Các dạng vectơ lớp 10 từ cơ bản đến nâng cao

CHUYÊN ĐỀ VÉCTƠ Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 0975705122 DẠNG 1: VÉCTƠ CÙNG PHƯƠNG – CÙNG CHIỀU BÀI MẪU Baøi Cho hình bình hành ABCD , tâm O Gọi M , N trung điểm AD, BC 1) Có véctơ khác có điểm đầu điểm cuối số điểm A, B, C, D, O, M, N 2) Chỉ véctơ có điểm đầu, điểm cuối điểm A, B, C, D, O, M, N mà: a) Cùng phương với véctơ AB b) Cùng hướng với véctơ AB c) ngược hướng với véctơ AB BÀI TẬP TỰ GIẢI Baøi Cho điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng Khi AB, AC hướng, ngược hướng Bài Cho ABC có A, B, C trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh: BC  C A  AB b) Tìm véctơ BC , C A Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP  QN ; MQ  PN DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉCTƠ BÀI MẪU Baøi Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: a) AB  DC  AC  DB b) AD  BE  CF  AE  BF  CD Baøi Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: LỚP TOÁN THẦY THÀNH 0975 705 122 a) Nếu AB  CD AC  BD b) AC  BD  AD  BC  2IJ c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA  GB  GC  GD  Baøi Cho tứ giác ABCD khơng phải hình bình hành, có hai đường chéo AC, BD cắt O cho OD  OB Gọi M , N trung điểm AB,CD MN cắt AC I Chứng minh MI  IN Baøi Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho CN  NA K trung điểm MN Chứng minh: a) AK  1 AB  AC b) KD  1 AB  AC Bài Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: a) AM  OB  OA b) BN  OC  OB c) MN  1 OC  OB  BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Cho ABC Bên ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ  IQ  PS  Baøi Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI Bài Cho ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: a) AH  2OM b) HA  HB  HC  2HO c) OA  OB  OC  OH Baøi Cho hai tam giác ABC ABC có trọng tâm G G a) Chứng minh AA  BB  CC  3GG b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Bài Cho tam giác ABC điểm G cho GA  GB  GC  a) Chứng minh rằng: G trọng tâm tam giác b) Nếu có điểm O cho OG    OA  OB  OC G trọng tâm tam giác ABC LỚP TOÁN THẦY THÀNH 0975 705 122 Baøi 10 Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: AM  AB  AC 3 Baøi 11 Cho ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: a) AB   CM  BN 3 c) AC   CM  BN 3 1 c) MN  BN  CM 3 Bài 12 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G a) Chứng minh: AH  1 AC  AB CH    AB  AC  3 b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH  AC  AB 6 Baøi 13 Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD  MC  AB , ME  MA  BC , MF  MB  CA Chứng minh điểm D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh hai tổng véctơ: MA  MB  MC MD  ME  MF Baøi 14 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ABC Chứng minh: a) AI  AO  AB b) 3DG  DA  DB  DC Baøi 15 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD a) Chứng minh: AI  1 AD  AB  b) Chứng minh: OA  OI  OJ  c) Tìm điểm M thoả mãn: MA  MB  MC  DẠNG 3: DỰNG VÉCTƠ- TÍNH ĐỘ DÀI BÀI MẪU Bài Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: a) AC  BA  AD ; AB  AD  AC b) Nếu AB  AD  CB  CD ABCD hình chữ nhật Baøi Cho hai véc tơ a , b Trong trường hợp đẳng thức sau đúng: a  b  a  b Baøi Cho ABC cạnh a Tính AB  AC ; AB  AC LỚP TOÁN THẦY THÀNH 0975 705 122 Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB  AC  AD Baøi Cho ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài véctơ HA, HB, HC Bài Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài véctơ AB  AD , AB  AC , AB  AD BÀI TẬP TỰ GIẢI Baøi Cho tam giác ABC vuông cân O, OA  OB  a Dựng vecto sau tính độ dài chúng OA  OB ; OA  OB ; 3OA  4OB ; Câu 65 Cho 21 11 OA  2,5OB; OA  OB 4 ABC vuông A AB , AC Véctơ CB Câu 66 Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính AB Câu 67 Cho hình chữ nhật ABCD biết AB 4a AD AB có độ dài AD , 3a độ dài AB Câu 68 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a Độ dài AB AD ? BC Câu 69 Cho tam giác ABC có cạnh a Giá trị AB CA bao nhiêu? Câu 70 Cho ba lực F1 MA, F MB, F MC tác động vào vật điểm M vật đứng yên Cho biết cường độ F , F 50N góc AMB độ lực F3 là: DẠNG 4: TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM BÀI MẪU Bài Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA  MB  MC  Baøi Cho hai điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp điểm O thỏa mãn: 1) OA  OB 2) OA  OB Baøi Cho ΔABC nội tiếp (O) Xác định vị trí điểm M , N , P cho: OM  OA  OB; ON  OB  OC ; OP  OC  OA Bài Cho ΔABC LỚP TỐN THẦY THÀNH 0975 705 122 600 Khi cường 1) Tìm điểm M , N cho : MA  MB  MC  0; 2NA  NB  NC  2) Với M , N tìm câu Tìm số p, q cho: MN  p.AB  q.AC Baøi Cho hai điểm A B Tìm điểm M cho MA  3MB  Baøi Cho vecto CD cố định hai điểm A, B Tìm điểm M cho MA  MB  CD Baøi Cho điểm A, B, C, D, E Xác định điểm O, I , K cho: 1) OA  2OB  3OC  3) IA  IB  IC  ID  3) KA  KB  KC  3(KD  KE)  Baøi Cho tam giác ABC Tìm vị trí điểm M cho: 1) MB  MC  AB 2) MA  MB  MC  3) MA  MB  MC  4) MA  2MB  MC  Bài Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: a) MA  MB  MC  MB  MC b) MA  BC  MA  MB c) 2MA  MB  4MB  MC d) 4MA  MB  MC  2MA  MB  MC BÀI TẬP TỰ GIẢI Baøi 10 Cho tam giác ABC Tìm điểm I , K , M cho: 1) IA  2IB  2) KA  2KB  CB 3) MA  MB  2MC  Baøi 11 Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I M điểm tuỳ ý không nằm đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy điểm N cho IN = MI a) Chứng minh: BN  BA  MB b) Tìm điểm D, C cho: NA  NI  ND ; NM  BN  NC Baøi 12 Cho hình bình hành ABCD a) Chứng minh rằng: AB  AC  AD  AC b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM  AB  AC  AD Baøi 13 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC a) Chứng minh: MN    AB  DC b) Xác định điểm O cho: OA  OB  OC  OD  Baøi 14 Cho điểm A, B, C, D Gọi M N trung điểm AB, CD, O trung điểm MN Chứng minh với điểm S bất kì, ta có: SA  SB  SC  SD  4SO Baøi 15 Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IB  3IC  b) 2JA  JC  JB  CA LỚP TOÁN THẦY THÀNH 0975 705 122 c) KA  KB  KC  2BC d) 3LA  LB  2LC  Baøi 16 Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IA  3IB  3BC b) JA  JB  2JC  c) KA  KB  KC  BC d) LA  2LC  AB  AC Baøi 17 Cho ABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: a) IA  IB  IC  BC b) FA  FB  FC  AB  AC c) 3KA  KB  KC  d) 3LA  2LB  LC  Bài 18 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định điểm I, F, K thoả đẳng thức sau: a) IA  IB  IC  4ID b) 2FA  2FB  3FC  FD c) 4KA  3KB  2KC  KD  Baøi 19 Cho tứ giác ABCD a) Hãy xác định vị trí điểm G cho: GA  GB  GC  GD  (G trọng tâm tứ giác ABCD) b) Chứng minh với điểm O tuỳ ý, ta có: OG  1 OA  OB  OC  OD  Baøi 20 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện: a) MA  MB b) MA  MB  MC  c) MA  MB  MA  MB d) MA  MB  MA  MC Baøi 21 Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA  MB  MA  MB b) 2MA  MB  MA  2MB Bài 22 Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA  MB  MC  MB  MC c) MA  MB  4MB  MC b) MA  BC  MA  MB d) 4MA  MB  MC  2MA  MB  MC e) MA  MB  AB DẠNG 5: PHÂN TÍCH VECTO THEO NHIỀU VECTO - CHỨNG MINH THẲNG HÀNG BÀI MẪU Baøi Cho tam giác OAB, gọi M N trung điểm OA OB Tìm số m, n thích hợp đẳng LỚP TỐN THẦY THÀNH 0975 705 122 thức vecto sau: a) OM  mOA  nOB b) MN  mOA  nOB c) AN  mOA  nOB d) MB  mOA  nOB Baøi Cho ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB  3MC, NA  3CN , PA  PB  a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Baøi Cho ΔABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm AG K  AB cho AB  5AK 1) Tính AI , AK , CI , CK theo CA, CB 2) Chứng minh C, I , K thẳng hàng Baøi Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D E điểm xác định AD  AB , AE  a) Tính AG, DE, DG theo AB AC AC b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng Baøi Cho ΔABC, M trung điểm BC, gọi O, G, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm trực tâm tam giác Chứng minh: 1) AH  2.OM 2) HA  HB  HC  2HO 3) OA  OB  OC  OH từ suy O, G, H thẳng hàng BÀI TẬP TỰ GIẢI Baøi Cho bốn điểm O, A, B, C cho : OA  2OB  3OC  Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng Bài Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, BD lấy điểm K cho: 1 BH  BC , BK  BD Chứng minh: A, K, H thẳng hàng Baøi Cho ABC với I, J, K xác định bởi: IB  2IC , JC   a) Tính IJ , IK theo AB vaø AC (HD: IJ  AB  JA , KA  KB AC ) b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J trọng tâm AIB) Baøi Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB  3MC , NA  3CN , PA  PB  a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng Bài 10 Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho AD = LỚP TOÁN THẦY THÀNH 0975 705 122 AF, AB = AE Chứng minh: a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC hình bình hành Baøi 11 Cho ABC Hai điểm I, J xác định bởi: IA  3IC  , JA  2JB  3JC  Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng Baøi 12 Cho ABC Hai điểm M, N xác định bởi: 3MA  MB  , NB  3NC  Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, với G trọng tâm ABC Baøi 13 Cho ABC Lấy điểm M N, P: MB  2MC  NA  2NC  PA  PB  a) Tính PM , PN theo AB AC b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Baøi 14 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD  DE  EC a) Chứng minh AB  AC  AD  AE b) Tính AS  AB  AD  AC  AE theo AI Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng DẠNG * : CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ  Sử dụng bất đẳng thức bản: Với vectơ a , b ta ln có b a b , dấu xảy a , b hướng + a b a b , dấu xảy a , b ngược hướng + a  Đưa toán ban đầu tốn tìm cực trị MI với M thay đổi + Nếu M điểm thay đổi đường thẳng chiếu M lên MI đạt giá trị nhỏ M hình + Nếu M điểm thay đổi đường tròn (O) MI đạt giá trị nhỏ M giao điểm tia OI với đường tròn; MI đạt giá trị lớn M giao điểm tia IO với đường tròn Bài Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ T MA MB MC LỚP TOÁN THẦY THÀNH 0975 705 122 Bài Cho tam giác ABC A ' B ' C ' tam giác thay đổi, có trọng tâm G G' cố định Tìm giá trị nhỏ tổng T AA ' BB ' CC ' Bài Cho tam giác ABC , đường thẳng d ba số , , đường thẳng d để biểu thức T MA MB cho Tìm điểm M thuộc MC đạt giá trị nhỏ Bài Cho tam giác ABC Tìm điểm M đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC cho MA MB MC a) Đạt giá trị lớn b) Đạt giá trị nhỏ Bài Cho lục giác ABCDEF Tìm tập hợp điểm M cho : MA MB MC MD ME MF nhận giá trị nhỏ Bài Cho tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' tứ giác thay đổi, có trọng tâm G G' cố định Tìm giá trị nhỏ tổng T AA ' BB ' CC ' DD ' Bài Cho tam giác ABC M, N, P điểm cạnh BC, CA, AB cho BM kBC , CN kCA, AP kAB Chứng minh đoạn thẳng AM, BN, CP ba cạnh tam giác Do đoạn thẳng AM, BN, CP ba cạnh tam giác Bài Cho tam giác ABC Chứng minh với điểm M thuộc cạnh AB khơng trùng với đỉnh ta có: MC.AB MA.BC MB.AC DẠNG * : CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU – HAI TAM GIÁC CÙNG TRỌNG TÂM  Để chứng minh hai điểm A1 A2 trùng nhau, ta lựa chọn hai cách sau : Cách 1: Chứng minh A1 A2 Cách 2: Chứng minh OA1 OA2 với O điểm tuỳ ý  Để chứng minh hai tam giác ABC A ' B ' C ' trọng tâm ta làm sau: Cách 1: Chứng minh G trọng tâm ABC trùng với G ' trọng tâm A ' B ' C ' Cách 2: Gọi G trọng tâm ABC (tức ta có GA GB GC ) ta chứng minh GA ' GB ' GC ' Baøi Chứng minh AB Baøi Cho tam giác ABC , cạnh AB, BC, CA ta lấy điểm M, N, P cho AM AB BN BC CD trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trùng CP Chứng minh hai tam giác ABC MNP có trọng tâm CA LỚP TOÁN THẦY THÀNH 0975 705 122 Baøi Cho lục giác ABCDEF Gọi M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC , CD, DE, EF , FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Bài Cho hai hình bình hành ABCD AB ' C ' D ' chung đỉnh A Chứng minh hai tam giác BC ' D B ' CD ' trọng tâm Baøi AA ' Baøi Cho tam giác ABC , A ' B ' C ' có G, G’ trọng tâm Chứng minh rằng: 3GG ' Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm BB ' CC ' Cho tam giác ABC , vẽ hình bình hành ABIJ , BCPQ, CARS Chứng minh RIP , JQS có trọng tâm DẠNG * : XÁC ĐỊNH ĐỐI TƯỢNG THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTO Baøi Gọi M, N trung điểm cạnh AD DC tứ giác ABCD Các đoạn thẳng AN BM cắt P Biết PM Baøi BM ; AP AN Tứ giác ABCD hình gì? Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c trọng tâm G thoả mãn: a2 GA b2 GB c GC ABC tam giác ? Bài AA ' Bài Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' B' , C' điểm thay đổi CA, AB thoả mãn BB ' CC ' Chứng minh BB', CC' trung tuyến tam giác ABC Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O thoả mãn OA OB OC OD tứ giác ABCD hình gì? Bài : Cho ABC có BB', CC' trung tuyến, A' điểm BC thoả mãn AA ' BB ' CC ' Chứng minh AA' trung tuyến tam giác ABC Baøi Cho ABC có A', B', C' điểm thay đổi BC, CA, AB cho AA ', BB ', CC ' đồng quy thoả mãn AA ' BB ' CC ' Chứng minh AA ', BB ', CC ' trung tuyến tam giác ABC LỚP TOÁN THẦY THÀNH 0975 705 122 ... AB  AD  AC  AE theo AI Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng DẠNG * : CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ  Sử dụng bất đẳng thức bản: Với vectơ a , b ta ln có b a b , dấu xảy a , b hướng + a b a... MC.AB MA.BC MB.AC DẠNG * : CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU – HAI TAM GIÁC CÙNG TRỌNG TÂM  Để chứng minh hai điểm A1 A2 trùng nhau, ta lựa chọn hai cách sau : Cách 1: Chứng minh A1 A2 Cách 2: Chứng... P thẳng hàng Baøi 10 Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho AD = LỚP TOÁN THẦY THÀNH 0975 705 122 AF, AB = AE Chứng minh: a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF,