Chuyen de hamso co loi giai chi tiet

Chuyên đề hàm số y  x3  3mx  3(m  1) x  m3  m (1) Bài Cho hàm số 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O Ta có y ,  x  6mx  3(m  1) Để hàm số có cực trị PT y ,  có nghiệm phân biệt � x  2mx  m   có nhiệm phân biệt �    0, m Cực đại đồ thị hàm số A(m-1;2-2m) cực tiểu đồ thị hàm số B(m+1;-2-2m) � m  3  2 Theo giả thiết ta có OA  2OB � m  6m   � � m  3  2 � Vậy có giá trị m m  3  2 m  3  2 Bài Cho hàm số y  x   m  1 x  2m  có đồ thị  Cm  b) Xác định tham số m để hàm số có cực trị tạo thành đỉnh tam giác  x   m  1 x  x  x   m  1   Ta có y� a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số m  x0 � y�  � �2 nên hàm số có cực trị m > x   m  1 �  Với đk m > hàm số có điểm cực trị là: A  0; 2m  1 ,B      m  1 ; 4m  10m  ,B   m  1 ; 4m  10m  Ta có: AB  AC   m  1  16  m  1 BC   m  1  Điều kiện tam giác ABC AB  BC  CA � AB  BC  CA2 �  m  1  16  m  1   m  1 m 1 � m 1  � � �� � 3  m  1  � m  1 � � So sánh với điều kiện có cực trị ta suy m   Bài 3 : x2 (1) x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Tìm điểm M (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nhỏ ): Cho hàm số: y  Chuyên đề hàm số x2 x0 ≠ -1) x0  Gọi d1 phương trình tiệm cận đứng: x + = Gọi d2 phương trình tiệm cận ngang: y - = Ta có: d ( M ;d1 )  x0  ; d ( M ;d2 )  y0  Gọi M(x0, y0)  (C) , ( Trong y0  Ta có tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận là: d  d ( M ,d1 )  d( M , d2 )  x0    x0   x0  1 x0  3 3  x0   �2 x0  2 x0  x0  x0  � � x0   x0   � ( x0  1)  � � �� x0  x0    x0    � � � � Với: x0   � y0   Vậy: d  � x0   x0    � y0       Vậy có điểm M  (C) thoả mãn yêu cầu toán là: M 1  3;1  M   1;1  Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + 2Tìm m để phương trình x - 4x + = log2 m có nghiệm Ds :2 < m < Bài Cho hàm số y = x4 – 2(m2 – m + 1)x2 + m – (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn x=0 � � y’ = 4x – 4(m – m + 1)x = � � x = m2 - m + � � d = m2 - m +  Mind = m = ½ Bài Bài Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); ( m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với 2.PT hoành độ giao điểm x3 + 3x2 + mx + = � x(x2 + 3x + m) = � x = 0, f(x) = f(x) = có nghiệm phân biệt khác Đê thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = có nghiệm phân biệt x1, x2 khác y’(x1).y’(x2) = -1 0.25 � - 4m > 0, f (0) = m � � � � (3x + 6x1 + m)(3x22 + 6x2 + m) = - � � � � � � �m < 4, m �0 �m < , m �0 �� �� � � � 9(x x )2 + 18x1x2(x1 + x2) + 3m(x12 + x22) + 36x1x2 + 6m(x1 + x2) + m2 = - � 4m - 9m + = � � � 12 � Giải ta có ĐS: m = � 65 Chuyên đề hàm số Cho hàm số y  x  3x  (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết song song với đường thẳng (d): 9x - y + = Bài Cho hàm số y  x3  2mx  (m  3) x  có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C1) hàm số m = 2) Cho (d) đường thẳng có phương trình y = x + điểm K(1; 3) Tìm giá trị tham số m cho (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích Bài Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) d: x  2mx  (m  3) x   x  (1) x0 � (1) � x( x  2mx  m  2)  � � g ( x)  x  2mx  m   (2) � (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C � (2) có nghiệm phân biệt khác � ‫ڳ‬ m �  m��  m   �m �� �� (a ) �m �2 �g (0)  m  �0 Mặt khác: d ( K , d )  1   BC.d ( K , d )  � BC  16 � BC  256 � ( xB  xC )  ( y B  yC )2  256 với xB , xC hai nghiệm phương trình (2) Do đó: S KBC  � � ( xB  xC )  (( xB  4)  ( xC  4))  256 � 2( xB  xC )  256 � ( xB  xC )  xB xC  128 � 4m  4(m  2)  128 � m  m  34  � m  � 137 � 137 (thỏa (a)) Vậy m  2 2 Bài Cho hàm số f ( x)  x  2( m  2) x  m  5m  (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số với m = 2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Hàm số có CĐ, CT m < Toạ độ điểm cực trị là: A(0; m2  5m  5), B(  m ;1  m), C (  m ;1  m) Tam giác ABC cân A  ABC vuông A m = Bài 10 Cho hàm số y  2x 1 có đồ thị (C) x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Chứng minh đường thẳng d: y = –x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12)  AB ngắn  AB2 nhỏ  m = Khi AB  24 Bài 11 Cho hàm số y  x  3m x  2m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) trục hồnh có điểm chung phân biệt �y co� C�, CT m  �1 (Cm) Ox có điểm chung phân biệt � �y  hoa� c yCT   �C� Chuyên đề hàm số Bài 12 Cho hàm số y 2x  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3;0) N(–1; –1) MN: x + 2y + = PT đường thẳng (d)  MN có dạng: y = 2x + m Gọi A, B  (C) đối xứng qua MN Hoành độ A B nghiệm PT: 2x   x  m  2x2 + mx + m + = ( x ≠ –1) (1) x 1 (d) cắt (C) hai điểm phân biệt  (1) có  = m2 – 8m – 32 > Ta có A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) với x1, x2 nghiệm (1) �x  x � �m m�  ; �( theo định lý Vi-et) Trung điểm AB I �1 ; x1  x2  m � I � � � �4 2� Ta có I �MN  m = –4, (1)  2x2 – 4x =  A(0; –4), B(2;0) Bài 13 Cho hàm số y  2x 1 x 1 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O 2) Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): x  ( m  3) x   m  0, x �1 (*) (*) có nghiệm phân biệt xA xB  A(xA; xA + m), B(xB; xB + m), �xA  xB   m Theo định lí Viét: � �xA xB   m uuu r uuu r Để OAB vng O OA.OB  � x A xB   xA  m   xB  m   � x A xB  m  xA  xB   m  � m  2 Bài 14 Cho hàm số y  2x  x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ  2x  3 1 , x0 2 , y'(x0)  Ta có: M  x0;  x0  2 x    Phương trình tiếp tuyến  với ( C) M :  : y  1 2x  (x  x0)  x0   x0  2  2x   ; B 2x0  2;2 Toạ độ giao điểm A, B () hai tiệm cận là: A  2;  x0   yA  yB 2x0  x A  xB  x0   yM  M trung điểm AB   x0  xM , x0  2 Mặt khác I(2; 2) IAB vng I nên đường tròn ngoại tiếp IAB có diện tích: � �2 x0  �� � � 2 ( x0  2)  �  ��  � ( x0  2)2  �2 S =  IM   � � ( x0  2) � � �x0  �� � � � Ta có: Chuyên đề hàm số Dấu “=” xảy (x0  2)  x 1   M(1; 1) M(3; 3) (x0  2) x0 3 Bài 16 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x2, x3 thỏa mãn điều 2 kiện : x1  x  x  Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) trục hoành : x3 – 2x2 + (1 – m)x + m =  (x – 1) (x2 – x – m) =  x = hay g(x) = x2 – x – m = (2) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (2) Với điều kiện + 4m > ta có : x1 + x2 = 1; x1x2 = –m Do u cầu tốn tương đương với: 1 � � � m m m � � � � 4m  4 � � � � g(1)   m �0  � m �0  �m �0  �m �0 � 2  2m  (x1  x )  2x1x  � � � �m  �x1  x   � � � � � � � �  m   �4 � �m �0 Bài 17 Cho hàm số y  f ( x)  8x  9x  1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 8cos x  9cos x  m  với x �[0;  ] Xét phương trình 8cos x  9cos x  m  với x �[0;  ] (1) Đặt t  cosx , phương trình (1) trở thành: 8t  9t  m  (2) Vì x �[0;  ] nên t �[1;1] , x t có tương ứng đối một, số nghiệm phương trình (1) (2) Ta có: (2) � 8t  9t    m (3) Gọi (C1): y  8t  9t  với t �[1;1] (D): y = – m Phương trình (3) phương trình hồnh độ giao điểm (C1) (D) Chú ý (C1) giống đồ thị (C) miền 1 �t �1 Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: 81 : Phương trình cho vơ nghiệm 32 81 m  : Phương trình cho có nghiệm 32 81 �m   : Phương trình cho có nghiệm 32  m 1  : Phương trình cho có nghiệm m0  : Phương trình cho có nghiệm  m y '( m ) y '(  m )  1 18 �3 35 (thỏa mãn) � (3m  m )(3m  m )  1 � 9m  36m   � m  Bài 20) Cho hàm số y  x4  2mx2  m2  m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = –2 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị lập thành tam giác có góc 1200 x0 �  � 4x  x2  m   � �  x  4mx ; y � Ta có y � �x  �  m (m 0,  x0) Vậy, có điểm M (-1 ; -4) cần tìm Bài 39) Cho hàm số y  0,25đ 0,25đ 0,25đ 2x  1 x 1)Khảo sát vẽ đồ thị  C  hàm số 2)Gọi (d) đường thẳng qua A( 1; ) có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt ( C ) hai điểm M, N MN  10 Từ giả thiết ta có: (d ) : y  k ( x  1)  Bài tốn trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm 2 ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt cho  x2  x1    y2  y1   90(*) �2 x  �  k ( x  1)  kx  (2k  3) x  k   � ( I ) ( I ) �  x  Ta có: � � y  k ( x  1)  � � y  k ( x  1)  � Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt phương trình kx  (2k  3) x  k   0(**) có hai nghiệm phân biệt Khi dễ có k �0, k  Ta biến đổi (*) trở thành: (1  k )  x2  x1   90� (1  k )[ x2  x1   x2 x1 ]  90(***) 2 2k  k 3 , x1 x2  , vào (***) ta có phương trình: k k 3  41 3  41 8k  27k  8k   � (k  3)(8k  3k  1)  � k  3, k  , k 16 16 Theo định lí Viet cho (**) ta có: x1  x2  KL: Vậy có giá trị k thoả mãn Cho hµm sè Bài 40) y 2x  x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm I ( 1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn  NÕu M  x0 ;  3   ( x  x0 ) hay (C ) tiếp tuyến M có phơng trình y x0 ( x0  1) x0    3( x  x0 )  ( x0  1) ( y  2)  3( x0  1) 0 Khoảng cách từ I ( 1;2) tới tiếp tuyến Theo bất đẳng thức Côsi d 3(  x0 )  3( x0  1)   x0  1  x0   ( x0  1)   ( x0  1) 2 ( x0  1)  ( x0  1) 2 , vây d Khoảng cách d lín nhÊt b»ng ( x0  1) 13 Chuyên đề hàm số ( x0  1)   x0  1 3  x0   ( x0  1)  VËy cã hai ®iĨm M : M   ;2  Cho hàm số: y  Bài 41)   hc M   ;2   2x  có đồ thị ( C ) x2 a) Khảo sát vẽ đồ thị ( C ) b) Xác định m để đường thẳng (d): y  x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (với O gốc tọa độ) +) PT hoành độ giao điểm: x2  (m 4)x  2m  (*) có hai nghiệm PT � m2  28  � m�R +) Goïi A(x1; x1+ m), B(x2; x2+ m), với x1, x2 nghiệm PT (*) +) SOAB  d(O;d).AB  +) SOAB  � m m m2  28 m2  28  � m � 208  14     Bài 42) Cho hàm số y  x  3mx  m  x  m  ( m tham số) (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m  Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ dng Để ĐTHS (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dơng, ta phải có : � V 0 �y' �x1  � �x2  �y y  � x1  x2  �y  0  � (I) Trong ®ã : y’ = 3( x2 – 2mx + m2 – 1) ∆y’ = m2 – m2 + = > víi mäi m y’ = x1 = m = xCĐ x2 = m + = xCT m  � � m  � � (I) �m2  m2  m2  2m  �  m 1 � �  m2   �       Bài 43) Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 14 Chuyên đề hàm số Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ =  x = v x = 2m Hàm số có cực đại , cực tiểu  phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt  m  Hai điểm cực trị A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1) Trung điểm I đoạn thẳng AB I(m ; 2m3 – 3m – 1) uuur r Vectơ AB  (2m; 4m3 ) ; Một vectơ phương đường thẳng d u  (8; 1) �I �d �AB  d Hai điểm cực đại , cực tiểu A B đối xứng với qua đường thẳng d  � � m  8(2m3  3m  1)  74  �  �uuur r m=2 �AB.u  Bài 44)Cho hàm số y  Khảo sát vẽ  C  x2  C x2 Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến qua điểm A  6;5  Phương trình đường thẳng qua A  6;5   d  : y  k  x    (d) tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm : x2 � x2 �  �x     k x       � � x2 x2 � �  x  2 �� � 4 � � k k 2 � �  x  2  x  2 � � Suy có tiếp tuyến : � � 4x  24x  4  x     x     x    x   x  0; k  1 � � � �� �� �� 4 k   � k   x  6; k   2 � �  x  2 �  x  2 � � x  d1  : y   x  1;  d  : y    3x  Bài 45)Cho hàm số y  x  (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết pht tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tt song song với đường thẳng d : x  y  21  Bài 46)Tìm m để hàm số f  x   13 x  mx  x  m  có khoảng cách điểm CĐ CT nhỏ  x   x  2mx   có  � Giải: Do f �  m   nên f (x)  có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số đạt cực trị x1, x2 với điểm cực trị A  x1 , y  ; B  x , y  Thực phép chia f (x) cho f (x) ta có:    x    m  1 x  m  Do f � f  x   x  m f �  x1   f �  x   nên 3 y1  f  x1     m  1 x1  m  ; y  f  x     m  1 x  m  3 3 2 2 2 Ta có: AB   x  x1    y  y1    x  x1   94  m  1  x  x1     15  Chuyên đề hàm số  2 � �   m  1 �  4m   �   m  1 ��4   x  x1   x1 x � � �� � � �   AB �2 13 Vậy Min AB  13 xảy  m  3 Bài 47)Tìm m để hàm số f  x   13 mx   m  1 x   m   x  13 đạt cực trị x1, x2 thoả mãn x1  x   x   mx   m  1 x   m    có nghiệm phân biệt  Giải:  Hàm số có CĐ, CT  f � �m �0 �     m �0   (*)    �   m   m m   2 �  x   có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số f (x) đạt cực trị x1, x2 Theo định Với điều kiện (*) f �     lý Viet ta có: x1  x  m  ; x1 x  m  m m   m 1  m  1 Ta có: x1  x  � x   m  mm ; x1  m  mm  3mm m2 � 3m    m   �   m   3m    3m  m   � � � 2m� m m m m � � Cả giá trị thoả mãn điều kiện (*) Vậy x1  x  � m  �m  23 Bài 48)Tìm m để hàm số f  x   13 x  mx  mx  đạt cực trị x1, x2 thoả mãn điều kiện x1  x �8  x   x  2mx  m  có nghiệm phân biệt Giải: HS có CĐ, CT  f �   � m  m  � m �D   �,  U  1, � (*)  x   có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số f (x) đạt cực trị x1, x2 Theo định Với điều kiện f � 2 lý Viet ta có: x1  x  2m; x1 x  m suy ra: x1  x �8 � x1  x �64 �  x1  x   x1 x �64 �  65 � � �  65 �, , ��(thoả mãn (*) ) � 4m  4m �64 � m  m  16 �0 � m �� �U � � � � � � � � � Vậy để x1  x �8 m ���,  65 �U �1  65 , �� � � � � 2 Bài 49)Cho hàm số f  x   23 x   m  1 x   m  4m  3 x Gọi điểm cực trị x1, x2 Tìm Max A  x1 x   x1  x  �x  x    m  1 2 �1 Do �x x   m  4m  3  A  x1 x   x1  x   m  24m    m  1 �1 �  m  8m    m    m  1  1  m    m  1 (do 5  m  1 ) 2 2 9 � � �   m  8m  16  �   m  4 � � �� Với m  4 Max A   A  12 � 2 2 Bài 50)Tìm m để f  x   x  mx  x  có đường thẳng qua CĐ, CT vng góc với y  3x   x   x  2mx   có nghiệm phân biệt   �  m  21  � m  21 Giải: Hàm số có CĐ, CT  f � Thực phép chia f (x) cho f (x) ta có: 16 Chuyên đề hàm số  x    21  m  x   m f  x    3x  m  f � 9   Với m  21 phương trình f �x  có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số y  f (x) đạt cực trị x1, x2  x1   f �  x   suy Ta có: f � y1  f  x1    21  m  x1   m ; y  f  x    21  m  x   m 9 9  Đường thẳng qua CĐ, CT (): y  92  21  m  x   79m Ta có ()  y  3x    21  m   1 � m  45  21 � m  �3 10 2 Bài 51)Tìm m để hàm số f  x   x  3x  m x  m có cực đại, cực tiểu đối xứng qua (): y  12 x  52  x   3x  x  m  có nghiệm phân biệt Giải: Hàm số có CĐ, CT  f �   �  3m  � m  Thực phép chia f (x) cho f (x) ta có:  x    m  3 x  m  m f  x    x  1 f � 3  x   có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số y  f (x) đạt cực trị x1, x2 Với m  phương trình f �  x1   f �  x   nên Ta có: f � 2 y1  f  x1    m  3 x1  m  m ; y  f  x    m  3 x  m  m 3 3  Đường thẳng qua CĐ, CT (d): y   m  3 x  m  m 3 Các điểm cực trị A  x1 , y1  , B  x , y  đối xứng qua    : y  12 x  52 x x  (d)  () trung điểm I AB (*) Ta có x I   suy 2  1 �2  m  3 � m0 � � �3 � � �m0 (*)  � � 2   m m m   �  m  3 � � 1 m � 1 �3 2 Bài 55)Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m3  (1) 1, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=1 2, Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời điểm cực đại,cực tiểu A,B đồ thị hàm số với điểm M(-2;2) tạo thành góc �AMB  900 y '  3x  6mx   m  1 để hs co CĐ,CT y '  có nghiệm phân biệt �  '  � m Khi A(m-1;-3m+3) B(m+1;-3m-1) điểm CĐ,CT đồ thị hàm số, để góc uuuu r uuur �AMB  900 � MA MB  � (m  1)(m  3)  (3m  1)(3m  3)  m0 � � 10m  10m  � � m  1 � 17 Chuyên đề hàm số Bài 56:Với giá trị m, hàm số y  1 x  2x  (2m  1)x  3m  nghịch biến R Giải: TXĐ: R Ta có: f '(x)   x  4x  2a  ,   2a  x R   Hàm số nghịch biến R f '(x) �0,��� a Bài 57:Với giá trị m, hàm số f (x)  mx  3x   m   x  nghịch biến R ? Giải: TXĐ: R Ta có: f '(x)  3mx  6x  m  Hàm số nghịch biến R f '(x)  3mx  6x  m  �0, x �R : không thỏa x �R  m0 � , f '(x) �0, x �R � � m �0     3m(m  2) �0 � m = 0, f’(x) =  6x�۳2 x m0 � � �� � 3m  6m  �0 � Vậy, với m �1 thỏa mãn toán Bài 60:Định m để hàm số y  m0 � � m �1 v m �3 � m mx  đồng biến khoảng xác định xm Giải: TXĐ: D  R \  m Đạo hàm: y'  m2  Hàm số đồng biến khoảng xác định  x  m y'  0, x �m � m   � m  1 v m  1 Bài 63 Tìm m để hàm số y  mx   m  1 x   m   x  đồng biến  2;� 3 Giải: Ta có: y'  mx   m  1 x   m   y'  0, x �2� mx Hàm số đồng  2; �۳  ��  m 1 x  m  0, x  2x m , x (vì x2 – 2x + > 0) x  2x  � m  x 2�2x �۳3 �2x 0, x Bài tốn trở thành: Tìm m để hàm số f  x    2x �m, x �2 x  2x  18 Chuyên đề hàm số Ta có f '  x   2x  12x  x  2x  3 , f '  x   � 2x  12x   � x  � BBT: x f’(x) f(x) m Ta cần có: max f (x) �۳  2;� � 3 m Đó giá trị cần tìm tham số m mx  6x  Bài 64: Tìm m để hàm số y  nghịch biến nửa khoảng  1;� x2 Giải: Ta có: y'  mx  4mx  14  x  2 � x Hàm số nghịch biến  1; �  �y'�0,� mx 4mx 14 0, x 14 , x  4x 14 �m, x �1 Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số f  x   x  4x 14(2x  4) �0, x �1 Ta có: f '(x)   x  4x  �m� x 4x   14,   �x � m x f’(x) � f(x) �m Ta cần có: f (x)   1;� m  14 14 14 Vậy m � giá trị cần tìm m 5 Bài 65 Cho hàm số y  x3  3x  mx  Với giá trị m hàm số đồng biến khoảng  �;0  Lời giải TXĐ: D = R y '  3x2  x  m Hàm số đồng biến  �;0  y ' �0, x �(�, 0) 19 Chuyên đề hàm số � x  x  m �0, x �(�, 0) ۣ  mۣ �3� x x g ( x ), x (  m g ( x) , 0) ( �,0) Ta có: g '( x)  x   � x  1 g ( x )  g ( 1)  3 Vẽ bảng biến thiên ta có m �(min �,0) Kết luận: Với m �3 điều kiện tốn thỏa 12 Bài68Tìm m để hàm số y   x3  (m  1) x  (m  3) x  đồng biến (0; 3) ĐS m � Lời giải: TXĐ: D = R y '   x  2(m  1) x  m  Hàm số đồng biến (0; 3) � y '   x  2(m  1) x  m  �0, x �(0;3) � m(2 x  1) �x  x  x2  x   g ( x) (*) 2x  2x2  x   0, x �(0;3) Ta có: g '( x)  (2 x  1) � g(x) hàm số đồng biến (0; 3) 12 � g (0)  g ( x)  g (3) � 3  g ( x)  12 Vậy điều kiện (*) thỏa m � mx  Bài69 Tìm m để hàm số y  đồng biến khoảng  1; � x m3 ۳ m Lời giải: TXĐ: D  R \   m y' m  3m  ( x  m  3) Hàm số đồng biến y '  0, x �3  m �� m 1 � m  3m   �� �� � �� m2�m2  ( m  3) � � � m �2 � BÀI TẬP HÀM SỐ TRONG CÁC KI THI ĐẠI HỌC 20 Chuyên đề hàm số Bài 1)(DHKA2012)Cho hàm số y  x  2(m  1) x  m (1), với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m  b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng Tacóy'=4x −4(m+1)x=4x(x −m−1) Đồthịhàmsốcó3 điểmcựctrịkhivàchỉkhim+1>0 ⇔ m>−1(*) CácđiểmcựctrịcủađồthịlàA(0;m ), B ( m  1; 2m  1) C ( m  1; 2m  1) uur uuu r Suyra: AB  (  m  1; ( m  1) ) AC  ( m  1; ( m  1) ) uur uuu r TacóAB=AC nêntamgiácABCvngkhivàchỉkhi AB AC  ⇔(m+1) −(m+1)=0 Kếthợp (*), tađượcgiátrịmcầntìmlàm=0 Bài 2)Cho hàm số y  x3  3mx  3m3 (1) , m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 y’ = 3x2 – 6mx, y’ =  x = hay x = 2m y có cực trị  m  Vậy A (0; 3m3) B (2m; -m3) 6m  48  m4 = 16  m = 2 (nhận so với đk) 2 Bài 3)((DHKD2012)Cho hàm số y = x – mx2 – 2(3m2 – 1)x + (1), m tham số thực 3 SOAB = a) b)  OA.d ( B; OA)  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1) y có cực trị  ’ = m2 + 4(3m2 – 1) >  13m2 – > m< 2 hay m > 13 13 Gọi x1, x2 nghiệm y’ : x1x2 + 2(x1 + x2) =  -(3m2 – 1) + 2m =  3m2 – 2m =  m = (loại) hay m = Bài 4)((DHKA2011)Cho hàm số y  x 1 2x 1 (nhận) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Chứng minh với m đường thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1+k2 đạt giá trị nhỏ Phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng d : y = x +m x 1  x  m  (2x – 1) (x + m) = -x + (Vì x = khơng nghiệm) 2x 1  2x2 + 2mx – (m + 1) = (1) 21 Chun đề hàm số Phương trình (1) có   m2  2m   (m  1)   0, m  R  Phương trình (1) ln có nghiệm nên d ln cắt (C) hai điểm A, B Hoành độ tiếp điểm A, B x1, x2 nghiệm phương trình (1) m 1 4( x12  x22 )  4( x1  x2 )  1  Ta có: k1  k2   = (2 x1  1) (2 x2  1)  x1 x2  2( x1  x2 )  1  x1 + x2 = - m x1.x2 =  = (4m2  8m  6)  4(m  1)  k1 + k2 đạt giá trị lớn -2  m = -1 Bài 5-)((DHKA2011)Cho hàm số y  x  2( m  )x  m (1), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa độ, A cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại y’ = 4x3 – 4(m + 1)x y’ =  x = hay x2 = m + Hàm số có cực trị  m + >  m > -1 Khi đồ thị hàm số có cực trị A (0; m), B ( m  ; -m2 – m – 1); C (- m  ; -m2 – m – 1) Ta có: OA = BC  m2 = 4(m + 1)  m =  2 (thỏa m > -1) Bài 6(KA2009) Cho hàm số y  x2 2x   1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Ta có y '  1 ) là: nên phương trình tiếp tuyến x  x (với x � (2x  3) y - f( x ) = f’( x )(x - x ) y 2x 02  8x  x  (2x  3) (2x  3) Do tiếp tuyến cắt Ox A( 2x 02  8x  ;0) 2x 02  8x  cắt Oy B(0; ) (2x  3) Tam giác OAB cân O � OA  OB (với OA > 0) � x A  y B � 2x 02  8x   2x 02  8x  (2x  3) 22 Chuyên đề hàm số x  1(L) � � (2x  3)  � 2x   � 1� � x  2(TM) � Với x  2 ta có tiếp tuyến y = x Bài 21)((DHKA2013) Cho hàm số y   x  3x  3mx  (1) , với m tham số thực b a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; + �) y’ = -3x2 + 6x+3m, y’ =  m= x  x =g(x) yêu cầu toán  y’ �0, x � 0; �  m �x  x x � 0; � x  x  , x � 0; �   m �min x 0  m �1  g  1 Bài 22)((DHKD2013) Cho hàm số y  x3  3mx  (m  1) x  (1) , m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để đường thẳng y = -x +1 cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt b) Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): x0 � x3  3mx  mx  � � g ( x)  x  3mx  m  (1) � (d) cắt (C) điểm � (1) có nghiệm phân biệt khác �   9m  8m  �� � m  �m  �g (0)  m �0 Bài 23)((Cho hàm số y  x  3(m  1) x  6mx (1) , với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y = x + b) y’ = 6(x2 – (m + 1)x + m)), y có cực trị  y’ = có nghiệm phân biệt  (m + 1)2 – 4m >  m  1 y = (2 x  m  1) y ' - (m – 1)2x + m2 + m YCBT  -(m – 1)2 = -1 m   m = hay m = 23 ... (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 8cos x  9cos x  m  với x �[0;  ] Xét phương trình 8cos x  9cos x  m  với x �[0;  ] (1) Đặt t  cosx , phương trình (1) trở thành: 8t  9t ... Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) trục hồnh có điểm chung phân biệt �y co C�, CT m  �1 (Cm) Ox có điểm chung phân biệt � �y  hoa� c yCT   �C� Chuyên đề hàm số Bài...  m ;  m ) ; AC  (  m ;  m ) ABC cân A nên góc 1200 �A uuu r uuur AB AC  m  m  m � cos A   � uuu  r uuur   � 2 m m AB AC �A  120o m0 (loai) � m  m4 4 � �   � 2m  2m