai lớp 4A và 4C nhiều hơn trung bình số học sinh của ba lớp là 2 học sinh Tính số học sinh lớp 4C?

Phân tích: Đây là 1 bài toán khó đối với học sinh Cần phân tích cho học sinh thấy rõ: Nếu ta xem trung bình cộng số học sinh của 3 lớp là 1 đoạn thẳng thì trung bình cộng của hai lớp 4A và 4C là 1 đoạn dài hơn đoạn trên 2 đơn vị Như vậy, tổng số HS của 2 lớp 4A và 4C sẽ nhiều hơn 2 lần trung bình cộng của ba lớp

là 2 2 = 4em Đến đây dễ dàng cho HS thấy rõ được hướng đi cho bài toán

Giải

Ta có sơ đồ:

TB cộng số học sinh 3 lớp :

TB cộng số học sinh 4A và 4C:

Tổng số học sinh 4A và 4C :

TBC TBC TBC

Tổng số HS của cả 3 lớp:

4B 4em 4A + 4C

Tổng số học sinh 2 lớp 4A và 4C nhiều hơn 2 lần trung bình cộng của 3 lớp là:

2 +2 = 4 (em)

Trung bình cộng số học sinh của 3 lớp là:

(26 + 4) : 1 = 30 (em)

Tổng số học sinh 2 lớp 4A và 4C là:

30 2 + 4 = 64 (em)

Số học sinh lớp 4C là:

64 – 28 = 36 (em)

Đáp số: 36em

2

210 tuổi

* Nhận xét: Nếu có hai số a, b và một số x chưa biết, mà trung bình cộng số a và x nhiều hơn trung bình cộng của ba số là n đơn vị thì trung bình cộng của ba số là: (b+ n × 2): 1 hay (a + b + x): 3= (b+ n × 2): 1

Bài toán 4: Tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) của một đội

bóng là 21 tuổi Biết rằng tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình cả đội là

10 tuổi Hỏi đội trưởng bao nhiêu tuổi?

Phân tích: Ta xem trung bình cộng của 11 cầu thủ là 1 đoạn thẳng thì tuổi của đội trưởng là 1 đoạn như thế và thêm 10 tuổi nữa, và tổng số tuổi của 11 cầu thủ

là 11 đoạn như thế Đồng thời qua sơ đồ ta cũng thấy được mối quan hệ giữa tổng những cầu thủ còn lại với đội trưởng, từ đó ta tìm được đáp án.

Giải Tổng số tuổi của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) là:

21 × 10 = 210 (tuổi)

Ta có sơ đồ:

TB cộng số tuổi cả đội :

Tổng số tuổi của cả đội:

10 lần trung bình cộng số tuổi của cả đội là:

210 + 10 = 220 (tuổi) Trung bình cộng số tuổi của cả đội là:

220 : 10 = 22 (tuổi) Tuổi đội trưởng là:

22 + 10 = 32 (tuổi) Đáp số: 32 tuổi

*Nhận xét: có 10 số a, b,c, d, và một số x chưa biết Biết trung bình cộng của 10

số đó là A Số x nhiều hơn trung bình cộng của 11 số a, b, c, d, , x là n đơn vị thì trung bình cộng của 11 số là:(A ×10 + n) : 10 hay (A×10+ x):11=(A×10+ n):10.

Bài toán 5: Một tổ công nhân đường sắt sửa đường, ngày thứ nhất sửa được 15m

đường, ngày thứ 2 sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 1m, ngày thứ 3 sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 2m Hỏi trung bình mỗi ngày sửa được bao nhiêu mét đường?

Ta có sơ đồ: 15 m

Ngày thứ nhất: 1m

Ngày thứ ba:

Thông thường ta giải bài toán như sau:

Ngày thứ hai sửa được là:

Đội trưởng

2m

Số thứ nhất và số thứ ba

Số thứ hai

15 + 1 = 16 (m) Ngày thứ 3 sửa được

15 + 2 = 17 (m) Trung bình mỗi ngày sửa được

(15 + 16 + 17) : 3 = 16 (m)

Đáp số: 16 (m)

Nhận xét: Quan sát kỹ sơ đồ ta thấy nếu chuyển một mét từ ngày thứ 3 sang ngày thứ nhất thì số m đường sửa được trong các ngày đều bằng 16m

15m 1m Ngày thứ nhất:

Ngày thứ ba:

Ta thấy ngay trung bình mỗi ngày tổ đó sửa được 16m đường

Bài toán 6: Tổng của ba số tự nhiên bằng 72 Số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba

có tỉ số bằng 3 và có trung bình cộng bằng số hạng thứ hai Tìm ba số đó?

Phân tích: Ta xem trung bình cộng của cả ba số là một đoạn thẳng thì tổng ba số

sẽ là ba đoạn như thế, và một đoạn như thế chính là số thứ hai Từ đó ta tìm được

số thứ hai, rồi tìm được các số còn lại.

Giải

Ta có sơ đồ:

TB cộng ba số:

Tổng của ba số:

Số thứ hai là:

72 : 3 = 24 Tổng của số thứ nhất và thứ ba là:

72 – 24 = 48

Số thứ nhất là:

48: (1 + 3) 3 = 36

Số thứ ba là:

48 – 36 = 12 Đáp số: STN: 36; STH: 24; STB: 12

Bài toán 7: Tìm hai số, biết số thứ nhất nhiều hơn trung bình cộng của hai số là

1986 và số thứ hai ít hơn hiệu của hai số là 1985

Giải

Ta có sơ đồ:

Số thứ nhất

TB cộng của hai số

Số thứ nhất bằng tổng của trung bình cộng với nửa hiệu của hai số

Hiệu hai số là:

1m 1m 1m

1986