Độ cong RIEMANN (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* TRẦN THỊ NHƯ QUỲNH ĐỘ CONG RIEMANN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* TRẦN THỊ NHƯ QUỲNH ĐỘ CONG RIEMANN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Th.S PHẠM THANH TÂM HÀ NỘI – 2018 Lời cảm ơn Sau thời gian học tập rèn luyện, để có kiến thức ngày hơm nay, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phạm Thanh Tâm, người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ Hình học thầy giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu khoa học nên Khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đóng góp, bổ sung quý báu từ thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Lời cam đoan Dưới hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo Phạm Thanh Tâm với cố gắng thân Khóa luận tốt nghiệp em hồn thành.Các nội dung trình bày khóa luận kết q trình học tập, tổng hợp, tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn em Em xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài “Độ cong Riemann” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vi phân có hướng 1.2 Vi phân hiệp biến 1.3 Đạo hàm ten sơ 1.4 Liên thông toạ độ địa phương 11 1.5 Phân thớ vector 15 Độ cong Riemann 23 2.1 Ten sơ độ cong 23 2.2 Toán tử độ cong 25 2.3 Độ cong tiết diện 26 2.4 Độ cong Ricci 28 2.5 Độ cong vô hướng 29 2.6 Độ cong tọa độ địa phương 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.7 2.8 Trần Thị Như Quỳnh Phương trình độ cong 35 2.7.1 Hàm khoảng cách 35 2.7.2 Phương trình độ cong 37 Bài tập 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Lý chọn đề tài Tốn học có vai trò quan trọng thực tiễn đời sống nghiên cứu khoa học Nó nên tảng sở để nghiên cứu mơn khoa học khác Hình học Riemann nhánh hình học vi phân nghiên cứu đa tạp Riemann Độ cong Riemann chủ đề nhắc đến lại quang trọng chương trình hình học Trên sở trang bị kiến thức tảng hình học vi phân mong muốn học hỏi trau dồi thêm kiến thức toán học, em lựa chọn đề tài “Độ Cong Riemann” cho khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc khóa luận gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Độ cong Riemann Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu độ cong Riemann, phương trình độ cong để từ đưa kiến thức độ cong Riemann Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh Đối tượng, phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu: Các loại độ cong Riemann b Phạm vi nghiên cứu: Các loại độ cong Riemann Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu loại độ cong Riemann phương trình độ cong Phương pháp nghiên cứu Trước hết tìm tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, sách giáo trình có liên quan hình học vi phân, Hình học Riemann Phân tích tổng hợp ví dụ tập minh họa , tham khảo kiến giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học, thực tiễn đề tài Là tài liệu tham khảo cho sinh viên chun ngành Tốn học Tác giả khóa luận Trần Thị Như Quỳnh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vi phân có hướng Cho hàm f : M → R trường vector Y M , ta sử dụng cách để viết đạo hàm có hướng f hướng Y Yf = DY f = LY f = df (Y ) = Y (f ) Xét hàm f : M → R đa tạp, vi phân df : T M → R đo thay đổi hàm số Ở tọa độ địa phương, df = ∂i (f )dxi Nếu thêm vào đó, M trang bị với metric Riemann g, ta có độ dốc f , kí hiệu grad(f ) = g(v, f , định nghĩa trường vector thỏa mãn f ) = df (v)(∀v ∈ T M ) Trong tọa độ địa phương, f = g ij ∂i (f )∂j , (g ij ) ma trận ngược ma trận (gij ) Theo cách định nghĩa này, độ dốc rõ ràng phụ thuộc vào metric Trên Rn (Trong hệ tọa độ Đề- Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh các) độ dốc định nghĩa n ij f = δ ∂i (f )∂j = ∂i (f )∂i i=1 Trên R2 (Hệ tọa độ cực) có f = ∂x (f )∂x + ∂y (f )∂y = ∂r (f )∂r + ∂θ (f )∂θ 1.2 Vi phân hiệp biến Trong Rn ta viết X = n ∂ i i=1 Để đơn giản ta viết X = ∂i Nếu ta coi tọa độ trường vector số ta có định nghĩa đạo hàm hiệp biến X hướng Y YX =( Ya i )∂i = d(ai )(Y )∂i Vì đo thay đổi X việc đo cách mà hệ số thay đổi Do đó, trường vector với hệ số khơng thay đổi Nếu lấy trường tọa độ vector ∂r = (x∂x + y∂y ) x ∂θ = −y∂x + x∂y mà đến từ tọa độ cực R2 , thấy chúng không số Để hiểu rõ ta tách vấn đề định nghĩa thay đổi trường vector X thành hai vấn đề Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh stein Ric = 2.6 scal g n Độ cong tọa độ địa phương Liên hệ ten sơ độ cong tọa độ địa phương Ta có X = αi ∂i , Y = β j ∂j , Z = γ k ∂k , l R(X, Y )Z = αi β j γ k Rijk ∂l l Rijk ∂l = R(∂i , ∂j )∂k Sử dụng định nghĩa R ta thấy l Rijk ∂l = R(∂i , ∂j )∂k = ∂i = ∂i pj ∂k − Γsjk ∂s − = ∂i (Γsjk )∂s + Γsjk ∂j ∂i ∂j ∂k Γtik ∂t ∂i ∂s − ∂j (Γtik )∂t − Γtik ∂j ∂t = ∂i Γljk ∂l − ∂j (Γlik )∂l + Γsjk Γlis ∂l − Γtik Γljt ∂l = (∂i (Γljk ) − ∂j (Γlik ) + Γsjk Γlis − Γsik Γljs )∂l Vì l Rijk = ∂i (Γljk ) − ∂j (Γlik ) + Γsjk Γlis − Γsik Γljs Biểu thức tọa độ sử dụng liên kết với tính chất kí hiệu Christoffel, để chứng minh tất tính chất đối 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh xứng ten sơ độ cong Đơn giản hoá ta lấy điểm p Γij k |p = l Rijk |p = ∂i Γljk |p − ∂j Γlik |p Nếu ta sử dụng cơng thức kí hiệu Christoffel ta nhận l biểu thức Rijk mà phụ thuộc vào metric gij hai đạo hàm cấp Ví dụ 2.6.1 • Xét S mặt trụ R3 cho tham số hóa   x = cos u, (u, v) ∈ R2 (u, v) =  y = sin u, z = v Ta đặt X = ru = (− sin u, cos u, 0) = (−y, x, 0) Y = rv = (0, 0, 1) = (0, 0, 1) Z = ϕX + ψY = (−yϕ, xϕ, ψ) 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh Ta có: +) X YZ = X( Y Z) ∂ψ −∂yϕ ∂xϕ ∂ψ ∂ϕ , , = X X+ Y ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z ∂ψ ∂ϕ X + X Y = X ∂z ∂z ∂ 2ϕ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ϕ +x X + −y +x Y = −y ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z = +) Y XZ = X Y( X Z) ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ψ ∂ψ − xy , −yx + x2 , −y +x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ϕ ∂ψ ∂ψ ∂ϕ +x X + −y +x Y = Y −y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ψ ∂ 2ψ = −y +x X + −y +x ∂x∂z ∂y∂z ∂x∂z ∂y∂z = +)[X, Y ] = Y XY (1) y2 − YX (2) =0 Suy [X,Y ] Z = (3) Mặt khác: R(X, Y )Z = X YZ − Y XZ − [X,Y ] Z Thay (1), (2), (3) vào (4) ta nhận được: R(X, Y )Z = X YZ − 34 Y XZ − [X,Y ] Z = (4) Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.7 Trần Thị Như Quỳnh Phương trình độ cong Ở phần giúp ta nhiều cơng thức đa dạng nhờ ta tính tốn độ cong ten sơ tất đối xứng 2.7.1 Hàm khoảng cách Ta nói r : U → R, U ⊂ (M, g) mở hàm khoảng cách | r | ≡ U Do hàm khoảng cách nghiệm đơn giản phương trình Hamilton-Jacobi | r |2 = Đây phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE) cấp khơng tuyến tính giải phương pháp đặc trưng Ví dụ 2.7.1 Trên (Rn , can) định nghĩa r(x) = |x − y| Thì r trơn Rn − {y} có | r | ≡ Nếu ta có hai điểm khác {y, z} r(x) = d(x, {y, z}) = min{d(x, y), d(x, z)} trơn từ {y, z} siêu phẳng {x ∈ Rn : |x − y| = |x − z|} cách từ y z Ví dụ 2.7.2 Tổng quát M ⊂ Rn đa tap ta r(x) = d(x, M ) = inf{d(x, y), y ∈ M 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh hàm khoảng cách tập mở U ∈ Rn Nếu M siêu phẳng định hướng ta chọn trường vector đơn vị chuẩn N M toạ độ hoá Rn : x = tN + y, t ∈ R, y ∈ M U = {tN + y : y ∈ M, |t| < ε(y)} ε(y) : M → (0, ∞) Khi ta định nghĩa r(x) = d(x, M ) = |t| U − M Ví dụ 2.7.3 Trên I × M I ⊂ R đoạn, ta có metric dạng dr2 + gr dr2 metric chuẩn I gr metric {r} × M phụ thuộc r Khi ánh xạ I × M → I hàm khoảng cách Bổ đề 2.7.1 Cho r : U → I ⊂ R, r hàm khoảng cách r chìm Riemann Chứng minh Tổng qt ta có dr(v) = g( r, v), Dr(v) = dr(v)∂t = v ⊥ tỉ lệ với r Do v vng góc với hạt nhân Dr r Với v = α r, ta có Dr(v) = αDr(v) = αg( r, r)∂t Bây ∂t có chiều dài I |v| = |α|| |Dr(v)| = |α|| r|, r|2 Do r chìm Riemann | 36 r| = Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.7.2 Trần Thị Như Quỳnh Phương trình độ cong Bây ta sẵn sàng xây dựng phương trình cấp Định lý 2.7.1 (Phương trình độ cong Radial) Nếu U ⊂ (M, g) tập hợp mở r : U → R hàm khoảng cách ∂r S + S = −R∂r Chứng minh Nếu X trường vector U ( ∂r S)(X) + S (X) = ∂r (S(X)) − S( ∂r S) + S(S(X)) = ∂r X ∂r − ∂r X = ∂r X ∂r − ∂r X− = ∂r X ∂r − [∂r ,X] ∂r ∂r + X ∂r X ∂r ∂r ∂r Để cho điều −R(X, ∂r )∂r ta cần kiểm tra diễn đến − X ∂r Tuy nhiên ∂r = r đơn vị, ta thấy cho trường vector Y U : g( ∂r , ∂r , Y ) = Hessr(∂r , Y ) = Hessr(Y, ∂r ) = g( Y ∂r , ∂r ) = DY g(∂r , ∂r ) = DY g1 = Đặc biệt, ∂r ∂r = S(∂r ) = tất U 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh Từ ta thấy liên hệ độ cong Radial Hessian r Phương trình thứ hai thứ ba biết đến tương ứng phương trình Gauss phương trình Codazzi - Mainardi Cho vector, ta sử dụng kí hiệu cho phân tích thành chuẩn thành phần tiếp tuyến đến Ur : v = tan v + norv = v − g(v, ∂r )∂r + g(v, ∂r )∂r Định lý 2.7.2 (Phương trình độ cong tiếp tuyến ) tan R(X, Y )Z = Rr (X, Y )Z − (S(X) ∧ S(Y ))Z, g(R(X, Y )Z, W ) = gr (Rr (X, Y )Z, W )−II(Y, Z)II(X, W )+II(X, Z)II(Y, W ) Ở X, Y, Z, W tiếp tuyến đến tập Ur II(U, V ) = Hessr(U, V ) = g(S(U ), V ) dạng cổ điển thứ hai Định lý 2.7.3 ( Phương trình độ cong chuẩn hay hỗn hợp) g(R(X, Y )Z, ∂r = g(−( = −( X S)(Y )+( X II)(Y, Z) X, Y, Z tiếp tuyến đến tập Ur 38 +( Y S)(X), Z) Y II)(X, Z) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh Như vậy, cách quy nạp theo số chiều cho ta cách tính độ cong ten sơ dựa vào ba phương trình Từ đó, ta biết cách làm phép tính Ur biết cách tính S, ta tính đại lượng U Nhắc lại đại lượng độ cong, tiết diện, Ric vô hướng tuân thủ vài mối quan hệ đặc biệt chiều Nếu M có số chiều 1, khơng có nhiều hàm khoảng cách Nếu M có số chiều 2, hàm khoảng cách r : U ⊂ M → R có tập cấp độ chiều Do Rr ≡ ba vector X, Y Z tỉ lệ Do đó, phương trình rút gọn phương trình đơn: ∂r S + S = −R∂r Thực tế, S(∂r ) = 0, mà S phụ thuộc vào giá trị vector đơn vị v ∈ T Ur S(v) = αv α = trS = ∆r Phương trình độ cong radial rút gọn thành: ∂r (∆r) + (∆r)2 = − sec(Tp M ) Lại có Ur , gr viết gr = ϕ2 (r, θ)dθ2 , g = dr2 + ϕ2 (r, θ)dθ2 , 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh Mà ϕ∂r ϕ = ∂r g(∂θ , ∂t heta) = g( ∂r ∂θ , ∂θ ) = g(S(∂θ ), ∂θ ) = α|∂θ |2 = αϕ2 , Ta có trS = ∂r ϕ , ϕ Suy − sec(Tp M ) = ∂ rϕ ϕ Khi M có chiều, tập cấp độ r chiều Phương trình độ cong radial khơng rút gọn, ta giả sử X ⊥ Y Z = X Y Vì vậy, {X, Y, ∂r } đại diện hệ toạ độ trực chuẩn độ cong ten sơ hồn tồn phụ thuộc vào đại lượng g(R(X, ∂r )∂r , Y ), g(R(X, ∂r ), ∂r , X), g(R(Y, ∂r )∂r , Y ), g(R(X, Y )Y, X), g(R(X, Y )Y, ∂r ), g(R(Y, X)X, ∂r ) Ba đại lượng tính từ phương trình độ cong radial, thứ tư từ phương trình độ cong tiếp tuyến hai cuối từ phương trình độ cong hỗn hợp Trong trường hợp đặc biệt M = R3 , R = 0, phương trình độ cong tiếp 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh tuyến sec(Tp Ur ) = Rr (X, Y, Y, X) = g(S(X), X)g(S(Y ), Y ) − g(S(X), Y )g(S(X), Y ) = detS Đây thành tuyệt vời Gauss! Cuối số chiều thứ tiến đến cấp độ khái quát Ta bắt đầu với hệ toạ độ trực chuẩn {X, Y, ∂r } có 20 đại lượng độ cong để tính 2.8 Bài tập 1) Chỉ lên thông không gian Euclid liên thông affine cho X = với tất trường vector X 2) Chỉ X trường vector chiều dài đa tạp Riemann vX ln vng góc với X 3) Cho M đa tạp n chiều Rn+m với metric cảm sinh giả sử ta có hệ tọa độ địa phương đưa tham số hóa xs (u1 , , un ), s = 1, , n + m Chứng minh tọa độ ta có a) n+m gij = s=1 41 ∂xs ∂xs ∂ui ∂uj Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh b) n+m Γij,k = s=1 ∂xs ∂ xs ∂uk ∂ui ∂uj c) Rijkl phụ thuộc vào phần riêng thứ thứ hai xs 4) Chứng minh Hessf = df 5) Cho r hàm khoảng cách S(X) = X ∂r dạng (1, 1) Hessian Chỉ L∂r S = ∂∂r S, L∂r S + S = −R∂r Bạn giải điều với xảy phương trình với dạng (0, 2) Hessian? 6) Cho (M, g) định hướng định nghĩa thể tích Riemann dạng dvol sau: dvol(v1 , , ) = det(g(vi , ej )) e1 , , en sở trực chuẩn định hướng dương cho Tp M a) Chỉ v1 , , định hướng dương dvol(v1 , , ) = det b) Chỉ dạng thể tích song song 42 (g(vi , vj )) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh c) Chỉ tọa độ định hướng dương, dvol = det(gij )dx1 ∧ ∧ dxn 7) Cho (M, g) đa tạp Riemann định hướng với dạng thể tích dvol a) Nếu f có thêm tính compact ∆f.dvol = M b) Chỉ div(f.X) = g( f, X) + f.divX c) Chỉ ∆(f1 f2 ) = (∆f1 ).f2 + 2g( f1 , f2 ) + f1 (∆f2 ) 8) Cho X trường vector đơn vị (M, g) cho XX = a) Chỉ X tiếp tuyến địa phương hàm khoảng cách phân bố trực giao tích phân b) Chỉ X tiếp tuyến hàm khoảng cách họp thuộc M phân phối trực giao có đa tạp tích phân qua p Gợi ý: Có lẽ hữu ích LX θX = c) Tìm X với điều kiện đưa khơng trường tiếp tuyến 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Như Quỳnh Gợi ý: Xem xét S 9) Chỉ đa tạp Riemann với ten sơ Ricci song song có độ cong vô hướng 10) Chỉ R độ cong ten sơ (1, 3) Ric ten sơ Ricci (0, 2) (divR)(X, Y, Z) = ( X Ric)(Y, Z) Khẳng định divR = −( Y Ric)(X, Z) Ric = Sau divR = ten sơ Ricci(1, 1) thỏa mãn: ( X Ric)(Y ) = (tgY Ric)(X) với X, Y 11) Giả sử ta có hai đa tạp Riemann (M, gM ) (N, gN ) Thì tích có metric tích tự nhiên (M × N, gM + gN ) Cho X trường vector M Y , N , ta quan tâm điều trường vecto M × N XY = Khẳng định sec(X, Y ) = Điều nghĩa metric tích ln ln có nhiều độ cong khơng 12) Bài tập đưa cho bạn cách tìm ten sơ độ cong từ độ cong thành phần Sử dụng tính đồng Bianchi −6R(X, Y, Z, W ) = ∂2 ∂s∂t {R(X + sZ, Y + tW, Y + tW, X + sZ)} s=t=0 − {R(X + sW, Y + tZ, Y + tZ, X + sW )} 44 Kết luận Sau thời gian học tập, tổng hợp hồn thiện khóa luận hướng dẫn tận tình ThS Phạm Thanh Tâm, em hồn thành khóa luận Độ cong Riemann mình, phần quan trọng chương trình hình học, phương pháp nghiên cứu chủ yếu sở lý thuyết Khóa luận bao gồm phần phần kiến thức sau: Hệ thống kiến thức chuẩn bị trình bày rõ ràng, đầy đủ làm tiền đề để nghiên cứu loại độ cong Các loại độ cong Riemann, gồm có độ cong gắn vào tọa độ địa phương Ba phương trình độ cong Trong đó, đóng góp khóa luận bao gồm: Các loại độ cong Riemann ba phương trình độ cong Do điều kiện thời gian lực thân hạn chế nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận hồn thiện 45 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phan Hồng Trường (2014), Hình học vi phân, Trường Đại Học sư Phạm Hà Nội Tiếng Anh [2] Jurgen Jost (2011), Riemannian geometry, Springer [3] Petersen P (2000), Riemannian geometry, Springer 46 ... Độ Cong Riemann cho khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc khóa luận gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Độ cong Riemann Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu độ cong Riemann, phương trình độ. .. 25 2.3 Độ cong tiết diện 26 2.4 Độ cong Ricci 28 2.5 Độ cong vô hướng 29 2.6 Độ cong tọa độ địa phương ... biến đổi ánh xạ ϕαβ : Uα ∩ Uβ → Gl(K, C) 22 Chương Độ cong Riemann 2.1 Ten sơ độ cong Cho (M, g) đa tạp Riemann liên thông Riemann Ten sơ độ cong ten sơ (1,3) định nghĩa R(X, Y )Z = = =[ X,Y Z