đề cương luận văn thạc sĩ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ NGUYỄN THỊ THANH DIỆU NHĨM LIE TUYẾN TÍNH VÀ BIỂU DIỄN ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS TRẦN ĐẠO DÕNG Huế, tháng 12 năm 2017 1 Lí chọn đề tài Cho nhóm tuyến tính tổng qt GL(n, R) tập gồm phần tử khả nghịch M at(n, R) Xét ánh xạ định thức det : M at(n, R) → R, A → detA Ta có det hàm ∼ đa thức nên ánh xạ liên tục GL(n, R) tập mở M at(n, R) = Rn Suy ra, GL(n, R) đa tạp khả vi n2 chiều với cấu trúc đa tạp cảm sinh từ M at(n, R) Hơn nữa, phép tốn nhóm phép tốn lấy nghịch đảo GL(n, R) khả vi qua cấu trúc đa tạp Do đó, GL(n, R) nhóm Lie thực n2 chiều Vì nhóm đóng nhóm Lie đa tạp nên nhóm đóng GL(n, R) nhóm Lie gọi nhóm Lie tuyến tính Tổng quát hơn, nhóm G gọi nhóm Lie tuyến tính tồn n ∈ N cho G đẳng cấu với nhóm đóng GL(n, R) Tuy nhiên, tồn nhóm Lie khơng đẳng cấu với nhóm đóng GL(n, R), chẳng hạn nhóm Heis3 ma trận tam giác có phần tử đường chéo Do đó, khơng phải nhóm Lie nhóm Lie tuyến tính Cho G nhóm Lie H khơng gian Hilbert phức Một biểu diễn liên tục (π, H) G đồng cấu nhóm từ G vào nhóm GL(H) tốn tử tuyến tính bị chặn H, cho với v ∈ H ánh xạ g → π(g)v liên tục Việc khảo sát phân lớp biểu diễn unita, bất khả quy nhóm Lie toán thú vị khảo sát cho nhiều lớp nhóm Lie cụ thể, đặc biệt nhóm Lie tuyến tính Được gợi ý thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Trần Đạo Dõng, với mong muốn tìm hiểu thêm nhóm Lie tuyến tính, phép dựng đại số Lie biểu diễn unita, bất khả quy tương ứng, chọn đề tài " Nhóm Lie tuyến tính biểu diễn" để làm đề tài nghiên cứu luận văn Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài - Mục tiêu luận văn tổng quan kết cấu trúc biểu diễn nhóm Lie tuyến tính thể minh họa qua số nhóm Lie tuyến tính cụ thể - Các nội dung nghiên cứu luận văn bao gồm nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie tương ứng nhóm Lie tuyến tính, nhóm Lie nửa đơn tuyến tính, biểu diễn liên hợp, đối liên hợp, bất khả quy unita nhóm Lie tuyến tính số ví dụ với nhóm Lie tuyến tính cụ thể Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu, tổng quan kiến thức liên quan làm rõ số kết - Trao đổi, thảo luận với cán hướng dẫn thông qua buổi seminar Đóng góp đề tài Đề tài góp phần làm rõ tính chất nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie tương ứng biểu diễn nhóm Lie tuyến tính Dự kiến chương, mục trình bày luận văn A Mục lục B Phần mở đầu - Sơ lược trình phát triển đề tài số kết có liên quan đến đề tài - Giới thiệu nội dung nghiên cứu luận văn C Phần nội dung Chương Nhóm Lie tuyến tính 1.1 Nhóm Lie đại số Lie tương ứng 1.2 Nhóm Lie tuyến tính 1.3 Nhóm Lie nửa đơn tuyến tính Chương Biểu diễn nhóm Lie tuyến tính 2.1 Tác động biểu diễn 2.2 Biểu diễn liên hợp đối liên hợp 2.3 Biểu diễn bất khả quy unita 2.4 Một số ví dụ D Phần kết luận - Tổng kết kết đạt - Một số vấn đề chưa giải luận văn - Nêu hướng phát triển đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E.P Van den Ban (2010), Lie Groups, Lecture Notes, University of Utrecht, Holland [2] E.P Van den Ban (2016), Lie Groups, convexity and symplectic structure, Orientation seminar, University of Utrecht, Holland [3] A Knapp (2001), Lie Groups beyond an introduction, Springer [4] J Maes (2011), An Introduction to the Orbit Method, Master thesis, University of Utrecht, Holland [5] S Ben Said (2007), Representations of linear Lie groups and applications, Gesammelte Abhandlungen IV [6] S Ben Said (2007), On the intergrabitity of a representation of sl(2, R), J Funct., Anal., 250, no 2, 249-264 XÁC NHẬN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG BẢO VỆ ĐỀ CƯƠNG Chủ tịch hội đồng ... unita, bất khả quy tương ứng, chọn đề tài " Nhóm Lie tuyến tính biểu diễn" để làm đề tài nghiên cứu luận văn Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài - Mục tiêu luận văn tổng quan kết cấu trúc biểu diễn... kiến chương, mục trình bày luận văn A Mục lục B Phần mở đầu - Sơ lược trình phát triển đề tài số kết có liên quan đến đề tài - Giới thiệu nội dung nghiên cứu luận văn C Phần nội dung Chương Nhóm... Biểu diễn bất khả quy unita 2.4 Một số ví dụ D Phần kết luận - Tổng kết kết đạt - Một số vấn đề chưa giải luận văn - Nêu hướng phát triển đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E.P Van den Ban (2010), Lie