Các metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibonyCác metric vi phân kobayashi, caratheodory và sibony
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ DUY BÌNH CÁC METRIC VI PHÂN KOBAYASHI, CARATHEODORY VÀ SIBONY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ DUY BÌNH CÁC METRIC VI PHÂN KOBAYASHI, CARATHEODORY VÀ SIBONY Ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC Thái Nguyên - Năm 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài "CÁC METRIC VI PHÂN KOBAYASHI, CARATHEODORY VÀ SIBONY" hồn thành nhận thức tơi, khơng trùng lặp với luận văn, luận án cơng trình công bố Thái Nguyên, tháng năm 2018 Người viết Luận văn Lê Duy Bình Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học PGS.TS Phạm Việt Đức i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS TS Phạm Việt Đức, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Lê Duy Bình ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.2 Giả khoảng cách Caratheodory 10 1.3 Không gian phức hyperbolic 11 1.4 Hàm đa điều hòa 13 Các metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony 15 2.1 Metric vi phân Kobayashi 15 2.2 Metric vi phân Caratheodory 26 2.3 Metric vi phân Sibony 31 2.4 Mối quan hệ metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony 38 iii Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 50 iv Mở đầu Lý thuyết không gian phức hyperbolic S Kobayashi đưa từ đầu năm 70, hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Trong năm gần đây, lý thuyết thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học giới Trong giải tích phức metric bất biến đóng vai trò quan trọng, số kết chứng minh S Kobayashi, S.G Krantz, S Fu, J.E Fornaess, I Graham, Những cơng trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu giải tích phức Tuy nhiên, nhiều tính chất metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony biết đến Mục đích đề tài trình bày kiến thức metric vi phân Kobayashi, metric vi phân Caratheodory metric vi phân Sibony Từ trình bày kết Fornaess Lee [2] Nội dung đề tài chia làm chương: Chương trình bày kiến thức giả khoảng cách Kobayashi, giả khoảng cách Caratheodory không gian phức Hyperbolic Các tính chất giả khoảng cách Kobayashi, Caratheodory Chương trình bày khái niệm, tính chất, số mối liên hệ metric vi phân Kobayashi, metric vi phân Caratheodory metric vi phân Sibony Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức Metric Bergman-Poincaré Metric Bergman-Poincaré đĩa đơn vị D Dr định nghĩa sau: 4dzd¯ z ds2 = , 2 ∀z ∈ D (1 − |z| ) ds2r = 4r2 dzd¯ z (r2 , 2 − |z| ) ∀z ∈ Dr Khi đó, chuẩn vectơ tiếp xúc sinh metric Bergman-Poincaré D Dr xác định bởi: Với z ∈ D (hoặc z ∈ Dr ) v ∈ Tz D (hoặc v ∈ Tz Dr ) vectơ tiếp xúc z , ta có 2|z|euc − |z|2 2|z/r|euc = − |z/r|2 |v|hyp,z = |v|hyp,r,z |v|hyp,z chuẩn Euclide C Các chuẩn |v|hyp,z |v|hyp,r,z gọi chuẩn hyperbolic D, Dr tương ứng 1.1.2 Bổ đề (Schwarz-Pick) Giả sử f : D → D ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị vào Khi đó: |f (z)| ≤ − |f (z)|2 − |z|2 Chứng minh Lấy a cố định thuộc D Đặt g(z) = z+a z − f (a) h(z) = 1+a ¯z − f (a)z Khi g h tự đẳng cấu đĩa, biến thành a f (a) thành tương ứng Đặt F = h ◦ f ◦ g Ta có f : D → D chỉnh hình, F (0) = − |a|2 f (a) F (0) = h (f (a))f (a)g (0) = − |f (a)|2 Theo bổ đề Schwarz, ta có |F (0)| ≤ dấu xảy F tự đẳng cấu, tức f tự đẳng cấu Từ ta có |f (z)| ≤ − |f (z)|2 − |z|2 Bổ đề chứng minh 1.1.3 Khoảng cách Bergman-Poincaré Khoảng cách sinh metric Bergman-Poincaré đĩa đơn vị D, ký hiệu ρD gọi khoảng cách Bergman-Poincaré Sử dụng định nghĩa khoảng cách sinh làm độ dài chuẩn hyperbolic đĩa đơn vị mở D, ta xác định công thức khoảng cách Bergman-Poincaré sau: Lấy a ∈ D, < a < 1.Gọi z(t) = x(t) + iy(t), ≤ t ≤ 1, đường cong D nối điểm gốc ∈ D với a ∈ D Khi độ dài cung nối ứng với chuẩn hyperbolic thỏa mãn 1 = = a ≥ o |z (t)|hyp dt = 2 1/2 2(x (t) +y (t) ) 2 1−x(t) −y(t) 2dx 1−x2 2|z (t)| dt 1−|z(t)| dt ≥ 2|x (t)| dt 1−|x(t)| = ln 1+a 1−a Điều chứng tỏ đoạn thẳng nối từ đến a đường nối ngắn ρD (0, a) = ln 1+a , 1−a khoảng cách Bergman-Poincaré bất biến qua phép quay, ta có ρD (0, a) = ln + |a| , ∀a ∈ D, − |a| Lấy hai điểm a, b ∈ D, phép biến đổi w = mà biến b thành biến a thành ρD (a, b) = ln 1.1.4 a−b 1−a¯b z−b 1−¯bz tự đẳng cấu D Khi ta nhận 1+ a−b 1−¯ba 1− a−b 1−¯ba , ∀a, b ∈ D Giả khoảng cách nội Gải sử X tập, giả khoảng cách d X hàm X × X với p, q, r ∈ R+ thỏa mãn điều kiện: i) d(p, q) = 0, p = q ; Khi đó, Φ(f (ζ)) = ζh(ζ) với h(0) = Φ (p)ξ/α Vì (log Ψλ ◦ f ) hàm điều hòa D Ψλ (f (ζ)).|ζ|−2 bị chặn D, ta có Ψλ (f (ζ)) |Φ (p)ξ/α| exp(λu(p)) = lim ≤ ζ→0 r2 |ζ|2 Nên α≥ Φ (p)ξ λ u(p) exp r FKM (p, ξ) ≥ 2.3.6 |Φ (p)ξ| A exp u(p) r 2r2 c Hệ Cho M đa tạp phức với hàm u trơn, đa điều hòa chặt Cho K thành phần compact liên thông tập (u ≤ λ), λ ∈ R Khi đó, M hyperbolic điểm thuộc K Chứng minh Ta giả sử hàm v dương M , không thiết bị chặn Cho V lân cận compact tương đối K cho V không giao với thành phần liên thông khác (u ≤ λ) Cho µ = inf u(z) Vì u liên tục nên ta có µ > λ Cho c = max(u + v) h z∈∂V z∈∂V hàm lồi xác định R cho h(x) = x với x < λ + µ−λ h(µ) > c Ta định nghĩa hàm Ψ Ψ(z) = sup((u + v)(z), h(u(z))), Ψ(z) = h(u(z)), với z ∈ V với z ∈ M \ V Hàm Ψ hàm đa điều hòa bị chặn đa điều hòa chặt lân cận K Nên theo Định lý 2.3.5, M hyperbolic điểm thuộc K 37 2.4 Mối quan hệ metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony 2.4.1 Mệnh đề Cho M đa tạp phức FKM , FCM , FSM giả metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony tương ứng M FSM có tính chất giảm qua ánh xạ chỉnh hình, tính lớn FKM tính nhỏ FCM ta có: FCM (p, ξ) ≤ FSM (p, ξ) ≤ FKM (p, ξ) 2.4.2 Bổ đề Ω1 Ω2 miền Cn Cm tương ứng, Φ : Ω1 → Ω2 ánh xạ chỉnh hình, P ∈ Ω1 ξ ∈ TP (Ω1 ) Khi F Ω1 (P, ξ) ≥ F Ω2 (Φ(P ), Φ∗ (P )ξ) Chứng minh Bổ đề chứng minh cụ thể với Metric phần trước 2.4.3 Hệ Cho Ω1 ⊂ Ω2 Khi F Ω1 (P, ξ) ≥ F Ω2 (P, ξ) 38 2.4.4 Mệnh đề Giả sử P ∈ Ω ξ ∈ C cho đường thẳng phức φ(ξ) = P + ξζ không chạm với biên Ω với ζ ∈ Cn Khi đó: FKΩ (P, ξ) = FSΩ (P, ξ) = FCΩ (P, ξ) = FCB (P, ξ) (2.13) Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4.1 Hệ 2.4.3 ta cần chứng minh FKΩ (P, ξ) = FCB (P, ξ) Vì Ω ⊂ B, ta có FKΩ (P, ξ) ≥ FKB (P, ξ) = FCB (P, ξ) Từ ta phải chứng minh FKΩ (P, ξ) ≤ FCB (P, ξ) Đặt ∆ = Ω ∩ {φ(ζ) : ζ ∈ C}.Ta có FK∆ (P, ξ) ≥ FKΩ (P, ξ), ∆ ⊂ Ω Ta chứng tỏ FK∆ (P, ξ) ≤ FCB (P, ξ) cách tìm ánh xạ chỉnh hình ψ : B → ∆ cho ψ(P ) = P ψ∗ (P )ξ = ξ Đặt ψ = f −1 ◦ π ◦ f, f phép biến đổi Mobius B ánh xạ P đến π phép chiếu B lên f (∆) 2.4.5 Mệnh đề Cho Ω = B\{(z, w) ∈ C2 :|z|2 + |w|m ≤ 1/4}(m ≥ 2), B hình cầu đơn vị C2 với tâm δ , Pδ = (p, 0) = (1/2 + δ, 0), v = (1, 0) FSΩ (Pδ , v) ≤ δ 1−1/m (2.14) Chứng minh Lấy β > cho đường thẳng phức φ(ζ) = Pδ +ζ(1, v), ζ ∈ C, không chạm vào biên |v| > β Ta viết v = (1, 0) = (1/2, v) + (1/2, −v) với v ∈ C cho |v| > β Từ Mệnh đề 2.3.3 (2.13) 39 ta có: FSΩ (Pδ , v) ≤ FSΩ (Pδ , (1/2, v)) + FSΩ (Pδ , (1/2, −v)) = FCB (Pδ , (1/2, v)) + FCB (Pδ , (1/2, −v)) = 1−p2 + (1 − p2 )|v|2 (2.15) 1/2 Do bất đẳng thức với v ∈ C mà |v| > β, nên FSΩ (Pδ , v) ≤ + (1 − p2 )β 2 1−p 1/2 (2.16) Bây ta ước lượng β.Vì φ(ζ) khơng chạm vào biên |v| > β, ta có < φ(ζ) = +δ+ζ 2 + |ζv|m , ∀ζ ∈ C |v| > β (2.17) Vì ta có cận vế phải (2.17) sau: 1 + Re(δ + ζ) + |δ + ζ|2 + |ζ|m |v|m ≥ + δ − |ζ| + |ζ|m |v|m , 4 nên ta đánh giá β cách tìm điều kiện |v| cho f (x) = 41 + δ − x + |v|m xm > với x ≥ Vì f có điểm tới hạn trục dương x (|v|m m)−1/(m−1) , nên ta cần tìm điều kiện |v| cho 1 f ((|v|m m)−1/(m−1) ) = +δ−(|v|m m)−1/(m−1) )+|v|m (|v|m m)−m/(m−1) ≥ 4 Do ta có δ ≥ |v|−m/(m−1) m−1/(m−1) − m−m/(m−1) , |v| ≥ C δ 1−1/m 40 , C số phụ thuộc vào m Vì β≤C δ 1−1/m , (2.18) (2.18) với (2.16) ta điều phải chứng minh Nhận xét: +) Đối với vectơ tiếp xúc tổng quát v = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = N + T ta có bất đẳng thức FSΩ (Pδ , v) ≤ δ 1−1/m |N | + |T | +) Nếu Ω = {1/4 < |z1 |2 + |z2 |m2 + + |zn |mn < 1} ⊂ Cn , ≤ m2 ≤ m3 ≤ ≤ mn , Pδ = (1/2 + δ, 0, , 0) v = (1, 0, , 0), FSΩ (Pδ , v) ≤ 1 δ 1− m2 Vì metric Ω nhỏ metric mặt Ω: Ω = {1/4 < |z1 |2 + |z2 |m2 < 1} ∩ {zj = 0, j ≥ 3} 2.4.6 Mệnh đề Cho Ω = B\{(z, w) ∈ C2 :|z|2 + |w|m ≤ 1/4}(m ≥ 2), B hình cầu đơn vị C2 với tâm δ , Pδ = (p, 0) = (1/2 + δ, 0), v = (1, 0) FSΩ (Pδ , v) δ 1−1/m Chứng minh Để xác định hàm u(z, w) ta sử dụng cận metric Sibony Với |w| đủ nhỏ, |z| > − δ 41 nên ta có đạo hàm theo hướng z Cho f (z) = δ (2/m) z−p z − p + 2δ =δ (2/m) z − 1/2 − δ z − 1/2 + δ định nghĩa hàm đa điều hòa u(z, w) Ω sau: max { log(f (z) + |w|2 ), log(L|w|2+ε )} − L , |w| < c2/m δ 1/m u(z, w) = log(L|w|2+ε ) − L |w| ≥ c2/m δ 1/m , với c ∈ (0, 1/2), < ε C ≥ 0, nên ta có f (z) = δ (2/m) (x − 1/2 − δ)2 , x ∈ −1, − (x − 1/2 + δ)2 − c2 δ ∪ 1 − c2 δ, f (z) ≤ δ − 1/2 − δ)2 + 1/4 − c2 δ − x2 , x ∈ − (x − 1/2 + δ)2 + 1/4 − c2 δ − x2 (2/m) (x 42 − c2 δ, − c2 δ Bằng tính đơn giản ta thấy f (z) ≤ δ ≤δ +δ− 1/4 − c2 δ) (1/2 + δ + 1/4 − c2 δ) (2/m) (1/2 (2.19) 2 + 3c2 ) (2/m) (1 + 3c2 )2 (1 + 5c2 )2 , ≤δ (1 − 3c ) (2/m) (1 (2.20) với c ≤ 1/3, Vì − 3c2 δ < 1 − c2 δ < − c2 δ (2.21) Do f (z) ≤ 5δ (2/m) với (z, w) ∈ Ω ∩ { |w| < (δ/32 )1/m } Do ta cho L = 200 c = 31 , f (z) + |w| ≤ 5δ 2/m +δ 2/m /9 ≤ 6δ 2/m , δ 42 1/m δ 32 < |w| < 1/m 6δ với ε < 2/m δ (2/m+ε/m) < 100 < 200|w|2+ε , |w| > 16 m(log(0.96)) log δ δ 42 1/m , Vì max { log(f (z) + |w|2 ), log(200|w|2+ε )} = log(200|w|2+ε ) δ 1/m 42 đủ nhỏ Bổ đề sau bổ đề địa phương hóa metric Sibony 2.4.8 Bổ đề Cho Ω ∈ Cn miền bị chặn Nếu V ⊂⊂ U tập mở, ta có: FSU ∩Ω (q, ξ) ≈ FSΩ (q, ξ), ∀q ∈ V ∩ Ω, ∀ξ ∈ Cn 44 Chứng minh Vì U ∩ Ω ⊂ Ω, từ Hệ 2.4.3 ta có FSU ∩Ω (q, ξ) ≥ FSΩ (q, ξ) Cho r := dist(V ∩ Ω, Ω\U ) Với q ∈ V ∩ Ω, u ∈ A(q, U ∩ Ω), ta định nghĩa max log(u + ε|z − q|2 ), log 2|z−q| − L, z ∈ B(q, r) ∩ Ω r v := log 2|z−q| − L, z ∈ Ω\B(q, r) r4 ε > số nhỏ cho ε|z − q|2 ≤ 1/2 với z ∈ Ω L số lớn mà chọn sau Đầu tiên thấy v = log(u+ε|z − q|2 )−L gần q Cho |z − q| = δ Vì u ≥ 0, ta có log(u + ε|z − q|2 ) ≥ log ε + 2log δ Ta có 2|z − q|4 log = log + log δ − log r r4 Do với δ đủ nhỏ, v = log(u+ε|z − q|2 )−L với z cho |z − q| ≤ δ Bây chọn L cho v ≤ Ω : u + ε|z − q|2 ≤ 3/2 với z ∈ U ∩ Ω, ta có: 2|z − q|4 − L, z ∈ U ∩ Ω ∩ {|z − q|4 > 3r4 /4} v = log r Do v hàm đa điều hòa xác định với số đủ lớn L, ta có v ≤ Ω 2.4.9 Mệnh đề Cho u hàm xác định D thuộc C2 lân cận gốc tọa độ Giả sử ≤ u ≤ 1, u(0) = log u hàm điều hòa D Khi đó: 45 a) u(z) ≤ |z|2 với z ∈ D dấu đẳng thức xảy u(z) đồng với |z|2 b) ∆u(0) ≤ với dấu đẳng thức xảy u(z) = |z|2 với z ∈ D Chứng minh Vì u(0) = u ≥ nên grad u(0) = Trong D\{0}, định nghĩa hàm v(z) = u(z)|z|−2 Khi đó, log v điều hòa D\{0}, v hàm điều hòa D\{0} Vì v bị chặn nên tồn hàm mở rộng điều hòa v˜ v D Vì lim v(z) ≤ 1, nên v˜ ≤ 1, z→eiθ suy u(z) ≤ |z| Nếu điểm z0 = mà u(z0 ) = |z0 |2 v˜(z0 ) = 1, suy v đồng với Để chứng minh phần b), nhắc lại đoạn [0, 1] khơng mỏng Do đó, với (α, β) ∈ R2 mà α2 + β = 1, ta có v˜(0) = lim v(αt, βt) t→0,t=0 Nhưng u thuộc lớp C lân cận gốc tọa độ nên lim v(αt, βt) = t→0 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u (0)α + (0)αβ + (0)β 2 ∂x ∂x∂y ∂y Giới hạn độc lập với (α, β) nên ta nhận ∂ 2u ∂ 2u (0) = (0) v˜(0) = ∂x2 ∂y Do đó, ta có ∆u(0) = 4˜ v (0) ≤ Nếu ∆u(0) = v(0) = đó, v số 46 2.4.10 Định lý (Theorem 2,[2]) Cho Ω miền bị chặn Cn , n > với biên lớp C P điểm biên không giả lồi Cho Pδ điểm chuẩn tắc để p khoảng cách δ cho v vectơ chuẩn tắc phức đơn vị ∂Ω p Khi đó: FKΩ (Pδ , v) ≈ (1)/(δ 3/4 ), FSΩ (Pδ , v) ≈ (1)/(δ 1/2 ), FCΩ (Pδ , v) ≈ Chứng minh Vì Ω có biên C , ta tìm hình cầu nhỏ Br với bán kính r nằm ngồi Ω tiếp xúc với ∂Ω p lân cận nhỏ U p cho Ω ∩ U ⊂ U \Br Vì metric Kobayashi metric Sibony bị chặn suy từ tính chất metric FKΩ , FCΩ ; Định lý Krantz 2.1.7, Định lý 2.1.8 Bổ đề 2.4.8 Cận metric Caratheodory tầm thường Để chứng minh metric bị chặn Cho Rez1 hướng chuẩn tắc thực ∂Ω p z2 hướng giả lõm ∂Ω p Cho p = ta giả sử: Rez1 − |z2 |2 + C|z1 |2 < ∩ {z = 0} ∩ U ⊂ Ω ∩ U, z = (z3 , , zn ) với lân cận đủ nhỏ U p Metric Kobayashi metric Sibony bị chặn suy tính chất metric FKΩ , FCΩ ; Định lý Krantz 2.1.7, Định lý 2.1.8 Bổ đề 2.4.8 Theo định lý thác triển Hartogs, hàm chỉnh hình Ω thác triển tới bao lồi chỉnh hình nó, đến lân cận cố định 47 Ω ∪ B(0, r).Vì Ω∪B(0,r) FCΩ (Pδ , v) ≤ FC 48 (Pδ , v) ≈ Kết luận Với mục tiêu tìm hiểu metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony, luận văn đạt số kết sau: • Trình bày khái niệm số tính chất metric vi phân Kobayashi Phát biểu chứng minh định lý biểu diễn tích phân giả khoảng cách Kobayashi qua metric vi phân Kobayashi đa tạp phức Trình bày tiêu chuẩn cho tính hyperbolic không gian phức thông qua metric vi phân Kobayashi Cuối địa phương hóa metric vi phân Kobayashi miền Cn • Trình bày định nghĩa số tính chất metric vi phân Caratheodory Chứng minh biểu diễn tích phân giả khoảng cách Caratheodory thông qua giả metric vi phân Caratheodory khơng gian phức • Trình bày định nghĩa số tính chất metric vi phân Sibony Chứng minh tiêu chuẩn cho tính hyperbolic đa tạp phức thơng qua metric vi phân Sibony • Trình bày chứng minh số quan hệ ba metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony 49 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, NXB Đại học Sư phạm Tài liệu Tiếng Anh [2] Fornaess, John Erik and Lee, Lina (2009), "Kobayashi, Carathéodory and Sibony metric", Complex Variables and Elliptic Equations, 54(3), pp 293-301 [3] I Graham (1975), "Boundary behaviour of the Carathéodory and Kobayashi metrics on strongly pseudoconvex domains in Cn with smooth boundary", Trans Amer Math Soc., (207), pp 219-240 [4] N Sibony (1981), "A class of hyperbolic manifolds", Ann of Math Stud, vol 100, pp 357-372, Princeton University Press, Princeton, NJ [5] S Fu (2009), "The Kobayashi metric in the normal direction and the mapping problem", Complex Var Elliptic Equ., 54(3-4) , pp.303-316 [6] S.G Krantz (1992), "The boundary behaviour of the Kobayashi metric", Rocky Mountain L Math., 22(1) , pp 227-233 50 [7] S Kobayashi (1998), "Hyperbolic complex spaces Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften", vol 318, pp 179-182, Berlin 51 ... nhiều tính chất metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony biết đến Mục đích đề tài trình bày kiến thức metric vi phân Kobayashi, metric vi phân Caratheodory metric vi phân Sibony Từ trình... 13 Các metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony 15 2.1 Metric vi phân Kobayashi 15 2.2 Metric vi phân Caratheodory 26 2.3 Metric vi phân Sibony ... Chương Các metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony 2.1 2.1.1 Metric vi phân Kobayashi Định nghĩa Giả sử M đa tạp phức T M phân thớ tiếp xúc M Một ánh xạ F : T M → R+ gọi metric vi phân M