1 Lí do chọn đề tàiCho nhóm tuyến tính tổng quát GLn, R là tập con gồm các phần tử khả nghịch của M atn, R.. Vì một nhóm con đóng của một nhóm Lie là một đa tạp con nên các nhóm con đóng
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
NGUYỄN THỊ THANH DIỆU
NHÓM LIE TUYẾN TÍNH
VÀ BIỂU DIỄN
ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS TS TRẦN ĐẠO DÕNG
Trang 21 Lí do chọn đề tài
Cho nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, R) là tập con gồm các phần tử khả nghịch của M at(n, R) Xét ánh xạ định thức det : M at(n, R) → R, A 7→ detA Ta có det là hàm
đa thức nên là ánh xạ liên tục và GL(n, R) là tập con mở của M at(n, R)= R∼ n2 Suy ra, GL(n, R) là một đa tạp khả vi n2 chiều với cấu trúc đa tạp cảm sinh từ M at(n, R) Hơn nữa, phép toán nhóm và phép toán lấy nghịch đảo của GL(n, R) là khả vi qua cấu trúc
đa tạp này Do đó, GL(n, R) là một nhóm Lie thực n2 chiều Vì một nhóm con đóng của một nhóm Lie là một đa tạp con nên các nhóm con đóng của GL(n, R) là các nhóm Lie và được gọi là nhóm Lie tuyến tính Tổng quát hơn, một nhóm G được gọi là một nhóm Lie tuyến tính nếu tồn tại n ∈ N sao cho G đẳng cấu với một nhóm con đóng của GL(n, R) Tuy nhiên, tồn tại những nhóm Lie không đẳng cấu với bất kì nhóm con đóng nào của GL(n, R), chẳng hạn nhóm Heis3 các ma trận tam giác trên có các phần tử trên đường chéo chính đều là 1 Do đó, không phải mọi nhóm Lie đều là nhóm Lie tuyến tính Cho G là một nhóm Lie và H là không gian Hilbert phức Một biểu diễn liên tục (π, H) của G là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm GL(H) của các toán tử tuyến tính
bị chặn trong H, sao cho với mọi v ∈ H ánh xạ g 7→ π(g)v là liên tục Việc khảo sát và phân lớp các biểu diễn unita, bất khả quy của nhóm Lie là một bài toán thú vị và đang được khảo sát cho nhiều lớp nhóm Lie cụ thể, đặc biệt là nhóm Lie tuyến tính
Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Trần Đạo Dõng, và với mong muốn tìm hiểu thêm về các nhóm Lie tuyến tính, phép dựng đại số Lie và biểu diễn unita, bất khả quy tương ứng, tôi đã chọn đề tài " Nhóm Lie tuyến tính và biểu diễn" để làm đề tài nghiên cứu của luận văn
2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài
- Mục tiêu của luận văn là tổng quan các kết quả về cấu trúc và biểu diễn của các nhóm Lie tuyến tính và thể hiện minh họa qua một số nhóm Lie tuyến tính cụ thể
- Các nội dung nghiên cứu của luận văn bao gồm các nhóm Lie tuyến tính, các đại số Lie tương ứng của các nhóm Lie tuyến tính, các nhóm Lie nửa đơn tuyến tính, biểu diễn liên hợp, đối liên hợp, bất khả quy và unita của các nhóm Lie tuyến tính và một số ví dụ với các nhóm Lie tuyến tính cụ thể
3 Phương pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu, tổng quan các kiến thức liên quan và làm rõ một số kết quả
- Trao đổi, thảo luận với cán bộ hướng dẫn thông qua các buổi seminar
2
Trang 34 Đóng góp của đề tài
Đề tài góp phần làm rõ các tính chất của các nhóm Lie tuyến tính, các đại số Lie tương ứng và các biểu diễn của các nhóm Lie tuyến tính
5 Dự kiến chương, mục trình bày trong luận văn
A Mục lục
B Phần mở đầu
- Sơ lược quá trình phát triển của đề tài và một số kết quả có liên quan đến đề tài
- Giới thiệu nội dung nghiên cứu của luận văn
C Phần nội dung
Chương 1 Nhóm Lie tuyến tính
1.1 Nhóm Lie và đại số Lie tương ứng
1.2 Nhóm Lie tuyến tính
1.3 Nhóm Lie nửa đơn tuyến tính
Chương 2 Biểu diễn của nhóm Lie tuyến tính
2.1 Tác động và biểu diễn
2.2 Biểu diễn liên hợp và đối liên hợp
2.3 Biểu diễn bất khả quy và unita
2.4 Một số ví dụ
D Phần kết luận
- Tổng kết các kết quả đạt được
- Một số vấn đề chưa giải quyết được trong luận văn
- Nêu hướng phát triển tiếp theo của đề tài
Trang 4TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] E.P Van den Ban (2010), Lie Groups, Lecture Notes, University of Utrecht, Holland
[2] E.P Van den Ban (2016), Lie Groups, convexity and symplectic structure, Orientation seminar, University of Utrecht, Holland
[3] A Knapp (2001), Lie Groups beyond an introduction, Springer
[4] J Maes (2011), An Introduction to the Orbit Method, Master thesis, University of Utrecht, Holland
[5] S Ben Said (2007), Representations of linear Lie groups and applications, Gesam-melte Abhandlungen IV
[6] S Ben Said (2007), On the intergrabitity of a representation of sl(2, R), J Funct., Anal., 250, no 2, 249-264
4
Trang 5XÁC NHẬN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG BẢO VỆ ĐỀ CƯƠNG
Chủ tịch hội đồng